کشش سطحی یا کشش عمقی

کشش سطحی در مایعات موضوع بسیار آشنایی در فیزیک است. گرچه در بسیاری از منابعی که این پدیده را مورد بحث قرار داده‌اند به وجود نیروی برایندِ جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ اِعمال شده‌ی روبه‌داخل بر مولکول‌های واقع در سطح مایع اشاره شده است اما ارتباطی منطقی بین این جاذبه‌ی روبه‌داخل و تظاهراتِ خارجی که به کشش سطحی نسبت داده می‌شوند برقرار نشده است. به‌عبارتِ دیگر چون در نظرِ اول به‌نظر می‌رسد این تظاهرات را می‌توان با فرض کششی تنها بر سطح مایع توجیه کرد، مسأله، بدونِ دقت در جزئیاتِ استدلال‌های ارائه شده برای این توجیهات، به‌وسیله‌ی فیزیکدانان، ساده و حل‌شده تلقی شده است. در این مقاله با دقت در جزئیاتِ مباحث، صریحاً نشان داده می‌شود که مسأله آنچنان‌که تصور می‌شود حل‌شده نیست و نیز حل آن در بعضی موارد چندان آسان نیست. به‌عبارتی، به‌طور کاملاً ساده نشان داده می‌شود که آنچه که به کششِ بینِ تنها مولکول‌های روی سطح مایع نسبت داده می‌شود درواقع مربوط به کششِ بینِ همه‌ی مولکول‌هاست، و به‌علتِ وجودِ پارامترهای آزمایشیِ قابلِ اندازه‌گیری، ما حتی به‌عنوانِ یک شکلِ ظاهری نمی‌توانیم آن‌را به کشش سطحی نسبت دهیم.

سطوحِ کمینه
 

آنچه بین جامد، مایع، و گاز تمایز می‌گذارد نیروی جاذبه‌ی بینِ مولکول‌هاست. در جامد، این نیرو آنچنان قوی است که اِعمالِ نیروهای خارجی نمی‌تواند باعث جابجایی مولکول‌ها شود. در مایع، این نیرو به‌اندازه‌ی کافی ضعیف هست که نیروهای خارجی بتوانند باعثِ جابه‌جاییِ مولکول‌ها نسبت به یکدیگر شوند، یعنی گرچه پیوندِ جاذبه‌ای بینِ دو مولکول وجود دارد اما هرکدام از این دو مولکول براثرِ اِعمال نیرویی ممکن است جای خود را به مولکولی دیگر دهد. در گاز می‌توان گفت که تقریباً اصلاً هیچ جاذبه‌ای بین مولکول‌ها وجود ندارد. آنچه دراینجا برای ما مهم است این است که همچنان‌که گفتیم در مایع نیرویِ جاذبه‌ای بینِ هر دو مولکول وجود دارد. چنین نیروهایی در مایع باعث می‌شود که مولکول‌ها به‌شکلِ یک توده انباشته شوند.
یک توده از مایع را درنظر گیرید. مطمئناً این مجموعه‌ی مولکولیِ مایع دارای سطحی خارجی می‌باشد. مولکولی از مایع را بر این سطح درنظر گیرید. نیروهای جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ وارد بر این مولکول فقط از مولکول‌های مایعِ داخلِ توده (مجاور با آن) هستند ولذا این مولکول به‌طرفِ داخل کشیده می‌شود. هر مولکولِ سطح این وضعیت را دارد. بنابراین همه‌ی مولکول‌های سطح به‌طرفِ داخل کشیده می‌شوند و مطمئناً هرکدام از آنها اگر امکان بیابد به داخلِ مایع خواهد رفت. جابه‌جاییِ یک مولکول از سطح به‌سمتِ داخل به‌معنای کاهشِ سطح و افزایشِ ضخامتِ توده است. روندِ کاهشِ سطح تا به‌دست آمدنِ سطحِ کمینه‌ی ممکنِ نهایی ادامه می‌یابد.
روندِ کمینه شدنِ سطح مایع حتی هنگامی که شرایطِ محدودکننده‌ای برای مایع وجود داشته باشد وجود خواهد داشت. بنابراین مثلاً مایعِ محدود شده به لبه‌های یک حلقه، شکلی تخت، که دارای سطح کمینه‌ای در این حالت می‌باشد، به‌خود می‌گیرد.
به‌این‌ترتیب می‌بینیم آنچه باعث می‌شود سطوحِ مایع کمینه گردند نیروی جاذبه‌ی بینِ همه‌ی مولکول‌های مایع است (که عمود بر سطح است) نه نیروی جاذبه‌ی بینِ مولکول‌های سطح مایع (که موازی با سطح است).

فشارِ چسبندگی
 

روشن است که حتی هنگامی که توده‌ی مایع کمینه سطحِ ممکن را به‌دست آورد هنوز همان نیرویِ برایندِ جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ روبه‌داخلِ وارد شده بر مولکول‌های سطح به‌وسیله‌ی مولکول‌های مایعِ مجاورِ سطح وجود دارد. این نیرویِ عمودِ روبه‌داخلِ وارد شده بر سطح مایع فشاری بر مایع وارد می‌آوَرَد که دارای توزیعی در سرتاسرِ مایع خواهد بود (درست شبیهِ یک توده‌ی مایعِ قرار گرفته در اتمسفر که فشار هوا بر آن به‌شکلِ نیرویِ عمودِ روبه‌داخلِ وارد بر سطحِ آن اثر می‌کند درحالی‌که این فشار در سرتاسرِ مایع احساس می‌شود). این فشار را فشارِ چسبندگی می‌نامیم. این درواقع این فشار (به‌اضافه‌ی فشار هوا درصورتِ قرار داشتنِ مایع در اتمسفر) می‌باشد که توده را تحت پِرِس قرار داده و سطحِ آن‌را کمینه می‌نماید.
یک قطره‌ی مایع را که به‌شرطِ عدمِ وجودِ جاذبه‌ی گرانشی و عدمِ وجودِ فشارِ گازِ خارجیِ وارد شده بر سطح قطره (گرچه این شرطِ اخیر لازم نیست) شکلِ یک کُره را به‌خود می‌گیرد درنظر بگیرید (واضح است که این شکل به‌این علت که دارای سطحِ کمینه است به‌دست می‌آید). مولکولی از مایع را بر سطحِ این کُره درنظر گیرید. نیرویِ روبه‌مرکزی، عمود بر سطح، براین مولکول وجود دارد که ناشی از نیروهای جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ وارد بر آن از مولکول‌های داخلیِ مجاور با آن می‌باشد. از آنجا که این مولکول درحالِ تعادل است لزوماً باید نیرویی مساوی اما مختلف‌الجهه نیز برآن وجود داشته باشد. این نیرو که روبه‌خارج براین مولکول وارد می‌شود ناشی از فشارِ چسبندگی در مایعِ قطره می‌باشد.
همچنین می‌توان این کُره را توسطِ یک صفحه‌ی نصف‌النهاریِ آَنگاری به دو نیم‌کُره تقسیم کرد. دو نیروی مساوی اما مختلف‌الجهه بر نیم‌کره‌ی راست وارد شده باعثِ تعادلِ آن می‌شود: نیرویِ روبه‌چپِ ناشی از جاذبه‌ی بینِ مولکول‌های مایع در سطحِ جداییِ دو نیم‌کره (یعنی صفحه‌ی نصف‌النهاری)، و نیرویِ روبه‌راستِ ناشی از فشارِ چسبندگی در این سطحِ جدایی.
فشارِ چسبندگی ممکن است در نقاط مختلفِ توده‌ای از مایع متفاوت باشد (درست همانگونه که فشارِ ناشی از وزن مایع در نقاطِ مختلفِ مایعِ دارای ارتفاعاتِ کوناگون یکسان نیست). برای بررسیِ این امر دو مثال از حالت‌های ناپایدار و پایدار را درنظر می‌گیریم:
حالتِ ناپایدارِ توده‌ی مایعِ شکلِ 1 را با فرض این‌که جاذبه‌ی گرانشی و فشارِ گازِ خارجی وجود ندارد درنظر گیرید.

مطمئناً فشارِ چسبندگی در قسمتِ برآمده کمتر است تا در قسمت‌های دیگر. این امر باعث می‌شود که گرچه همان نیرویِ جاذبه‌ی روبه‌داخلی بر یک سطحِ جزئیِ لایه‌ی مولکولیِ تشکیل دهنده‌ی سطحِ این قسمتِ برآمده وارد می‌آید که بر یک سطحِ جزئیِ این لایه که تشکیل‌دهنده‌ی سطحِ دیگر قسمت‌هاست وارد می‌آید، اما چون فشارِ چسبندگیِ زیرِ این لایه در قسمتِ برآمده کمتر است تا در دیگر قسمت‌ها لذا نیرویِ روبه‌خارجِ وارد شده بر سطح جزئیِ لایه در قسمتِ برآمده کمتر است تا در دیگر قسمت‌ها. پس نیرویِ برایندِ وارد بر سطح جزئی در قسمتِ برآمده روبه‌داخل است درحالی‌‌که در دیگر قسمت‌ها تقریباً صفر است. این باعث می‌شود که لایه به‌سمتِ داخل کشیده شود تا شکلِ کُروی برای توده به‌دست آید.
اکنون حالتِ پایدارِ یک قطره‌ی مایع ، که درحالی‌که فشارِ گازِ خارجی وجود ندارد تحتِ تأثیرِ وزن خود بر رویِ یک سطح صُلب، که به‌وسیله‌ی مایع تر نمی‌شود، قرار گرفته است، را درنظر گیرید؛ شکل 2 را ببینید. می‌دانیم که در هر نقطه روی سطح قطره، به‌جز آن قسمت که در تماس با سطحِ S است، نیرویِ (برایندِ) روبه‌داخلِ وارد بر یک سطح جزئی (ناشی از جاذبه‌های بینِ مولکولی) یکسان است. چون هر نقطه‌ی قطره درحالِ تعادل است نیرویِ روبه‌خارجِ وارد بر سطحِ جزئی باید دارای همان بزرگیِ نیرویِ روبه‌داخل باشد. این نیرویِ روبه‌خارج، ناشی از فشاری زیرِ سطح قطره است. این فشار مجموعِ دو فشار است: فشارِ ناشی از وزنِ ستونِ مایع بالای هر نقطه، و فشارِ چسبندگی. چون می‌دانیم با حرکت روی سطح از قُلّه به‌طرفِ پایین، فشارِ ناشی از وزن مایع زیاد می‌شود لاجَرَم باید نتیجه بگیریم که با حرکت از قله به پایین، فشارِ چسبندگی در مایعِ مجاورِ سطح کاهش می‌یابد، و درحقیقت شکلِ گرفته شده به‌وسیله‌ی قطره به‌خاطرِ فراهم آوردنِ این فُرمِ ویژه‌ی لازم از شیبِ فشارِ چسبندگی می‌باشد.
نیروی رو‌به‌داخلِ وارد بر سطحی از مایع که در تماس با سطح S می‌باشد شاملِ دو نیروی روبه‌داخلِ ناشی از جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ مولکول‌های مایع و نیروی (عمود) عکس‌العملِ سطح S می‌باشد. روشن است که این نیرو می‌بایست توسطِ نیروهای روبه‌خارجِ ناشی از وزن مایع و فشار چسبندگی خنثی شود، وچون فشار وزن نسبت به نقاطی از سطح مایع که نزدیک به اما غیرِمماس با سطحِ S می‌باشند چندان تغییری ندارد نتیجه می‌گیریم که فشار چسبندگی نسبت به این نقاط به‌نحوِ قابل توچهی افزایش یافته است.

اندازه‌گیریِ جاذبه‌ی بینِ مولکولی
 

جامدی را درنظر گیرید که نیروی جاذبه‌ی بینِ یک مولکول از آن و یک مولکول از یک مایعِ موردِ نظر بیش از نیروی جاذبه‌ی بینِ دو مولکول از مایع باشد. واضح است که اگر این جامد در مایع فروبرده شود مولکول‌های مایع به بدنه‌ی جامد خواهند چسبید و آن‌را تر می‌کنند. اگر جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ بینِ یک مولکولِ جامد و یک مولکولِ مایع کمتر از جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ بینِ دو مولکولِ مایع باشد مایع جامد را تر نخواهد کرد و پس از بیرون کشیدنِ آن از مایع چسبیده بدان نخواهد ماند. بیایید حلقه‌ی تختی از جامدِ جنسِ نخست، که توسط مایع می‌تواند تر شود، بسازیم، و درحالی‌‌که سطحِ پایینِ آن در تماس با مایع است آن‌را به قلابِ یک نیروسنج آویزان کنیم.
حال تلاش می‌کنیم با کشیدنِ آن به‌طرفِ بالا آن‌را از سطح مایع جدا کنیم. واضح است که به‌علتِ جاذبه‌ی بین مولکولی، برای این عمل اِعمالِ نیرویی لازم می‌باشد. این نیرو را درست درلحظه‌ای که حلقه از مایع جدا می‌شود می‌خوانیم. این نیرو مجموعِ نیروهای جاذبه‌ی بینِ مولکول‌های مایعِ زیرِ سطح پایینیِ حلقه می‌باشد. این نیرو مجموع نیروهای جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ بینِ مایع و جامد نیست زیرا همچنانکه گفتیم جامد به‌وسیله‌ی مایع تر می‌شود ولذا درست درلحظه‌ی جدایی، لایه‌ای نازک از مایع به سطح پایینیِ حلقه چسبیده باقی می‌مانَد و باعث می‌شود که نیروی خوانده شده مجموعِ نیروهای جاذبه‌ی بینِ مولکولی بینِ مولکول‌های لایه و دیگر مولکول‌های مایعِ مجاورِ آنها باشد. فرض کنید این نیرو F و مساحتِ سطح پایینیِ حلقه A باشد. بدین‌طریق ملاکی برای اندازه‌گیریِ نیروهای جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ مولکول‌های مایع به‌شکلِ F/A، که آن‌را با K نشان می‌دهیم، به‌دست می‌آید. اگر شعاع خارجیِ حلقه R2 و شعاع داخلیِ آن R1 باشد آنگاه واضح است که A=π(R22-R12) ولذا:
F=KA=K π(R22-R12)
با صفرکردنِ R1 انتظار داریم که، در آزمایش، F متناسب با مربعِ R2، شعاعِ دیسک، باشد.

فیلمِ مایع
 

اجازه دهید فیلمی مایع بینِ یک سیمِ Uشکل و یک سیمِ افقی گه دو انتهای آن دورِ دو بازویِ سیمِ Uشکل حلقه شده است تشکیل شود. سیمِ افقی تمایل دارد به‌سمتِ بالا حرکت کند. بیایید ببینیم علتِ این پدیده واقعاً چیست. سطحِ مقطع سیمِ افقی و فیلمِ مایع در شکل 3(a) نشان داده شده است. به‌علتِ جنسِ سیمِ افقی، مایع آن‌را تر می‌کند ولذا به تقریباً تمامِ نیمه‌ی فوقانیِ سطح جانبی سیم افقی می‌چسبد، و با اِعمال جاذبه‌ی بینِ مولکولی بین مولکول‌های مایع و سیم، آن‌را به‌طرف بالا می‌کشد. این درواقع همان نیروی جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ روبه‌داخلِ مایع، اِعمال شده بر مولکول‌های مایعِ درتماس با سیم، می‌باشد که به سیم منتقل می‌گردد و باعث کشیدنِ آن به‌سمتِ داخل (یعنی به‌سمت بالا) می‌شود زیرا مولکول‌های مایعِ درتماس با سیم به آن چسبیده‌اند. با آویزان کردنِ وزنه‌ای مناسب به سیمِ افقی، سیم در تعادل نگاه داشته خواهد شد (و دیگر به‌طرف بالا کشیده نمی‌شود). روشن است که بدونِ اهمیت به اینکه ضخامت (t) فیلم چیست سطح تماس مایع و سیم ثابت (برابر با نیمی از سطح جانبی سیم) می‌مانَد، ولذا سیمِ افقی در هر موقعیتی که به‌دلخواه قرار داده شود در تعادل خواهد ماند زیرا درهر حال سطح تماس و از آنجا نیروی جاذبه‌ی بین مولکولیِ کلی بین مایع و سیم یکسان خواهد ماند.
عدم توجه به این حقیقت باعث شده است که گمان شود که دلیلِ این‌که سیمِ افقی در هر موقعیتی در تعادل است این است که نیروی روبه‌بالا بر سیم افقی از فیلم مایع تنها به‌وسیله‌ی کشش سطحی در سطح فیلم اِعمال می‌شود، یعنی همچنانکه در شکل 3(b) می‌بینیم این نیرو تنها در امتدادِ خطوطی که سطحِ مقطع‌های آنها با a و b در شکل نشان داده شده اند اِعمال می‌شود. واضح است که تغییرِ ضخامت فیلم (t)، طولِ این خطوط را تغییر نمی‌دهد.
در اینجا بد نیست به‌علاوه بگوییم که فیلمِ مایع فقط نیروی روبه‌بالا بر سیم افقی وارد نمی‌کند، این فیلم دو نیروی روبه‌پایینِ کوچکتر نیز وارد می‌کند که یکی قسمتی از وزن (فیلم) مایع است (درحالی‌که قسمتِ بزرگترِ دیگرِ آن به‌وسیله‌ی سیمِ Uشکل تحمل می‌شود)، و دیگری نیروی ناشی از فشار چسبندگی در مایع است.

حباب
 

دیدیم که به‌شرطِ عدمِ وجود جاذبه‌ی گرانشی و فشار گاز خارجی دو نیروی مساوی اما مختلف‌الجههِ جاذبه‌ی بینِ مولکولی و ناشی از فشارِ چسبندگی بر نیم‌کُره‌ی راستِ قطره‌ی توپُرِ کُروی وارد می‌آید. اگر در یک فشار گاز خارجی (مثلاً فشار اتمسفر)، اما همچنان با شرطِ عدمِ وجود جاذبه‌ی گرانشی، قرار داشته باشد، نیروهای موازنه شده‌ی وارد بر نیم‌کُره‌ی راست عبارتند از نیروی روبه‌چپِ ناشی از فشار گاز خارجی که مستقیماً بر سطح کرویِ نیم‌کره وارد می‌آید، نیروی روبه‌چپِ ناشی از جاذبه‌ی بینِ مولکولی مولکول‌های مایع در سطحِ جداییِ دو نیم‌کُره، و نیروی روبه‌راستِ ناشی از فشارِ داخل مایع در سطح جداییِ دو نیم‌کره. این فشار، دیگر فقط فشار چسبندگی نیست، بلکه فشار گاز خارجیِ وارد بر سطح قطره، که در داخل قطره‌ی مایع احساس می‌شود، نیز در آن مشارکت دارد.
بیایید به‌طریقی در داخل این قطره‌ی توپُر بدمیم و با وارد کردنِ گاز در داخل آن یک پوسته‌ی کُروی (یعنی حباب) همچون شکل 4 تشکیل دهیم.

نیروهای وارد بر نیمه‌ی راستِ این پوسته عبارتند از نیرویِ روبه‌چپِ ناشی از فشار گاز خارجی، p2، وارد بر سطح خارجی که برابر است با p2(πR22)، نیروی روبه‌چپِ ناشی از جاذبه‌ی بین مولکولیِ بینِ مولکول‌های مایع در سطحِ πR22-πR12 که با درنظر گرفتنِ ضریبِ K معرفی شده در معادله‌ی فوق الذکرِ F=KA=Kπ(R22-R12) برابر است با Kπ(R22-R12)، نیروی روبه‌راستِ ناشی از فشار گاز داخلی، p1، وارد بر سطح داخلی که برابر است با p1(πR12)، و نیروی روبه‌راستِ ناشی از فشار داخل مایع، pi، وارد بر سطح πR22-πR12 (یعنی سطح جدایی دو نیمه‌ی پوسته) که برابر است با piπ(R22-R12) (این فشار (یعنی pi) متشکل از سه فشارِ جزئی می‌باشد: فشار چسبندگی، فشار ناشی از فشار گاز خارجی وارد بر سطح خارجی و منتقل شده به داخل مایع، و فشار ناشی از فشار گاز داخلی وارد بر سطح داخلی و منتقل شده به داخل مایع. مهم است توجه داشته باشیم که، همچنانکه در اول مقاله دیدیم، فشار چسبندگی در داخل مایع پارامتری ثابت نیست و با بزرگ یا کوچک ساختنِ پوسته‌ی کروی کاهش یا افزایش می‌یابد). چون این نیمه درحالِ تعادل است داریم:
p2(πR22)+Kπ(R22-R12)=p1(πR12)+piπ(R22-R12)
هنگامی‌که p1، p2، و R1 صفر شوند این رابطه منجر به رابطه‌ی KπR22=piπR22 می‌شود که در آن pi فقط فشار چسبندگی است و سمتِ چپ همان نیرویِ روبه‌چپِ ناشی از جاذبه‌ی بینِ مولکولی، اِعمال شده بر نیم‌کره‌ی راستِ مورد بحث در اول مقاله، می‌باشد و سمت راست همان نیرویِ روبه‌راستِ ناشی از فشار چسبندگی، اِعمال شده بر این نیم‌کره، است.
اگر بتوانیم pi را به‌طریقی اندازه بگیریم، با درنظر گرفتنِ این‌که پارامترهای دیگرِ رابطه‌ی اخیر به‌راحتی به‌طورِ مستقیم یا غیرمستقیم قابل اندازه‌گیری‌اند می‌توانیم اعتبار این رابطه را عملاً تست کنیم.
می‌توان رابطه‌ی زیر را برای فشار گاز داخل حباب از رابطه‌ی اخیر به‌دست آورد:
p1=(K+p2-pi)(R2/R1)2+pi-K
که از آن می‌توان نتیجه گرفت که اگر p2 و K ثابت بمانند و با فرض این‌که اثر تغییراتِ pi در مقایسه با تغییراتِ (R2/R1)2 ناچیز باشد، آنگاه هرچه حباب بزرگتر باشد فشار داخل آن، p1، کمتر خواهد بود، زیرا (R2/R1)2 سریعتر کاهش می‌یابد.
آنچه درباره‌ی حباب در هر کتاب متن جاری‌ای که درباره‌ی کشش سطحی بحث کرده است [1 و 2] می‌توان دید این است که نیروهای تعادلیِ وارد بر نیمه‌ی راستِ پوسته‌ی کرویِ شکلِ 4 بدین قرارند (شکل 5 را ببینید): نیروی روبه‌چپِ ناشی از کشش سطحیِ سطح خارجی پوسته که برابر است با 2πR2γ، نیروی روبه‌چپِ ناشی از کشش سطحیِ سطح داخلی پوسته که برابر است با 2πR1γ، نیروی روبه‌چپِ ناشی از فشارِ گازِ بیرونی، p2، که برابر است با p2(πR22)، و نیروی روبه‌راستِ ناشی از فشار گاز داخلی، p1، که برابر است با p1(πR12). چون این نیمه درحال تعادل است پس:
2πR2γ+2πR1γ+p2πR22=p1πR12 ⟹ γ=(p1R12-p2R22)/(2(R1+R2))
ما البته می‌توانیم راه‌های آزمایشگاهی‌ای برای بررسیِ اعتبار یا عدمِ اعتبارِ این رابطه طرح‌ریزی کنیم، اما حتی قبل از این‌کار می‌توانیم در اعتبار آن با درنظر گرفتن این حقیقت که این رابطه حداقل در یک حالت درست نیست تأمل کنیم: هنگامی که R1 صفر است و پوسته‌ی کروی اکنون درواقع یک قَطره‌ی توپُرِ دارای سطحی کروی می‌باشد. در این حالت رابطه‌ی اخیر کمیّتی منفی برای γ به‌دست می‌دهد، و این به‌وضوح غیرِعقلانی است. اِشکال، ازجمله، ناشی از درنظر نگرفتنِ نیروی ناشی از فشار داخلِ مایع به‌عنوانِ یکی از نیروهای تعادلی می‌باشد.
از آنجا که در بسیاری از حباب‌ها R1 و R2 بسیار به یکدیگر نزدیکند آنها را تقریباً برابر با یکدیگر درنظر می‌گیریم و درنتیجه با فرضِ R1=R2=R رابطه‌ی اخیر به‌شکلِ γ=(p1-p2)R/4 ظاهر می‌شود که نتیجه‌ی
p1-p2=4γ/R
را به‌بار می‌آورد که از آنجا که از رابطه‌ی اصلی نتیجه شده است دارای همان تناقضِ عدمِ تواناییِ تعمیم یافتن به یک قطره‌ی توپُر می‌باشد. و تعجب‌آور این‌که به‌جای تلاش برای یافتنِ علتِ وجودیِ این تناقض به‌منظورِ رفعِ آن، از استدلالی کاملاً متفاوت برای حالتِ خاصِ یک قطره‌ی توپر استفاده می‌شود[1 و 2]! در این استدلال تنها سه نیروی وارد بر یک نیمه‌ی قطره درنظر گرفته می‌شود. با مراجعه به شکلِ 6 این نیروها عبارتند از: نیرویِ روبه‌راستِ وارد بر سطحِ جداییِ دو نیمه‌ی قطره ناشی از فشارِ داخلِ مایع، pi، که برابر است با pi(πR2) که در آن R شعاعِ کُره است، نیروی روبه‌چپِ وارد بر سطح کرویِ این نیمه ناشی از فشارِ گازِ خارج از مایع، p2، که برابر است با p2(πR2)، و نیروی روبه‌چپِ ناشی از کششِ سطحیِ سطح قطره که برابر است با 2πRγ. چون این نیمه درحال تعادل است پس:
pi(πR2)=p2(πR2)+2πRγ ⟹ pi-p2=2γ/R
معلوم نیست که درحالی‌که فشارِ داخلِ مایع در این استدلال می‌تواند نیرویی اِعمال کند که به‌عنوانِ یک نیرویِ تعادلی درنظر گرفته می‌شود، چرا در استدلالِ منجر به دو رابطه‌ی قبل نمی‌تواند چنین کند! این تناقضات اعتبار دو رابطه‌ی رایجِ اخیر را به‌طورِ جدی زیر سؤال می‌بَرَد.
 

نقشِ چسبندگی در تعدیل فشار
 

رشته‌ای از مولکول‌های یک مایع را که با اِعمالِ جاذبه‌ی بینِ مولکولی به‌یکدیگر پیوسته‌اند درحالی‌که دو مولکولِ انتهایی با اِعمالِ جاذبه‌ی بینِ مولکولی بر مولکول‌های دیوارهای یک ظرفِ ثابت شده به این دیوارها چسبیده‌اند درنظر گیرید. قسمتِ میانیِ این رشته بر اثرِ وزن مولکول‌ها به‌طرفِ پایین شکم می‌دهد. واضح است که اگر فاصله‌ی بین دیوارها افزایش یابد به‌علتِ کثرتِ بیشترِ مولکول‌ها در رشته که باعث افزایشِ وزن رشته می‌شود، رشته بیشتر شکم می‌دهد و باعث کاهشِ ارتفاع قسمتِ میانی‌اش می‌شود. (وضعیت شبیه کابل‌های حامل جریان برق است که در اثر وزنِ خود شکم می‌دهند.)
به‌علتِ جاذبه‌ی بین مولکولیِ بین مولکول‌های یک مایعِ واقعی، مایع تقریباً از ایده‌آل بودن خارج می‌شود و تقریباً حالتِ یک ماده‌ی ژله‌ای را به‌خود می‌گیرد، یعنی به‌علتِ جاذبه‌ی بینِ مولکول‌هایش تقریباً یک حالت پیوستگی می‌گیرد. (و درست همین حالت ژلاتینی باعث می‌شود که یک سوزنِ چربِ قرار گرفته روی سطح آب باعثِ تغییرِ فُرم سطح آب به‌گونه‌ای شود که بتواند آن‌را تحمل نماید، درست همانگونه که یک ژله با تغییرِ مناسبِ فُرمِ سطح خود می‌تواند وزنه‌ای قرار گرفته بر روی خود را تحمل کند. بنابراین لزومی به فرضِ غشایی الاستیکی ناشی از کشش سطحی واقع بر روی مایع (آبَکی) رقیقِ زیرِ غشاء، که با قرار دادنِ سوزن بر روی آن شکلِ آن به‌علتِ کشسانیِ آن و حالتِ آبَکی زیر آن تغییر می‌کند، نمی‌باشد.) این حالتِ پیوستگی همانی است که اخیراً به‌صورتِ رشته مولکول‌های پیوسته‌به‌یکدیگر درمورد آن صحبت شد. روشن است که اگر نیروی جاذبه‌ی بینِ مولکولی‌ای بین مایع و بدنه‌ی ظرف محتویِ مایع وجود داشته باشد این پیوستگی شامل بدنه هم خواهد شد یعنی وضعیت چنان خواهد بود که مقداری از وزن مایعِ ژلاتینیِ ما از دیوارهای ظرف آویزان خواهد بود، درست همانگونه که رشته‌های مورد بحث از بدنه آویزانند. این به‌این معناست که قسمتی از وزن مایع توسط دیواره‌های ظرف تحمل گشته و همه‌ی وزن مایع بر کفِ ظرف وارد نمی‌شود.
به‌این‌ترتیب نتیجه می‌گیریم که اولاً هرچه جاذبه‌ی بینِ مولکولی بینِ مایع و ظرف بیشتر باشد درصدِ بیشتری از وزن مایع توسط دیواره‌های ظرف تحمل می‌شود (توجه داشته باشید که این درصد توسط سراسرِ دیوارهای ظرف که در تماس با مایع هستند تحمل می‌شود نه فقط توسط مولکول‌های موجود در امتدادِ خط تماسِ سطح مایع با بدنه؛ می‌توان تصور کرد که مایع متشکل از رشته‌های زیادی مشابه با رشته‌های مورد بحث، که هر انتهایِ هرکدام به نقطه‌ای از بدنه چسبیده است، می‌باشد)، و ثانیاً با فرضِ این‌که ارتفاعِ مایع ثابت نگاه‌داشته شود هرچه قُطرِ ظرف بیشتر باشد درصدِ کمتری از وزنِ قسمت‌های میانیِ مایع توسطِ دیواره‌های ظرف تحمل می‌گردد (درست همانگونه که دیدیم که با طولانی شدنِ رشته، فاصله‌ی بین آن و کف کاهش می‌یابد). این به این معناست که باید انتظار داشته باشیم که هرچه نیروی چسبندگی بین مولکول‌های مایع و ظرف بیشتر باشد یا هرچه قطر ظرف کمتر باشد فشار مایع بر کفِ ظرف کمتر خواهد بود.

اثرِ وجودِ چسبندگی
 

در شکل 7(a) فرض کنید بدنه‌ی لوله‌ از چنان چنسی باشد که جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ بینِ یک مولکول از آن و یک مولکول از یک مایعِ داخلِ آن بسیار بیش از جاذبه‌ی بین مولکولیِ بینِ دو مولکول از مایع باشد.

به‌علاوه اجازه دهید که کفِ لوله از چنان جنسی باشد که جاذبه‌ی بینِ مولکولیِ بین یک مولکول از آن و یک مولکول از مایع درست برابر با جاذبه‌ی بینِ مولکولی بینِ دو مولکول از مایع باشد. به‌علاوه، فرض کنید بر دهانه‌ی فوقانیِ لوله، حلقه‌ای (نشان داده شده با O در شکل) از چنان جنسی که مولکول‌های آن اصلاً مولکول‌های مایع را جذب نمی‌کنند جوش خورده است. می‌خواهیم ببینیم شکلِ نهاییِ یک مقدارِ مشخص از مایعِ ریخته شده به داخلِ لوله چیست.
فرض کنید در لحظه‌ی نخست، مایع دارای شکلِ تراز نشان داده شده در 7(b) باشد. آن مولکول‌هایی از بدنه‌ی لوله که بلافاصله بالاتر از سطح تراز مایع در 7(b) قرار دارند نیروی جاذبه‌ی قویِ خود را بر مولکول‌های مجاور از سطح مایع اِعمال می‌کنند. چون این نیرو بسیار قوی‌تر از نیروی جاذبه بین مولکول‌های مایع است این مولکول‌ها به‌سمتِ دیواره‌ی لوله کشیده شده و شکل 7(c) را به‌بار می‌آورند. به‌علتِ جاذبه‌ی قوی (گرچه کوتاه‌بُردِ) بینِ مولکول‌های لوله و مایع، این روند ادامه می‌یابد تا شکلِ 7(f) به‌دست آید که در آن مولکول‌های مایع دیگر به‌سمتِ دیواره کشیده نمی‌شوند زیرا به حلقه‌ی O که اصلاً هیچ نیروی جاذبه‌ای بر مولکول‌های مایع وارد نمی‌آوَرَد رسیده‌اند. (مطمئناً اگر این حلقه وجود نداشته باشد مولکول‌های مایع به خارج از لوله کشیده خواهند شد. این همان پروسه‌ای است که برای هلیمِ مایع که جاذبه‌ی بین مولکولی بین مولکول‌های آن بسیار کمتر از جاذبه‌ی بین مولکولی بین مولکول‌های آن و ظرفش می‌باشد رخ می‌دهد.)
آنچه کاملاً واضح است و هیچ فیزیکدانی نمی‌تواند آن‌را انکار کند این است که در حالتِ نهایی که مایع به شکلِ 7(f) ثابت می‌مانَد فشار در کفِ لوله بسیار کمتر از فشار در کف است اگر قرار بود جاذبه‌ی بین مولکولی‌ای بین مایع و دیواره‌ی لوله وجود نداشته باشد (یا حداقل این جاذبه بسیار کمتر باشد). دلیلِ آن به‌روشنی این است که درصدِ بزرگی از وزن مایع به‌وسیله‌ی مولکول‌های دیوار لوله که مولکول‌های مایع را چسبیده به‌خود نگاه‌می‌دارند تحمل می‌شود (همچنانکه قبلاً گفتیم جاذبه‌ی بین مولکولی بین مولکول‌های مایع که باعث پیوستگیِ تقریبیِ مولکول‌های مایع می‌گردد باعث می‌شود که درصد بزرگی از وزن مایع از دیوار لوله آویزان یا درواقع به‌وسیله‌ی آن تحمل شود)، بنابراین وزن مایع دیگر تماماً بر کف لوله وارد نخواهد شد که این امر باعث کاهشِ زیادِ فشار در مقایسه با وقتی که جاذبه‌ی بین مولکولی‌ای بین مایع و بدنه وجود ندارد می‌شود. نکته‌ی دیگر این‌که همچنانکه قبلاً دیدیم و گفتیم این درصد از وزن مایع توسط همه‌ی مولکول‌های دیوار لوله که در تماس با مایع هستند تحمل می‌شود نه فقط توسط مولکول‌های موجود در امتدادِ خط تماسِ سطح مایع با دیوار لوله (که دایره‌ای زیر حلقه‌ی O می‌باشد).
البته موردِ شکلِ 7(f) موردی تقریباً ایده‌آل می‌باشد. برای یک موردِ معمول‌تر که در آن جاذبه‌ی بینِ مولکولی بین یک مولکولِ مایع و یک مولکولِ بدنه لزوماً خیلی بیش از جاذبه‌ی بین مولکولی بین دو مولکول مایع نباشد پروسه‌ی شکل اخیر روی مثلاً شکلِ 7(d) متوقف می‌شود زیرا اکنون جاذبه‌ی بین مولکولی بین مایع و بدنه تنها آن اندازه زیاد است که اجازه‌ی تحملِ وزنِ مایعِ چسبیده به دیواره‌ی لوله بیش از آنچه می‌توان در شکل 7(d) دید را ندهد. به‌هرحال واضح است که در حالتِ ثابتِ شکلِ 7(d) نیز، به‌ همان دلیلِ فوق‌الذکر، فشار در کف کمتر از آن‌چیزی است که اگر جاذبه‌ی بین مولکولی بین مایع و بدنه وجود نداشت می‌بود.
فاکتور دیگری وجود دارد که فشار در مایع را کاهش می‌دهد. این فاکتور، کاهشِ فشار چسبندگی در مایعِ شکل 7(d) (یا 7(f)) درقیاس با شکل 7(b) به‌علتِ افزایشِ سطح مایع است (توجه داشته باشید که همچنانکه تاکنون دیده‌ایم فشار چسبندگی در توده‌ای از مایع، با افزایشِ سطح آن کاهش می‌یابد).

اثرِ عدمِ وجودِ چسبندگی
 

حال لوله‌ای کاملاً مشابه با لوله‌ی شکل 7(a)، با این تنها تفاوت که دیوار آن از چنان جنسی باشد که اصلاً هیچ جاذبه‌ی بین مولکولی‌ای بین آن و مایعِ شکل 7 وجود نداشته باشد، را درنظر گیرید. اجازه دهید مایعی از همان نوعِ مایع شکل 7(b) را در آن بریزیم. واضح است که چون هیچ پیوند جاذبه‌ی بین مولکولی‌ای بین مایع و بدنه وجود ندارد سطح فوقانی مایع تا کفِ لوله به‌شکلِ یک سطح منحنیِ هموار ادامه می‌یابد: شکل 8(a) را ببینید.

این به‌معنای افزایش در فشار چسبندگی در مایع و بالتبع بر کفِ لوله است زیرا این فشار دیگر فقط ناشی از نیروی برایند جاذبه‌ی بین مولکولیِ روبه‌داخلِ وارد بر مولکول‌های سطح فوقانی (توسط مولکول‌های مجاور با این سطح) نیست بلکه ناشی از نیروی برایندِ جاذبه‌ی بین مولکولیِ روبه‌داخلِ وارد بر مولکول‌های سطح جانبیِ ستون مایع (توسط مولکول‌های مایعِ مجاور با این سطح) که پیوند جاذبه‌ای با بدنه ندارند نیز می‌باشد. پس در مقایسه با وقتی که جاذبه‌ی بین مولکولی بین مایع و بدنه وجود دارد فشار بر کف لوله افزایش می‌یابد.
موردِ فوق موردی تقریباً ایده‌آل است. در موردِ معمول‌ترِ شکل 8(b) که جاذبه‌ی بین مولکولیِ ضعیفی بین لوله و مایع وجود دارد نیروی برایند جاذبه‌ی بین مولکولیِ روبه‌خارجِ اِعمال شده بر مولکول‌های مایعِ مماس با دیوار لوله به‌وسیله‌ی مولکول‌های دیوار لوله‌ی مجاور با آنها آنقدر کمتر از نیروی برایند جاذبه‌ی بین مولکولیِ روبه‌داخلِ اِعمال شده بر این مولکول‌ها به‌وسیله‌ی مولکول‌های داخلیِ مجاور از مایع می‌باشد که همچنان فشار چسبندگیِ اضافی‌ای ناشی از این اختلاف موجود بین نیروهای برایند وارد بر مولکول‌های سطح جانبیِ مایع در داخل مایع احساس می‌شود. این فشار چسبندگی اضافی باعث می‌شود که فشار در داخل مایع و درنتیجه بر کفِ لوله بیش از وقتی باشد که نیروی جاذبه‌ی بین مولکولی بین مایع و بدنه به‌اندازه‌ی کافی بزرگ است.
فاکتور دیگری وجود دارد که فشار بر کفِ لوله را افزایش می‌دهد: به‌علتِ عدمِ وجود (یا ضعیف بودنِ) جاذبه‌ی بین مولکولی بین مایع و دیوار لوله در مقایسه با وقتی که این جاذبه به‌اندازه‌ی کافی قوی است دیگر هیچ درصدی از وزن ستون مایع توسط دیوار تحمل نمی‌شود و همه‌ی این وزن بر کفِ لوله وارد می‌شود که باعث افزایشِ فشار در مقایسه با وقتی می‌شود که مقداری از وزن توسط دیوار تحمل می‌شود.

لوله‌های موئینِ ته‌باز
 

فرض کنید که ارتفاع مایع در لوله‌های موئینِ شکل‌های 7(d) و 8(b) آن‌قدر زیاد است که در هر لوله فشار در تمام نقاطِ کفِ لوله یکسان است. اجازه دهید ظرفی بزرگ و عمیق را از همان نوع مایعِ موجود در این لوله‌ها پر کنیم. فهمیدیم که فشار در کف لوله‌ی شکل 7(d) کم و در کفِ لوله‌ی شکل 8(b) زیاد بود. دو نقطه‌ی a و b را در داخل مایعِ ظرف درنظر می‌گیریم به‌گونه‌ای که فشار در نقطه‌ی نخست (a) برابر با فشارِ مایع در کفِ لوله‌ی شکل 7(d) و در نقطه‌ی دوم (b) برابر با فشار مایع در کف لوله‌ی شکل 8(b) باشد. حال لوله‌های شکل 7(d) و 8(b) را به‌طورِ عمودی تاحدی که (سطح روییِ) کفِ نخستین لوله و نقطه‌ی a در یک تراز و نیز (سطح روییِ) کفِ دومین لوله و نقطه‌ی b در یک تراز واقع شوند در مایعِ ظرف فرو می‌بریم. واضح است که اگر در این حالت کف‌های این لوله‌ها را برداریم (و با این‌کار مایعِ لوله‌ها را به مایع ظرف متصل کنیم)، به‌علتِ برابری فشارهای داخلی و خارجی در دهانه‌های پدید آمده بر اثرِ برداشتنِ کف‌های لوله‌ها، ارتفاع و شکل سطح مایع در لوله‌ها اصلاً تغییر نخواهد کرد؛ شکل 9 را ببینید.

به سه نکته باید اشاره کنیم:
 

اولاً، استدلال‌هایی که تاکنون ارائه شد ایجاب می‌کند که شکل سطوحِ مایعِ تصاویرِ 7(d) و 8(b) همچنین به میزانِ مایعِ ریخته شده در این لوله‌های ته‌بسته بستگی داشته باشد زیرا درواقع همه‌ی مولکول‌های مایع و همه‌ی مولکول‌های آن قسمت از لوله که در تماس با مایع می‌باشد در شکل دادن به سطح مایع مؤثرند و با تغییر مقدار مایع این هردو عامل به‌روشی تغییر می‌کنند که به‌روشنی عدم تغییر سطحِ مایع را ایجاب نمی‌نمایند.
ثانیاً، اگر جاذبه‌ی بین مولکولی بین لوله و مایع در لوله‌ی ته‌بسته‌ی شکل 7(d) به آن اندازه زیاد باشد که اجازه دهد مقداری از وزن مایع به‌وسیله‌ی کفِ لوله تحمل شود (یعنی اگر لوله چندان زیاد موئینه نباشد)، واضح خواهد بود که هنگامی که در شکل 9 با برداشتن کفِ لوله در نقطه‌ی a در مایعِ ظرف تلاش می‌کنیم که ارتفاع و شکل سطح مایع در داخلِ لوله را حفظ کنیم انتهای پایینِ لوله (یا نقطه‌ی a) همیشه زیر سطحِ ترازِ مایع در ظرف خواهد بود. اصولاً انتظار نداریم که در لوله‌ای که به‌اندازه‌ی کافی قطور است (به‌گونه‌ای که مقداری از وزن مایع توسط کف آن تحمل شود) درصورتی‌که کفِ بازِ آن فقط در تماس با سطح مایع ظرف باشد اما اصلاً در آن فرو نرفته باشد، مایع، هرچقدر هم که جاذبه‌ی بین مولکولیِ بین بدنه‌ی لوله و مایع احتمالاً زیاد باشد، در لوله بالا رود، درحالی‌که انتظار داریم که اگر در این حالت لوله اندکی در مایعِ ظرف فرو رود مایع در ظرف بالا رود به‌گونه‌ای که سطح آن در لوله کمی بالاتر از سطح تراز مایع در ظرف باشد. این خاصیت از لوله‌های موئینه را بستگیِ ارتفاعِ صعود به عمق فرورفتگی می‌نامیم. (به عبارتی کاملاً ساده، و با قبولِ تقریبی دور، اگر فرض کنیم که درحالی‌که جاذبه‌ی بین مولکولیِ به‌اندازه‌ی کافی قوی‌ای بین بدنه‌ی لوله و مایع وجود دارد سطحِ مایع در لوله تقریباً تراز باشد (نه منحنی)، و به‌علاوه فرض کنیم که بدنه‌ی لوله فقط بتواند مثلاً نیمی از وزن مایعِ داخلِ لوله را تحمل کند، آنگاه واضح خواهد بود که اگر عمق فرورفتگیِ لوله در مایعِ ظرف h باشد ارتفاع صعود مایع به‌داخلِ لوله نسبت به انتهای پایینیِ لوله 2h خواهد بود.)
ثالثاً، واضح است که اگر ارتفاع مایع در لوله‌ی شکل 9(b) افزایش یابد، به‌علتِ افزایش در سطح جانبیِ ستون مایع در لوله که باعثِ افزایش در فشارِ چسبندگی (ناشی از جاذبه‌ی روبه‌داخلِ مولکول‌های مایعِ این سطح) می‌شود فشار در انتهای پایینیِ لوله افزایش خواهد یافت که باعث می‌شود ارتفاع مایع در لوله کاهش یابد؛ یعنی انتظار داریم که هرچه لوله‌ی موئینه بیشتر در مایع فرورود سطح مایع در لوله (نسبت به سطح تراز مایعِ ظرف) پایین‌تر قرار گیرد. این خاصیتِ لوله‌های موئینه را بستگیِ عمقِ سقوط به عمق فرورفتگی می‌نامیم.
دو خاصیتِ فوق‌الذکر لوله‌های موئینه به‌وسیله‌ی تئوری رایجِ کشش سطحی قابل پیش‌بینی نیست ولذا تأیید آزمایشگاهیِ وجودِ این دو خاصیت می‌تواند پشتیبانِ قوی‌ای برای نظریه‌ی ارائه شده در این مقاله باشد.

پی نوشت ها :
 

[1] فیزیک دانشگاهی، فرانسیس سرز و مارک زیمانسکی و هیو یانگ، ترجمه‌ی فضل‌اله فروتن، نشر علوم دانشگاهی
[2] مکانیک سیالات، ایروینگ ه. شیمز، ترجمه‌ی بهرام پوستی، نشر علم دانشگاهی
 

منبع: https://sites.google.com/site/essaysforrasekhoon/home/surfacetension.pdf
/ن