تسرملو، ارنست فریدریش فردینانت

[ernst fridriç ferdinānt tsermelo]
Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo
(ت.برلین، آلمان، 5 امرداد 1250/ 27 ژویه‌ی 1871؛ و. فرایبورگ ایم برایسگاو، آلمان، 30 اردیبهشت 1332/21 مه‌ی 1953)، ریاضیّات.
تسرملو، پسر فردینانت رودولف تئودور تسرملو، معلم مدارس عالی، و ماریا آوگوستا الیزابت تسیگر، تحصیلات متوسطه را در دبیرستان (گیمنازیوم) بلدی لوئیز برلین انجام داد، و در 1268 امتحان نهایی را گذراند. سپس به تحصیل ریاضیّات و فیزیک و فلسفه در برلین و‌هاله و فرایبورک پرداخت، و در دوره‌هائی که فروبنیوس، لاتساروس فوکس، پلانک، ارهارت اشمیت، ه.ا. اشوارتس، و اتمونت هوسرل تدریس می‌کردند، علم آموخت. در 1273، با گذراندن پایاننامه‌ای با عنوان Unter suchungen zur Variation – rechnung («پژوهشهائی در حساب تغییرات») به دریافت درجه‌ی دکتری نایل آمد. در 1278 به گوتینن رفت و پس از آن که رساله‌ای با عنوان «پژوهشهائی از جنبه‌ی پویایی آبگونه‌ها (ئیدرودینامیک) درباره‌ی حرکت گردبادی در سطحی کروی» به منظور احراز صلاحیت تقدیم داشت به عنوان معلم بی حقوق (پریوات دوتسنت) * به کار گماشته شد. کوتاه مدتی پس از اثبات شورانگیز قضیه‌ی خوشترتیبی (1283)، در آذر 1284 در گوتینگن به سِمت استاد متصدی کرسی برگزیده شد. در 1289 مقام استادی در زوریخ را پذیرفت، اما به سبب ضعف مزاج در 1295 از آن کناره گیری کرد. یک سال پس از آن به تسرملو گوتینگن را ترک گفت، به ابتکار داویت هیلبرت، به پاس نتایجی که در نظریه‌ی مجموعه‌ها بدست آورده بود ( و در واقع برای کمک مالی برای اعاده‌ی تندرستی او ) 5000 مارک از سود صندوق وولفسکل [volfskēl] به وی اهدا شد. تسرملو، پس از کناره گیری از مقامی که در زوریخ داشت، تا 1305 در سیاه جنگل (schwarzwald) زندگی کرد، و سپس به عنوان استاد افتخاری دانشگاه فرایبوک ایم برایسگاو انتخاب شد. در 1314، به دلیل مخالفت با رژیم هیتلر، از ارتباط با دانشگاه دست کشید. بعد از جنگ تقاضای تجدید انتصاب کرد، و تقاضا در 1325 پذیرفته و برآورده شد.
تسرملو علاقه‌ی شدیدی به فیزیک و شمّ خاصی برای کاربرد ریاضیّات در مسائل عملی داشت. وی چاپ آلمانی Light («نور») اثر گلیزبروک و Elementary Principles in Statistical Mechanics («اصول مقدماتی در مکانیک آماری») اثر گیبز را تدارک دید؛ و پس از آن که در مقاله‌ی «درباره‌ی گزاره‌ای از مبحث پویایی شناسی» ثابت کرد که چگونه کاربرد «قضیه‌ی بازگشت» پوانکاره به نبود فرایندهای برگشت ناپذیر در نظریه‌ی حرکتی گازها می‌انجامد درباره‌ی توضیح فرایندهای برگشت ناپذیر بحث مؤثری با بولتسمان داشت.
تسرملو، در پایاننامه‌ی تحصیلی خود، که مربوط به حساب تغییرات بود، روش وایرشتراس برای حدود اقل و اکثر انتگرالها در طبقه‌ای از منحنیها را به حالتی سرایت داده بود که تابعهای زیر انتگرال بستگی به مشتقهائی داشته باشند از هر مرتبه‌ی دلبخواه بالا، و در همان حال از مفهوم همسایگی در فضای منحنیها تعریفی دقیق کرده بود. وی در سراسر عمر به حساب تغییرات پایبند ماند، غالباً درباره‌ی مطلبی برای Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften (« دانشنامه‌ی علوم ریاضی، 1904) و مقاله‌ی («درباره‌ی دریانوردی»)(1308) را نگاشت.
مثالهای دیگری از کمکهای ابتکاری او به مسائل عملی، یکی روش او است برای تعیین توانایی شرکت کنندگان در مسابقه‌های قهرمانی (مقاله‌ی «محاسبه‌ی قدرت مسابقه دهنده»)(1308)، که در مسابقات قهرمانی شطرنج مورد استفاده قرار گرفته است، و دیگر پژوهش او در مورد شکست یک حبّه‌ی مکعب شکل قند ( مقاله‌ی «Über die Bruchlinien zentrierter Ovale، 1312).
تسرملو، وقتی که در گوتینگن دستیار بود، در زمستان 1279 سخنرانیهائی درباره‌ی نظریه‌ی مجموعه‌ها، که خودش به پیشرفت آن کمکی قطعی کرده بود، ایراد کرد. وی در کار کانتور کاملاً پژوهیده بود و گفت و گوهایش با ارهارت اشمیت وی را به اثبات هوشمندانه‌ی قضیه‌ی خوشترتیبی رهنمون شد؛ یعنی ثابت کرد که در هر مجموعه رابطه‌ای چون b > -α (بخوانید « α جلوتر از b قرار دارد») می‌توان وارد کرد، چنان که (1) برای هر دو عضو α و b مجموعه، یا α =b یا α - و نیز تسرملو در 1287 برای نظریه‌ی مجموعه‌های کانتور یک دستگاه اصل موضوعها وضع کرد که معلوم شد برای گسترش ریاضیات اهمیتی بس عظیم دارند. این دستگاه عبارت است از هفت اصل موضوع و در بیان آنها فقط از دو اصطلاح فنّی استفاده شده است: مجموعه و ، نماد رابطه‌ی «عضویت». تسرملو بر ماهیّت توصیفی اصل موضوعها تأکید ورزید و از حوزه‌ای از شیءها مانند B شروع کرد و سپس تصریح نمود که با چه شرایطی (اصل موضوعها) شیئی ( از B) را باید مجموعه نامید. به استثنای مجموعه‌ی تهی که در اصل موضوع 2 آمده است، هر مجموعه‌ی α عضوی است از B که به ازای آن عضو دیگری چون b در B وجود داشته باشد چنان که α b .

