مترجم: حمید وثیق زاده انصاری
منبع:راسخون
منبع:راسخون
احتمال چیست؟
برخی از انواع ریاضیات به قدمت کلام مکتوب است. احتمالاً هندسه قدمت بیشتری دارد. ما دارای سوابق مکتوبی از فرهنگ‌هایی هستیم که در تاریخ جهان، زود ظهور کردند و در آنها می‌توانیم مسائل و راه‌حل‌های هندسه را بیابیم. دانشوران باستانی روی هندسه درحالی کار می‌کردند که حتی درحالِ توسعه‌ی سیستم نگارشی برای بیان بصیرت‌های هندسی خود بودند. همچنین می‌توانیم به فرهنگ‌هایی اشاره کنیم که هرگز زبان مکتوبی از خودشان را توسعه ندادند اما به توسعه‌ی علم حساب خود پرداختند. حداقل در بعضی فرهنگ‌ها، در میان سه علم، علم حساب قدیمی‌ترین است.علم حساب و هندسه شاخه‌هایی از دانش هستند که مربوط به نمودهای ادراک ما می‌شوند – عدد و شکل – که هر دو مجرد و قطعی می‌باشند. مثلاً، سه پرنده و سه کتاب هر دو بروزهای قطعی ایده‌ی مجرد عدد 3 می‌باشند. به‌طور مشابه، همه‌ی ما تشخیص می‌دهیم که توپ فوتبال و حباب دارای چیزی مشترک هستند: هردو بروزهای قطعی ایده‌ی مجرد کُره می‌باشند. این مشاهدات «ساده» توسط مردم بسیاری در فرهنگ‌های مختلف بسیاری در زمان‌های مختلف بسیاری در تاریخ ما به‌عمل آمده است. ممکن است اجداد ما تقریباً به‌محض آن‌که اصلاً شروع به تفکر کردند فکر درباره‌ی هندسه و علم حساب را آغاز کرده باشند.
احتمال، اینگونه نیست. برخلاف هندسه و علم حساب که منشأ آنها در زمان‌های ماقبل تاریخ قرار دارد نظریه‌ی احتمال، قیاساً یک کشف اخیر محسوب می‌شود. ما می‌دانیم که احتمال، به‌عنوان شاخه‌ای از ریاضیات، چه‌زمانی کشف شد. خاستگاه‌های نظریه‌ی احتمال را باید در رونسانس با کار Girolamo Cardano و بعداً Galileo Galilei جست، اما کار آنها اثر نافذ چندانی بر دیگرانی که بعداً آمدند نداشت. تحقیق احتمال به‌طور جدی با تبادل نامه‌های نگاشته شده توسط دو ریاضی‌دان فرانسوی، Pierre de Fermat و Blaise Pascal، شروع می‌شود. از آن موقع، ریاضی‌دانان درحال مطالعه‌ی احتمال بوده‌اند.
ممکن است اینگونه تصور شود که کشف شاخه‌ای جدید از ریاضیات به‌معنی حل معادله‌ای جدید و مشکل یا کشف یک شکل هندسی جدید و عجیب و غریب است. ولی برای احتمال، اینگونه نیست. بسیاری از حل‌ها برای مسائل مهم اولیه در تاریخ احتمال به ندرت با چیزی بیش از علم حساب ساده سروکار داشت. این بیان کننده‌ی این نیست که عیناً هرکسی می‌توانست این مسائل را حل کند. این مسائل «ساده» تعدادی از بهترین مغزهای روز را به مبارزه می‌طلبید زیرا علیرغم علم حساب اولیه‌ی درگیر در حل آنها، مفاهیمی که راه حل‌ها بر آنها استوار بودند نو و چالشی بودند.
علیرغم طبیعت چالشی موضوع، بسیاری از ریاضی‌دانان مطالعه‌ی احتمال را مفید یافته‌اند. درواقع از زمان کشف آن در کمتر از 500 سال قبل، احتمال به جلب نظر تعدادی از بهترین ریاضی‌دانان هر نسل ادامه داده است. قسمتی از جذابیت احتمال را می‌توان در مکاشفات جالب و شگفت انگبزی که با استفاده از این شاخه از ریاضیات به‌عمل آمده پی‌گیری کرد. غالباً این کشفیات انوار تازه‌ای بر پدیده‌های معمولی و مشهور تابانده است. برای بسیاری از ما این آن چیزی است که احتمال را چنین جالب و چالشی می‌سازد. نظریه‌ی احتمال ما را قادر می‌سازد در راه‌های جدید درباره‌ی جهان نگاه و فکر داشته باشیم.
هرچند نظریه‌ی احتمال یک شاخه‌ی نسبتاً جدیدِ ریاضیات است این شاخه اکنون یکی از پراستفاده و مفیدترین انتظام‌های ریاضی است. احتمال در فرهنگ ما ساری است. دلیلی برای اینکه احتمال ثابت کرده است که بسیار مفید است این است اجازه می‌دهد درباره‌ی شانس اتفاق یا عدم اتفاق یک حادثه بسیار ویژه‌گر باشیم. ما گرایش داریم درباره‌ی این نوع از حوادث به‌عنوان اتفاقی فکر کنیم، اما صفت اتفاقی غالباً به ما بیشتر درباره‌ی خودمان می‌گوید تا درباره‌ی حادثه‌ی واقعی.
برای دیدن این موضوع، نگاه به یک مثال ویژه کمک می‌کند. مثلاً مسئله‌ی پیش‌بینی وضع هوا را درنظر گیرید، کوششی که در آن تقریباً هر پیش‌بینی به زبان احتمال بیان می‌شود. وقتی یک هواشناس با یک شانس 80 درصدی، بارش باران برای فردا را پیش‌بینی می‌کند این نشان دهنده‌ی این نیست که هواشناس اعتقاد به «اتفاقی» بودن وضع هوا دارد. و نه به این معناست که توضیحی فیزیکی برای باران وجود ندارد یا اینکه قوانین علت و معلول برای وضع هوا کاربرد ندارد. این به این معناست که با فرض وجود حالت جاری نظریه‌ی هواشناسی و مجموعه‌ی جاری اندازه‌گیری‌های دردسترس از ماهواره‌ها و ایستگاه‌های هواشناسی، هنوز هواشناس دارای مقداری عدم اطمینان در مورد چگونگی هوای فردا می‌باشد. احتمالاً همان‌طور که فیزیک هوا بهتر فهمیده می‌شود و پایگاه های داده‌ی بهتری در دسترس قرار می‌گیرند عدم اطمینان هواشناس درباره‌ی هوای فردا کاهش خواهد یافت و روند پیش‌بینی وضع هوا بهبود خواهد یافت.
این، سؤالِ مربوط به اینکه چگونه پیش‌بینی هواشناس قابل ارزیابی است را همچنان باز می‌گذارد. مثلاً اگر هواشناس با یک شانس 80 درصدی پیش‌بینی باران کرد و باران نیامد آیا هواشناس اشتباه کرده است؟ یا دقیق‌تر بگوییم: آیا پیش‌بینی هواشناس دقیق نبوده است؟ ما تنها درصورتی که ثبت پیش‌بینی‌های هواشناس در یک بازه‌ی طولانی را بدانیم می‌توانیم به این سؤال جواب دهیم. اگر هواشناس دقیق باشد ما باید این را بیابیم که تقریباً در 80 درصد از روزهایی که با شانس 80 درصدی برای باران پیش‌بینی شدند باران باریده است. ولی اگر کشف کردیم که در 100 درصد یا در 60 درصد این روزها باران باریده است می‌فهمیم که پیش‌بینی 80 درصدی یک پیش‌بینی کاملاً دقیق نیست. نظریه‌ی احتمال ما را به چالش می‌کشد که از راه‌های جدیدی فکر کنیم و یاد گیریم.
با درنظر داشتن این مثال، بیایید ببینیم احتمال چگونه مورد استفاده قرار می‌گیرد. فرض کنید تلاش می‌کنیم که پروسه‌ای را بفهمیم، که ممکن است وضع آب و هوا یا هر چیز دیگر باشد. به‌طور ایده‌آل، دوست داریم که نتیجه‌ی پروسه را پیشگویی کنیم. لکن این امر همیشه ممکن نیست. ممکن است به حد کافی خوب پروسه را نفهمیم تا پیشگویی کنیم که چگونه ازکار درخواهد آمد. گرچه ممکن است به‌اندازه‌ی کافی ندانیم تا نتیجه‌ی دقیق را پیشگویی کنیم، بااین‌حال ممکن است قادر باشیم پی‌آمدهای ممکن پروسه را لیست کنیم. با رجوع به مثال هواشاسی‌امان، می‌توانستیم پی‌آمدهای ممکن را به‌عنوان عناصری از یک مجموعه، مثل {باران، عدم باران}، لیست کنیم. اگر می‌خواستیم بیشتر بدانیم، می‌توانستیم لیست پی‌آمدهای ممکن را جزئی‌تر کنیم. یک لیست جزئی‌تر آب و هوا می‌توانست مرکب از این پی‌آمدهای ممکن باشد: {باران با باد، باران بدون باد، باد بدون باران، نه باران نه باد}. لیستی که ما تهیه می‌کنیم به آنچه می‌دانیم بستگی دارد. آنچه از نقطه نظر احتمال مهم است این است که لیست ما یک لیست کامل باشد – یعنی اگر رویدادی از لیست رخ ندهد آنگاه رویداد دیگری از لیست حتماً رخ دهد. پس، یک هدف، تعیین احتمال هر رویداد در لیست است، اما غالباً برای بسیاری از مسائل عملی تحقق این هدف به‌تنهایی کفایت نمی‌کند. غالباً مهم است عواملی را تعیین کنیم که ارزیابی‌های احتمال ما به آنها بستگی دارند زیرا احتمالات تغییر می‌کنند. آنها انعکاس‌دهنده‌ی چیزی هستند که ما می‌دانیم. مثلاً شانس‌های بارش باران برای فردا، درصورتی که بدانیم در 100 مایلی غرب محل ما امروز باران باریده است، چقدرند؟ اطلاعات درباره‌ی احتمالات به ما اجازه‌ی پیشگویی مطمئن آنچه بعداً رخ خواهد داد را نمی‌دهد، اما این اجازه را به ما می‌دهد که تواتر رویداد یا رشته رویدادهایی را در یک بازه‌ی طولانی پیشگویی کنیم، و این توانایی می‌تواند خیلی مفید باشد.
ایده‌های موجود در نظریه‌ی احتمال غالباً ظریفند و حتی تا امروز به‌طور گسترده‌ای درک نشده‌اند. ولی گرچه ایده‌هایی که زمینه‌ی احتمال هستند تاحدی مبهمند، نتایج نظریه‌ی احتمال در سراسر جامعه‌ی ما مورد استفاده است. هنگامی که مهندسین، ایمنی یک رآکتور هسته‌ای را ارزیابی می‌کنند، آنها از نظریه‌ی احتمال، برای تعیین این امکان که مؤلفه‌ی بخصوصی بد عمل کند و این امکان که سیستم یا سیستم های پشتیبان نیز بد عمل کنند، استفاده می‌کنند. هنگامی که مهندسین، یک شبکه‌ی تلفنی را طراحی می‌کنند آنها از نظریه‌ی احتمال استفاده می‌کنند که تعیین کنند آیا ظرفیت شبکه به‌اندازه‌ی کافی زیاد هست که جواب‌گوی ترافیک مورد انتظار باشد یا نه. وقتی مقامات رسمی بهداشت و سلامت تصمیم می‌گیرند واکسنی را برای استفاده‌ی عمومی توصیه کنند (یا نکنند)، تصمیم آنها بر مبنای یک تحلیل احتمالاتی از خطراتی که واکسن روی افراد، علاوه بر ارزش آن در تأمین سلامت عمومی مردم، دارد نیز هست. نظریه‌ی احتمال نقشی اساسی در طراحی مهندسی، تحلیل ایمنی، و تصمیم‌گیری در سراسر فرهنگ ما بازی می‌کند.
در اینجا نظریه‌ی احتمال را ردیابی می‌کند. نگاهی به برخی از ایده‌های اصلی موضوع ونیز کسانی که آنها را کشف کردند خواهیم داشت. همچنین برخی کاربردهای نظریه را، که اهمیت خود را از نقطه نظر فن‌آوری و سلامت عمومی به اثبات رسانده‌اند، امتحان خواهیم کرد. آمار اما، نتیجه‌ی کم‌اهمیت‌تر نظریه‌ی احتمال است. به هر حال با تاریخ بعضی از اولین «مولدین رویداد اتفاقی» آغاز می‌کنیم.
ایده‌ی تصادف
برای بیشتر ما کلمه‌ی تصادفی قسمتی از صحبت روزانه‌امان است. احساس می‌کنیم گویا می‌دانیم تصادفی به چه معناست، اما ایده‌ی تصادف – رفتار تصادفی، پدیده‌های تصادفی، و نوسان‌های تصادفی – فرّار است. چگونه می‌توانیم الگوهای تصادفی خلق کنیم؟ چگونه می‌توانیم الگوهای تصادفی را هنگامی که با آنها مواجه می‌شویم تشخیص دهیم؟مهم در ایده‌ی تصادف ایده‌ی غیر قابل پیشگوئی بودن است. غالباً یک ایده‌ی تصادفی به‌عنوان ایده‌ای توصیف می‌شود که نمی‌تواند پیشگویی شود. لکن مشکل است نظریه‌ای – ریاضی یا چیز دیگر – بر اساس آنچه که چیزی آن نیست ساخت. به‌علاوه، این نوع تعریف غالباً کمتر در مورد الگو به ما می‌گوید تا در مورد خودمان. مثلاً یک توالی از اعداد ممکن است به‌نظر تصادفی برسد اما براساس مطالعه‌ی بیشتر ممکن است متوجه الگویی شویم که ما را قادر می‌سازد پیشگویی‌های بهتری در مورد اعداد آینده در توالی به‌عمل آوریم: الگو همان باقی می‌ماند اما دیگر آنچنانکه اول به‌نظر می‌رسید تصادفی نیست. آیا تصادف به‌سادگی در چشم ناظر قرار دارد؟
توافق عمومی روی تعریف تصادف وجود ندارد اما کوشش‌های چندی برای روشن ساختن طبیعت ریاضی تصادف وجود داشته است. یکی از مشهورترین تعریف‌های تصادف برحسب توالی تصادفی اعداد بیان می‌شود. تعریف دقیق بیشتر تکنیکی است، اما ایده نه. برای درک ایده‌ی پشت تعریف، توالی خیلی بلندی از اعداد را تصور کنید و تولید برنامه‌ای کامپیوتری برای توضیح این توالی را تصور کنید. اگر هر برنامه‌ی ممکنی که توالی اعداد را توضیح می‌دهد حداقل به بلندی خود توالی باشد، آنگاه توالی تصادفی است. مثلاً توالی‌ای را درنظر گیرید که با عدد 0 شروع می‌شود و عبارت است از 0ها و 1های یک در میان {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}. این توالی می‌تواند بی‌نهایت دراز باشد، اما می‌تواند در تنها چند لغت به‌دقت توضیح داده شود. (در واقع ما قبلاً آن‌را توضیح داده‌ایم.) نتیجه می‌گیریم که این توالی تصادفی نیست. حال فرض کنید که ما سکه‌ای پرت می‌کنیم و نتایج حاصل را به روش زیر ثبت می‌کنیم: هروقت «شیر» آمد عدد 1، و هروقت «خط» آمد عدد 0 را می‌نویسیم. اگر این کار را به دفعات زیاد انجام دهیم توالی خیلی بلندی ایجاد می‌کنیم. تنها راهی که می‌توانیم توالی کامل – سری دقیق از 1ها و 0های به‌دست آمده با پرتاب سکه – را ثبت کنیم این است که هر شماره را به‌ترتیبی که می‌آید ثبت کنیم. راهی وجود ندارد که تمام اطلاعات درمورد توالی را در یک توضیح کوتاه، آنچنانکه برای توالی {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}انجام دادیم، خلاصه کنیم. به‌علاوه، یک تحلیل دقیق از هر قسمت سری – به‌شرطی که سکه منصف باشد – ما را قادر نخواهد ساخت عناصر آینده‌ی سری را با دقتی بهتر از 50 درصد پیشگویی نماییم. این توالی تصادفی است. توالی‌های تصادفی خلاصه‌نشدنی‌اند.
نه هر ریاضی‌دانی موافق این تعریف از تصادف است و نه این تعریف از نقطه نظری منطقی رضایت‌بخش است. مشابه کاری که تعریف ساده‌تر که قبلاً داده شد انجام داد، این تعریف نیز تصادف، یا حداقل توالی‌های تصادفی، را برحسب آنچه آنها نیستند تعریف می‌کند: آنها خلاصه‌پذیر نیستند. اما با این وجود مشخصات مثبتی از این تعریف ریاضی‌تر وجود دارد. قسمتی از این جذابیتِ تعریف در این حقیقت نهفته است که محققین را قادر می‌سازد که درجه های تصادف را وارسی کنند. اگر توالی‌ای را بتوان تاحدی خلاصه کرد، آنگاه کمتر از آنچه در ابتدا به‌نظر می‌رسید تصادفی است. اگر این تعریف مدرن‌تر بهترین تعریف ممکن نباشد حداقل گامی در جهت درست است.
هرچند مفهوم تصادف را سخت می‌توان تعریف کرد، بااین‌حال ایده‌ای است که به راه‌های گوناگون راهش را به زندگی‌های روزانه‌ی ما باز کرده است. مثلاً اغلب بازی‌های تخته‌ای جدید برخی جنبه‌های تصادف را درخود جا می‌دهند. تاس یک گزینه‌ی معمول برای یک عامل تصادف‌ساز است، ابزاری که برای تولید یک توالی یا الگوی تصادفی مورد استفاده قرار می‌گیرد، زیرا اگوهای به‌دست آمده با ریختن تاس، به‌اندازه‌ی کافی پایدار هستند که کل جریان بازی را قابل پیش‌بینی سازند: ما نمی‌دانیم در پرتاب بعدی تاس چه شماره‌ای خواهد آمد، اما می‌دانیم در یک بازه‌ی طولانی، همه‌ی شماره‌ها با تواترهای قابل پیشگویی ظاهر خواهند شد. این نوع پایداری امکان این را فراهم می‌آورد که راهبرد بازی را معقولانه طرح‌ریزی نماییم.
کاربرد دیگر پروسه‌های تصادفی که مورد علاقه‌ی ماست استفاده از پروسه‌های تصادفی به‌عنوان کمکی در تصمیم‌گیری است. مثلاً تیم‌های ورزشی وقتی برای تعیین اینکه کدام تیم، اول توپ را دراختیار داشته باشد سکه می‌اندازند از پروسه‌ای تصادفی به‌عنوان کمکی در تصمیم‌گیری استفاده می‌کنند. دیگر استفاده‌های مشابه نیز معمولند. مثلاً در انتخاب بین دو شق متفاوت مثل رفتن به سینما یا رفتن به پارک، ممکن است به‌خوبی از یک سکه استفاده کنیم: «شیر آمد به سینما می‌رویم؛ خط آمد به پارک می‌رویم.» انداختن سکه غالباً به عنوان روشی برای تصمیم‌گیری بی‌طرفانه بین دو شق رقیب ملاحظه می‌شود. در سطحی پیچیده‌تر، برنامه‌های کامپیوتری گاهی یک مولد اعداد تصادفی – برنامه‌ای ثانوی که برای انتخاب یک عدد «تصادفی» از مجموعه‌ای ازپیش تعیین شده طراحی شده است - را در برنامه‌ی اصلی جا می‌دهند به‌گونه‌ای که کامپیوتر بتواند محاسبه‌های معینی را بدون ارائه‌ی هیچ سمت‌گیری انجام دهد. «بی‌طرفی» یک کلید است: سکه‌ها، تاس‌ها، کارت‌ها، و مولدهای عدد تصادفی معمولاً به‌عنوان ابزاری که اعداد را بدون قابلیت پیشگویی و بدون سمت‌گیری تولید می‌کنند تلقی می‌شوند.
