نسبيّت خاص و لختي انرژي

ضربه ناکشسان يعني ارتباط بين جرمهاي m گلوله هاي جدا و جرم M گلوله هاي متحد پس از ضربه. اين نقص را با کمک معادله زیر مي توانيم جبران کنيم:

ابتدا جرم ساکن متعلق به گلوله هاي متحد را تعيين کنيم. اين جرم را با تبديل دستگاه "S که در آن سرعت M صفر است، مي توان به دست آورد. روشن است که "S با سرعت u نسبت به S حرکت مي کند. از آنجا که دو گلوله يکسانند، به علت وجود تقارن نتيجه مي شود که دو گلوله مزبور سرعتهاي هم اندازه با جهتهاي متخالف را دارا خواهند شد (ش. 1).
از قضيه جمع سرعتها عملاً نتيجه مي شود که به o ، u به و o به مبدل خواهد شد. از اين رو اصل بقاي جرم مي گويد.

در حالتي که سرعت اندک باشد، يعني ، تساوي به صورت زير خواهد بود:

پس جرم متعلق به دو گلوله متحد بر خلاف انتظار برابر با نيست و يک جمله اضافي از مرتبه دوم را نيز در بر دارد. اين جمله درست برابر است با انرژي جنبشي دو گلوله قبل از ضربه تقسيم بر . انرژي يک گلوله به اندازه است. دو گلوله به هنگام برخورد به حالت سکون درمي آيند. انرژي جنبشي آنها يعني 2T به گرماي Q تبديل مي شود: Q = 2T . از اين رو مي بينيم که تساوي زير صادق است.

پس مي توان گفت: افزايش انرژي گرمايي به اندازه Q، جرم را به اندازه زياد مي کند.
يک مورد ديگر را نيز تاکنون شناخته ايم که در آن جرم تغيير مي کند. اين به هنگامي است که انرژي جنبشي به جسم داده شود. اينک وابستگي عادي جرم m (v) به سرعت v را براي حالتي ملاحظه مي کنيم که بوده باشد:

باز هم جرم به ميزان خارج قسمت مقدار انرژي به افزوده مي شود، يعني اين بار انرژي جنبشي يک جسم متحرک را زير نظر گرفته ايم.
اينک نتيجه را مي توان تعميم داد و گفت: تغذيه انرژي به مقدار e جرم جسم را به اندازه افزايش مي دهد. ولي اين مطلب را فقط براي انرژي جنبشي و انرژي گرمايي نشان داده ايم، حال آنکه همين کيفيت براي ديگر اشکال انرژي (الکتريکي، شيميايي و غيره) نيز مي بايد وجود داشته باشد.
چنانکه معادله را در ضرب کنيم و معادله را مورد استفاده قرار دهيم، ملاحظه خواهيم کرد:

يا

اين تساوي قانون بقاي انرژي را نمايش مي دهد: انرژي قبل از ضربه (انرژي جنبشي 2T) برابر است با انرژي بعد از ضربه (انرژي گرمايي Q). اين يک حالت خاص معادله (E=T+U+Q+C+W+…) است که فقط انرژي جنبشي و انرژي گرمايي دخالت دارند.
بدين نحو پي مي بريم که از ديدگاه نظريه نسبيت، قانون بقاي جرم جز قانون بقاي انرژي E متعلق به جسمي برابر است با حاصل ضرب جرم جسم در 𝑐2 :
[1]

تعريف کلي به اين صورت است که انرژي جنبشي T عبارت است از تفاضل انرژي متعلق به جسم متحرک و انرژي متعلق به همين جسم در حال سکون، به عبارت ديگر:
[2]

اين تعريف براي مقادير کوچک v به تعريف سنتي تبديل مي گردد. با توضيح جديد [2] که براي T داده مي شود، تساويهاي و همچنين در مورد سرعتهايي که نسبت به c کوچک نبوده باشند، اعتبار خود را حفظ مي کنند.
در اين مقام يک تفاوت مهم بين مکانيک سنتي و نسبيتي کاملاً به چشم مي خورد. در مکانيک سنتي بين آنگونه فرايندهايي که انرژي مکانيکي همچنان باقي مي ماند، و آن قبيل فرايندهايي که چنين انرژيي باقي نمي ماند و بخشي از آن به گرما يا اشکال ديگر انرژي تبديل مي گردد، بايد تفاوت قائل شويم. مثلا در مورد ضربه ناکشسان ديدم که بخشي از انرژي جنبشي (منظور شده در دستگاه S) به گرما تبديل مي شود. پس انرژي مکانيکي در اين مورد باقي نمي ماند. ولي قانون بقاي جرم را که کليه اشکال انرژي را در بر مي گيرد، در مکانيک نسبيتي در دست داريم، به اين صورت که:

اين تساوي در حالت سنتي سراسر بررسي مسئله در فيزيک سنتي را در بر مي گيرد: سپس خواهيم داشت:

مي دانيم که با توجه به تساوي

خواهيم داشت:

از اين رو تساوي زير برقرار خواهد بود:

از جمله ی آخر بايد صرف نظر کرد، چون اين جمله بخش اصلاحيه نسبيتي انرژي جنبشي است؛ يعني با ضريب u ̅^2 / c^2 از دو جمله ديگر کوچکتر است و براي حالتي که u و u ̅ بسيار کوچکتر از c باشند، ناديده گرفتني است. پس فقط تساوي
[3]

باقي مي ماند. در سمت چپ، انرژي جنبشي T_1 گلوله هاست قبل از ضربه؛ در سمت راست، Q بخشي از T_1 را نمايش مي دهد که به هنگام ضربه به گرما تبديل مي شود. جمله دوم سمت راست باقي مانده انرژي جنبشي T_2 متعلق به دو گلوله متحد شده است بعد از ضربه. ولي مي دانيم که در طريق سنتي تساوي صدق مي کند، از اين رو نتيجه مي شود:
Q = T1

اين دستورهاي سنتي است.
اينک ببينيم، اگر نيروي K در يک زمان کوتاه τ بر جسمي اثر کند، T يا E چگونه تغيير خواهند کرد. فرض کنيم T (0 ،v) و E (0) سرعت و انرژيهاي جسم قبل از وارد شدن نيرو و نيز سرعت و انرژيهاي همين جسم بعد از وارد آمدن نيرو باشند. در ضمن v در جهت x قرار دارد. اينک بنابر تساوي [1]، خواهيم داشت

در مقالات قبلی ديديم که تساوي زیر

صادق است، به طوري که مختصرسرعت اضافي در جهت x را نمايش مي دهد و به وسيله نيروي وارد آمده توليد مي گردد (ش.2) از اين رو تساوي

در مورد بررسي ما صادق خواهد بود. آخرين قسمت اين تساوي از ( ) نتيجه مي شود.
اينک:

سرعت تغيير انرژي است، و اگر مؤلفه شتاب در جهت x، يعني b_x= w_x⁄τ را وارد کنيم، به دست مي آوريم:
[4]

تساوي منطبق سنتي عبارت است از:

در سمت راست اين تساوي، تغيير زماني انرژي پتانسيل U قرار دارد، ولي اين تغيير منفي است. چون نيرو را در يک فاصله زماني به اندازه کافي کوتاه مي توان به تقريب ثابت دانست و به همان ترتيب عمل کرد که قبلاً در مورد نيروي سنگيني صورت گرفت و انرژي پتانسيل برابر با Gx بود؛ در آنجا جهت x در خلاف جهت سنگيني فرض شده بود، به طوري که مي بايست قرار داده شود.
چنانچه را در مختصات x قبل و بعد از تأثير نيرو بناميم، سرعت تغيير انرژي پتانسيل خواهد شد:

زيرا که بنا بر تعريف سرعت، است. اگر اين سرعت تغيير را در تساوي [4] قرار دهيم، حاصل نهايي زير عايد مي گردد

يعني T + u (مانند در مکانيک سنتي) از حيث زمان ثابت است.
معادله ی زیر اينشتين،
،
که تناسب انرژي و جرم لخت را تعيين مي کند، غالباً به عنوان مهمترين محصول نظريه نسبيت خوانده مي شود. از اين رو مي خواهيم دليل ساده وروشنتري بر صحت اين معادله بيان کنيم. اين همان دليلي است که اينشتين خود بدون استفاده از تشريفات رياضياتي نظريه نسبيت، ارائه مي کند.
اين برهان متکي است برواقعيت وجود فشار تشعشع. اينکه يک موج نور برخورد کننده با يک جسم داراي قابليت جذب، فشار بر اين جسم وارد مي کند، واقعيتي است که با کمک يک عبارت نخستين بار به توسط پوينتينگ (1) (1884) استخراج شده و از معادلات ماکسول به چشم مي خورد. در واقع به اين صورت که اندازه حرکتي که بر اثر برخورد کوتاه مدت آذرخش نور يا ضربه نور از ناحيه انرژي E بر يک سطح داراي قابليت جذب اعمال مي گردد، برابر است با E / c. اين مطلب را ابتدا در بخش آينده بررسي خواهيم کرد. نتيجه گيري مزبور را از طريق تجربي به توسط لبدو (2) (1890) و بعداً با دقت بيشتر به توسط نيکولس (3)، هول (4) و ديگران تأييد شده است. عين همين فشار را جسمي متحمل مي شود که نور گسيل مي دارد، درست مانند قنداق تفنگ که در ضمن پرتاب گلوله به عقب رانده مي شود (به اصطلاح لگد مي زند).
اينک يک جسم توخالي را در نظر مي گيريم، مثلا لوله طويلي را که دو جسم به يک اندازه و همچنين A و B در دو انتهاي آن قرار داده شده باشند. پس بدين نحو، جرم A و B به تعبير متداول به يک اندازه است (ش.2). در عين حال فرض مي شود که جسم A در قياس با جسم B داراي انرژي اضافي E باشد، مثلا به صورت گرما، و در ضمن وسايلي (آينه کاو يا نظاير آن) به منظور فرستادن انرژي E به صورت تشعشع به سمت B وجود داشته باشد. مضافاً اينکه ابعاد فضايي اين آذرخش نور در مقابل طول l لوله کوچک منظور مي گردد.
به اين ترتيب، A «پس ضربه» E / c را متحمل مي شود. اگر اين ضربه تماماً بر لوله داراي جرم M منتقل گردد، لوله سرعتي به اندازه v کسب مي کند که از معادله اندازه حرکت

به دست مي آيد. ولي انتقال اندازه حرکت به لوله در حکم تماميت جسمي ناگهان صورت نمي گيرد، چون اگر لوله انعطاف پذير نباشد، نيروها با سرعتي بزرگتر از سرعت نور در لوله پيش خواهند رفت. پس ضربه به توسط لوله از A به B به وسيله نيروهاي کشساني منتقل مي گردد که به مراتب کندتر از نور جابه جا مي شوند. از اين رو فرايند مزبور را به صورت دو بخش مجزا بايد به تصور آورد:1. گسيل نور از A، 2. جذب (درآشامي) به توسط B، ولي به اين ترتيب که تأثير اين دو فرايند بر لوله را مستقل از يکديگر و در يک لحظه زماني چنان ديرتري ملاحظه مي کنيم که نه فقط حرکت کشسان بر اثر ضربه در سراسر لوله گسترش يافته باشد، بلکه همه نوسان هاي کشسان نيز در لوله مستهلک شده باشند، به طوري که در نهايت فقط جابه جايي هايي که تمام جسم لوله در دو مرحله متحمل شده است، باقي بمانند. بر اساس به دست آوردن حاصل تأثير اين دو فرايند، دو جابه جايي ايجاد شده از دو ضربه واردآمده بر A و B را بايد با يکديگر جمع کرد، چون موجهاي کشسان (با دامنه هاي کوچک) بدون خدشه در هم توارد مي کنند.
1. اين پس ضربه (به عقب رانده شدن) وارد آمده بر A چنان حرکتي بر لوله منتقل مي کند که در لحظه زماني بعدي t1، آنگاه که همه نوسان ها مستهلک شده باشند، سرعتش به v و جابه جايي اش به مقدار.

بالغ مي گردد.
2. به هنگامي که نور در B جذب مي شود، لوله حرکتي را کسب مي کند که تأثيرش به صورت v- در جهت مخالف باقي مي ماند: جابه جايي مربوط به اين مرحله، بالغ است بر

به طوري که t_1 مدت زماني است که نور براي پيمودن طول لوله l از A تا B لازم دارد. چون ضربه در B ديرتر و پس از مدت زمان t صورت مي گيرد. حاصل جمع دو جابه جايي عبارت است

يعني درست به همان اندازه که اگر لوله را در حکم جسم صلب تقلي کنند.(5)
در اين جا،ا گر از تساوي v = E / Mc و t = l / c استفاده کنيم، براي جابه جايي لوله به دست مي آوريم:

اينک جسمهاي A و B را مي توان با يکديگر تعويض کرد، به ترتيبي که تأثير خارجي در اين عمل تأثير نداشته باشد؛ مي توان چنين به تصور آورد که دو نفر، يکي A در محل B و ديگري B در محل A، قرار گرفته باشند و سپس شخصاً به محل اصلي خود بازگردند. بنابر حکم مکانيک عادي، اين تعويض محل نبايد موجب جابه جايي سراسر لوله گردد؛ چون جا به جا شدنهاي دائمي در واقع فقط بر اثر نيروهاي خارجي امکان پذير است.
پس از آنکه اين تعويض انجام شود، همه چيز در لوله به حالت اول خود باز مي گردد، انرژي E از نو در محل قبلي، توزيع جرم درست مانند حالت قبل. اما سراسر لوله نسبت به موضع ابتدايي بر اثر ربه نور به اندازه x جابه جا خواهد شد. اين کيفيت با قوانين پايه اي مکانيک البته تناقض دارد. پس به اين ترتيب، با تکرار چنين فرايندي بايستي ممکن باشد که بدون اعمال تأثير خارجي بر دستگاه، يک تغير مکان دلخواه ايجاد شود. اما اين امر غيرممکن است. يگانه راه برون رفت همانا تصديق اين نکته است که، اين دو جسم A و B در جريان تعويض از حيث مکانيکي هم ارز نيستند، به اين معنا که B به علت انرژي اضافي، جرمش به اندازه m از جرم A بيشتر است. پس همه عوامل در جريان تعويض با يکديگر قرينه نيستند، به طوري که جرم m به فاصله l از راست به چپ جابه جا مي شود و در اين ضمن سراسر لوله به فاصله x در جهت مخالف تغيير مکان مي دهد؛ اين جابه جايي در عين آنکه فرايند بدون تأثير عامل خارجي روي مي دهد، تحق مي يابد. پس اگر 't زمان لازم براي تعويض از A به B باشد، مجموع اندازه حرکت که از دو بخش 'Mx / t مربوط به لوله و 'ml / t - مربوط به جرم انتقال يافته تشکيل مي شود، برابر است با صفر:
Mx - ml = 0؛
از اين معادله نتيجه مي شود:

اينک اين جابه جايي درست به وسيله جابه جايي ناشي از ضربه نور بايد جبران شود.
پس بايد

باشد. m را ي توان از اين تساوي محاسبه کرد و نتيجه گرفت:

اين همان مقدار جرم لخت است که بايد براي انرژي E منظور گردد، تا آن اصل بنيادي مکانيک که مي گويد، بدون تأثير نيروهاي خارجي هرگز تغيير مکان روي نمي دهد، اعتبار خود را حفظ کند.
از آنجا که هر انرژيي کلا از راه و بيراه به نحوي قابل تبديل به تشعشع است، اصل مزبور بايد اعتبار عمومي داشته باشد. بدين ترتيب، در يک بخش وسيع از معرفت جهان مادي وحدتي به دست مي آيد: ماده به وسيعترين معناي کلمه (متضمن نور و ديگر صورتهاي انرژي خالص در قاموس فيزيک متعارف) در ميت بنيادي را نمايان مي کند: لختي، به ملاحظه جرم ماده، و قابليت انجام کار به اعتبار انرژي ماده. در هر جا که ميدانهاي الکتريکي و مغناطيسي با ديگر تأثيرات به انباشتگي شديد انرژي منتهي شوند، پديده لختي جرم به وجود مي آيد. الکترونها و اتمها همين گونه مراکز انباشتگي فوق العاده انرژي را تشکيل مي دهند.
از نتايج مهم و بيشمار اصل مذکور، فقط به چند مورد مي توانيم اشاره کنيم.
آنچه که در بادي امر به جرم الکترون مربوط مي شود براي جرم ساکن نشان مي دهد که انرژي الکترواستاتيکي S
نمي تواند تمام انرژي E الکترون ساکن باشد. يک بخش انرژي ديگر V نيز بايد وجود داشته باشد، يعني E = S + V است، به طوري که

مي شود. از اين نتيجه مي شود:

پس سه چهارم مجموع انرژي را انرژي الکترواستاتيکي تشکيل مي دهد، و يک چهارم را نوع ديگر. اينبخش اخير بايد به نيروهاي چسبندگي مربوط باشد که اتصال الکترون را در برابر رانشهاي الکترواستاتيکي حفظ مي کند.
نمونه ديگر را از پژوهشهاي جديد اختيار مي کنيم. چنين معلوم شده است که سه نوع مزون 𝜋 وجود دارد. يک نوع مثبت، دومي منفي بار شده (اندازه بار به اندازه بار الکترون) و سومي از حيث الکتريکي خنثي (مزون 𝜋+ و مزون 𝜋− و مزون𝜋0 ). اندازه گيري دقيق جرم اين ذرات نشان مي دهد که جرم مزونهاي 𝜋+ و 𝜋− يکسان و 273 بار از جرم الکترون بزرگتر است، حال آنکه جرم مزون 𝜋0 فقط به 264 برابر جرم الکترون مي رسد. اين تفاوت جرمي را مانند در مورد الکترون به توسط بار الکتريکي مي توان توضيح داد. بار بر يک ميدان الکتريکي داراي انرژي معين S تأثير مي گذارد که در مورد مزونهاي مثبت و منفي يکسان است. از اين رو ذرات باردار 𝜋± بايد از 𝜋0 سنگينتر باشند، در واقع به اندازه𝑆𝑐2 . تفاضل جرم ( جرم الکترون است) حکايت از اين مي کند که در مزونهاي باردار، به مراتب بيش از دو الکترون انرژي نهفته است. دستور محاسبه انرژي S نهفته در بار e را براي حالتي که e بر سطح يک کره به شعاع a توزيع شده باشد، در بند 13 از فصل پنجم بيان کرده ايم:

چنانچه در مورد مزون باردار نيز از همين الگو استفاده کنيم، نتيجه مي شود:

به طوري که a «شعاع» توزيع بار در مزون را نمايش مي دهد. a را مي توان محاسبه کرد. اندازه که از اين محاسبه به دست مي آيد، در انطباق با اختلاف جرمي بزرگتر، به مراتب از شعاع الکترون کوچکتر است.
يک اتم تشکيل مي شود از يک هسته باردار (به شعاع ) و ابر الکتروني محيط بر هسته که بار هسته را دقيقاً خنثي مي کند. هسته خود از پروتونها و نوترونها بنا شده است. بار پروتون مثبت و به اندازه بار الکترون است، جرم آن به حدود 2000mel بالغ مي گردد. پروتون هسته سبکترين اتم را تشکيل مي دهد، يعني هسته اتم هيدروژن را. نوترون داراي جرمي است در حد جرم پروتون، ولي آنچنانکه از نام آن برمي آيد، از حيث الکتريکي خنثي است. يک اتم به وسيله دو نشانه کمي مشخص مي شود: به وسيله جرمش که به مقدار عمده به هسته تعلق دارد (چون سهم جرمي الکترونها را مي توان ناديده گرفت)، و به وسيله بار هسته که بر حسب شماره پروتونها تعيين مي شود و برابر است با تعداد الکترونهاي گرد هسته.رفتار شيميايي اتم بر مبناي الکترونهايي مشخص مي گردد که در فاصله حدود
پيرامون هسته حرکت مي کنند. از اين رو تعداد الکترونها يا پروتونها به تنهايي خواص شيمايي اتم را تعيين مي کنند. هسته هايي که تعداد پروتونهاي آنها متساوي است، ولي تعداد نوترونهايش با هم فرق دارد. اتمهاي مربوط به اين گونه هسته ها از حيث رفتار شيميايي يکسانند، ولي از لحاظ مقدار جرم با يکديگر
متفاوتند. چنين اتمهايي به «ايزوتوپ» موسومند. يک عنصر شيميايي عموماً مخلوطي است از ايزوتوپهاي مختلف.
ساده ترين نمونه، هيدروژن است که تنها يک ايزوتوپ دارد. هسته اين ايزوتوپ موسوم به هيدروژن سنگين يا دوتريوم از يک پروتون و يک نوترون تشکيل مي شود و به دوترون موسوم است. هرگاه جرمهاي اجزاي ساختماني را با يکديگر جمع بزنيم.

که تقريباً جرم چهار الکترون است.
مي خواهيم تعيين کنيم که چقدر انرژي بايد به يک نوترون داده شود، تا نوترون شکافته شده به پروتون و نوترون تبديل گردد. آزمايش حاصل محاسبه را دقيقاً تأييد مي کند. اينک همين مقدار انرژي آزاد خواهد شد، اگر يک پروتون و يک نوترون به صورت يک دوترون متحد شوند.
مورد ديگر نمونه اي است که از لحاظ فني بسيار اهميت دارد و در رآکتورها مورد استفاده قرار مي گيرد. فرآيندي که در اين دستگاه هاي گرما نيرو تحقق مي يابد، عبارت است از اينکه: يک هسته ايزوتوپ اورانيوم 235(متشکل از 235، ذره، يعني 92 پروتون و 143 نوترون) يک نوتورن را به خود جذب مي کند، به حالت پايدار درمي آيد و به دو هسته کوچکتر و چند نوترون شکافته مي شود. اين نوترونهاي نوبنياد مي توانند هسته اورانيومهاي جديد را بشکافند. به اين ترتيب يک «فعل و انفعال زنجيري» به راه مي افتد، به طوري که دوام خود را اساساً حفظ مي کند تکه پاره هاي محصول هر شکافتي با يک انرژي جنبشي بسيار بالا از يکديگر پراکنده مي شوند و به وسيله ماده محيط خود ترمز شده آنرا گرم مي کنند. هرگاه جرمهاي محصول شکافت را با هم جمع کنيم، حاصل جمع از مقدار جرم هسته 〖U 〗_235مختصري کمتر است. اين اختلاف جرمي درحدود 400 برابر جرم الکترون است. انرژي اختلاف جرم مزبور عبارت است از انرژي تکه پاره هاي هسته اورانيوم. اين انرژي به گرما تبديل مي شود.
از دو نمونه اخير چنين برمي آيد که از طريق اين دو فرآيند مي توان گرما کسب کرد:
از طريق شکافتن هسته هاي اتمي سنگين و از طريق احداث هسته هاي اتمي کوچک (همجوشي هسته اي) از اجزاي آنها. منبع گرماي ستارگان را همين فرايند دومي تشکيل مي دهد.
همه خوب مي دانند که از فرايند شکافت هسته در بمب اتمي (بمب A) استفاده مي شود، از همجوشي هسته اي در بمب ئيدروژني (بمب H). ولي ما نمي خواهيم در آن گونه مناظر تاريک که تحولات فني بر پايه رابطه اينشتين عرضه کرده است، بيش از اين وارد شويم.

پي‌نوشت‌ها:

1. Poynting
2. Lebedew
3. Nichols
4. Hull
5. در نخستين مستخرجات اينشتين (1905)، لوله به عنوان جسم صلب فرض شده است. او خود معناي مجرد جسم صلب را بعد (1907) در نظريه نسبيت انتقاد کرد. نتيجه گيري ما بياني است ساده شده از ملاحظات فينبرگ (E. Feenberg).

منبع مقاله :
ماکس، بورن؛ (1371)، نظريه ي نسبيت اينشتين، ترجمه ي هوشنگ گرمان، تهران: انتشارات علمي و فرهنگي، چاپ چهارم.