اصل موضوع 1 (بسط پذیری):

m = n وقتی و فقط وقتی که α m هم ارز باشد با α n .

اصل موضوع 2 (مجموعه‌های مقدماتی):

مجموعه‌ای تهی وجود دارد که ابداً عضو ندارد. هر عضو α از B مجموعه‌ای چون {α} مشخص می‌کند که α تنها عضو آن است؛ هر دو عضو α و b از B مجموعه‌ای چون {α, b} مشخص می‌کنند که فقط α و b عضوهای آنند.

اصل موضوع 3 (جدایی):

هرگاه خاصیتی چون E برای عضوهای مجموعه‌ای چون m تعریف شده باشد، آنگاه زیر مجموعه‌ای چون از m وجود دارد که دقیقاً متشکل است از آن عضوهای m که E در آنها معتبر است.

اصل موضوع 4 (مجموعه‌ی توان):

برای هر مجموعه‌ی m زیر مجموعه‌ای چون (m)P وجود دارد که زیر مجموعه‌های m عضوهای آنند.

اصل موضوع 5 (اجتماع):

برای هر مجموعه‌ی m مجموعه‌ای چون ، به نام اجتماع m، وجود دارد که متشکل است از عضوهای عضوهای m.

اصل موضوع 6 (اصل موضوع گزینش):

هرگاه m مجموعه‌ای از مجموعه‌های ازهم جدای ناتهی باشد، آنگاه در زیر مجموعه‌ای چون n هست که درست یک عضو از هر مجموعه‌ی m را در بردارد.

