آیا ریاضیات علمی منطقی است؟
منطق ریاضى، ترجمه mathematical logic است. از منطق ریاضى دو معنا مستفاد مى شود.
۱- منطق ریاضى به معناى خاص كه در واقع باید ترجمه The logic of mathematic باشد چرا كه ریاضیات مانند هر علم دیگرى از نظمهایى برخوردار است كه این نظمها تحت عنوان منطق مى آید و منطق ریاضى به معناى خاص بررسى ریاضى این نظمها یا قواعد است.
۲- معناى عامى هم براى منطق ریاضى متصور است كه عبارت است از: استفاده از روشها و تكنیكهاى ریاضى براى بررسى منطق. به این معنا كه منطق ریاضى یك علم كاربردى است و در مقوله ریاضیات كاربردى قرار مى گیرد. بین دو معناى عام و خاصى كه مطرح شد یك رابطه واقعى عام و خاص نیز وجود دارد.
كتاب «منطق ریاضى» ، كتابى به معناى خاص منطق ریاضى است. یعنى بررسى منطق متعلق به ریاضیات نه منطق به معناى عام. در واقع باید گفت كه معناى آن اخص است. یعنى كتابى است براى بررسى ریاضیات كلاسیك. شاید این سؤال پیش آید كه ریاضیات كلاسیك چیست؟ و مگر ریاضیات غیر كلاسیك نیز وجود دارد.
كتاب «منطق ریاضى» بسیار خاص است. یعنى عبارت است از: بررسى منطق ریاضیات كلاسیك. اما بین این معناى خاص و عام منطق ریاضى رابطه واقعى وجود دارد. به این معنا كه حتى در معناى خاص منطق ریاضى ویژگى عام معنایى هم در این مورد وجود دارد. یعنى این كه ما از تكنیكها و روشهاى ریاضیات در بررسى تحقیق درباره ریاضیات سود مى بریم. پس منطق ریاضى به دو وجه ریاضى است. نخست اینكه موضوع آن موضوع منطق ریاضى است، دوم اینكه روش آن ریاضى است. یعنى اینكه در عالم ریاضیات با استفاده از اصول و قواعد ریاضى، ما به موضوع منطق ریاضى مى پردازیم. پس منطق ریاضى به معناى عام براى موضوع ریاضیات به دو وجه ریاضى است و این نكته اى نسبتاً مهم است. ریاضى بودن، روش تألیف دقیق دارد . اگر بخواهیم خیلى دقیق باشیم - و من اصرار به دقیق بودن آن دارم - این است كه وقتى مى گوییم روش ریاضى است یعنى در عالم نظریه، مجموعه اصول و قواعدى ما را مجاز مى كند كه چه اعمالى را انجام دهیم و یا چه اعمالى را انجام ندهیم. اما اگر با مسامحه بخواهیم صحبت كنیم روش ریاضى همان علائم و نمادهایى است كه براى اشاره به اشیا و اعمال جمع و ضرب و تقسیم به كار مى رود.
بدیهى است كه هر چه این تكنیك ریاضى را در سطح بالاترى به كار بریم یعنى هر چه هزینه بیشترى بپردازیم چیز بهترى به دست مى آوریم به همین دلیل است كه غالباً قضایاى شگفت انگیز بنیان افكن علم ریاضى از تكنیكهاى پیشرفته اى در اثبات برخوردار است و هر چه روش ریاضى را محدودتر كنیم طبعاً چیز كمترى به دست مى آوریم.
