نویسنده: شهاب شعری مقدم
قضیه‌ای که بیش از سیصد سال ذهن بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان جهان را به بازی گرفته بود
هر چند دنیای شگفت‌انگیز ریاضیات، پر از قضایای عجیب و غریب و مسائل دشوار چالش‌برانگیز است، اما در این میان، برخی مسائل و قضایای ریاضی به دلایلی، شهرتی فراگیر پیدا می‌‌کنند. یکی از این قضایای عجیب، قضیه‌ای مشهور به نام «آخرین قضیه‌ی فِرما»ست. این قضیه، از آن جهت شهرتی جهانی پیدا کرد که اولاً به شیوه‌های عجیب و غریب، توسط یکی از بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان جهان مطرح شده بود و ثانیاً با وجود دشواری و پیچیدگی فوق‌العاده بالای روش اثباتش، صورت قضیه، بسیار ساده و عامه فهم بود. همین موضوع نیز سبب شده بود تا نه تنها ریاضی‌دانان حرفه‌ای جهان، بلکه حتی ریاضی‌دانان آماتور هم - از دانش‌آموزان دبیرستانی گرفته تا علاقه‌مندان به بازی‌ها و معماهای ریاضی - سال‌های سال برای اثبات این قضیه تلاش کنند؛ اما گویا این قضیه‌ی به ظاهر ساده، اثبات شدنی نبود که نبود. همین مسأله سبب شد که آخرین قضیه‌ی فرما در مقطعی از تاریخ عملا به اسرارآمیزترین معمای جهان ریاضی بدل شود، معمایی که بیش از سه قرنِ تمام، ذهن بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان دنیا را به چالش کشید. اگر دوست دارید با ماجرای این قضیه‌ی شگفت‌انگیز آشنا شوید، با ما همراه باشید.
پرده اول: یادداشتی عجیب در حاشیه یک کتاب
«پی‌یِر دو فرما» (Pierre de Fermat)، حقوق‌دان برجسته‌ای بود که علاقه‌ی بسیاری به ریاضیات داشت. او اغلب زمان‌های فراغتش را در خلوت خود به مطالعه‌ی ریاضیات و حل مسائل ریاضی می‌‌پرداخت. گرچه فرما یک ریاضی‌دان تمام وقت نبود، اما در همان اوقات فراغتش، چنان دست‌آوردهای خیره‌کننده‌ای به جهان ریاضیات عرضه کرد که می‌‌توان او را در زمره‌ی بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان تاریخ به حساب آورد. فرما، استاد بی‌بدیل نظریه‌ی اعداد بود و در توسعه‌ی نظریه‌ی احتمالات و همین‌طور شکل‌گیری حسابان نیز بسیار تأثیر گذاشت.در یکی از روزهای سال 1637 میلادی، فرما مشغول مطالعه‌ی کتاب «آریثمِتیکا» (Arithmetica) اثر «دیوفانتوس» (Diophantus)، ریاضی‌دان بزرگ یونانی قرن سوم میلادی بود. در بخشی از این کتاب، مسأله‌ی چگونگی پیدا کردن ریشه‌های صحیح مثبت معادله‌ی مشهور فیثاغورس مطرح شده بود. به عبارت دقیق‌تر، دیوفانتوس در کتاب خود، روش‌هایی را برای پیدا کردن ریشه‌های صحیح مثبت معادله‌ی x^2+y^2=z^2 (که همان معادله‌ی مشهور فیثاغورس است)، ارائه کرده بود. احتمالاً می‌‌دانید که معادله‌ی مذکور، دارایی بی‌نهایت ریشه‌ی صحیح مثبت است که اصطلاحاً به آن‌ها «اعداد سه‌گانه‌ی فیثاغورسی» گفته می‌‌شود و کوچک‌ترینشان، سه عدد سه، چهار و پنج هستند. با مطالعه‌ی این بخش از کتاب، ناگهان ایده‌ی شگفت‌انگیزی در ذهن فرما نقش بست؛ این‌که اگر در معادله‌ی فیثاغورس، توان دو را به توانی بزرگتر تبدیل کنیم، معادله‌ی جدید هیچ ریشه‌ی صحیح مثبتی نخواهد داشت. به این ترتیب، فرما ایده‌ی خود را به صورت قضیه‌ی زیر در حاشیه‌ی کتاب یادداشت کرد:
«ثابت کنید معادله‌ی 〖-x〗^n+y^n=z^n که در آن، n یک عدد طبیعیِ بزرگتر از دواست - ریشه‌ی صحیح مثبت ندارد.» اما نکته‌ی عجیب در مورد این قضیه - که بعدها به نام «آخرین قضیه‌ی فرما» مشهور شد - جمله‌ی دیگری بود که او در حاشیه‌ی کتاب اضافه کرده بود؛ «من اثبات شگفت‌انگیزی برای این قضیه پیدا کرده‌ام، اما با توجه به کمبود جا، نمی‌‌توانم آن را در این حاشیه‌ی باریک بنویسم.»