اصل موضوع 7 (نامتناهی بودن):

مجموعه‌ای چون z هست که مجموعه‌ی تهی عضوی از آن است و این خاصیّت را دارد که هرگاه α عضو z باشد، پس {α} هم عضو z است.
تسرملو، برای احتراز از باطلنماها (پارادوکسها)، خاصه باطلنمای راسل، که دستگاه را از حیّز انتفاع می‌انداخت، تشکیل مجموعه را مقیّد ساخت به شرط مشخص بودن خاصیّت مشخص کننده‌ی زیر مجموعه‌ای از آن. خاصیّت مشخص E برای مجموعه‌ی m خاصیّتی تعریف شده است که به ازای آن رابطه‌های بنیادین B امکان آن می‌بخشند که بتوان تصدیق کرد که خاصیّت E برای هر عضو m صادق است یا نیست. هر چند به نظر می‌رسید که این شرط تضادها را از دستگاه می‌زداید، تسرملو صریحاً دو موضوع دشوار ناوابستگی و سازگاری را کنار گذاشت. وقتی که کسی راه حلهای کورت گودل (1317) و پ.ی.کوئن (1342) برای مسائل سازگاری نسبی و ناوابستگی اصل موضوع 6 را ببیند متوجه می‌گردد که تصمیم تسرملو چه قدر عاقلانه بود.
مفهوم خاصیّت مشخص، به سبب کلیّتی که دارد، مفهومی است بسیار ظریف. اما بکار بستن آن تا حدی مشکل است زیرا که روشنی کلّی برای اثبات مشخص بودن خاصیّتی که مورد نظر است عرضه نمی کند. هر چند نظریه‌ی نااصل موضوعی مجموعه‌ی کانتوری در آن روزگاران سخت شکوفا بود، خاصّه آن شاخه‌ای که به توپولوژی مجموعه‌ی نقطه‌ها سرایت داده شد، در نظریه‌ی اصل موضوعی مجموعه‌ها پیشرفتی نشد تا سال 1300 ، که آ. فرنکل، در تلاشی که برای اثبات استقلال اصل موضوع گزینش کرد، برخی نقصهای دستگاه تسرملو را خاطرنشان ساخت. ایرادهای فرنکل سه قسمت بود. نخست، اصل موضوع نامتناهی بودن بیش از حد ضعیف است؛ دوم، دستگاه به هیچ روی قاطع و روشن نیست؛ و سوم، مفهوم خاصیّت مشخص مبهمتر از آن است که بتوان در برهانهای ناوابستگی و سازگاری به آن تشبث کرد. این ملاحظات فرنکل را به افزودن اصل موضوع نیرومند تعویض یا جانشین سازی کشانید، که به هر مجموعه‌ی s تصویرش به وسیله‌ی تابعی چون F را می‌افزاید، در حالی که مفهوم تابع به وسیله‌ی تعریف داده شده است. راهی دیگر برای بدست آوردن نتیجه‌ای مشابه را ت. اسکولم نشان داد؛ وی خاصیّت مشخص را خاصیّتی تصریح کرد که در منطق درجه‌ی یکم قابل تبیین باشد.
تسرملو، پس از آن که به اهمیت نکاتی که فرنکل و اسکولم خاطر نشان کرده بودند پی برد، در مقاله‌ی «مفهوم مشخص بودن در اصل موضوعها» (1308) در پی آن برآمد که این مفهوم را به صورت اصل موضوع درآورد، بدین نحو که مجموعه‌ی خواص مشخص را کوچکترین مجموعه‌ای تعریف کند که متضمن روابط بنیادین دامنه‌ی B باشند و در بعضی شرایط بستار (closure) صدق کنند. وی پذیرفت که دست زدن به این کار دلیل روش شناختی داشته است، تا فقط اتکا به روش «اصل موضوعی محض» باشد، و از روش تکوینی و کاربرد مفهوم عدد متناهی احتراز شود. چون قطعیّتی (categoricity) در کار نیست، پژوهش درباره‌ی ساختار دامنه‌هائی که برای b امکانپذیرند – نمونه‌هائی برای نظریه‌ی اصل موضوعی مجموعه‌ها – کاری است با معنی. تسرملو در مقاله‌ی «درباره‌ی تعیین حد و دامنه‌ی مقدارها» (1309) درباره‌ی ساختار نمونه‌هائی از دستگاهی اصل موضوع پژوهید که متشکل بود از اصل موضوعهای جلوتر 1 و 4 و 5 خود او، قسمت آخر اصل موضوع 2، صورت نامقید 3، اصل موضوع موسّعی برای جانشینی، و اصل موضوعی برای خوش بنیادی (well – foundedness)(نسبت به ) با این بیان که هر زیر حوزه‌ی T از حوزه‌ی B دست کم عضوی مانند دارد که عضوی چون t در T ندارد.
تلاش پاره پاره‌ی تسرملو، در مقاله‌ی «مبانی نظریّه‌ای جامع از دستگاههای گزاره‌ای ریاضی» (1314)، به قصد از میان برداشتن قیود نظریه‌ی اثبات، نتیجه‌ی بزرگی ببار نیاورد، زیرا که درک وی از اثبات قضیه به معنی دستگاهی از قضایا که نسبت به رابطه‌ی پیامد این قضیه شالوده‌ای محکم داشته باشد (یعنی خوش بنیاد باشد) کلی‌تر از آن به نظر می‌رسد که به نتایجی انجامد که به اندازه‌ی کافی جالب توجه باشند.