به معناى عام منطق ریاضى باز مى گردیم. اما منطق چیست . آیا واقعاً یك منطق وجود دارد و یا منطقهاى مختلفى وجود دارند؟ آیا هر كدام از اینها روش خاص ریاضى را براى بحث مى طلبد؟ فارغ از اینكه ما چه تعریفى براى منطق قائل باشیم شكى نیست كه نقطه آغازین منطق ریاضى ابداع زبان مناسب است و این پیشفرض علمى منطق ریاضى است كه منطق یا به عبارتى دیگر نظمهاى تفكر در قالب زبان متجلى مى شوند. بنابراین زبان، بحث فلسفى عمیقى را مى طلبد. چیزى كه در قالب زبان نیاید در قلمرو كار منطق و ریاضى قرار نمى گیرد. این زبان، زبان طبیعى نیست گرچه با بررسى و تجزیه و تحلیل زبان طبیعى ساخته مى شوند. این زبان را اصطلاحاً «زبان صورى» مى گوییم. در این زبان نمادهایى را به طور صورى ابداع مى كنیم كه این ابداع نمادها آن را از زبان طبیعى جدا مى كند. اما در عین حال این نمادها بدون مبنا انتخاب و ابداع نمى شوند.
این نمادها با تجزیه و تحلیل زبان طبیعى و اجزاى زبان طبیعى ساخته مى شود. بنابراین با تجزیه و تحلیل زبان سعى داریم مدل ریاضى بسازیم. به عبارتى دیگر این بخشى از كار منطق ریاضى است كه ما براى نحوى از زبان ابتدا مدل ریاضى مى سازیم. اما مفاهیم دیگرى مثل مفهوم صدق یا حقیقت یا تعریف پذیرى در قلمرو معنا شناسى و دلالت شناسى قرار مى گیرند. قسمت دوم كار، مدل سازى براى معنا شناسى یا دلالت شناسى زبان است. اما در منطق ریاضى بین نحو كلام یا زبان و یا معناشناسى زبان براى جلوگیرى از هر نوع خلط احتمالى جدایى است. نحو در زبان صورى چیزى شبیه گرامر و دستور زبان است. یكى از مسائل اساسى كه در این مرحله در منطق ریاضى به آن توجه شده این است كه بین زبانى كه به عنوان شىء ساختیم و زبانى كه در آن درباره این شىء كه در زبان هست مى خواهیم صحبت كنیم، تمایز اساسى وجود دارد. بنابراین هوشمندى در زبان جلوگیرى از پارادوكسهایى است كه در طول تاریخ وجود داشته و غالباً ناشى از خلط زبان و مفاهیم فرا زبانى بود مثل عبارت پارادوكس دروغگو.
یكى از مفاهیمى كه به نوعى مشترك در زبان شناسى، فلسفه و منطق است و شاید یكى از مفاهیم بسیار اساسى باشد مفهوم «معنادارى» است. اما متأسفانه باید گفت هیچ كدام از این سه شاخه تا كنون قادر به ارائه یك مدل از آن نشده اند. در این زمینه تحقیقات همچنان ادامه دارد. از مفاهیم اساسى كه در نحو زبان وجود دارد مفهوم «برهان» است كه در مقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. یكى دیگر از علایق اساسى منطق ریاضى رابطه این دو است. اینكه ما در نحو زبان مفاهیمى داریم و آنها را ابداع كردیم و همین طور در دلالت شناسى زبان مفاهیمى را مدل سازى ریاضى كردیم و طبیعتاً روابط به این دو مقوله از علائق اساسى منطق است. اینكه آیا در یك دستگاه منطقى گزاره اى مثل E اثبات یا استنتاج شود كاملاً یك مفهوم نحوى است كه چگونه یك جمله را از بقیه مفروضاتتان تولید كنید. تولید كاملاً یك مفهوم مبتنى بر گرامر زبان است و از طرف دیگر بپرسید كه آیا این جمله راست است یا دروغ؟ یك مفهوم معنایى است اینكه خارج از زبان بین این دو چه رابطه اى وجود دارد و بررسى رابطه این دو مفهوم از علائق ذاتى بررسى منطق ریاضى است.
