کواین سه منظر در هستی ( فلسفه ی ریاضیات) قائل است: واقع گرایی ( افلاطون گرایی)، نام گرایی و مفهوم گرایی که مکاتب منطق گرایی، صورت گرایی و شهود گرایی به ترتیب ناظر به آن ها هستند.
در مکتب افلاطون گرایی، اعیان ریاضی مانند عدد، مجموعه های نامتناهی، خط، دایره، مکعب چهار بعدی، فضای هیلبرت و ...بیرون از فضا و زمان وبیرون از اندیشه و ماده، در قلمروی مجهول و مجرد ( موسوم به عالم مُثُل)، و مستقل از هر گونه آگاهی فردی یا اجتماعی وجود دارند. این اشیاء ازلی و ابدی هستند، خلق نشده اند، تغییر نیز نمی پذیرند و خواصی دارند که برخی بر ما معلومند و بعضی هنوز نامعلوم. عقل رهنمای ما به چنین هستی هایی است. فضایای ریاضی، پیشینی، ضروری و به علت وجود شیوه های قطعی استنتاج، یقینی هستند. هر سؤال با معنی در ریاضیات جوابی دارد که ممکن است به علت ناقص بودن معرفت ما فعلاً قابل جواب دادن نباشد. به زعم افلاطون گرایان ریاضیات احکامی دارد که چه بخواهیم و چه نخواهیم خود را بر ما تحمیل می کند. عدد
یا اول است یا نیست، گر چه عمر همه ما کفاف نمی دهد با شمارش به آن برسیم، ولی به هر حال حتی قبل از نوشتن این عدد، اول بودن یا اول نبودنش تعیین گردیده است. عدد 2 زوج است، اما نه به این خاطر که ما فکر می کنیم زوج است و نه به این خاطر که عقل ما چنین شکل گرفته یا ترتیب یافته است، بلکه به این دلیل که چنین هست. یک ریاضی دان، یک ابداع کننده نیست، بلکه به مثابه ی یک دانشمند تجربی، مثلاً یک زمین شناس، یک مکتشف است که آن چه را از قبل وجود دارد، می یابد. البته اگر او شانس نیاورد و نیابد، دیر یا زود خودش یا کس دیگری این کار را خواهد کرد. راسل در یکی از اولین نوشته های خود آورده است: « حساب باید همان طور کشف شده باشد که کریستف کلمب هند غربی را کشف کرد. ما اعداد را نیافریده ایم همچنان که کلمب هندیان را نیافرید.»رنه تام یکی از طرفداران این مکتب است. وی می گفت: « ریاضیدان باید شهامت پایبندی به عقاید خود را داشته باشد. در آن صورت تصدیق خواهد کرد که ساختارهای ریاضی، وجودی دارند مستقل از ذهن شخصی که به آن ها می اندیشد. صورت این وجود بی تردید با صورت وجود ملموس و مادی جهان خارجی تفاوت دارد، ولی با این همه به نحوی دقیق و عمیق با وجود عینی مرتبط است، زیرا اگر ریاضیات فقط یک بازی بی ثمر ومحصول تصادفی فعالیت های مغز باشد پس پیروزی بی چون و چرای آن در تشریح جهان را چگونه می توان توضیح داد؟ ریاضیات نه تنها در قوانین خشک و مرموز طبیعی آشکارا دیده می شود، بلکه به شکلی نهفته تر اما تردید ناپذیر در توالی نامتناهی وتفنن آمیز صورت ها در جهان جانداران و بی جانان و بودی و نابودی تقارن آنها نیز تجلی می کند. چنین است که فرض افلاطونی مُثُل ( در مورد ساختمان عالم)، علی رغم ظاهرش، طبیعی ترین و از لحاظ فلسفی اقتصادی ترین فرض به شمار می رود، ولی ریاضی دانان در هر لحظه تنها یک تصور جزیی و ناقص از عالم مُثُل دارند. با اعتقاد به وجود جهان مثالی، ریاضی دان بیش از حد نگران حدود روش های صوری نخواهد بود. وی خواهد توانست که مسأله ی سازگاری را فراموش کند زیرا عالم مثال از امکانات عملی ما بسیار فراتر است و نسبت غایی ایمان ما به راستی یک قضیه، درشهود ما جای دارد.»