کتابشناسی

یکم. کارهای اصلی. نوشته‌های تسرملو مشتملند بر Untersuchungen zur Variationsrechnung، (برلین، 1894)، که پایاننامه‌ی او است؛«Ueber einen Staz der Dynamik und die menchanische Wärmetheorie » ، در APCh، 57 (1896)، 485-494؛«Ueber mechanische Erklärungen irreversible Vorgänge. Eine Antwort auf Hrn. Boltzmann"s Entgegnung,»، همان، 59(1896)، 793-801؛ Das licht. Grundriss der OPtik für Studierende und Schüler ترجمه اش از Light، اثر ر.ت.گلیزبروک (برلین، 1897)؛«Ueber die Bewegung eines Punktsystemes bei Bedingungsungleichungen» در NGWG، بخش ریاضیات- فیزیک (1899)، 306-310؛«Ueber die Anwendung der Wahrscheinlich- keitsrechung auf dynamische Systeme »، در PZe، 1 (1899-1900)، 317-320؛« Ueber die Additiob transfiniter Cardinalzahlen»، در NGWG، بخش ریاضیات- فیزیک (1901) 34-38؛« Hydrodynamische Untersuchungen über die Wirbelbewegungen in einer Kugelfläche»، در ZMP، 47 (1902)، 201-237، که همان Habilitationsschrft او است؛ و «Zur Theorie der Kürzesten Linien» در JDM، 11 (1902)، 184-187.
آثار دیگر بدین قرارند:«Ueber die Herleitung der Differentialgleichung bei Variationsproblemen »، در Man، 58 (1904)، 558-564؛«Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet warden kann» همان، 59 (1904)، 514-516؛«Wieterentwickelung der Variationsrechnung in den letzten jahren mathematischen Wissenschaften ، دوم، بخش 1 (لایپ تسیش، 1904)، 626-641، با همکاری ه.هان؛ Elementare Grundlagen der statistischen Mechanik ، ترجمه اش از اثر گیبز (لایپ تسیش، 1905)؛ Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung »، در Man، 65 (1908)، 107-128؛«Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I» همان، 261-281؛«Sur les ensembles finis et le principe de l"induction comlète»، در AM، 32 (1909)، 185-193؛ «Die Einstellung der Grenzkonzentrationen an der Trennungsfläche zweier Lösungsmittel»، در PZe، 10 (1909)، 958-961، با همکاری ا.ه.ریزنفلت؛ و « Ueber die Grundlagen der Artihmetik»، در Congresso internazionale dei matematici، دوم (رم، 1909)، 11-8.
نیز ــــ «über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels»، در Proceedings of the Fifth International congress of Mathematicians، دوم (کیمبریج، 1913)، 501-504«Über ganze transzendente Zahlen» در MNn، 75 (1914)، 434-442؛ «Ueber das Masz und die Dirskrepanz von Punktmengen»، در JRAM، 158 (1927)، 154-167؛« ber den Begriff der Definitheit in der AxiomatikÜ»، در FMa، 14(1929)، 339-344؛ Die Berechnung der Turnier- Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung»، در MZ، 29 (1929)، 436-460؛ و « Über die Navigation in der Luft als Problem der Variationarechnunf»، در JDM، 39 (1929)، 44-48.
آثار دیگر عبارتند از:«Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. Neue Untersuchungrn über die Grundlagen der Mengenlehre»، در FMa، 16 (1930)، 47-29؛« ber die logische Form der mathematischen theorienὕ»، در ASPMa، 9 (1930)، 187؛« ber das Navigations problem bei ruhende oder vränderlicher Windverteilung»، در ZAMM، 11 (1931)، 114-124؛ «Über mathematische Systeme und die Logik des Unendlichen »، در FF، 8 (1932)، 7-6 ؛«Über Stufen der Quantifikation und die Logik des Unendlichen»، در JDM، 41 (1932)، 85-88؛« Über die Bruchlinien zentrierter Ovale. (Wie zerbricht ein stück zucker?)، در ZAMM، 13 (1933)، 168-170؛ «Elementare Betrachtungen zur Theorie der primzahlen»، در NGWG، 1 (1934)، 43-46؛ و «Grundlagen einer allgemeinen Theorie der mathematischen Satzsysteme.( Erste Mittelung)»، در FMa ، 25 ( 1935)، 136-146.
