جبر هندی

اثر هندی درباره جبر، سوریه سدهانته (2)(دانش خورشید)، که در حدود 500 ق م نوشته شد، انگیزه ای برای تحول قابل ملاحظه ی حساب و جبر، آن گونه که از آثار آریبهطه (3)(ح 525)، برهمه گوپته (628)، مهاویره (ح 850)، و بهاسکره (1150) پیداست فراهم آورد. پس از بهاسکره، ریاضیات هندی تا اعصار جدید پیشرفتی را شاهد نبود.
برهمه گوپته قاعده ی جالبی برای یافتن یکی از دو ریشه ی مثبت معادله ی درجه دوم (با استفاده از نمادهای نوین) ارائه داده که در اصل به صورتی که در زیر نشان می دهیم نوشته شد:
Ya v1 ya 10
Ru9
در این معادله، ya مجهول است؛ به معنی «مربع» است؛ نقطه ی بالای عدد نشان می دهد که این عدد منفی است. عضو سمت چپ معادله با توصیف امروزی) در یک سطر و عضو سمت راست در زیر آن نوشته می شد؛ ru به معنی عدد «مطلق»(ساده) است. سه ستون زیر راه حل را به صورتی که توسط اسمیت ترجمه شده است، و سپس همین مطلب در نمادهای ریاضی و با تعمیمی به می دهد

در این جا عدد مطلق (9) ضرب در (1) (ضریب) مربع [عبارت است از] (9)

و پس از افزودن آن به مربع نصف (ضریب) جمله ی وسط، 25، برابر 16 می شود؛

که از آن ریشه ی دوم 4، با برداشتن نصف (ضریب) مجهول (5)، عبارت است از 9؛

 و تقسیم بر (ضریب) مربع (1) مقدار مجهول 9 را نتیجه می دهد.

روش به کار رفته در مثال بالا اساساً مانند روش امروزی «کامل کردن مربع» و متشکل از افزودن ناحیه ی هاشورخورده ی 〖(b/2)〗^2 در شکل 1 به ناحیه هاشور نخورده ی است که مساحت کل را می دهد:

چون ، به جای a^2 x^2+abxقرار دهید ca؛را بیفزایید تا برابر شود با

بنابراین، ضلع،  مربع (کامل شده) عبارت است از
و ax به اندازه b/2 کمتر است از
سرانجام بر a تقسیم کنید تا x را به دست آورید.
مثال ارائه شده نشان می دهد که جبر هندی عمدتاً لُغوی (لفظی) بود، هرچند که در بیان مسئله از اختصاراتی استفاده می شود که نمونه ای از سبک به اصطلاح تلخیصی است. نکته ی به ویژه قابل ذکر، استفاده از اعداد منفی است که با قرار دادن نقطه ای در بالای عدد نوشته می شد. اعداد موهومی را هندیان در نظر نگرفتند، اما با این حال آن ها را شایسته ی اظهارنظری یافتند: «بنابر ماهیت اشیا، عددی منفی مربع کاملی نیست، بنابراین ریشه ی دوم ندارد»(مهاویره). آن ها به سهولت با اعداد گنگ کار می کردند و از اتحادی استفاده کردند که در نمادگذاری نوین به صورت

 نوشته می شود. آن ها تشخیص دادند که معادله ی درجه دوم با ریشه های حقیقی دو ریشه دارد، اما چنان که دیده ایم، هیچ وقت به خود زحمت یافتن هر دو ریشه را ندادند. ریشه های منفی همواره با عنوان «نامناسب» کنار گذاشته می شدند.
هندیان با تصاعدهای حسابی و هندسی، جایگشت ها و معادله های خطی کار می کردند و می توانستند برخی معادله های با درجه ی بیش از دو را حل کنند.کنند.
هندیان بزرگ ترین پیشرفت خود را در تحلیل نامعین ها[معادلات سیاله]داشتند. برای معادله ای مانند ax+by=c (b,a و c اعداد صحیح) با جوابی صحیح، آن ها می توانستند جواب را به کمک کسرهای مسلسل، روشی که هنوز هم معمول است، حل کنند. پس از یافتن یک جواب، x=p، y=q، آن ها جواب های دیگر را با استفاده از x=p+bt و y=q-at به ازای همه ی t های صحیح به دست می آوردند. به همین صورت، اگر یک جفت عدد صحیح p و q به دست می آمد که در معادله ی موسوم به معادله ی پِل، ( aعددی صحیح است که مربع کامل نیست) صدق می کرد، آن ها می توانستند جواب های بیشتری با استفاده از خاصیت زیر پیدا کنند: «اگر p و q یک مجموعه از مقادیر x و y، و p’و q’ همان مجموعه یا مجموعه ای دیگر باشد، آن گاه qp'+pq' و app'+qq' جواب دیگری است». مسئله ای در آثار بهاسکره چنین است: «کدام عدد مربع ضرب در 8 و با افزودن 1، مربع می شود؟ یک جواب معادله ی عبارت است از x=6 ، y=17، که از آن بلافاصله دیده می شود که x=204، y=577 یک جواب دیگر است».
ججالب توجه، راه حل بهاسکره برای مسئله ای درباره ی مثلث های قائم الزاویه است. مسئله به صورت زیر مطرح می شود: «وتری، ای دانشی مردان، گیریم 85 است، کدام دو ضلع قائم گویا خواهد بود؟» (با نمادگذاری امروزی: مقادیر گویای x و y را پیدا کنید هرگاه x^2+y^2=h^2 .حل در زیر، با نمادهای نوین در سمت چپ داده می شود.

این معادل است با آنکه بگوییم که سه ضلع مثلث قائمه ای متناسبند با و مقادیر یکتا نیستند و به انتخاب عدد دلخواه a بستگی دارند.
مسئله ی زیر از مسائل نوعی این دوره است: «تعداد اسب هایی که مال چهار نفرند عبارتند از به ترتیب 8،6،3،5. تعداد شترهایی که به آن اشخاص تعلق دارند عبارتند از 1،4،7،2. تعداد استرانی که به آنان متعلقند عبارتند از 3،1،2،8 و تعداد گاو نرهای متعلق به آن ها 1،2،1،7 است. هر چهار نفر به یک اندازه ثروت دارند، قیمت هر اسب و بقیه را به من بگو» (یک جواب این است: اسب ها 85، شتران 76، استران 31 و گاو نران 4).).

پی نوشت ها :

1. Ferna E.wrestler
2. surya Siddhanta
3. Aryabhata

منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385