پرده‌ی دوم: معمای لاینحل
دست‌نوشته‌ی فرما در میان انبوه نوشته‌ها و کتاب‌های او به فراموشی سپرده شد و مدت سی سال تمام، کسی خبری از آن نداشت. تا این‌که سرانجام پس از مرگش، پسر او نسخه‌ی کتاب اریثمتیکای دیوفانتوس را (که حاوی حاشیه‌نویسی‌های فرما بود) پیدا و منتشر کرد. نکته‌ی جالب و عجیب، این بود که فرما، حاشیه‌های متعددی بر این کتاب نوشته و قضایای بسیاری را در این قسمت‌ها مطرح کرده بود که به جز این آخری، همه‌ی آن‌ها را با دقت تمام و به‌طور کامل اثبات کرده بود. به این ترتیب و با انتشار کتاب، جهان ریاضیات با معمای عجیبی مواجه شد؛ معمای آخرین قضیه‌ی اثبات نشده‌ی فرما.از همان زمان، ریاضی‌دانان بزرگ جهان، تلاش برای اثبات این قضیه را آغاز کردند، اما شگفتا که این قضیه‌ی به ظاهر ساده، در برابر قدرت ذهنی بزرگ‌ترین ریاضی‌دان‌های دنیا هم تسلیم نمی‌‌شد، به عنوان مثال، «لئونارد اویلِر» - که عموماً از او به عنوان یکی از بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان تمامی اعصار نام برده می‌‌شود - آن‌قدر از دست و پنجه نرم کردن بی‌نتیجه با آخرین قضیه‌ی فرما خسته شده بود که یکی از دوستانش را به خانه‌ی قدیمی او فرستاد تا با اجازه‌ی صاحبخانه، تمام خانه را برای پیدا کردن هر تکه کاغذی که ممکن بود در میان کتاب‌ها و وسایل قدیمی فرما، پنهان شده و حاوی دست‌نوشته‌ای درباره‌ی اثبات آخرین قضیه‌ی او باشد، به دقت بگردد؛ اما این جست‌وجو هم بی‌نتیجه بود.
با این حال، تلاش ریاضی‌دانان برای اثبات آخرین قضیه‌ی فرما هم‌چنان ادامه یافت. خود اویلر در نهایت توانست آن را فقط برای حالت n=3 اثبات کند. در حدود سال 1825 نیز «لُژاندر» و «دیریکله»، به‌طور مستقل از هم موفق شدند درستی آن را برای حالت n=5 ثابت کنند. حدود یک دهه بعد، «گابریل لامه» موفق شد قضیه‌ی آخر فرما را برای حالت n=7 اثبات کند. در این میان، شاید موفقیت‌آمیزترین تلاش برای اثبات آخرین قضیه‌ی فرما، از آنِ «سوفی ژرمن» (Sophie Germain)، بانوی ریاضی‌دان فرانسوی باشد که در اوایل قرن نوزدهم، ثابت کرد قضیه‌ی آخر فرما، برای تمامی nهای بزرگتر از دو، که در آن، هم n و هم 2n+1 عدد اول هستند، صادق است.
اما این نتایج، همگی صرفاً حالت‌های خاصی از قضیه‌ی آخر فرما را شامل می‌‌شدند و تا اثبات عمومی قضیه، راهی طولانی و دشوار در پیش بود. در آغاز قرن بیستم، «پائول وُلفشکِل» که یک کارخانه‌دار ثروتمند آلمانی بود، برای هرکس که موفق به اثبات آخرین قضیه‌ی فرما شود، جایزه‌ای به مبلغ یک صد هزار مارک آلمان تعیین کرد، اما زمان، گذشت و گذشت و هیچ‌یک از ریاضی‌دانان بزرگ قرن بیستم - از «کانتور» گرفته تا «هیلبرت» - هم‌چون دیگر ریاضی‌دانان برجسته‌ی دو قرن قبل از آن، موفق به اثبات عمومی آخرین قضیه‌ی فرما نشدند.
پرده‌ی سوم: یک رؤیای کودکانه
«آندرو وایلز» (Andrew Wiles)، پسر کوچکی بود که خیلی وقت‌ها برای مطالعه‌ی کتاب‌های علمی کودکان و نوجوانان، به کتاب‌خانه‌ی عمومی شهر «کیمبریج» انگلستان می‌‌رفت. از آنجا که کیمبریج، یک شهر کوچک دانشگاهی است که دانشگاه معروف کیمبریج را در خود جای داده، اغلب مردم شهر (هم‌چون اندروی کوچک)، به گونه‌ای با علم و دانش، دانشگاه و فضای علمی در ارتباط هستند. او در یکی از روزهای سال 1963، از طریق کتابی که در کتاب‌خانه‌ی عمومی شهر پیدا کرده بود با معمای آخرین قضیه‌ی فرما آشنا و به آن علاقه‌مند شده بود. از همان زمان، خیال اثبات این قضیه، به رؤیای بزرگ زندگی اندرو بدل شد.زمان گذشت و اندروی کوچک، به عنوان دانشجوی ریاضیات به کیمبریج رفت. او پس از اخذ مدرک دکترای ریاضی، برای ادامه‌ی پژوهش‌هایش عازم مؤسسه‌ی مطالعات پیشرفته‌ی پرینستون آمریکا شد و پس از مدتی، استاد ریاضیات همین دانشگاه شد، اما گذشت زمان، باعث نشد اندرو وایلز، رؤیای بزرگ دوران کودکی‌اش را فراموش کند. البته سال‌ها مطالعات پیشرفته در ریاضیات و همین‌طور مشورت با ریاضی‌دانان برجسته‌ی جهان، او را از دشواری‌های فراوانی که در مسیر تحقق این رؤیا وجود داشت به خوبی آگاه کرده بود؛ حالا دیگر بسیاری از ریاضی‌دانان، اثبات آخرین قضیه‌ی فرما را عملاً غیرممکن می‌‌دانستند و حتی اغلب ریاضی‌دانان همکارش، او را از قدم گذاشتن در این مسیر دشوار (که به ظاهر سرانجامی هم نداشت)، برحذر داشته بودند، اما وایلز، عزم خود را برای تحقق رؤیای کودکی‌اش جزم کرده بود و برای آن‌که از ملامت‌ها و سرزنش‌های دیگران در امان باشد، تصمیم گرفت بدون هیچ صحبتی با دیگر ریاضی‌دانان، تلاش خود برای اثبات آخرین قضیه‌ی فرما را آغاز کند. به این ترتیب، در سال 1986 بود که وایلز، کار متمرکزش روی این معمای به ظاهر لاینحل را کلید زد و هر روز، ساعت‌ها از وقت خود را در پشت میز کار، به کلنجار رفتن با آن سپری می‌‌کرد. هفت سال تمام به همین منوال سپری شد تا سرانجام در یکی از روزهای زیبای بهار سال 1993، وایلز به این نتیجه رسید که پاسخ معنا را پیدا کرده است.
پرده آخر: یک روز فراموش نشدنی در کیمبریج
روز بیست و سوم ژوئن 1993، در سالن همایش مؤسسه‌ی ریاضیات «ایزاک نیوتن» دانشگاه کیمبریج جای نشستن نبود. شنیده‌ها از این حکایت می‌‌کرد که رویداد مهمی در آستانه‌ی وقوع است. اندرو وایلز در جلوی سالم همایش، مشغول پر کردن سطح تخته سیاه بزرگ با انواع و اقسام معادلات پیچیده بود و ریاضی‌دانان حاضر در سالن نیز، کلمه به کلمه سخنان او را به دقت دنبال می‌‌کردند. با نوشتن آخرین رابطه‌ی ریاضی و نتیجه‌گیری نهایی از آن، اندرو وایلز، گچ را لبه‌ی تخته سیاه گذاشت و با لبخند گفت: «و به این ترتیب، درستی آخرین قضیه‌ی فرما ثابت می‌‌شود.» با شنیدن این جمله، صدای تشویق و دست زدن حاضران، سالن همایش را پر کرد و یک روز تاریخی و به یادماندنی در تاریخ ریاضیات جهان ثبت شد. روز بعد، تصویر لبخند وایلز در کنار تخته سیاه مملو از معادلات در کنار تیتر یک روزنامه‌های جهان قرار گرفت که به پایان سه قرن چالش با یکی از دشوارترین معماهای ریاضی تاریخ اشاره داشتند. اما گرچه در نهایت، معمای آخرین قضیه‌ی فرما به کمک نبوغ ریاضی‌دانان حل شد، ولی معمای دیگری در ارتباط با آن، هم‌چنان برای ما ناگشوده باقی مانده است. اندرو وایلز برای اثبات آخرین قضیه‌ی فرما از صدها صفحه معادلات و قضایای پیچیده‌ی دیگر - از توابع بیضوی گرفته تا حدس «شیمورا - تانیاما» و از منحنی‌های «فِری» گرفته تا گروه‌های «مدولار» - استفاده کرده بود، ریاضیات پیشرفته‌ای که هیچ کدام در زمان فرما شناخته شده نبود. پس به راستی فرما چه روشی برای اثبات آخرین قضیه‌ی مرموز خود پیدا کرده بود؟ پاسخ این پرسش را هیچ کس نمی‌‌داند!منبع مقاله :
نشریه همشهری دانستنیها شماره 142
/ج
