رياضيات از منظر فيلسوف (2)

نگاهی به شیوه ی نصیرالدین طوسی در برخورد با مسائل ریاضی

در مجموع وی بر آن است که گزاره ی توازی از علوم متعارفه نیست و نمی توان آن را در علمی جز هندسه بیان کرد و شایسته آن است که آن را در شمار مسائل بیاوریم و نه مصادرات. (1) سپس وعده می دهد که گزارۀ توازی را در موضعی که شایستۀ آن است ذکر و همچون یک قضیه آن را ثابت کند که پرداختن به جزئیات روش وی در این کار خارج از موضوع یادداشت حاضر است. قطب الدین در این موضع از تحریر خود ترجمه گونه ای از سخن خواجه را همراه با افزوده هایی آورده و البته روش کار وی برای اثبات اصل پنجم به عنوان یک گزاره بسیار متفاوت است:« این آن است کی در اصل یاد کرده اند. و من می گویم اکثر این قضایا چنان است کی متعلم سلیم الفطره هر چند به حکم صحت فطرت و ذکا بصیرت بر آن تصدیق کند، اما در باطن از انکاری خالی نباشد و او را خارخار طلب بیانی باشد. سیّما بر قضیه ی اخیر و از این جهت استادان صناعت مؤاخذت کرده اند بر اقلیدس کی آن را در عداد مسایل یاد کردن اولی تر از آن کی در مصادرات. چه آن را در غیر علم هندسه بیان نتوان کرد و هیچ کس از اهل صناعت بیان آن بی معاونت بعضی از اشکال کتاب نکرده اند و از این جهت در اثناء مسایل یاد کنند. پس از جهت ازالت خارخار متعلمان سلیم الفطرة لایق نمود اشارتی خفیف و ایمایی لطیف به بیان هر یکی کردن بی استعانت به مسایل کتاب...» (2)
موضوع مصادره ی توازی چندان برای خواجه مهم بوده که وی اثری مستقل با عنوان الرسالة الشافیة عن الشک فی الخطوط المتوازیة درباره ی آن نوشته شده و علاوه بر تکرار مطالب مذکور در تحریر اقلیدس آرای سه دانشمند مسلمان دیگر یعنی جوهری، ابن هیثم و خیام را نیز در آن نقل و نقد کرده است. از آنجا که علم الدین قیصر بن ابی القاسم مهندس حنفی دمشقی درباره ی این رساله با خواجه مکاتبه داشته است، زمان تألیف این رساله قطعاً پیش از 649 ق یعنی سال درگذشت علم الدین و احتمالاً مقارن با تألیف تحریر اقلیدس یعنی حدود 646 ق بوده است.
اصل توازی در متن اصلی اثر اقلیدس بدین صورت آمده است: «هر گاه خط راستی دو خط راست دیگر را قطع کند و مجموع دو زاویه متقابل داخلی پدید آمده در یک سوی آن خط از 2 قائمه کمتر باشد، اگر این دو خط را تا بی نهایت امتداد دهیم سر انجام در همان طرفی که مجموع زوایا از دو قائمه کمتر است یکدیگر را قطع می کنند.» (3)
یعنی در شکل 1 اگر مجموع دو زاویۀ α و β کمتر از دو قائمه (180 درجه) باشد اگر دو خط I و m را [در شکل 1: از سمت راست] « به اندازۀ نامعلومی » امتداد دهیم سرانجام به هم خواهند رسید.
نکتۀ دیگری که از همان آغاز، توجه دانشمندان را به خود جلب کرده، تردید اقلیدس در استفاده از اصل توازی است. (4) اقلیدس ظاهراً با تعمدی آشکار، استفاده از اصل توازی را تا آنجا که توانسته به تعویق انداخته و بار نخست در اثبات قضیه 29 ناگزیر این اصل را به کار گرفته است.
بهترین شاهد این سخن ترتیب قضایا و ارتباط آنها در کتاب اصول است. قضایایی که بدین بحث مربوط می شوند بدین قرار است:
قضیۀ 16: در هر مثلث، هر زاویۀ خارجی، از هر زاویۀ داخلی غیر مجاور بزرگتر است.
قضیۀ 17: در هر مثلث، مجموع هر دو زاویه کمتر از دو قائمه است. (این قضیه، در واقع قضیه عکس اصل توازی به بیان اقلیدس است)
قضیه 27: اگر خطی دو خط دیگر را قطع کند و زوایای متبادل داخلی برابری پدید آورد آن دو خط متوازیند.
قضیه 28: اگر خطی دو خط دیگر را قطع کند و مجموع زوایای متقابل داخلی در یک طرف خط 2 قائمه باشند، یا دو زاویه متقابل داخلی و خارجی در یک طرف خط با هم برابر باشند آن دو خط متوازیند.
قضیه 29: عکس قضیه 28 ( در این قضیه برای نخستین بار ناچاریم از اصل توازی استفاده کنیم)
قضیۀ 32: در هر مثلث، هر زاویۀ خارجی، برابر مجموع دو زاویۀ داخلی غیر مجاور آن است؛ یا مجموع زوایای داخلی هر مثلث 2 قائمه است.
چنانکه دیدیم قضیۀ 32 حالت جامع تر و دقیق تر دو قضیه 16 و 17 است، اما در قضیۀ 32 از قضیه 29 و در نتیجه از اصل توازی استفاده شده است، در حالی که دو قضیه 16 و 17 مستقل از آن هستند.
چنانکه از ارتباط منطقی قضایای 16 تا 32 پیداست قضیۀ 16 در تمام قضایای 17 تا 28 مستقیم یا غیرمستقیم به کار رفته است. به خصوص قضیۀ 27 ( و نیز 28) با استفاده از اصل توازی به سادگی قابل اثباتند، ولی اقلیدس خود را به زحمت می اندازد و قضیۀ 27 را با استفاده از قضیۀ 16 ثابت می کند. البته یک ریاضیدان قضیۀ 28 را در هر صورت با استفاده از اصل 27، یا به احتمال ضعیف با استفاده از قضیۀ 17 ثابت خواهد کرد ( و پیداست که در هر دو صورت با یک واسطه از قضیۀ 16 استفاده شده است). طبعاً اقلیدس حتی در صورت اطمینان به استقلال اصل توازی، تمایل داشته که این قضایا را با استفاده از اصول کمتری ثابت کند، اما قضیۀ 17 تا هنگام اثبات قضیه کلی تر و دقیق تر سی و دوم به کار گرفته نشده است و در نتیجه ذکر آن در این موضع زائد به نظر می رسد. منطقی ترین توجیه آنچه ظاهراً نقص می نماید آن است که اقلیدس در استقلال اصل توازی یعنی غیرقابل اثبات بودن این اصل بر اساس 4 اصل دیگر تردید داشته و خواسته است دستگاه ریاضی او در صورت اثبات این اصل توسط ریاضیدانان بعدی کمترین آسیب ممکن را ببیند.
به هر حال این تردید که منشأ آن خود اقلیدس و احتمالاً پیشنیان وی بود، در اندک مدتی به کوششی مستمر برای اثبات اصل توازی بر پایه چهار اصل دیگر تبدیل شد. البته گروهی از این دانشمندان به صراحت اصلی جایگزین اصل توازی می کردند که به نظر آنها واضح تر و بدیهی تر از اصل توازی به بیان خود اقلیدس بود. از میان دانشمندان پیش از اسلام کسانی چون ارشمیدس، بطلمیوس و پروکلوس بدین مسأله پرداخته اند. در میان مسلمانان پیش از خواجه که به اصل توازی توجه داشته اند می توان از جوهری، ثابت بن قره، نیریزی، ابن هیثم، ابن سینا، بیرونی و خیام را نام برد.
نصیرالدین در آغاز رسالة الشافیة ضمن اشاره به تلاش های پیشینیان آورده است: « از میان آنان ( که به مصادره ی توازی پرداخته اند) برخی چون ابن هیثم که در فن ریاضی متبحر بود، مصادره ی دیگری را جایگزین این مصادره ساخته که در پوشیدگی یا روشنی تفاوت چندانی با آن ندارد. و برخی چون حکیم عمر خیام در برهان این مصادره مقدمه ای به کار برده که آن را به روشنی توضیح نداده است. و برخی چون عباس بن سعید جوهری نیز در اثبات این اصل مقدمه ای به کار برده که مغالطه ی آن بر هوشمندان روشن بین آشکار است. » (5)
خواجه بر آن است که به شیوه ای ملموس تر گزاره ی توازی را قابل اثبات بیانگارد. وی در این باره چنین می گوید: « تفاوت پنهان میان این مسأله که « اگر خطی دو خط دیگر را چنان قطع کنند که مجموع زوایای درونی آن کمتر از دو قائمه باشد، آن دو خط همدیگر را قطع خواهند کرد. » و این مسأله که « اگر مجموع این زوایا دو قائمه باشد، همدیگر را قطع نخواهند کرد » چیست که آن دو را به طور کلی از یکدیگر متمایز می سازد، چندان که یکی از آن دو (= اصل توازی) را در زمره ی اولیات (بدیهیات) قرار می دهد، به گونه ای که بی نیاز از توضیح است و آن یکی دیگر از مرتبه مسلمات دور افتاده است و نیاز به برهان دارد. این چه خصوصیتی است که یکی از این مسأله را به یکی از مسائل فلسفی بدل کرده است، اما آن دیگری که این خصوصیت را ندارد شبیه دیگر قضایای هندسی است. اگر به دیده ی انصاف بنگری، قضیه ی 17 از مقاله اول اصول که بر اساس آن مجموع هر دو زاویه ی مثلث کمتر از دو قائمه است و این مسأله که هر دو زاویه که مجموع آنها کمتر از دو قائمه باشد، می توانند زوایای یک مثلث باشند (بیان دیگری از اصل پنجم) در واقع دو قضیه هم جنس هستند و یکی عکس دیگری است. » (6)
چنان که دیدیم انتقاد خواجه بر اقلیدس، متوجه بداهت اصل پنجم است. در واقع بر اساس دیدگاه خواجه که پیش از این روشن شد نباید هندسه ی اقلیدس را بر اصلی استوار ساخت که بداهت آن به عنوان یک اصل موضوعه یا اثبات آن در علمی دیگر به عنوان یک مصادره تا این حدّ مورد تردید است. انتقاد او بر ابن هیثم نیز از همین نوع است. وی ابن هیثم را به سبب آنکه اصلی را جایگزین اصل دیگر کرده ( یا تعبیر امروزی: بیان اصل توازی را تغییر داده) است شماتت نمی کند، بلکه انتقاد او از این جهت است که اصل پیشنهادی ابن هیثم از لحاظ بداهت یا به تعبیر خود او « ظهور » یا « خفا » مزیتی بر اصل توازی اقلیدس ندارد.
ابن هیثم در حل شکوک اقلیدس و هنگام بحث درباره ی مصادره ی توازی یادآور شده که: « این مصادره هم ارز است با این که: « دو خط متقاطع، با یک خط [دیگر]، موازی نیستند » جز این که این گفته روشن تر، محسوس تر و مقبول تر از آن است. » (7)
خواجه هنگام انتقاد از این نظر ابن هیثم آورده است: « أمّا المقدمة التی زعم أنّها أبین عند الحس و أوقع فی النفس من هذه المصادرة و استعملها فی المواضع التی یحتیج فیها تلک المصادرات بدلاً عنها فهی أنّ الخطین المستقیمین المتقاطعین لا یمکن أن یوازیا خطاً واحداً مستقیماً. » (8)
آنچه ابن هیثم به عنوان اصل توازی پذیرفته و به کار برده، در واقع همان صورت امروزی اصل توازی است. که پیش از وی پروکلوس در سده ی پنجم میلادی مطرح کرده بود و بعدها توسط جان پلی فیر مجدداً مطرح و به نام وی اصل پلی فیر (9) نامیده شد. (10) این اصل هم ارز اصل پنجم اقلیدس است، ولی اگر به دیده ی انصاف بنگریم، برخلاف نظر نصیرالدین ساده تر از آن است.
خود نصیرالدین در واقع اصل دیگری را جایگزین اصل توازی می کند که بر اساس آن دو خط نمی توانند در حالی که در یک جهت امتداد داده می شوند در آن واحد هم به یکدیگر نزدیک شوند و هم از یک دیگر دور شوند. (11) وی در نامه ی دوم خود به علم الدین قیصر بن ابی القاسم مهندس حنفی دمشقی که در پایان برخی نسخه های الرسالة الشافیة آمده است، در پاسخ به انتقاد وی تأکید می کند که او این حکم بر اصلی استوار است که اثبات آن به ماهیت خطوط خطوط مستقیم و اعراض ذاتی آن بستگی دارد و به همین لحاظ بحث درباره ی درستی یا نادرستی آن به علمی جز هندسه مربوط می شود. (12)
البته باید یادآور شد بداهت اصول موضوعه در یک دستگاه منطقی و در نتیجه در یک دستگاه ریاضی، از نظر ریاضی دانان – دست کم در سنت اقلیدسی هندسه – همواره اهمیت بسزا داشته است. هیلبرت نیز به عنوان آخرین معمار این نظام فلسفی – ریاضی در مقدمه ی کتاب خود به این معنی تأکید کرده است.
هندسه، همچون حساب، برای گسترش منطقی خود تنها نیازمند شمار اندکی از قوانین بنیادین است. این قوانین بنیادین را اصول موضوعه ی ( اکسیوم های ) هندسه می نامند. انتخاب این اصول موضوع (یا به عبارت دیگر انتخاب گزارهایی به عنوان اصول موضوعه) و بررسی ارتباط میان آنها مسأله ای بوده است که از روزگار اقلیدس در بسیاری از آثار برجسته ریاضی مورد بحث قرار گرفته است... بررسی حاضر تلاشی تازه است برای انتخاب مجموعه ای ساده و کامل از اصول موضوعه مستقل از یکدیگر، برای استنتاج بیشتر قضایای هندسه ... (13)
در پایان باید یادآور شد که نحوه ی بیان یک اصل در اثبات مسائل هندسی تأثیر بسزایی داشته است. نصیرالدین طوسی در بحث درباره ی کار ابن هیثم و در ادامه ی مطلبی که پیشتر نقل شد تلویحاً به همین نکته اشاره دارد و به همین مناسبت اثبات ابن هیثم از قضیه ی 29 را به عنوان مثال ذکر کرده است: « أمّا المقدمة التی زعم أنها أبین عند الحس ... و أما وجه استعمالها مکان تلک المصادرة مثلاً فی الشکل التاسع و العشرین و هو اول الاشکال المحتیج الیها فان یقال... » (14)
در اینجا برای روشن شدن تأثیر بیان اصل توازی در نحوه ی اثبات قضایا، قضیه ی سی ام کتاب اول اصول را به دو روش حل می کنیم. صورت قضیه چنین است:
دو خط موازی با یک خط، با یک دیگر نیز موازیند.
اقلیدس و به پیروی از او، خواجه نصیرالدین این قضیه را چنین ثابت کرده اند:
الف. چون خط GK دو خط متوازی AB و EF را قطع کرده است، طبق قضیه ی 29، زوایای AGK و GHF متساوی اند.
ب. دیگر بار، چون خط GK دو خط متوازی CD و EF را قطع کرده است، طبق قضیه ی 29، زوایای GKD و GHF متساوی اند.
به یاد داشته باشیم که در اثبات قضیه 29 از اصل توازی استفاده شده است.
ج. از دو رابطه ی قبل، و اصل متعارف « دو چیز برابر با یک چیز با هم برابرند » نتیجه می گیریم که دو زاویه GKD و AGK با هم برابرند. پس طبق قضیه ی 27 دو خط AB و CD متوازی اند.
اثبات قضیه با بیان امروزین اصل توازی بسیار ساده است و ابن هیثم بی گمان از روشی مشابه استفاده کرده است:
اگر AB و CD متوازی نباشند آنگاه ( طبق تعریف خطوط متوازی) در نقطه ای که آن را P می نامیم، همدیگر را قطع خواهند کرد. در این صورت از نقطه P دو خط AB و CD به موازات خط EF وصل شده اند و این خلاف اصل توازی است.

پي نوشت ها :

* پژوهشگر حوزه ی تاریخ علم.
1.زیرا موضوع آن نه آن چنان است که در علمی جز علم هندسه قابل اثبات باشد (پس مصادره نیست) و نه آن قدر بدیهی است که بتوان آن را بدون اثبات پذیرفت (پس نمی تواند اصل موضوعه قلمداد شود) پس در ساختار برهانی اقلیدسی به ناچار باید آن را در شمار مسائل یا قضایا ذکر و اثبات کرد.
2. تحریر اقلیدس (قطب الدین شیرازی)، برگ 4
3. The Thirteen Books of Euclid's Elements, vol, I, P.155
4. Euclidian and Non-Euclidian Geometries, p.18
5.الرسالة الشافیة، ص 4
6.همان، ص 3
7.حل شکوک ...، صص 25-26
8.الرسالة الشافیة، ص5
9.Playfaire's Postulate
10.Euclidian and Non-Euclidian Geometries, pp.16-17
11.تحریر اقلیدس ( نصیرالدین )، 4
12.الرسالة الشافیة، ص 40
13.the foundations of Geometry, p.1
14.الرسالة الشافیة، صص 5-6

منابع :
1.ابن هیثم، حسن، حل شکوک کتاب اقلیدس، چاپ تصویری به کوشش فؤاد سزگین، فرانکفورت، 1985م
2.دیونگ، گرگ، تحریر اصول اقلیدس، مندرج در دانشنامه ی جهان اسلام، ج6، تهران، 1380ش
3.سلیمان حشمت، رضا و قوام صفری، رضا، برهان، مندرج در دانشنامه ی جهان اسلام، ج3، تهران، 1378ش
4.کرامتی، یونس، ملاحظاتی در باب آراء نجومی ابوسعید سجزی و شرف الدین مسعودی، مندرج در: نامه ی فرهنگستان، سال سوم، شماره ی اول، بهار1376ش، ج9
5.قطب الدین شیرازی، تحریر اقلیدس، دست نویس شماره ی 343 کتابخانه ی شماره ی دوی مجلس شورای اسلامی (سنای سابق)
6.همو، درّة التاج، فن اول از جمله ی چهارم: « اسطقسات » (= تحریر اصول اقلیدس)، دست نویس های شماره ی 4720 مجلس شورای ملی، 867 کوپرولو و 560 و 562 سپهسالار.
7.نصیرالدین طوسی، اساس الاقتباس، مندرج در تعلیقه بر اساس الاقتباس نصیرالدین طوسی، به کوشش سید عبدالله انوار، تهران، نشر مرکز، 1375ش
8.همو، تجریدالمنطق در: الجوهر النضید فی شرح منطق التجرید، قم، بیدارفر، 1363ش
9.همو، تعدیل المعیار فی نقد تنزیل الافکار، به اهتمام عبدالله نورانی در: منطق و مباحث الفاظ، زیر نظر مهدی محقق و توشی هیکو ایزوتسو، تهران، مؤسسه مطالعات اسلامی، 1353ش
10.همو، الرسالة الشافیة عن الشک فی الخطوط المتوازیة، مندرج در جلد دوم رسائل طوسی، حیدرآباد دکن، دائرة المعارف عثمانیة، 1359ق
11.همو، تحریر اقلیدس، تهران، 1298ق
12.Greenberg, Marvin jay, Euclidian and Non-Euclidian Geometries: Development and History, Second Edition,United States of America, W.H.Freeman and Company, Second Edition, 1980
13.Heath, Thomas L.,The Thirteen Books of Euclid,s Elements,Cambridge University Press, Cambridge, 1908
14.Hilbert, David, Foundations of Geometry,English translation by E.J,Townsend, Chicago, the open court publishing company, 1902
15.مراجعه به این منابع برای برخی از خوانندگان بی فایده نخواهد بود:
جاویش، خلیل، نظریه ی المتوازیات فی الهندسة الاسلامیة، بیروت، بیت الحکمه، 1988 م
کرامتی، یونس، مقالات « اصول اقلیدس »، « تحریر اقلیدس (چاپ رم) » و « تحریر اقلیدس (نصیرالدین) » مندرج در فرهنگ آثار ایرانی – اسلامی، ج1 و 2، تهران، 1387-1385ش
همو، درة التاج لغرة الدباج، مندرج در دانشنامه ی زبان و ادب فارسی، ج3، 1388ش
نیز:
Bonola, Roberto,Non-Euclidean Geometry: A Critical and Historical Study of its Development, English translation by H.S. Carslaw, Chicago,The open court publishing company, 1912
Jaouiche, kh., La theorie des paralleles en pays d,Islam: Contribution a la prehistoire des geometries non-euclidiennes, paris, 1986
منبع مقاله :
صلواتي، عبدالله؛ (1390) خواجه پژوهي (مجموعه مقالاتي به قلم گروهي از نويسندگان) تهران: خانه کتاب، چاپ اول