مجموعه‌ای از مقالات که از تسرملو برجامانده در کتابخانه‌ی دانشگاه فرایبورک ایم برایسگاو موجود است. شرحی کوتاه، به قلم ه.گریکه، به ترتیب ذیل موجود است: مجموعه‌ای از نسخه‌های مطالبی به قلم تسرملو و دیگر ریاضیدانان، مجموعه‌ای از نامه‌ها و نسخه‌های خطی و طرحهائی از مقالات منتشر شده، یادداشتهای سخنرانیها به صورت تندنویسی شده، بخشهائی از ترجمه‌ای از آثار هومر به شعر آلمانی، بخش دوم رساله‌ی احراز صلاحیت تدریس او، و طرحی از یک درخواست ثبت اختراع « Kreisel zur Stabllisierung bicycles von Fahtund Motorrädern»(ژیروسکوپ برای ثابت نگه داشتن دوچرخه و موتورسیکلت).
دوم. خواندنیهای فرعی. تعداد قابل ملاحظه‌ای از مقالات مربوط به نظریه‌ی مجموعه‌ها، مشتمل بر سه مقاله از تسرملو، در From Frege to Gödel، از ی. وان هیئنورت (کیمبریج، مسچوسیتس، 1967) بچاپ رسید، که دربردارنده‌ی ارجاعهائی به خواندنیهای دیگر تا 1345/ 1966 نیز می‌باشد. نیزـــــ set Theory and the Continuum Hypothesis، از پ.ی. کوئن (نیویورک، 1966)؛« Systems of Predicative Analysis»، از س.ففرمان، در JSL، 29(1964)، 30-1؛«Über die Zermelosche Begründung der Mengenlehre»، از ا.فرِنکل، در JDM ، 30 (1921)، 97-98؛«Zu den Grundlagen der Contor- Zermeloschen Mengenlehre»؛ از همو، در Man، 86 (1922)، 230-237؛«Der Begriff ,definit, und die Unahängigkeit des Auswahlsaxioms»، از همو، در SPAW (1922)، 253-257؛ و Foundations of Set Theory، از همو (آمستردام، 1958)، با همکاری ی.بار- هیلل؛ Beiträge zur Freiburger Wissenschafts- und universitätsgeschichte، از ه.گریکه، هفتم، Zur Geschichte der Mathematik an der universität Freiburg i.Br. ، ویراسته‌ی ی.وینکه، (فرایبورک ایم برایسگاو، 1955)، 72-73؛ The Consistency of the Continum Hypothesis، از ک. گودل (پرینستن، نیوجرزی، 1940)؛ Elements of Mathematical Logic ، از گ. کرایزل و ج.ل.کریواین (آمستردام، 1967)؛«Kollegen in einer dunklen Zeit»، از م.پینل، در JDM، 71 (1969)، 167-228، بویژه 221-222؛ Hibert ، از ک. رید (برلین، 1970)؛ Simplified Independence Proofs ، از ج.بارکلی روسر (نیویورک، 1969).
نیز ــــ «Logisch- Kombinatorische Untersuchungen über die Erfullbarkeit oder Beweisbarkeit mathetischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen»، از ت.اسکولم، در SVK، 1، بخش ریاضیات و علوم طبیعی (1920)، شماره‌ی 4؛«Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre »، از همو، در Matematiker Kongressen I Helsinfors den 4-7 Juli 1922 (هلسینکی، 1923)، 232-217؛«Über einige Grundlagenfragen der Mathematik»، از همو، در SNVO، 1، بخش ریاضیات و علوم طبیعی (1929)، شماره‌ی 4؛ و «Einge Bemerkungen zu der Abhandlung von E.Zermelo: Über die Definitheit in der Axiomatik»، از همو، در FMa، 15 (1930)، 341-337؛ و «Die Punktmengen»، از ل.تسورتّی و آ.روزنتال، در Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften ، دوم، بخش 3 (لایپ تسیش، 1923)، 855-1030.
منبع مقاله :
گیلیپسی، چارلز کولستون؛ (1387)، زندگینامه علمی دانشوران، برگردان: احمد آرام، [و دیگران]، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول