نسبيّت خاص و جمع سرعت ها

در قوانين حرکت شناسي اينشتين خود را بيشتر به بررسي سطح x, ct محدود مي کنيم؛ تعميم قضيه هاي عايد شده در مورد فضاي چهار بعدي xyzt نيز مشکلات عمده اي همراه ندارد و به همين ملاحظه به اقتضاي مقام در حاشيه مورد توجه قرار خواهد گرفت.
در يک دستگاه لخت اختياري نامشخص، محور x نقطه هاي جهاني «زمان گذشته» (t < 0) را از نقطه هاي جهاني «آينده» (t > 0) جدا مي کند. اما اين جداسازي براي هر دستگاه لختي فرق مي کند؛ چون نقطه هاي جهاني که قبلاً در بالاي محور x - پس در «آينده» - قرار داشتند، با تغيير مقر محور x سپس در زير اين محور - پس در «گذشته» - قرار خواهند گرفت، و بعکس. فقط رويدادهايي که با خطهاي جهاني حوزه بخشهاي F< 0 نمايش داده شده اند، براي هر يک از دستگا ههاي لخت، «گذشته» يا «آينده» را تصريح مي کنند. براي يک چنين نقطه جهاني P (ش. 1a)، خواهد بود، به اين معنا که فاصله زماني دو رويداد O و P در هر دستگاه مرجع مجاز بزرگتر است از مدت زماني که نور براي پيمودن فاصله از O تا P لازم دارد. پس يک چنين دستگاه لخت S را فقط هنگاميمي توان مطرح کرد که محور ct آن از P ميگذرد، يعني P رويدادي را نمايش مي دهد که در نقطه صفر فضايي اين دستگاه اتفاق مي افتد. اين دستگاه S از نظر يک دستگاه لخت ديگر، به صورتي مستقيم و يکنواخت حرکت مي کند که نقطه صفر آن با رويدادهاي O و P درست مقارن بوده باشد. در اين صورت روشن است که براي رويداد P در دستگاه S، x = 0 و در نتيجه خواهد بود.
محور ct هر يک از دستگاه هاي لخت، نقطه هاي جهاني اي را نمايش مي دهد که در محل مبداء فضايي بر محور x قرار مي گيرند، ونقاط سمت چپ مبداء را از نقاط سمت راست واقع شده در شکل دوبعدي جدا مي کند. ولي اين جداسازي در مورد يک دستگاه لخت ديگر که داراي محورct ديگر است، البته فرق مي کند؛ فقط براي نقاط واقع در حوزه داخلي بخشهايF > 0 به روشني معين است که، آيا اين نقاط «جلو» يا «عقب» نقطه فضايي قرار مي گيرند. براي يک چنين نقطه (ش. 1b)، خواهد بود؛ به اين معنا که فاصله زماني دو رويداد O و Q در هر دستگاه مرجع مجاز کمتر است از زماني که نور براي حرکت خود در خلال اين دو رويداد لازم دارد. اينک به کار بستن يک دستگاه مرجع مناسب متحرک S در صورتي مقتضي خواهد بود که محور x آن از Q بگذرد، يعني بدين نحو که دو رويداد O و Q همزمان بوده باشند. و اين دستگاهي است که د ان محققاً براي رويداد Qt = 0، خواهدبود
از اين جا نتيجه مي شود که ناورداي F براي هر نقطه جهاني P يک مقدار کاملاً مشخص قابل اندازه گيري است؛ يا با وارد کردن يک دستگاه مختصات مناسب، ميسر است که P با O «در محل يکسان تبديل شوند»، که در اين صورت خواهد بود، و t اختلاف زمان رويداد P نسبت به رويداد O را معرفي مي کند که در همان محل فضاي S واقع شده باشد؛ و يا تبديل P به O « از طريق همزماني» امکان پذير است، که آنگاه خواهد بود، و x فاصله مکاني دو رويداد همزمان در دستگاه S را نمايش مي دهد.
خطهاي نور F = 0 در هر دستگاه مختصاتي که باشد، حرکتهاي با سرعت نور را نمايش مي دهند. از اين رو هر خط جهاني زمان گونه مطابق است با يک حرکت داراي سرعت کمتر از c؛ هر حرکت با سرعت کمتر از سرعت نور مي توانند «به سکون تبديل» شود، زيرا که يک خط جهاني زمان گونه به آن تعلق مي گيرد.
ولي اينک بايد ديد که قضيه در مورد حرکتهاي مافوق سرعت نور چه حکم مي کند؟
قطعاً از مطالب قبلي روشن شده است که نظريه نسبيت اينشتين چنين حرکتهايي را از لحاظ فيزيکي بايد غيرممکن بداند. چون اگر علامتهايي بوده باشند که امکان دهند تا همزماني با سرعت مافوق نور بازرسي شود، آنگاه حرکت شناسي جديد معناي خود را يکسره از دست مي دهد.
در اين جا به نظر مي رسد که مشکلي بايد مرتفع مي شود.
فرض مي کنيم که v سرعت دستگاه 'S نسبت به يک دستگاه ديگر S باشد، و يک جسم متحرک K با سرعت 'u نسبت به 'S حرکت کند. اينک بنابر حرکت شناسي معمولي، سرعت جسم K نسبت به دستگاه S عبارت است از:
'u = v + u.
حال اگر هم v و 'u از نصف سرعت نور تجاوز کنند، نتيجه مي شود که 'v = v + u از c بزرگتر است، و اين بر طبق نظريه نسبيت بايست غيرممکن باشد.
اين تضاد طبعاً از اين جا سرچشمه مي گيرد که، در حرکت شناسي اصل نسبيت، يعني در آنجا که هر دستگاهي مرجعي يکاهاي طول و زمان به خود را داراست جمع زدن سرعتها به همين سادگي جايز نيست.
اين مطلب را از ثبات دائمي اندازه سرعت نور در دو دستگاه مرجع غير مشخص که نسبت به يکديگر در حرکت بوده باشند، نيز مي توان دريافت؛ درست همين واقعيت را قبلاً به منظور استخراج تبديل لورنتز مورد استفاده قرار داديم.
قانون عمل جمع سرعتها را مي توانيم از اين تبديلات استخراج کنيم. بدين منظور جسمي را در نظر مي گيريم که در دستگاه 'S حرکت کند. فرض بر اين است که جسم مزبور در سطح 'x' , y جابه جا مي شود و از اين رو داراي دو مؤلفه سرعت است. اين جسم همچنين بايست از مبدا زمان t' = 0 آغاز به حرکت کند. پس خط هاي جهاني آن به صورت معادله هاي

داده مي شوند. اينک همين حرکت از ديدگاه دستگاه S نيز قاعدتاً مي بايست مستقيم و با سرعتهاي ثابت انجام شود. از اين رو براي خط هاي جهاني در S، خواهيم داشت.

به منظور محاسبه ارتباط سرعتها در S و 'S مختصات y، x و t را با کمک تبديلات لورنتز ( ) در معادلات و وارد مي کنيم. به صورت زير در مي آيد:

يا

از مقايسه با ، ملاحظه مي شود که:
[1a]

به همين طرز از (β) نتيجه مي شود:

و با توجه به معادله [1a] خواهيم داشت:
[1b]

اينک [1a] و [1b] جمع سرعتها را در نظريه اينشتين نمايش مي دهند و به جاي دستور ساده حرکت شناسي قديمي که عبارتند از:

وارد مي شوند.
به ويژه هرگاه حرکت پرتو نور در امتداد حرکت 'S نسبت به S مطرح باشد، خواهد بود، وآنگاه طبعاً دستور [1] نتيجه مي شود :

نتيجه اي که قضيه ثبات سرعت نور را بيان مي کند. ولي علاوه بر اين ملاحظه مي شود که در مورد هر جسم در حال حرکت طولي، تا زماني که و v مثبت و از c کمترند باقي مي ماند. چون اگر [ 1a]را بر c تقسيم کنيم، مي توانيم حاصل تقسيم را به صورت

مرتب کنيم. اين تساوي محتواي تشخيص ما را در بر مي گيرد، به اين معنا که جمله دوم طرف راست تساوي، تحت شرايطي که در بالا ذکر شد، هميشه از 1 کوچکتر است (مخرج کسر از 1 بزرگتر و دو عامل صورت هر يک از 1 کوچکتر). مطابق همين کيفيت درمورد حرکتهاي عرضي و اصولاً در مورد هر حرکت اختياري صدق مي کند.
به همين ملاحظه سرعت نور از لحاظ حرکت شناسي يک مرز غيرقابل عبور است. اين ادعاي نظريه اينشتين با مخالفت زياد روبه رو شد و براي کاشفان آينده که در پي يافتن حرکتهاي مافوق سرعت نور بوده اند، به عنوان يک محدوديت غيرمجاز ظاهر گشت.
پس سرعت الکترونهاي شناخته شده در پرتوهاي β صادر شده از مواد راديواکتيو را که نزديک به سرعت نور است، چرا بايستي ممکن نباشد که به سرعت نور برسانند؟
اينک نظريه اينشتين مدعي است که اين کار عملاً غيرممکن است، چون به هر اندازه که سرعت جسمي به سرعت نور بيشتر نزديک شود، مقاومت لختي يا جرم اين جسم نيز بزرگتر خواهد شد، به اين ترتيب واردمرحهل ديناميک نو (نيروشناسي) مي شويم که پايه سينماتيک (حرکت شناسي) اينشتين را تشکيل مي دهد.
منبع مقاله :
ماکس، بورن؛ (1371)، نظريه ي نسبيت اينشتين، ترجمه ي هوشنگ گرمان، تهران: انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ چهارم.