تدوین منطق ریاضى اساساً كار سختى است ولى مى توان گفت بین سالهاى ۱۸۵۰ تا ۱۹۵۰ این كار توسط چندین نفر صورت گرفته است. به نظر من ارسطو اولین كسى كه این بنا را بنیاد نهاد. فارغ از اینكه منطق ارسطو از نظر منطق ریاضى چقدر موجه بنماید و مهم باشد، به نظر من كاخ عظیم منطق ریاضى را ارسطو ساخته است. این كاخ چنان مستحكم بود كه حداقل تا ۱۸۷۹ وقتى كه فرگه وارد میدان شد، دوام آورد و تصویر و تصور ما را با تجزیه و تحلیلى كه نسبت به زبان آغاز كرد از منطق دگرگون كرد. منطق ارسطویى، تحلیلى را از اجزاى جمله شروع مى كند كه مبتنى بر موضوع محمول است و رابطه این تصویر را فرگه دگرگون كرد و آن را تبدیل به تابع و شناسه نمود. بدین ترتیب مفهومى ریاضى وارد میدان شد و تصویر و تصور ما را از مفهوم گزاره و جمله تغییر داد. علاوه بر این فرگه كارهاى دیگرى هم انجام داد كه بنیاد منطق ریاضى جدید مبتنى بر كارهاى فرگه است.
سومین كسى كه كار انقلابى در منطق كرد اما مبتنى بر كارهاى فرگه بود گودل است. او در حوالى سالهاى ۱۹۳۱ و ۱۹۳۰ دو نوع قضایاى تمامیت و قضایاى نا تمامیت را ارائه كرد. قضیه تمامیت باز مى گردد به همان مفهوم و سؤالى كه من در رابطه نحو و معناشناسى مطرح كردم. آیا در یك دستگاه منطقى یك حكم یا یك گزاره قابل استنتاج صادق است و بالعكس در حكمى كه صادق است هر معنایى در همه جهانهاى ممكن آیا این قابل استنتاج است و اگر این دستگاه چنین ویژگى داشته باشد نشان دهنده این است كه این دستگاه كامل و تمام است. گودل در ۱۹۳۰ ثابت كرد كه این بنیانگذارى منطق بر شالوده تفكر فرگه براى منطق كامل هست. قضایاى نا تمامیت گودل پیچیده تر و البته مأیوس كننده تر براى تفكر بشرى است.
منبع:http://www.academist.ir
/س
۱- منطق ریاضى به معناى خاص كه در واقع باید ترجمه The logic of mathematic باشد چرا كه ریاضیات مانند هر علم دیگرى از نظمهایى برخوردار است كه این نظمها تحت عنوان منطق مى آید و منطق ریاضى به معناى خاص بررسى ریاضى این نظمها یا قواعد است.
۲- معناى عامى هم براى منطق ریاضى متصور است كه عبارت است از: استفاده از روشها و تكنیكهاى ریاضى براى بررسى منطق. به این معنا كه منطق ریاضى یك علم كاربردى است و در مقوله ریاضیات كاربردى قرار مى گیرد. بین دو معناى عام و خاصى كه مطرح شد یك رابطه واقعى عام و خاص نیز وجود دارد.
كتاب «منطق ریاضى» ، كتابى به معناى خاص منطق ریاضى است. یعنى بررسى منطق متعلق به ریاضیات نه منطق به معناى عام. در واقع باید گفت كه معناى آن اخص است. یعنى كتابى است براى بررسى ریاضیات كلاسیك. شاید این سؤال پیش آید كه ریاضیات كلاسیك چیست؟ و مگر ریاضیات غیر كلاسیك نیز وجود دارد.
آیا ریاضیات علمی منطقی است؟
كتاب «منطق ریاضى» بسیار خاص است. یعنى عبارت است از: بررسى منطق ریاضیات كلاسیك. اما بین این معناى خاص و عام منطق ریاضى رابطه واقعى وجود دارد. به این معنا كه حتى در معناى خاص منطق ریاضى ویژگى عام معنایى هم در این مورد وجود دارد. یعنى این كه ما از تكنیكها و روشهاى ریاضیات در بررسى تحقیق درباره ریاضیات سود مى بریم. پس منطق ریاضى به دو وجه ریاضى است. نخست اینكه موضوع آن موضوع منطق ریاضى است، دوم اینكه روش آن ریاضى است. یعنى اینكه در عالم ریاضیات با استفاده از اصول و قواعد ریاضى، ما به موضوع منطق ریاضى مى پردازیم. پس منطق ریاضى به معناى عام براى موضوع ریاضیات به دو وجه ریاضى است و این نكته اى نسبتاً مهم است. ریاضى بودن، روش تألیف دقیق دارد . اگر بخواهیم خیلى دقیق باشیم - و من اصرار به دقیق بودن آن دارم - این است كه وقتى مى گوییم روش ریاضى است یعنى در عالم نظریه، مجموعه اصول و قواعدى ما را مجاز مى كند كه چه اعمالى را انجام دهیم و یا چه اعمالى را انجام ندهیم. اما اگر با مسامحه بخواهیم صحبت كنیم روش ریاضى همان علائم و نمادهایى است كه براى اشاره به اشیا و اعمال جمع و ضرب و تقسیم به كار مى رود.
بدیهى است كه هر چه این تكنیك ریاضى را در سطح بالاترى به كار بریم یعنى هر چه هزینه بیشترى بپردازیم چیز بهترى به دست مى آوریم به همین دلیل است كه غالباً قضایاى شگفت انگیز بنیان افكن علم ریاضى از تكنیكهاى پیشرفته اى در اثبات برخوردار است و هر چه روش ریاضى را محدودتر كنیم طبعاً چیز كمترى به دست مى آوریم.
به معناى عام منطق ریاضى باز مى گردیم. اما منطق چیست . آیا واقعاً یك منطق وجود دارد و یا منطقهاى مختلفى وجود دارند؟ آیا هر كدام از اینها روش خاص ریاضى را براى بحث مى طلبد؟ فارغ از اینكه ما چه تعریفى براى منطق قائل باشیم شكى نیست كه نقطه آغازین منطق ریاضى ابداع زبان مناسب است و این پیشفرض علمى منطق ریاضى است كه منطق یا به عبارتى دیگر نظمهاى تفكر در قالب زبان متجلى مى شوند. بنابراین زبان، بحث فلسفى عمیقى را مى طلبد. چیزى كه در قالب زبان نیاید در قلمرو كار منطق و ریاضى قرار نمى گیرد. این زبان، زبان طبیعى نیست گرچه با بررسى و تجزیه و تحلیل زبان طبیعى ساخته مى شوند. این زبان را اصطلاحاً «زبان صورى» مى گوییم. در این زبان نمادهایى را به طور صورى ابداع مى كنیم كه این ابداع نمادها آن را از زبان طبیعى جدا مى كند. اما در عین حال این نمادها بدون مبنا انتخاب و ابداع نمى شوند.
این نمادها با تجزیه و تحلیل زبان طبیعى و اجزاى زبان طبیعى ساخته مى شود. بنابراین با تجزیه و تحلیل زبان سعى داریم مدل ریاضى بسازیم. به عبارتى دیگر این بخشى از كار منطق ریاضى است كه ما براى نحوى از زبان ابتدا مدل ریاضى مى سازیم. اما مفاهیم دیگرى مثل مفهوم صدق یا حقیقت یا تعریف پذیرى در قلمرو معنا شناسى و دلالت شناسى قرار مى گیرند. قسمت دوم كار، مدل سازى براى معنا شناسى یا دلالت شناسى زبان است. اما در منطق ریاضى بین نحو كلام یا زبان و یا معناشناسى زبان براى جلوگیرى از هر نوع خلط احتمالى جدایى است. نحو در زبان صورى چیزى شبیه گرامر و دستور زبان است. یكى از مسائل اساسى كه در این مرحله در منطق ریاضى به آن توجه شده این است كه بین زبانى كه به عنوان شىء ساختیم و زبانى كه در آن درباره این شىء كه در زبان هست مى خواهیم صحبت كنیم، تمایز اساسى وجود دارد. بنابراین هوشمندى در زبان جلوگیرى از پارادوكسهایى است كه در طول تاریخ وجود داشته و غالباً ناشى از خلط زبان و مفاهیم فرا زبانى بود مثل عبارت پارادوكس دروغگو.
یكى از مفاهیمى كه به نوعى مشترك در زبان شناسى، فلسفه و منطق است و شاید یكى از مفاهیم بسیار اساسى باشد مفهوم «معنادارى» است. اما متأسفانه باید گفت هیچ كدام از این سه شاخه تا كنون قادر به ارائه یك مدل از آن نشده اند. در این زمینه تحقیقات همچنان ادامه دارد. از مفاهیم اساسى كه در نحو زبان وجود دارد مفهوم «برهان» است كه در مقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. یكى دیگر از علایق اساسى منطق ریاضى رابطه این دو است. اینكه ما در نحو زبان مفاهیمى داریم و آنها را ابداع كردیم و همین طور در دلالت شناسى زبان مفاهیمى را مدل سازى ریاضى كردیم و طبیعتاً روابط به این دو مقوله از علائق اساسى منطق است. اینكه آیا در یك دستگاه منطقى گزاره اى مثل E اثبات یا استنتاج شود كاملاً یك مفهوم نحوى است كه چگونه یك جمله را از بقیه مفروضاتتان تولید كنید. تولید كاملاً یك مفهوم مبتنى بر گرامر زبان است و از طرف دیگر بپرسید كه آیا این جمله راست است یا دروغ؟ یك مفهوم معنایى است اینكه خارج از زبان بین این دو چه رابطه اى وجود دارد و بررسى رابطه این دو مفهوم از علائق ذاتى بررسى منطق ریاضى است.
تدوین منطق ریاضى اساساً كار سختى است ولى مى توان گفت بین سالهاى ۱۸۵۰ تا ۱۹۵۰ این كار توسط چندین نفر صورت گرفته است. به نظر من ارسطو اولین كسى كه این بنا را بنیاد نهاد. فارغ از اینكه منطق ارسطو از نظر منطق ریاضى چقدر موجه بنماید و مهم باشد، به نظر من كاخ عظیم منطق ریاضى را ارسطو ساخته است. این كاخ چنان مستحكم بود كه حداقل تا ۱۸۷۹ وقتى كه فرگه وارد میدان شد، دوام آورد و تصویر و تصور ما را با تجزیه و تحلیلى كه نسبت به زبان آغاز كرد از منطق دگرگون كرد. منطق ارسطویى، تحلیلى را از اجزاى جمله شروع مى كند كه مبتنى بر موضوع محمول است و رابطه این تصویر را فرگه دگرگون كرد و آن را تبدیل به تابع و شناسه نمود. بدین ترتیب مفهومى ریاضى وارد میدان شد و تصویر و تصور ما را از مفهوم گزاره و جمله تغییر داد. علاوه بر این فرگه كارهاى دیگرى هم انجام داد كه بنیاد منطق ریاضى جدید مبتنى بر كارهاى فرگه است.
سومین كسى كه كار انقلابى در منطق كرد اما مبتنى بر كارهاى فرگه بود گودل است. او در حوالى سالهاى ۱۹۳۱ و ۱۹۳۰ دو نوع قضایاى تمامیت و قضایاى نا تمامیت را ارائه كرد. قضیه تمامیت باز مى گردد به همان مفهوم و سؤالى كه من در رابطه نحو و معناشناسى مطرح كردم. آیا در یك دستگاه منطقى یك حكم یا یك گزاره قابل استنتاج صادق است و بالعكس در حكمى كه صادق است هر معنایى در همه جهانهاى ممكن آیا این قابل استنتاج است و اگر این دستگاه چنین ویژگى داشته باشد نشان دهنده این است كه این دستگاه كامل و تمام است. گودل در ۱۹۳۰ ثابت كرد كه این بنیانگذارى منطق بر شالوده تفكر فرگه براى منطق كامل هست. قضایاى نا تمامیت گودل پیچیده تر و البته مأیوس كننده تر براى تفكر بشرى است.
منبع:http://www.academist.ir
/س