البته جادادن تصادف در فعالیت‌های تفریحی و پروسه‌های تصمیم سازی، جدید نیست، اما به طرق زیادی تعبیرها و انتظارهایی که ما درباره‌ی پروسه‌ها داریم جدیدند. شواهد وسیعی وجود دارد که اولیه‌ای‌ترین تمدن‌ها از پروسه‌های تصادفی درست به همان طریقی که ما استفاده می‌کنیم استفاده می‌کردند، اما انتظارهای آنان کاملاً با مال ما کاملاً متفاوت بود. درواقع، در بسیاری موارد، آنها به‌طور همزمان از پروسه‌های تصادفی حتی هنگامی‌که وجود تصادف را انکار می‌کردند استفاده می‌کردند.
تصادف قبل از نظریه‌ی احتمال
تحقیق برای الگوهای تصادفی چندساله است؟ باستان‌شناسان مصنوعات ماقبل تاریخی یافته‌اند که به‌نظر می‌رسد گویا می‌توانسته‌اند به‌همان طریقی که ما امروزه تاس را به‌کار می‌بریم مورد استفاده بوده باشند. تکه‌های استخوان و سنگ‌های به‌دقت علامت‌گذاری شده که در پایگاه‌های ماقبل تاریخ از زیر خاک درآورده شده‌اند به‌وضوح مصنوع هستند یا حداقل برای هدفی کنار گذاشته شده بودند. از قرار معلوم این اشیاء برای استفاده‌کننده دارای معنا بوده‌اند، و آنها به اشیائی شباهت دارند که بعداً در بازی‌های تخته‌ای به‌وسیله‌ی مثلاً مصریان باستان استفاده می‌شدند. لیکن تفسیر این شاهد مشکل است. بدون ثبتی مکتوب مشکل است بدانیم که مصنوعات باستانی چه معنایی برای استفاده‌کننده داشته‌اند.یکی از اولیه‌ای‌ترین ابزارها برای تولید الگوهای تصادفی که برای آن شواهد مستقیمی وجود دارد استخوان کعب است، که استخوانی است که در پاشنه‌ی پای آهوی کوهی، گوسفند، سگ، و دیگر پستانداران پیدا می‌شود. هنگامی که استخوان کعب پرت شود می‌تواند بر روی هر یک از چهار وجهِ سهل‌التشخیص آن فرود آید. استخوان‌های کعب فراوانی در پایگاه‌های ماقبل تاریخ پیدا شده‌اند، و اطمینان وجود دارد که از آنها در مصر قدیم 5000 سال پیش در بازی‌های شانس استفاده می‌شده است. تصاویری از مصریان در حال پرت استخوان‌های کعب در حال انجام بازی‌های تخته‌ای وجود دارد. متأسفانه تنها مدرک ثبت شده از این بازی‌های اولیه، تصویری است. نمی‌دانیم این بازی چگونه انجام می‌شده است یا چگونه الگوهای ایجاد شده با پرتاب استخوان‌های کعب تفسیر می‌شده است.
اولیه‌ای‌ترین بازی شانسی که به‌اندازه‌ی کافی خوب می‌فهمیم که خودمان بازی کنیم بازی‌ای از بین‌النهرین است. تمدن بین‌النهرین در داخل جایی که اکنون عراق است واقع شده بود. این تمدن یکی از قدیمی‌ترین، شاید قدیمی‌ترین، تمدن باسواد در تاریخ است. قدیمی‌ترین مدارک ثبت شده‌ی مکتوبی که از این فرهنگ داریم حدوداً 5000 ساله‌اند. بابل مشهورترین شهر در بین‌النهرین بود، و شهر مهم دیگر اور بود. هنگام حفاری قبور در اور درخلال اوایل قرن 20، باستان‌شناسان یک بازی تخته‌ای کشف کردند که با استفاده‌کننده‌اش دفن شده بود. بازی تخته‌ای، که با زیبایی و مهارت ساخته شده، تقریباً 4500 ساله است. می‌توانیم به اینکه این یک بازی تخته‌ای است اطمینان داشته باشیم – ما حتی قواعد بازی را هم می‌دانیم – زیرا ارجاع‌های باستانی به بازی نیز از زیر خاک درآمده‌اند. این بازی، بازیِ 20 مربع خوانده می‌شود. توسط دو نفر بازی می‌شود که هرکدام بر ترکیبی از شانس و کمی استراتژی برای برد متکی می‌باشند. قسمت شانس با تاس سروکار دارد که تعیین می‌کند هر بازیکن مهره‌ی خود را چند مربع می‌تواند حرکت دهد. قسمت مهارت با انتخاب اینکه کدام مهره حرکت داده شود سروکار دارد. (می‌توانید این باستانی‌ترین بازی تخته‌ای شناخته شده را روی وِب‌سایت موزه‌ی بریتانیا به آدرسِ http://www.mesopotamia.co.uk/tombs/challenge/ch_set.html بازی کنید. آنها آن را بازی سلطنتی اور می‌نامند.) آنچه برای ما مهم است این است که بازی به‌طریقی کمابیش تصادفی پیش می‌رود، زیرا تعداد جاهایی که بازیکن می‌تواند بپرد با پرتاب مجموعه‌ای تاس تعیین می‌شود.
بازی 20 مربع برای هزاران سال در پهنه‌ی وسیعی از جهان، شامل مصر و هند و نیز بین‌النهرین، بازی می‌شده است. یکی از موفق‌ترین بازی‌های تخته‌ایِ همه‌ی زمان‌ها بوده است، اما الهام‌بخش یک نظریه‌ی احتمال نگشت. نشانه‌ای دال بر اینکه کسی تلاش کرده باشد استراتژی بهینه‌ای برای برنده شدن در بازی براساس احتمالِ نتیجه‌های معینِ تاس تدبیر کرده باشد وجود ندارد.
دوهزار و پانصد سال بعد از اختراع بازی 20 مربع، فرهنگ بین‌النهرین روبه‌افول بود. فرهنگ مسلط در منطقه، از آنِ روم بود، و ساکنان روم باستان عاشق قمار بودند. قمار، یا قماربازی، را می‌توان همان بازی تخته‌ای منهای تخته توصیف کرد. مهرت به‌عنوان یک عامل، ارتقاء داده شد، و شرکت کنندگان به‌راحتی روی پی‌آمد پرتاب شرط می‌بستند.
