قضیه ی دو جمله ای

«مثلث حسابی» با نام بلز پاسکال مرتبط است که در سال 1653 بسیاری از خواص آن را مورد بحث قرار داد و آن را در بسط به کار برد که در آن، n عدد صحیح مثبتی است. با این که او مدعی نشد که «مثلث» یا قضیه ی دو جمله ای را اختراع کرده
است، احتمالاً نمی دانسته که هندیان و اعراب (2) با این ایده ها بسیار زودتر در سده ی دوازدهم کار می کردند؛ هنگامی که عمر خیام مدعی شد که بسط دو جمله ای را برای درجه های چهار، پنج، شش و بالاتر می داند (و برای موارد خاص خواننده را به اثر دیگری از خود ارجاع می دهد که از دست رفته است).
هندیان و اعراب بسط های را برای یافتن ریشه های دوم و سوم به کار بردند. اگر عددی مثبت مانند N به آن ها داده می شد و ریشه ی دوم آن از آن ها خواسته می شد، آن ها عددی مربع کامل و نزدیک به آن، مثلاً اختیار می کردند، و d را عدد دیگری در نظر می گرفتند به طوری که
تنها چیزی بود که باقی می ماند. با ارائه ی کار در این جا با نمادهای نوین می توانیم فرایند جذر گرفتن آن ها را به صورت زیر توصیف کنیم: فرض کنید که x تصحیح مطلوب باشد؛ در این صورت
با کنار گذاشتن x در طرف راست، تقریب نخستینی برای √N به دست می آوریم:
نوشتن برنامه ای کامپیوتری برای این کار بسیار آسان است. مثلاً به ازای N=5،
و به همین ترتیب الی آخر تا این که (که در حقیقت به صفر میل می کند) تا حد مورد نظر به صفر نزدیک شود.
برای ریشه های سوم، شیوه ی تکراری مشابهی با فرض
جالب است توجه کنیم که جمله ی تصحیح،را برای ریشه های دوم و سوم می دهد، ما را به یاد روش نیوتن در حسابان می اندازد.
در سال 1767، آیزاک نیوتن دو نامه به هنری اولدنبورگ (3) نوشت که در آن نیوتن بدون برهان فرمول دو جمله ای
را بیان کرد که در آن
و به همین ترتیب الی آخر، و نما، یعنی کسری گویا (مثبت یا منفی) بود. شکل این قضیه که برای خواننده ی امروزی آشناتر است در صورتی که به جای C,B,A، ... عبارت های بالا را قرار دهیم به دست می آید:
نخستین برهان (نه با استانداردهای دقت امروزی) به ازای نماهای صحیح مثبت (یعنی، = عدد صحیح مثبت) دلخواه، به نظر می رسد که از آن یاکوب (ژاکوب) برنولی (4) در فن حدس زدن (5) او باشد که در 1713، هشت سال پس از مرگش، منتشر شد. در 1826 نیلس هنریک آبل بیست ساله، فقر زده؛ و مبتلا به سل مهره ی پشت، اما در عین حال ریاضیدانی مشهور، نخستین برهان کلی این فرمول را برای نماهای مختلط دلخواه ثابت کرد. این برهان در مجله ی ریاضیات محض و کاربسته (6) که به طور متداول از آن با نام مجله ی کرله (7) یاد می شد، منتشر گردید.
شاید لازم باشد ذکر شود که در بسط ، جمله های متوالی، دنباله ای تشکیل می دهند که تنها در صورتی که a عدد صحیح و نامنفی باشد متناهی است. در صورتی که a کسری یا منفی باشد، مسئله ی همگرایی-هم مربوط به دنباله ی جمله های متوالی و هم سری، که خود بسط دو جمله ای کلی است- بی درنگ مطرح می شود.
ما اغلب به قضیه ی دو جمله ای، حتی در شکل کلی آن، به عنوان گشاینده ی درها به سمت ریاضیات پیشرفته فکر نمی کنیم؛ با این حال دو عبارت
منجر به تعریف عدد متعالی e و تابع متوالی می شود. با در نظر داشتن این مطلب، دیگر رازآلود نیست که بسط سری ماکلورن (8) برای تنها به عنوان پیرایشی از بسط دو جمله ای به نظر می رسد.

پی نوشت ها :

1. wade Ellis
2. مجدداً منظور ریاضیدانان دوره اسلامی است.-م.
3. Henry oldenburg
4. Jakob (Jacques)Bernoulli
5. Ars conjectandi
6. Journal fur die reine und angewandte Mathematik
7. crelle' s Journal
8. Maclaurin

منبع: باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست.