هندسه اقلیدسی

شاید تأثیرگذارترین کتاب ریاضیاتی که در طول تاریخ نوشته شده است، اصول اقلیدس باشد که حدود 300 قبل از میلاد نگارش یافته است. اگرچه اقلیدس حدود 2 هزار سال پیش زندگی می کرد اما از بسیاری از جهات می توان او را نخستین ریاضیدان مدرن یا حداقل نخستین ریاضیات مدرنی نامید که ما می شناسیم. به طور خاص او نخستین نویسنده ریاضیاتی است که به طور سیستماتیک از روش اصول موضوعه استفاده کرد. او در آغاز کتابش 5 اصل را بیان و آنها را می پذیرد و ساختمان عظیمی از قضایای هندسی را بر مبنای آن بنا می کند. آشناترین نوع هندسه ای که مدام با آن سر و کار داریم، اگر اصلاً سر و کارمان به انواع دیگر افتاده باشد، هندسه اقلیدسی است. اما در مراکز تحقیقاتی معنی هندسه بسیار گسترده تر از مفاهیم هندسه اقلیدس رشد یافته است و امروزه هندسه دانان کمتر وقت خود را با خط کش و پرگار سپری می کنند.
اصول اقلیدس در زیر آمده است من از واژه خط معنی عمومی آن را به کار گرفته ام یعنی اینکه می توان آن را از دو سر ادامه داد و اصطلاح پاره را برای خطی که از دو سو محدود شده است به کار برده ام.
1. هردو نقطه را تنها می توان با یک پاره خط به هم وصل کرد.
2. با امتداد دادن هر پاره خط تنها یک خط به دست خواهد آمد.
3. به ازای هر نقطه دلخواه p و هر عدد دلخواه r، دایره ای با شعاع r و به مرکز p وجود دارد.
4. هر دو زاویه قائمه با هم، هم ارزند.
5. اگر خط مستقیم N دو خط مستقیم M, L را قطع کند و مجموع زوایای داخلی که N با خطوط M, L می سازد کمتر از دو قائمه باشد، آنگاه امتداد M, L ( که مجموع زوایای کمتر از دو قائمه شکل گرفته است ) همدیگر را قطع می کنند.
اصول 4 و 5 در تصویر 1 نشان داده شده اند. اصل 4 به این معنی است که شما می توانید هر زاویه قائمه ای را آزادانه جابه جا کنید تا به زاویه قائمه جدیدی منطبق شود.
همین طور در مورد اصل 5، از آنجایی که زاویه که با نشانه های β مشخص شده اند دارای مجموع کمتر از 180 درجه هستند. پس دو خط M, L در امتداد آن جهت با هم تلاقی خواهند کرد. اصل پنجم اقلیدس معادل اصل توازی است که بیان می کند اگر خط دلخواه L و نقطه X خارج از L را در نظر بگیرید تنها یک خط مانند M وجود دارد که از X می گذرد و هرگز L را قطع نمی کند.
اقلیدس از این 5 اصل برای ساخت هندسه اقلیدسی استفاده کرد. در اینجا برای مثال، خطوط اصلی اثبات قضیه معروفی که بیان می کند مجموع زوایای یک مثلث 180 است را بیان می کنیم.
نخستین گام این است که نشان دهید اگر خطی مانند N دو خط موازی M, L را قطع کند زوایای مقابل با هم برابرند. یعنی در شکلی مانند شکل 2 زوایای و , این حکم نتیجه ای از اصل 5 است، نخست این اصل بیان می کند که=β حداقل °180 هستند چرا که اگر از این مقدار کوچکتر باشند M, L همدیگر را قطع می کنند که خلاف فرض توازی آنها است. حال از آنجا که α,β زوایای سازنده خطی مستقیم هستند دارید، α+β=1800 یا β=180-α؛ بنابراین داریم حداقل برابر1800 است که در نتیجه حداقل برابر با است با استدلال مشابه داریم. باید حداقل1800 باشد و بنابراین حداقل برابر با است تنها زمانی که این دو شرط همزمان اتفاق می افتد آن است که ، حال از آنجا که β=180-α و نتیجه می گیریم حال فرض کنید ABC یک مثلث دلخواه باشد و زوایای C, B, A را β, α بنامیم. بر اساس اصل دوم اقلیدس می توانیم پاره خط AC را توسعه دهیم تا به خط L برسیم. اصل توازی بیان می کند که خطی مانند M موازی L وجود دارد که از نقطه β می گذرد. زوایای و را مطابق شکل 3 در نظر بگیرید. اما ما ثابت کرده ایم و واضح است که آنجا که 3 زاویه β و و با یکدیگر یک خط راست را می سازند، داریم که همان حکم مورد نظر ما است.
تصویر شماره 1: اصل چهارم اقلیدس و 2 روایت از اصل پنجم آن
تصویر شماره 2: نتیجه اصل پنجم اقلیدس
تصویر شماره 3: برهان اینکه مجموع زوایای مثلث 180° می شود
چنین استدلالی چه چیزی درباره زندگی روزمره به ما می گوید؟ یک نتیجه گیری آشکار آن است که اگر شما 3 نقطه دلخواه C,B,A را در فضا انتخاب کرده و مثلث ABC را تشکیل داده و زوایای آنها را به دقت اندازه بگیریم، آنگاه با مجموع زوایای 180 درجه مواجه می شوید. یک آزمایش ساده می تواند این مسأله را آشکار کند. یک مثلث را بر روی یک قطعه کاغذ رسم کنید. سپس کاغذ را با دقت به گونه ای ببرید که هر یک از زوایا روی یک قطعه کاغذ باشد. سپس این قطعات را کنار هم به طوری قرار دهید که 3 زاویه مثلث کنار هم قرار بگیرند. در این صورت می بینید که شکل جدید یک خط راست را در کنار زوایا ایجاد می کند. اگر شما هم راضی شده اید، که امکان ندارد بتوان مثلثی رسم کرد که مجموع زوایای آن از 180 درجه بیشتر باشد، در این صورت شما هم در رده مجموعه ی بزرگی از انسان ها قرار می گیرید که از زمان اقلیدس در 300 ق.م تا زمان ایمانوئل کانت در پایان قرن هیجدهم زندگی می کرده اند. در حقیقت ایمانوئل کانت آن قدر نسبت به این موضوع مطمئن بود که در کتاب خود به نام سنجش خرد ناب (1) بخش مهمی را به این پرسش اختصاص داد که چگونه می توان یقین داشت که هندسه اقلیدسی درست است؟
با وجود این کانت اشتباه می کرد. حدود 30 سال بعد ریاضیدانان برجسته ای به نام کارل فردریش گاوس (2) توانست مثلثی بسازد که مجموع زوایای آن بیش از 180 درجه می شد. او 3 راس این مثلث را بر مبنای قله های هوهنگات (3)، اینزلبرگ (4) و بروکن (5) در پادشاهی هانور (6) ساخت.
البته اگرچه این داستان معروفی است اما صادقانه باید اعتراف کنم به نظر من تصمیم او به آزمودن صحت اصول اقلیدس، نشانه وجود شک هایی درباره صحت آنها بوده است. البته محاسبات او دقیق نبودند، چرا که اندازه گیری زوایا با دقت مناسب بسیار دشوار بود. اما نکته مهم و جالب در خصوص آزمایش او این است که فراتر از نتیجه حاصله او حاضر شد خود را برای چنین آزمایشی به دردسر بیاندازد.
اما اگر چنین مثلثی وجود دارد کجای استدلالی که من در بالا ارائه کردم غلط بوده است؟
در حقیقت این سؤال واضحی نیست، چرا که استدلال من درست بوده است. با وجود این از آنجایی که این استدلال به مبنای اصول 5 گانه اقلیدس بنا شده است، تا زمانی که اصول اقلیدس در دنیای واقعی درست نباشد، استدلال ها هم چیزی در خصوص دنیای واقعی بیان نمی کند.
بنابراین با سؤال کردن درباره صحت اصول اقلیدس است که می توان صحت استدلال ریاضی انجام شده را مورد بحث قرار داد.
اما کدام یک از اصول اقلیدس به نظر مشکوک می آید؟ پیدا کردن خطایی آشکار در آنها بسیار دشوار است. اگر شما دو نقطه در دنیای واقعی را در نظر بگیرید و بخواهید آنها را با یک پاره خط به هم وصل کنید، تنها کاری که باید بکنید این است که تعدادی قطعه چوب کوچک را در امتداد هم میان دو نقطه قرار دهید تا پاره خطی میان آن دو شکل بگیرد، اگر بخواهید این پاره خط را توسعه دهید تا به یک خط تبدیل شود می توانید از یک نشانگر لیزری استفاده کنید و در دو سوی پاره خط نصب و آنها را روشن کنید تا خط ممتد خود را بیابید. در مورد دایره هم به نظر می رسد مشکلی در رسم کردن یک دایره به مرکز نقطه مشخص 2 و هر شعاعی که مایل باشید وجود داشته باشد و همین طور با یک آزمایش کوچک می توانید نشان دهید که دو زاویه قائمه واقعاً با هم، هم ارزند؛ کافی است دو زاویه قائمه دلخواه روی دو کاغذ رسم کنید و سپس یکی از آنها را بر دیگری قرار دهید تا ببینید کاملاً با هم تطابق دارند. سرانجام چه چیزی می تواند مانع امتداد یافتن دو خط موازی تا بی نهایت شود بدون آنکه آن دو خط در یک نقطه همدیگر را قطع کنند؟ ( مانند ریل های قطار که موازی هم پیش می روند ؟ )

اصل توازی

از نظر تاریخی اصلی که بیشترین سوءظن را برانگیخته است و باعث پریشانی بیشتر شده است، اصل توازی است. این اصل، از اصول دیگر پیچیده تر است و به طور بنیادی با مفهوم بی نهایت درگیر است.
بنابراین غیرعادی نیست که زمانی که اثبات می کنیم مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است در حقیقت صحت ادعای ما به این موضوع بستگی دارد که در دوردست های فضا چه اتفاقی برای خطوط موازی می افتد؟
اجازه دهید اصل توازی را با دقت بیشتری مورد بررسی قرار دهیم و سعی کنیم بفهمیم چرا این اصل به نظر بدیهی می رسد؟ شاید در پس ذهن ما استدلال هایی مانند موارد زیر باعث بدیهی جلوه دادن این اصل می شود؛
1. خط L و نقطه x که روی آن قرار ندارد را در نظر بگیرید. تنها کاری که لازم است برای رسم خط موازی 1 از x کنیم آن است که از x خطی هم راستا با 1 رسم کنیم.
2. فرض کنید g نقطه دیگری بیرون از 1 و در همان ظرفی است که x قرار دارد و در همان فاصله x از 1 قرار دارد. X,y را می توان با یک پاره خط به هم وصل کرد. آنگاه این خط را بنابر اصل 2 ادامه دهید تا خط M شکل بگیرد در این صورت خطوط L, M همدیگر را قطع نمی کنند.
3. M را خطی در نظر بگیرید که شامل همه نقاطی مانند X است که در یک طرف خط L قرار دارند و فاصله آنها تا خط L به اندازه فاصله X از L است. در این صورت بدیهی است که این خط L را قطع نمی کند.
استدلال هایی که بیان شدند به وجود یک خط موازی با L می پرداخته در اینجا چند استدلال پیچیده تر بیان می شوند که نشان می دهند تنها یک نمونه از چنین خطی وجود دارد که این نکته، بخش دیگری از اصل توازی است.
4. خطوط L, M ما را با مجموعه ای از پاره خط های عمودی و عمود بر آنها به هم وصل کنید ( مانند شکل 4 ) به طوری که یکی از این قطعات از نقطه X بگذرد. حال فرض کنید خط N خط دلخواه دیگری است که از X می گذرد، بنابراین در یک سوی محل X خط N میان خط M, L قرار می گیرد و در نتیجه قطعه خط عمود بعدی را در نقطه ای مانند u قطع می کند که بین M, L است. فرض کنید برای مثال u در فاصله %1 مسیر پاره خط میان L, M واقع باشد، در این صورت N پاره خط بعدی را در %2 مسیر قطع می کند و همین طور پاره خط های بعدی را به همین ترتیب در درصدهای بالاتر قطع می کند. بنابراین پس از عبور از 100 قطعه، N، خط L را قطع می کند. بنابراین با توجه به فرض ما که خط N، خطی غیر از M است متوجه می شویم که هر خط غیر M، که از X می گذرد موازی L نیست و بنابراین M تنها خط مورد نظر است.
در نهایت استدلال زیر هم زمان وجود و یکتایی چنین خطی را بیان می کند:
5) هر نقطه روی صفحه را می توان با مختصات دکارتی آن مشخص کرد، خط ( غیر عمودی ) L معادله ای مانند Y=mx+c دارد که با تغییر اندازه c می توانیم جای خط روی صفحه را تغییر داده و بالا و پایین ببریم. بدیهی است که خطوطی که در این معادله صدق می کنند و تنها در پارامتر c با هم متفاوتند هیچ گاه همدیگر را قطع نمی کنند و از هر نقطه روی صفحه تنها یک خط با چنین معادله ای می گذرد.
توجه داشته باشید که تمام آنچه من سعی در انجامش داشتم، تلاش برای اثبات اصل توازی بود و این دقیقاً همان کاری است که ریاضیدانان قبل از قرن یازدهم سعی می کردند انجام دهند. آنچه که عمدتاً این افراد به دنبالش بودند تلاش برای استخراج این اصل از 4 اصل قبلی است تا نشان دهند می توان این اصل را از مجموعه اصول حذف کرد با وجود این تلاش ها، هیچ کس نتوانست چنین کاری انجام دهد. مشکل استدلال هایی که من بیان کردم و دیگران به طرق مختلف ارائه کرده اند این است که این استدلال ها در دل خود فرض هایی را پنهان دارند که زمانی که آنها را آشکارا بیان کنیم، نتیجه آشکار و بدیهی 4 اصل اول اقلیدس نخواهد بود و در حقیقت هیچ یک از آن فرض ها پذیرفتنی تر از خود اصل توازی نیستند.
تصویر شماره 4: یکتایی خطوط موازی

هندسه کروی

یک روش مناسب برای آشکار کردن فرضیات پنهانی که در استدلال های بالا مورد استفاده قرار گرفتند این است که سعی کنیم همین استدلال ها را در زمینه ای متفاوت بیان کنیم، جایی که اصل توازی مطلقاً درست نیست، بیایید لحظه ای به سطح یک کره فکر کنیم. شاید در نگاه اول منظور ما از عدم صدق اصل توازی روی سطح کره چندان مفهوم نباشد چرا که سطح یک کره اصلاً فاقد خطوط مستقیم است. برای حل این مشکل باید ایده بسیار مهمی در ریاضیات را به کار بگیریم. این ایده در حقیقت یکی از ناب ترین استفاده های کاربردی از دیدگاه مجرد است و آنچه باید انجام شود تفسیر دوباره ای از مفهوم خط راست است. اگر این ایده و این تفسیر مجرد را بپذیریم سطح کره هم دارای خطوط مستقیم خواهد شد.
این تعریف در حقیقت تعریف طبیعی است: پاره خط میان دو نقطه y, x در حقیقت کوتاهترین فاصله میان دو نقطه y, x است. شاید این تصور به درک این تعریف کمک کند که مثلاً پاره خط میان y,x اگر y, x نمایانگر شهرهایی باشند، کوتاهترین مسیری است که یک هواپیما می تواند بین آن دو نقطه حرکت کند. حال در مورد کره می توان گفت پاره خط میان y, x کوتاهترین مسیر ممکن دو نقطه y, x است. به طوری که این مسیر به طور کامل روی سطح کره قرار داشته باشد. چنین مسیری بخشی از یک دایره عظیمه خواهد بود. منظور از دایره عظیمه فصل مشترک ( نقاط تماس ) میان صفحه ای که از مرکز یک کره می گذرد و سطح آن کره است ( شکل 5 را ببینید ). یک مثال از دایره عظیمه، استوای کره زمین است ( که البته بر مبنای این تعریف من زمین را هم کره کامل فرض کردم ) حال با تعریفی که از یک پاره خط ارائه دادیم، یک دایره عظیمه، تعریف درستی از خط مستقیم است.
تصویر شماره 5: یک دایره عظیمه
تصویر شماره ی 6: غلط بودن اصل توازی برای دایره
تصویر شماره ی 7: عبارت در همان راستا، در سطح کره بی معنی خواهد بود
اگر این تعریف را بپذیریم خواهیم دید که اصل توازی به وضوح غلط از آب درمی آید، برای مثال اگر L استوای زمین باشد و فرض کنید x نقطه ای در نیمکره شمالی باشد، آنگاه خواهیم دید که هر خطی که از x بگذرد ( یعنی هر دایره عظیمه ای که از x عبور می کند ) نیمی از مسیرش بالای استوا و نیمی از مسیرش زیر استوا است. به عبارت دیگر هیچ دایره عظیمه ای که از x عبور می کند ) نیمی از مسیرش بالای استوا و نیمی از مسیرش زیر استوا است. به عبارت دیگر هیچ دایره عظیمه ای که از x عبور کند را نمی توان رسم کرد که با استوا تقاطع نداشته باشد، بنابراین از x هیچ خطی موازی L نمی توان رسم کرد.
شاید به نظر برسد که این تعریف جدید فقط یک حقه کوچک است و اگر ما خط مستقیم بر کره را به شکل دیگری تعریف می کردیم می توانستیم اصل توازی را حفظ کنیم. البته دیگر نباید انتظار داشتیم که این تعریف جدید هم کاربردی باقی می ماند، در حقیقت تعریفی که از مفهوم خط مستقیم بر کره ارائه داده ایم به طور جدی کاربردی است. نکته جالب در اینجاست که با توجه به تعریف جدید بسیاری از قضایا و برهان هایی که بر مبنای اصل توازی بنا شده اند دیگر صحت خود را در هندسه کروی حفظ نخواهد کرد.
برای مثال در استدلال شماره 1 که برای تفسیر اصل توازی استفاده شد، به نظر می آمد که کلمه همان امتداد، کاملاً روشن و واضح است اما همین کلمه بر روی سطح کره به هیچ وجه واضح نیست. برای اینکه متوجه این امر شوید 3 نقطه N, Q, P را که در شکل 7 نشان داده شده است در نظر بگیرید. N قطب شمال کره است و P و Q روی استوا قرار دارند و Q,P به اندازه یک چهارم محیط استوا از هم فاصله دارند. همان طور که در شکل هم نشان داده شده اند پیکان های کوچک مسیر p را روی استوا به سوی Q نشان می دهند. حال اگر کسی بخواهد همان جهت را از N رسم کند چکار می تواند بکند؟
شاید یک راه این باشد که ما پاره خطی از P به N رسم کنیم. از آن جایی که جهت در P به سوی N عمود بر استواست پس شاید بتوانیم همان جهت به N را به شکل پیکان هایی موازی استوا که عمود بر PN است در نظر بگیریم. پس اگر در N بخواهیم در همان جهت به سمت Q حرکت کنیم آنگاه باید معادل آن پیکان ها باشد، اما مشکلی که پیش می آید این است که امتداد این جهت در N و Q یکسان نیست.
مشکل استدلال شماره 2 نیز در این است که ما وارد جزییات نشده ایم. چرا خطی مانند M نباید با L تلاقی کند؟ ضمن اینکه اگر آنها را خطوط کروی در نظر بگیریم آنها حتماً با هم ملاقات و تلاقی می کنند، همین طور در مورد استدلال شماره 3 بر مبنای مفهوم خط مستقیم M بیان شده است. که برای یک کره غیر صحیح است. اگر L استوا و M مکان هندسی همه نقاطی باشد که 1000 مایل با خط به حساب نمی آید. بلکه یک مدار بالاتر خواهد بود که همان طور که هر خلبان یا دریانوردی می تواند به شما بگوید این مدار نزدیکترین فاصله میان دو نقطه روی آن نخواهد بود.
استدلال 4 کمی متفاوت است چرا که متضمن یکتایی خطوط موازی است و من درباره آن در بخش بعدی بحث خواهم کرد. استدلال 5 نیز شامل تعداد زیادی از فرضیات است که درباره سطح کره صادق نیستند. نکته مهم در معرفی کره در مطالب بالا این است که ما را قادر می سازد که از هر یک از استدلال های 1، 2، 3 و 5 فرضیاتی که در بیان عدم کروی بودن هندسه مورد استفاده نقش دارند را خارج کنیم. شاید شما بگویید مگر مشکل موجود در این زمینه چیست؟ مشکل من این است که پس از همه این کارها ما هنوز با هندسه کروی سر و کار نداریم، همچنین ممکن است سؤال کنید که چگونه ممکن است کسی امیدوار باشد که نشان دهد، اصل توازی از اصول دیگر قابل استنتاج نیست اگر واقعاً این اصل مستقل است؟ آیا درست نیست که بگوییم اگر ریاضیدانان در طول قرن ها بدون موفقیت سعی کرده اند این کار را انجام دهند شاید در دویست سال آینده یک مغز متفکر با ایده ای جدید بتواند برهان جدیدی برای این موضوع ارائه دهد؟
این مسأله پاسخ روشن و زیبایی دارد و حداقل می توان به طور نظری و اصولی به آن پاسخ داد.
4 اصل اقلیدس، به وجود آمدند تا هندسه مربوط به یک فضای تخت و دو بعدی نامتناهی را توصیف کند، اما ما هیچ تعهدی در حفظ آنها و شرایط اولیه نداریم و می توانیم این اصول را در موارد دیگر هم به کار بریم؛ به شرط آنکه مسأله تخت بودن فضا از خود 4 اصل اول استنتاج شود. اگر بتوانیم این اصول را با ارائه و تفسیرهای جدید از معانی واژه ها– نظیر خط راست– تعبیر کنیم و اگر ببینیم با چنین فرآیندی 4 اصل اولیه پابرجا باقی می ماند، اما اصل توازی صحت خود را از دست می دهد، می توانیم نتیجه بگیریم که اصل توازی از 4 اصل اولیه استنتاج نشده است.
برای اینکه این استدلال روشن تر شود، برهانی را در نظر بگیرید که با توجه به 4 اصل اول اقلیدس آغاز شده و بر مبنای استنتاج های منطقی پیش رود تا در نهایت به گزاره اصل توازی برسد. از آنجا که مراحل طی شده در این مسیر بر مبنای اصول منطقی ریاضی هستند بنابراین صحت آنها با تغییر معانی کلمات خدشه دار نمی شود. بنابراین با توجه به آنکه 4 اصل اقلیدس در تعریف جدید نیز درست هستند و مراحل هم درست و صادق هستند باید اصل توازی هم صادق باشد. اما چون اصل توازی در این قضا صادق نیست، سپس یا اصول غلط اند ( که خلاف فرض است ) و یا مراحل استدلال دچار اشتباه است.
خوب پس چرا ما هندسه کروی را به عنوان جایگزین استفاده نکنیم. دلیل ساده این است که برخی از اصول موضوعه 4 گانه درباره هندسه کروی صادق نیستند. مثلاً اصل 3 درباره وجود دایره هایی با شعاع دلخواه عملاً فاقد اعتبار است و بین 2 نقطه قطب شمال و جنوب تنها یک مسیر که کوتاه ترین مسیر باشد وجود ندارد بلکه هر دایره بین آنها جواب مورد نظر است. پس اصل 1 هم فاقد اعتبار است؛ بنابراین با وجود اینکه هندسه کروی کمک شایانی به ما در درک ضعف های اصل توازی می کند اما برای ارائه برخی از کاربردهای مورد نظر ما ناتوان است و بنابراین من ناچار از تعریف نوع دیگری از هندسه هستم، در این هندسه اگر چه بازهم اصل توازی صادق نیست اما اصول موضوع 1 تا 4 صادقند.

پي‌نوشت‌ها:

1. Critique of pure Reason
2. Carl Friedrich Gauss
3. Hohenheger
4. Inelberg
5. Brocken
6. Hanover

منبع مقاله :
گاورز، تیموتی؛ ( 1391 )، ریاضیات، پوریا ناظمی، تهران: بصيرت، چاپ دوم