اما قمار، در آن زمان مشابه اکنون، مشکلات اجتماعی زیادی را به‌همراه داشت، و رومی‌ها قوانین سختی داشتند که قماربازی را به تعطیلات معینی محدود می‌کرد. این قوانین به‌طور گسترده‌ای نادیده گرفته می‌شد، و امپراطورها بعضی از بدترین متخلفان بودند. امپراطور آگوستس (63 B.C.E-A.D. 14) و امپراطور ویتلیوس (A.D. 15-69) به‌عنوان قماربازان قهار مشهورند. آنها از تماشای الگوهای تصادفی ظاهر شده در هنگامی که استخوان‌های کعب خود را دوباره و دوباره پرت می‌کردند لذت می‌بردند – به‌عنوان ابزاری برای ایجاد الگوهای تصادفی، استفاده از استخوان‌های کعب همه‌گیرتر از استفاده از تاس بود – و از هلهله در هنگامی که الگوها به‌طریق مطلوبشان پیش می رفت لذت می‌بردند.
قواعد بازی‌ها به‌اندازه‌ی کافی ساده بود. یک بازی عامه‌پسند با «پرتاب» چند استخوان کعب سروکار داشت. وقتی بازیکنی الگوی بدشانسی را پرت می‌کرد در داخل گلدان پول می‌گذاشت. الگوی بدشانس با اضافه کردن پول هر بازیکن به گلدان ادامه می‌یافت تا اینکه باریکنی یک ترکیب «خوش‌شانس» از استخوان‌های کعب پرت می‌کرد که در آن موقع همه‌ی پول‌های داخل گلدان را برنده می‌شد، و بعد از آن بازی مجدداً آغاز می‌شد. به‌نظر نمی‌رسد رومی‌ها علاقه‌مند به فکر درباره‌ی تصادف در سطحی عمیق‌تر بوده باشند هرچند فرصت‌های فراوانی برای این کار داشتند. در گزیده‌ی زیر از نامه‌ای که امپراطور آگوستوس به یکی از دوستانش فرستاد او شرح می‌دهد که چگونه روز یک جشنواره را می‌گذراند:
تیبریوس عزیزم، ما Quinquatria را با شادی فراوان گذراندیم، یرای اینکه تمام طول روز را بازی کردیم و بازی تخته را گرم نگه‌داشتیم. برادرت دادوبیداد زیادی درمورد شانسش راه انداخت، اما نهایتاً در دور بلند خیلی عقب نیافتاد برای اینکه بعد از باختی سنگین، به‌طور غیرمنتظره و کم‌کم مبلغ زیادی را مجدداً به خود برگرداند. درمورد خودم باید بگویم بیست هزار sesterce باختم اما فقط به این خاطر که مطابق معمول در بازی‌ام بدجوری بخشنده بودم. اگر از هرکسی شرط‌هایی را که باختم مطالبه کرده بودم، یا آنچه از دست دادم را نگاه داشته بودم، می‌توانستم پنجاه هزار تای تمامی برده باشم. اما من این طور بیشتر دوست دارم، برای اینکه سخاوت من مرا تا جلالی جاویدان بلند می‌کند.
(Suetonius, Suetonius, trans. J. C. Rolfe [Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1913])
روشن است که این نامه‌ای از کسی است که از قمار چیزی بیش از وقتی خوش و جلالی جاویدان انتظار ندارد. این گرایشی نوعی در آن زمان بود.
در زمان‌های باستان، از استخوان کعب، تاس، قرعه‌کشی، و دیگر عوامل تصادف‌ساز برای کمک به تصمیم سازی نیز استفاده می‌شد. لیستی از اقدام‌های ممکن مهیا می‌گشت و به هر اقدام، عدد یا الگویی اختصاص داده می‌شد؛ آنگاه تاس‌ها یا استخوان‌های کعب پرت می‌شدند و نتایج یادداشت می‌شد. مسیر انتخاب شده‌ی اقدام به‌وسیله‌ی الگویی که ظاهر می‌شد تعیین می‌گردید. این نوع تصمیم سازی غالباً در پیوند با کنش‌های مذهبی بود زیرا شرکت کنندگان، نتیجه را به‌عنوان بیانی از مشیت الهی می‌دیدند. با استفاده از آنچه می‌شد یک عامل تصادف‌ساز بخوانیمش، سائل کنترل موقعیت را رها و تصمیم را به خدایش تفویض می‌کرد، تفسیری از طرزی از تصمیم‌سازی که محدود به عهد عتیق نیست. امروزه مردم زیادی وجود دارند که به این اعتقاد ادامه می‌دهند که آنچه غالباً به‌عنوان کنش‌های تصادفی توصیف می‌شود درحقیقت بیان‌های خواست الهی هستند.
گرچه موارد زیادی از تفسیر یک پی‌آمد تصادفی به‌عنوان خواست خدا در عهد عتیق وجود دارد، بیان صریحی از این ایده بیش از یک نظر قانونی مکتوب در محاکمه‌ی جنائی قرن نوزده U.S. v. Holhes (1842)، که به‌شدت تبلیغاتی شد، وجود ندارد. قاضی‌ای که نظر را نوشت یک قاضی دادگاه عالی بود، هِنری بالدوین. او هنگامی که این مورد را شنید علی‌البدل یک قاضی محکمه‌ی فیلادلفیا بود. حقایق به شرح زیرند:
یک کشتی به نام ویلیام براون هنگامی که با یک کوه یخ شناور برخورد پیدا می‌کند درحال حمل 80 مسافر در عرض اقیانوس اطلس شمالی بوده است. بر روی کشتی دو فایق وجود داشت که می‌توانست به‌عنوان قایق نجات مورد استفاده قرار گیرد. یک قایق بسیار کوچک‌تر از دیگری بود. ویلیام براون با 30 مسافر که بیشتر بچه بودند غرق شد. بعد از مقداری این سو و آن سو حرکت کردن اولیه، قایق کوچک، که مجهز به پارو و بادبان بود، هشت مسافر شامل ناخدا را حمل کرد. قایق بزرگ‌تر، که طول آن تنها 22 فوت بود، 42 مسافر شامل چند خدمه‌ی کشتی و افسر کشتی را حمل کرد. قایق بزرگ‌تر بیش از حد بار شده بود و درحال نشت آب بود و خیلی نسبت به سطح آب پایین رفته بود. مسافران باید مداوماً با سطل آب را خالی می‌کردند تا مانع غرق قایق شوند. قایق بادبانی نداشت و به هر رو بیش از حد سنگین‌بار شده بود که کاری جز دستخوش شناوری بتواند انجام دهد. قایق کوچک‌تر به سمت کانادا روان شد، که در آنجا توسط یک شناور ماهیگیری کانادایی نجات یافت. بعد از اینکه قایق بزرگ‌تر برای حدود یک رو.ز بدون کنترل روی آب‌های آزاد شناور بود بار به‌پا خاست. امواج مقدار زیادی آب وارد قایق می‌کرد گرچه مسافران با تعجیل و دست‌پاچگی با سطل آب را بیرون می‌ریختند. افسر کشتی به خدمه دستور داد که قایق را سبک کنند. دو ملوان تعدادی از مسافران را به دریا پرت کردند و آنها زود غرق شدند. به این طریق خدمه سطح قایق را به اندازه‌ی کافی بالا آوردند که بتواند بر امواج سوار شود. این عمل جان خدمه و بقیه‌ی مسافران را نجات داد. قایق بدون کنترل روی آب به سمت شرق روان شد و نهایتاً توسط یک کشتی فرانسوی نجات یافت و به یک بندر فرانسوی برده شد.
بعداً، وقتی که نجات یافتگان به فیلادلفیا رسیدند، به حمایت از تعقیب قانونی ملوانان برای قتل صحبت کردند. از بدشانسی هولمز، یکی از ملوانان درگیر در پرتاب مسافران به دریا، بود که تنها ملوانی بود که اولیای امور توانستند جای او را بیابند. هیأت عالی منصفه اتهام او برای قتل را رد کرد بنابراین او متهم شد به قتل طراحی نشده‌ی اختیاری. پس از کش و واکش‌های زیاد، هولمز به شش ماه زندان و یک جریمه‌ی 20 دلاری محکوم شد. (او محکومیت زندان را گذراند اما جریمه را نپرداخت زیرا مشمول عفو رئیس جمهور جان تیلور شد.) قاضی‌ای که ریاست دادگاه را به‌عهده داشت، هِنری بالدوین قاضی دادگاه عالی، در توضیح تصمیم دادگاه، در قسمتی نوشت:
«باید رایزنی وجود می‌داشت، و طریقه‌ی گزینشی استوار می‌شد که به‌وسیله‌ی آن آنهایی که در ارتباط یکسان هستند شانس مساوی برای زندگی‌اشان می‌داشتند ... وقتی یک قربانی انسانی برای فرونشاندن گرسنگی دیگران لازم است، انتخاب به‌وسیله‌ی قرعه است. این منصفانه‌ترین روش جهت تشبث است، و به نوعی درخواستی از خدا برای انتخاب قربانی است.»
تأکید از ماست. این فکر بالدوین قاضی بود که ملوانان، به جز آنهایی که وظایف کشتیرانی‌اشان وجود آنها را ناگزیر می‌ساخت، باید در همان ریسک مسافران برای پرت شدن به دریا قرار می‌داشتند. او اعتقاد داشت که اشتباه آنان در قرار دادن خود فوق مسافران بود. مشابه مسافران، ملوانان باید موضوع یک روند شانس می‌بودند که نتیجه‌ی آن تعیین می‌کرد چه کسی به دریا پرتاب شود. در جمله‌ای که اتخاذ سند شد می‌توانیم ببینیم چگونه بالدوین قاضی تصادف را فرصتی برای پادرمیانی خدا می‌بیند.
مشکلات اولیه در توسعه‌ی یک نظریه‌ی تصادف
روشن است که، درست همان‌گونه که امروزه نیز چنین است، عوامل تصادف‌ساز قسمت مهمی از جوامع باستانی بودند. علیرغم این موضوع، جوامع باستانی هیچ نظریه‌ی تصادفی را توسعه ندادند. در هیچ جامعه‌ی باستانی چیزی در رابطه با نظریه‌ی احتمال وجود ندارد. این به این علت نیست که مردم عهد باستان در ریاضیات خبره نبودند. بسیاری از آنها بودند. به‌علاوه، بسیاری از مسائل اولیه در نظریه‌ی احتمال از نظر ریاضی مشکل نبود و به‌خوبی در سطح ریاضی‌دانانی بود که در چین، هند، بین‌النهرین، یونان، و چندین جای دیگر زندگی می‌کردند. پس چرا توسعه‌ی نظریه‌ی احتمال تا قرن 16 به تأخیر افتاد؟اولین مانع در راه پیشرفت توسعه‌ی یک نظریه‌ی احتمال اساساً تکنیکی بود. در روزگار باستان، عامل تصادف‌ساز اصلی غالباً استخوان کعب بود، و ساختمان استخوان‌های کعب قطعاً غیریکنواخت است. یک استخوان کعب شکلی بی‌قاعده دارد. مهم‌تر اینکه شکل و توزیع وزن یک استخوان کعب بسیار وابسته به سن و گونه‌ی حیوانی است که استخوان از او به‌دست آمده است. تبعاً، تواتر پی‌آمدهای متنوع بستگی دارد به استخوان‌های کعب به‌خصوصِ مورد استفاده. تغییر استخوان‌های کعب در میانه‌ی بازی برابر است با تغییر بازی، زیرا این تغییر همچنین تواتر پی‌آمدهای متنوع را تغییر می‌دهد. توسعه‌ی داده‌های یکنواخت (یا یک نظریه‌ی یکنواخت) برای استخوان‌های کعب به همان روشی که برای تاس‌های مدرن می‌توان انجام داد امکان ندارد. این حقیقت که استخوان‌های کعب یکنواخت نبودند احتمالاً مانع توسعه‌ی یک نظریه‌ی تصادف براساس استفاده‌ی آنها می‌شد. این مطمئناً فایده‌ی چنین نظریه‌ای را محدود می‌کرد. (شایسته است این نیز گفته شود که آنچه در مورد استخوان‌های کعب گفته شد را می‌توان در مورد بسیاری از تاس‌های اولیه نیز گفت. این تاس‌ها نه دقیقاً مکعبی بودند نه همواره دارای توزیع یکنواخت وزن بودند. هیچ‌کس از چنین تاس‌های نامتقارنی امروزه استفاده نمی‌کند، اما زمانی استفاده از آنها معمول بود.)
دربرابر این عوامل تصادف‌ساز اولیه، تاس‌های مدرن دارای ساختمانی یکنواختند: یک تاسِ خوش‌ساخت یک مکعب است و وزن آن به‌طور هموار در سراسر آن توزیع شده است، و درنتیجه هرکدام از چنین تاس‌هایی به اندازه ی دیگری محتمل است که بر یک وجه فرود آید. این به‌اصطلاح یک تاس بی‌طرف است. روی بازه‌ای طولانی، تواترهای همه‌ی پی‌آمدهای به‌دست آمده با انداختن هر کدام از چنین تاس‌هایی یکسان است. این نوع پایداری امکان مقایسه‌ی یک مجموعه‌ی منفرد از پیش‌بینی‌های نظری تواترها با داده‌های تجربی به‌دست آمده از هر تاسی را ممکن می‌سازد زیرا آنچه برای یک تاس مدرن درست است برای همه‌ی تاس‌های مدرن درست خواهد بود. وجود تقریب‌های خوب به تاس «بی‌طرف» ایده‌آل فرق بزرگی را ایجاد کرد. تقریب‌های خوب، یک نمایندگی فیزیکی دقیق از یک مفهوم ایده‌آل را فراهم نمود. همان‌طور که تاس‌های خوش‌ساخت جایگزین استخوان‌های کعب می‌شد، و همان‌طور که کارت‌های خوش‌ساخت بیش از پیش قابل تهیه می‌شد، توسعه‌ی یک نظریه‌ی تصادف براساس عامل‌های تصادف‌ساز خوب فهمیده شده‌ی «بی‌طرف» ممکن می‌گشت. علاوه براین، علاقه‌مندی زیادی به چنین نظریه‌ای بین قماربازان و دیگران برای کاربردپذیری احتمالی آن وجود داشت.
یک مانع اساسی‌تر دوم در راه توسعه‌ی احتمال، تفاوت بین ادراک‌های باستانی و مدرن درباره‌ی استفاده از پروسه‌های تصادفی به‌عنوان کمکی در تصمیم‌سازی بود. چنان‌که در بخش نخست این فصل تذکر داده شد، هنگامی که سکه‌ای برای اتخاذ تصمیم بین دو شق مختلف پرت می‌کنیم، غالباً در حال استمداد از یک پروسه‌ی تصادفی و بی‌طرف هستیم. به‌سادگی ما درحال جستجوی وسیله‌ای برای تشخیص بین شق‌های رقیب در زمانی هستیم هیچ‌کدام از شق‌ها طرفداری نمی‌شوند. ممکن است به‌نظر برسد که استفاده از عوامل تصادف‌ساز به‌وسیله‌ی مردم عهد باستان – و نوع پروسه‌ی اننخابی مورد طرفداری بالدوین قاضی در U.S. v Holmes – مشابه است با تصور مدرن‌تر چنین عواملی، اما این مشابهت تنها صوری است. اگر کسی اینگونه درک کند که پی‌آمدهای تصادفی واقعاً بیان‌های خواست الهی هستند، آنگاه به‌درستی اعتقاد ندارد که اصلاً کنش‌ها تصادفی باشند. این، نسبت به تفاوت‌های تکنیکی بین تاس‌های یکنواخت و استخوان‌های کعب غیر یکنواخت، مانع ژرف‌تری برای توسعه‌ی یک نظریه‌ی احتمال می‌باشد، زیرا این یک مانع ادراکی است. با فهم قدیمی‌تر وقایع تصادفی به‌عنوان بیان‌هایی از خواست الهی احتیاجی به جستجو برای تواترهای پایدار وجود ندارد؛ آنها معنی‌ای ندارند. مهم نیست که داده‌های گذشته چه نشان می‌دهد، تواترهای آینده می‌تواند همواره تغییر کند، زیرا هر پی‌آمدی بازتابی از تصمیمات هوشیارانه‌ی به‌عمل آمده توسط یک موجود هوشمند است.
این ایده که یک پروسه‌ی تصادفی، تصادفی نیست بلکه درعوض موضوع دستکاری خدا یا حتی«چیره‌دستان» است ثابت کرده است که ایده‌ای سفت و مقاوم است. هنگامی که ریاضی‌دانان شروع به رد ایده‌های پادرمیانی الهی و شانس – که در ابتدا این رد خیلی غیر مطمئن بود – کردند نظریه‌ی احتمال شروع به توسعه کرد. انتقال به سمت نوعی جدید از استدلال – ادراکی جدید از پدیده‌های غیر قابل پیشگویی – در قرن 16 ایتالیا با کار گیرولامو کاردانو شروع به رخ دادن کرد.
تصادف و مذهب امروز در بورکینا فاسو
امروزه، در کشور بورکینا فاسو، که در افریقای غربی قرار دارد، گروهی از مردم به‌نام لوبی زندگی می‌کنند. (بورکینا فاسو به معنی «سرزمین مردم درستکار» است.) عقاید سنتی لوبی دایر بر این است که بعضی مردها و کمی از زن‌ها می‌توانند با مخلوقات مرموزی به نام ثیلا مراوده داشته باشند. این افراد «خداگر» هستند. لوبی‌ها با ثیلا در تنوع وسیعی از موضوعات مشورت می‌کنند، اما گفتگو با ثیلا تنها با کمک یک خداگر می‌تواند صورت گیرد. نقش خداگر در جامعه‌ی لوبی خیلی جالب و به طرقی الهام‌بخش است، اما از نقطه نظر ما روشی است که با آن خداگر با ثیلا مراوده می‌کند که قابل توجه است. در نقطه‌ی معینی در مراسم، خداگر سؤالاتی از یک ثیلای خاص می‌پرسد به‌گونه‌ای که خداگر بتواند مطمئن شود که به نحو صحیح خدایی شده است. اگر بخواهیم می‌توانیم روند وارسی خداگر را برحسب الگوهای تصادفی درک کنیم. خداگر از صدف‌ها برای تشکیل یک الگوی تصادفی استفاده می‌کند. هر صدف یک طرف تخت و باز و یک طرف خمیده و بسته دارد، بنابراین یک صدف درحالی می‌تواند فرود آید که یا طرف تخت یا طرف خمیده بالا باشد. امکان دیگری وجود ندارد. خداگر دو یا تعداد بیشتری صدف پرت می‌کند. اگر یک صدف درحالی که طرف تخت بالاست فرود آید و همه‌ی دیگر صدف‌ها درحالی که طرف خمیده بالاست فرود آیند، این الگو به‌عنوان یک جواب مثبت به‌وسیله‌ی ثیلا تفسیر می‌شود. هر پیکربندی دیگری از صدف‌های پرت شده به‌عنوان یک نه از ثیلا تلقی می‌شود. این، مثال خوبی از این است که چگونه چیزی که می‌توانیم به‌عنوان یک الگوی تصادفی ملاحظه کنیم به‌وسیله‌ی دیگران اصلاً تصادفی تفسیر نمی‌شود. درعوض، تصادف عبارت از فرصتی برای یک خداست که مستقیماً با یک خداگر مراوده برقرار کند.طبیعت شانس
ریاضی‌دان ایتالیایی گیرولامو کاردانو (76-1501)، که به جرمو کاردان نیز شهرت دارد، اول کسی است که به طریقی تاحدی مدرن درباره‌ی احنمالات پرتاب تاس نوشت. علاقه‌ی او به پرتاب تاس قابل درک است. او عاشق قمار بود. او عاشق بازی شطرنج و شرطبندی روی نتیجه بود. او همچنین یک فیزیکدان برجسته و نیز یک ریاضی‌دان، منجم، و یک دانشمند بود. او درخلال رونسانس در ایتالیا زندگی می‌کرد و در گسترش دانش در تنوعی از رشته‌ها مشارکت داشت. کاردانو یک مرد رونسانس بود – زیرک، با اعتماد به نفس، و به خود مجذوب. او بسیار در باره‌ی خود می‌نوشت، و از توصیف و تمجید موفقیت‌هایش لذت می‌برد. (با مطالعه‌ی گذشته، روشن است که گاهی او اعتبار ایده‌هایی را ادعا می‌کرد که تماماً از آنِ او نبودند.)امور بر گیرولامو کاردانو راحت نمی‌گذشت. او می‌خواست در کالج فیزیکدانان در میلان پذیرفته شود اما دوبار رد شد. او در سومین تلاش خود موفق شد. پروسه‌ی کسب پذیرش در کالج سال‌ها طول کشید، اما کارداندو کسی نبود که به‌راحتی مأیوس شود. او به خودش، و با دلیل خوبی اعتقاد داشت. عاقبت او یک فیزیکدان مشهور و بسیار وجیه‌المله شد.
امروز کاردانو بیشتر به‌عنوان ریاضی‌دان و مؤلف کتاب Ars Magna ، کتابی در جبر که هنوز بیش از 400 سال از اولین انتشارش زیر چاپ است، به‌یاد می‌آید. بعضی ادعا می‌کنند که کتاب کاردانو شروع عصر جدید در ریاضیات بود. این کتاب مطمئناً تأثیر بزرگی بر معاصرین کادانو داشت. اما کاردانو کتاب‌های زیادی در موضوعات مختلف، شامل شطرنج و تاس، دو بازی‌ای که ظاهراً او پول فراوانی در آنها باخته است، نوشت. اینکه او مشکل قمار داشت روشن است. در داستانی او با افتخار تعریف می‌کند که چگونه باخت‌هایش را جبران کرد: «پس نتیجه این بود که در بیست بازی، من لباس‌ها، انگشتری‌ها، و یک گردن‌بند بچه‌گانه‌ام را دوباره به‌دست آوردم» (استفاده شده با کسب اجازه,Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1953. دانشور قماربازOre, Oystein, Cardano, ). برخی از آنچه او، به‌ویژه، درباره‌ی شانس نوشت حتی در زمان او جدید نبود، اما جاهایی در کتابش Liber de Ludo Aleae وجود دارد که عریان‌ترین آغازهای ایده‌ی احتمال را می‌توان یافت.
گیرولامو کاردانو انرژی زیادی را روی فکر درباره‌ی بازی‌های شانس صرف کرد. در Liber de Ludo Aleae او درباره‌ی تاس‌ها، کارت‌ها، استخوان‌های کعب، و تخته نرد می‌نویسد. این موضوعی ساده برای او نبود. او داشت فکر درباره‌ی یک مسئله‌ی قدیمی را به روشی جدید شروع می‌کرد. وقتی کاردانو درباره‌ی یک تاس منفرد می‌نوشت به‌وضوح یک تاس ایده‌آل، یا بی‌طرف، در ذهنش بود. لکن نوشته‌های او در این موضوع تماماً روشن نیستند، و موضوعات زیادی – مثل احتمال وقوع نتیجه‌ی پرتاب یک توالی ویژه از اعداد – وجود دارند که او عنوان نمی‌کند. بااین حال او به‌وضوح می‌دید که مشغولیاتی که به آن عشق می‌ورزید دارای برخی پایه‌های ریاضی هستند، زیرا او به روش ریاضی احتمالات وقوع پی‌آمدهای ساده‌ی متنوع را مقایسه می‌کرد.
اشتباه کاردانو
کاردانو با قطعیت ادعا کرد که اگر کسی یک تاس را سه بار بیاندازد شانس آن که یک عدد مشخص حداقل یک بار بیاید 50 درصد است. اکنون این جواب، اشتباه تشخیص داده می‌شود. برای فهمیدن جواب درست نیاز به دانستن سه واقعیت در مورد احتمال می‌باشد.1- هر پرتاب یک تاس مستقل از هر پرتاب دیگر است. در اینجا مستقل معنایی تکنیکی دارد: بدون اهمیت داشتنِ اینکه پی‌آمد هر پرتاب گذشته – یا هر سری از پرتاب‌های گذشته – چه بوده است، احتمال هر پی‌آمد آینده‌ای بدون تغییر باقی می‌ماند.
2- احتمال اینکه یک واقعه‌ی مشخص رخ دهد به‌اضافه‌ی احتمال اینکه آن وافعه رخ ندهد همواره برابر با 1 است. به‌صورت نمادین، اگر p احتمال رخ‌داد واقعه‌ای باشد، آنگاه احتمال عدم رخ‌داد این واقعه 1-p خواهد بود.
3- وقتی دو واقعه مستقل هستند احتمال اینکه هر دو رخ دهد عبارت است از ضرب احتمال‌های منفرد آنها. مثلاً دو واقعه که آنها را A و B می‌نامیم را درنظر گیرید. اگر احتمال رخ‌داد A عبارت از p، و احتمال رخ‌داد B عبارت از q باشد، آنگاه احتمال اینکه A و B رخ دهند عبارت است از p×q.
برای محاسبه‌ی احتمال اینکه شماره‌ای در سه پرتاب یک تاس حداقل یک بار بیاید راحت‌تر است که احتمال اینکه شماره حتی یک بار هم نیاید را حساب کنیم و آن را از 1 کم کنیم. (واقعیت 2 را ببینید.) احتمال نیامدن شماره در یک پرتاب منفرد تاس برابر است با 5/6 .
برطبق واقعیت اول، هر پرتاب مستقل است، بنابراین احتمال نیامدن شماره در پرتاب دوم نیز 5/6 است. همن‌طور است برای پرتاب سوم. برطبق واقعیت سوم، احتمال نیامدن شماره در همه‌ی سه پرتاب برابر است با 5/6×5/6×5/6 یا 125/216 یا تقریباً 58 درصد. برطبق واقعیت 2، احتمال آمدن شماره، حداقل یک‌بار، برابر است با 58ر.-1 یا 42 درصد.
/ج