قرائتی دیگر از افلاطون گرایی، افلاطون گرایی نظریه مجموعه ای گودل است که در آن مجموعه های نامتناهی ، که همواره در برابر تجارت متناهی بشری، وجودشان، جایگاهشان ونحوه دستیابی به آن ها مورد سؤال بوده است، واقعیتی غیر فیزیکی و صرفاً ریاضی دارند. در این دیدگاه وجود مفاهیم و اصولی که بر مبنای شهود ریاضی ما توجیه می شوند یا در ارائه ی نتایج تصدیق پذیر و به دست نتایج جدید کارایی دارند پذیرفته می شود. گودل می گوید: « من دلیلی نمی بینم که چرا باید به این گونه ادراک، یعنی شهود ریاضی، کمتر از ادراک حسی عقیده داشته باشیم، آن شهودی که ما را وامی دارد تا نظریه های فیزیکی را بنا کنیم و انتظار داشته باشیم که ادراک حسی آتی با آن ها سازگاری نشان دهد، و به علاوه، باید باور داشته باشیم سؤالی که اکنون نمی توان پاسخ داد، معنایی دارد و ممکن است در آتیه بتوان پاسخی برای آن یافت. مزاحمت پارادوکس های نظریه مجموعه ها برای ریاضیات خیلی کمتر از دردسری است که فریب های احساسی برای فیزیک دارند.»
دیدگاه افلاطون گرایی گاهی واقع گرایی خام خوانده می شود. نوع دیگر واقع گرایی، واقع گرایی علمی کواین – پاتنام است که می گوید آن اشیاء ریاضی وجود دارند که برای بهترین نظریه ی ما در مورد جهان اجتناب ناپذیر هستند، به همان وجه که مثلاً وجود الکترون در فیزیک پذیرفته است. به زعم ایشان وقتی نظریه های علمی با تأیید پیش بینی های انجام گرفته پذیرفته می شوند، ریاضیات نیز که بخشی اجتناب ناپذیر از نظریه است، تأیید می شود. این دیدگاه توسط پنلوپ مدی با ترکیب با واقع گرایی نظریه مجموعه ی گودل و به کمک مکانیزم های نظری عصب شناختی بازسازی شد.
در شکلی دیگر از افلاطون گرایی، مدی وجودی فیزیکی برای مجموعه ها قائل می شود. بر طبق نظر او، مجموعه ی متشکل از کتاب های یک قفسه کتاب درهمان قلمرو زمانی و مکانی قرار دارد که خود کتاب ها آنجا هستند. وی می گوید که مغز ما از لحاظ عصب شناختی دارای یک « مجموعه یاب» است که ما را قادر به درک مجموعه ها می کند.
در قرائتی دیگر از افلاطون گرایی، ارائه شده توسط م. بلاگور، موسوم به افلاطون گرایی تمام عیار، هرشیء ریاضی که وجودش ممکن باشد، واقعاً وجود دارد و هر نظریه ی ریاضی سازگار، بخشی از واقعیت ریاضی را توصیف می کند.
چند ایراد به دیدگاه کلاسیک افلاطونی وارد است: چنین فلسفه ای با واقعیت مادی ارتباطی ندارد و با گوشت و استخوان ریاضی دان تماسی برقرار نمی کند، تجربه گرایی علم جدید را نقض می کند و در پذیرفتن « وجود نامتجانس دو واقعیت فیزیکی و ریاضی» اصرار می ورزد، اما در چگونگی تأثیر متقابل این دو بر هم توضیحی نمی دهد. فلسفه ی افلاطونی دنیایی آرمانی و مستقل از تفکر و فعالیت انسانی را ثابت می کند اما درباره مکانیزم هایی که به وسیله ی آن ها انسان می تواند با آن دنیا رابطه برقرار کند چیزی نمی گوید.
همچنین با پیدایش هندسه های نااقلیدسی، تصور اشیای ریاضی به مثابه اشیای محسوس، جای خود را به تمیز ریاضیات و واقعیت داد.
دیدگاه افلاطونی در برابر نام گرایی و مفهوم گرایی قرار دارد. بر طبق نام گرایی هیچ موجود ریاضی به طور مجرد و مستقل از زمان و مکان وجود ندارد، اشیاء ریاضی تخیلاتی بیش نیستند و صحبت از صدق جملات ریاضی بی معنی است، و مثلاً «4=2+2» به همان اندازه درست است که « رستم پسرش سهراب را کشت». نام گرایان وجود فیزیکی خواص مختلف اشیاء و روابط بین آن ها را رد کرده، آن ها را وهم می پندارند. ایشان، دقیقاً بر خلاف افلاطونی ها، وجود اشیاء قرمز را می پذیرند، اما وجود « قرمزی» را خیر. در حالی که مفهوم گرایان می گویند موجودات مجرد وجود دارند و توسط فعالیت ذهنی به دست می آیند.
منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن
