انتخاب رله‌ی توزیعی و کنترل قدرت برای شبکه های ارتباطی مشارکتی با چندین کاربر (1)

چکیده

کارایی ارتباط مشارکتی( cooperative communication) به تخصیص دقیق منابع مانند انتخاب رله و کنترل قدرت بستگی دارد اما تخصیص منبع متمرکز نیازمند اندازه گیری دقیق اطلاعات حالت کانال ( channel state information- CSI) است. در این مقاله ما یک قالب بازی توزیعی- تئوری برای شبکه های ارتباطی مشارکتی با چندین کاربر پیشنهاد کردیم که در آن انتخاب رله و تخصیص انرژی بدون اطلاعات CSI انجام شده است. یک بازی استاکربرگ دو مرحله ای مورد استفاده قرار گرفت تا هم مزیت های گره منبع و هم گره های رله در نظر گرفته شود. در این کار گره منبع به عنوان خریدار و گره‌های رله به عنوان فروشنده مدل سازی شده اند. روش پیشنهادی نه تنها به منبع کمک می کند تا رله ها را در موقعیت های بهتری پیدا کند و باعث گردد تا انرژی رله ها بهینه گردد بلکه همچنین کمک می کند تا رله های در حال رقابت با بررسی ارزش بهینه امکانات خود را ماکزیمم کنند. بازی به گونه ای طراحی شده تا میزان معادلات آن بهینه باشد و علاوه بر آن روش تخصیص منبع پیشنهادی با بازی توزیعی می تواند کارایی قابل مقایسه با روش های متمرکز به کاربرده شده داشته باشد.

مقدمه

اخیرا ارتباطات مشارکتی به عنوان استراتژی انتقال آشکار برای شبکه های وایرلس آینده مورد توجه بیشتری قرار گرفته اند. ایده‌ی اساسی این است که گره های رله می تواند به عنوان آنتن واقعی عمل کنند و به گره منبع کمک کنند تا اطلاعات خود را به مسافت های دیگر ارسال کند. در این راه ارتباط مشارکتی به طور موثری، مزیت طبیعت انتشار دهندگی شبکه های وایرلس را دارا می باشد. به علاوه این شبکه ها دارای فضای ذاتی و تنوع چندکاربری هستند.
در مورد منابع دقیق مواردی مانند قراردادن رله( relay placement)، انتخاب رله (relay selection) و کنترل قدرت تخصیص داده شده است. در برخی مطالعات، تخصیص قدرت برای جبران کردن میزان احتمال خروج (outage) بهینه شده است. همچنین در برخی از مقالات دیگر، آنالیزهایی از مقدار خطاهای فرمولی ( symbol error rates) و تخصیص بهینه‌ی انرژی ارائه کرده اند که در آن پرتکل های مشارکت ارسال و رمزگشایی در شبکه های وایرلس بدست آمده است. مشکل انتشار با راندمان انرژی بالا در منبع مورد بررسی قرار گرفته است. کار انجام شده در برخی منابع، در مورد ارزیابی کارایی تنوع های مشارکتی در هنگامی است که بهترین رله با توجه به نسبت سیگنال به نویز ( SNR) و احتمال خروج انتخاب رله ( بر اساس SNR های لحظه ای) انتخاب شده است. در یکی دیگر از منابع، یک روش انتخاب رله‌ی توزیعی ارائه کرده اند که در آن نیاز است تا اطلاعات شبکه بوسیله‌ی SNR های لحظه ای محدود گردد. در تحقیقی دیگر، مشکل سهمیه بندی( assignment problem) برای ارتباطات مشارکتی چندکاربره حل شده است. در مواردی دیگر، تخصیص منبع مشارکتی برای OFDM مورد مطالعه قرار گرفته است. همچنین در یکی دیگر از منابع، مشکل انتخاب رله را در هنگامی که رله در حال همکاری در شبکه است را مورد بررسی قرار داده اند که در این کار نیاز به وجود اطلاعات حالت کانال( CSI) است. همچنین در تحقیقی دیگر، روش های تخصیص انرژی متمرکز ارائه شده است که در آنها این فرض در نظر گرفته شده است که تمام گره های رله کمک می کنند. برای حداقل کردن رفتارهای خروجی سیستم و بهبود عملکرد، یک پروتکل ارسال ارائه گشته که در آن تنها یک گره‌ی رله مناسب برای انتقال اطلاعات انتخاب می گردد. یک الگوریتم تخصیص منبع متمرکز برای کنترل قدرت، تخصیص پهنای باند، انتخاب رله و استراتژی رله در شبکه های رله OFDMA در تحقیقی دیگر مورد بررسی قرار گرفته است. کار انجام شده در مرجعی دیگر در مورد استراتژی های کنترل قدرت توزیعی برای روش های انتقال مشارکتی چند حلقه می باشد. طول عمر شبکه های حساس وایرلس با کمک انتخاب رله و روش های مدیریت انرژی در مرجع دیگر مورد بررسی قرار گرفته است. نویسندگان در تحقیقی دیگر، مشکل تخصیص بهینه‌ی انرژی در رژیم با SNR بالا برای پروتکل های رله ای مختلف مورد بررسی قرار داده است.
به هرحال اکثر کارهای موجود تخصیص منبع در ارتباطات مشارکتی بوسیله‌ی حالت متمرکز را مورد بررسی قرار داده اند. یک چنین روش های نیازمند این است که CSI به طور دقیق و کامل مشخص باشد تا بوسیله‌ی آن کارایی سیستم بهینه گردد و از بروز خطاهای تخمینی کانال ها جلوگیری گردد. این حقیقت موجب می شود تا به CSI نیازشود. برای تخصیص منبع توزیعی در شبکه های وایرلس مشارکتی چندکاربره، دو سوال اصلی وجود دارد:
1) در میان همه‌ی گره های توزیعی کدام یک می تواند به رله کمک کند و کیفیت لینک شبکه را بهبود ببخشد.
2) برای گره های رله ای انتخابی، چه مقدار انرژی برای انتقال اطلاعات نیاز است؟
برای پاسخ دهی به این سوالات، تئوری بازی( game theory) یک ابزار طبیعی و با قابلیت انعطاف است که نحوه‌ی میانکنش گره های مستقل و رقابت آنها با همدیگر را مورد مطالعه قرار می دهد. درمقالات تئوری بازی در زمینه‌ی شبکه کردن وایرلس، رفتارهای گره های مستقل در مورد دستیابی رندوم و کنترل انرژی مورد بررسی و ارزیابی قرار گرفته است. در منبع، سیاست ارزش گذاری برای شبکه های با سرویس دهی چندگانه ارائه شده است. یک چنین سیاست هایی می تواند برای هر گره محرک هایی پیشنهاد دهد تا بدین وسیله سرویسی انتخاب شود که بهترین مطابقت را با نیازهای آن در زمینه‌ی تخصیص منبع و بهبود آسایش مجموعه را بدنبال داشته باشد. کار انجام شده، یک راه حل در زمینه‌ی کنترل قدرت برای داده های وایرلس ارائه کرده است که در این کار از چارچوب تئوری بازی استفاده شده است. ارزش گذاری قدرت های انتقال معرفی شده است که بوسیله‌ی آنها تسهیلات استفاده کننده بهبود می یابد و این بهبود منعکس کننده‌ی کیفیت خدمات دریافت بی سیم می شود. یک بازی ارزش گذاری که مشارکت را در بازگشت داده ها به رله تخریک می کند، درتحقیقی دیگر مورد بررسی قرار گرفته است اما در این منبع هیچ آنالیزجزئی در مورد نحوه‌ی انتخاب بهترین رله و نحوه‌ی بدست آوردن تعادل در توزیع بیان نشده است.
عموما در شبکه های وایرلس مشارکتی چند کاربره با گره های مستقل، گره ها ممکن است یک هدف معمولی را ارائه ندهند و یا به یک منبع تکی تعلق داشته باشند. بنابراین یک مانیزم بازگردانی داده به گره های رله نیاز است که در آن گره ها می توانند بوسیله‌ی صرف کردن انرژی انتقال شان ( برای کمک به گره منبع برای انتقال اطلاعاتش) مزیت هایی را کسب کنند. به عبارت دیگر اگر گره منبع گره های رله را پوشش دهد، این نیاز می شود تا گره های رله به طور بهینه انتخاب شوند. با توجه به این ویژگی، در این مقاله ما یک بازی استاکربرگ( Stakelberg Game) انتخاب کردیم تا هم مزایای گره منبع و هم گره های رله را در ارتباطات مشارکتی در در نظر گرفته باشیم. این بازی به دو مرحله تقسیم می شود که در آن گره منبع نقش خریدار( buyer) بازی را بر عهده دارد زیرا کمک می کند تا بهترین کارایی درگره های رله ( با حداقل نیاز پوشش دهی) اتفاق افتد. ما تجزیه و تحلیل کردیم که چه تعدادی و کدام یک از گره های بوسیله‌ی گره منبع برای مشارکت در عمل رله( پس از انتشار ارزش های بهینه‌ی آنها) انتخاب شده اند. علاوه بر این ما این مسئله را بهینه کردیم که چه میزانی از سرویس ها( مثلا انرژی) ی گره منبع بوسیله‌ی هر یک از گره های رله خریداری می شود. به عبارت دیگر هر گره رله بازی مرحله‌ی خریدار را انجام می دهند که این کار کمک می کند تا میزان پولی را دریافت کنیم که نه تنها هزینه‌ی ارسال را پوشش دهد بلکه مزایای دیگری را نیز ارائه دهد. بنابراین گره رله نیاز دارد تا هزینه را بر واحد هر سرویس بهینه کند تا میزان سود آن ماکزیمم گردد. برای مطالعه‌ی خروجی های بازی، ما چندین خاصیت پیشنهادی را مورد ارزیابی قرار دادیم. سپس ما یک الگوریتم توزیعی توسعه دادیم که می توان به طور خوبی با معادلات بازی بهینه تقریب زده شوند.
با توجه به شبیه سازی ها، گره های رله ای که در نزدیکی گره‌ی منبع قرار دارند نقش مهمی در اندازه گیری امکانات گره‌ی منبع دارند از این رو گره منبع دوست دارد انرژی را از این گره ها تأمین کند. به عبارت دیگر برای جذب بیشتر خرید از منبع، رله از یک سیاست کم هزینه و تجارتی( low-price, high-market) بهره می گیرد و بواسطه‌ی آن بهره وری را افزایش می دهد. اگر تعداد کل گره های رله افزایش یابد، گره‌ی منبع مقدار بیشتری از تسهیلات فراهم می کند. در حالی که میانگین پرداخت برای گره های رله کاهش می یابد. ما در نهایت نشان می دهیم که روش تخصیص منبع پیشنهاد شده با بازی توزیعی کارایی دارد که با کارایی روش تمرکزی قابل مقایسه است.
ادامه‌ی این مقاله به صورت زیر طبقه بندی شده است:
در بخش بعدی ما مدل سیستم را توصیف می کنیم و بهینه سازی مشارکتی را به صورت یک بازی استاکربرگ فرموله می کنیم. ما یک پیاده سازی توزیعی از انتقالات مشارکتی چند کاربره را در بخش های بعدی اجرا کرده ایم. نتایج شبیه سازی در بعد نشان داده شده است. در نهایت نتیجه گیری ها در فصل آخر نشان داده شده اند.

مدل سیستم و فرمولاسیون مسئله

در این بخش، ما ابتدا ما بیانی از یک نرخ ماکزیمم قابل دسترسی در انتقالات مشارکتی با کمک گره های رله را نتیجه می گیریم و سپس مسئله بهینه سازی انتخاب رله و کنترل انرژی با استفاده از بازی استاکربرگ را فرموله می کنیم.

مدل سیستم

در ادامه ما از پروتکل مشارکتی تقویت کردن و ارسال ( AF) به عنوان مدل سیستم مان استفاده می کنیم. سایر پروتکل های مشارکتی نیز می توانند مانند همین پروتکل مورد استفاده قرار گیرند. دیاگرم های سیستم در شکل 1 نشان داده شده اند که در آن N گره رله، یک گره منبع( s) و یک گره مسافت( d) قرار دارد. انتقال مشارکتی شامل دو فاز است.
در فاز اول گره منبع (s) اطلاعاتش را به گره مسافت( d) و هر یک از گره های رله() انتشار می دهد. سسیگنال های دریافتی و در گره d و گره های را می توان به صورت زیر نشان داد:
که در اینجا P_s انرژی انتقال در گره s ، x نماد اطلاعات انتشار با واحد انرژی از گره sتا گره d و گره
است. به ترتیب میزان حصول کانال از گره s تا گره d و گره است و نویزهای گوسی سفید اضافی( AWGNs) هستند. عموما ما این مسئله را در نظر می گیریم که انرژی نویز در تمام لینک ها یکسان است و بوسیله‌ی نشان داده می شود. ما همچنین در فرض کردیم که کانال ها در هر چارچوب انتقالی پایدار هستند.
بدون کمک گره های رله، SNR بدست آمده از انتقال مستقیم از گره‌ی s به گره‌ی d می تواند بوسیله‌ی فرمول زیر بیان گردد:
و نرخ انتقال مستقیم عبارت است از:
در اینجا w پهنای باند برای انتقال، Γ یک ثابت است که بیان کننده‌ی گاف ظرفیت است.
در فاز 2، ( گره رله‌ی) را تقویت کرده و با صرف انرژی آن ها را به گره‌ی مسافت(d) ارسال می کند سیگنال دریافتی در گره‌ی مسافت (d) عبارت است از:
که در اینجا:
سیگنال انتقال یافته از گره‌ی به گره‌ی d است که نرماله شده تا واحد داشته باشیم، در یافتی کانال از گره‌ی به گره‌ی d است و نویز دریافت شده می باشد.
با جایگذاری (2) در (6) می توانیم (5) را به صورت زیر بنویسیم:
با استفاده از (7)، SNR رله شده برای گره‌ی منبع s( که بوسیله‌ی گره‌ی رله ای کمک می شود) بوسیله‌ی فرمول زیر بدست می آید:
بنابراین بوسیله‌ی (4) و (8) ما نرخ را خروجی آشکارساز MRC را به صورت زیر داریم که در آن گره
کمک کرده است.
اگر گره های رله در یک زمان معین، برای کمک کردن به گره‌ی منبع(s) در دسترس باشند، تشکیل یک گروه را می دهند که بوسیله‌ی مشخص می شوند. پس ما داریم:
که در اینجا نشان دهنده‌ی فاکتور پهنای باند می باشد.
با توجه به کاربردهای شبکه های مختلف، می تواند مقادیر مختلفی داشته باشد. برای شبکه های اجباری انرژی( energy-constrained networks) ، 1 در نظر گرفته می شود. برای شبکه‌ی با محدودیت پهنای باند، پهنای باند باید برای گره منبع و گره های رله تقسیم شود و در این حالت به تعداد گره هایی از رله بستگی دارد که در واقع به ارسال کمک می کنند.از این رو همه‌ی گره های رله در بالابردن کارایی گره‌ی منبع مشارکت ندارند. اگر N^' بیش تر از N تا گره‌ی رله باشد که بوسیله‌ی گره‌ی منبع انتخاب می شوند، پس است. ما ابتدا سناریوی اجباری انرژی را مطالعه می کنیم و سپس اثرات تغییر را در بخش شبیه سازی بررسی می کنیم.

فرمولاسیون مسئله

برای استفاده از تنوع مسارکتی در سیستم های چندکاربره( رابطه‌ی (10))، دو سوال اساسی بوجود می آید که باید به آنها پاسخ داده شود: 1) کدام یک از گره های رله در این کار مشارکت می کنند؟ و 2) انرژی بهینه () چیست؟ به هر حال حال کردن این مسائل به یک روش متمرکز نیازمند تصحیح و کامل کردن CSI و توجه به ارسال بیش از حد داده و علامت دهی در تخمین کانال هاست. به طور عکس تخصیص منبع توزیعی تنها نیازمند اطلاعات در مورد داده های کانال است. علاوه بر این عموما گره ها در شبکه های وایرلس مشارکتی چند کاربره ممکن است به مرجع های متفاوت تعلق داشته باشند و به طور مستقل عمل کنند. محرک هایی از سمت گره‌ی منبع نیاز است تا بوسیله‌ی آن گره های رله عمل رله کردن را انجام دهند. در نتیجه گره‌ی منبع نیاز دارد تا بامزیت ترین گره های رله را انتخاب کند.با توجه به رفتارهای گره‌ی منبع، ما تخصیص توزیعی منبع را بوسیله‌ی بازی استراکبرگ انجام دادیم. ما این کار را بر اساس مسائل فرمولاسیون زیر انجام دادیم:

گره‌ی منبع/ خریدار

گره‌ی منبع (s) می تواند به عنوان خریدار مدل سازی گردد و کمک کند تا بهترین مزیت ها در حداقل پرداخت بدست آید. تابع کاربردی گره‌ی منبع (s) می تواند به صورت زیر تعریف شود:
که نشان دهنده‌ی نرخ قابل دسترسی با کمک گره های رله است، a نشان دهنده‌ی بهره بر واحد نرخ در خروجی MRC است و
بیان کننده‌ی پرداخت های کلی انجام شده بوسیله‌ی گره‌ی منبع (s) به گره های رله است. در فرمول (12)، بیان کننده‌ی قیمت بر واحد انرژی فروخته شده از گره‌ی رله‌ی به گره‌ی منبع(s) است، و
بیان کننده‌ی میزان انرژی گره‌ی s است که از گره‌ی خریداری می شود.
گره های رله که گره‌ی منبع(s) را کمک می کنند، تشکیل یک گروه را می دهند که هنوز هم با L نشان داده می شود؛ پس مسئله‌ی بهینه سازی برای گره‌ی منبع (s) و یا مرحله‌ی خرید بازی می تواندبه صورت زیر فرموله شود:

گره‌ی رله/فروشنده

هر گره‌ی رله‌ی می تواند به عنوان یک فروشنده در نظر گرفته شود و کمک کند تا نه تنها پول دریافت کند و هزینه‌ی ارسال خود را پوشش دهد بلکه مزایای بسیار دیگری کسب کند.
ما یک پارامتر به نام را در فرمولاسیون خود معرفی می کنیم که قیمت انرژی برای داده‌ی رله شده را تعیین می کند سپس تابع کاربردی گره‌ی رله‌ی ام به صورت زیر تعریف می شود:
که مصرف انرژی گره‌ی منبع بوسیله‌ی بهینه سازی U_s تعریف شده در فرمول( 13) است. مسئله‌ی بهینه سازی برای گره‌ی رله‌ی و یا مرحله‌ی فروش در بازی عبارتست از:
انتخاب قیمت بهینه‌ی () نه تنها بوسیله‌ی شرایط کانال در رله بستگی دارد بلکه همچنین بوسیله‌ی قیمت ها ی سایر گره ها در رله بستگی دارد. این بدین دلیل است که مرحله‌ی فروش بازی غیرمشارکتی است و گره های رله برای انتخاب شدن بوسیله‌ی گره‌ی منبع با هم رقابت می کنند.اگر یک گره‌ی معین(
) درخواست قیمت بالا یی کند که این قیمت باعث شود تا مزیت نسبت به سایر گره های رله کاهش یابد، سپس گره‌ی منبع از گره‌ی رله‌ی کمتر خرید می کند و یا از آن خرید نمی کند. به عبارت دیگر اگر قیمت بسیار پایین باشد، مزیت بدست آمده بوسیله‌ی (14) به طور غیر ضروری پایین می شود.روی هم رفته یک حالت سبک سنگین کردن قیمتی در مورد انتخاب ها وجود دارد. اگر تحت شرایط بهینه‌ی قیمتی که با علامت نشان داده می شود، امکانات نتیجه شده از گره r_i منفی باشد مثلا ، سپس گره‌ی به طور کامل فروشنده‌ی بازی محسوب می شود زیرا این گره می تواند حداقل قیمت را به گره‌ی منبع ارائه دهد.
این نگاه بدی است که تنها علامت دهی مورد نیاز برای تبادل میان گره منبع و گره های رله را قیمت
و اطلاعات میزان خرید انرژی در نظر بگیریم. در نتیجه روش تئوری دو مرحله ای بازی می تواند بوسیله‌ی یک راه توزیعی کامل گردد.خروجی بازی های پیشنهاد شده به طور دقیق در ادامه بیان شده است.

آنالیز بازی‌های ارائه شده

در درجه‌ی اول ما راه حل های نزدیک به خروجی های بازی های پیشنهادی را بدست آوردیم. سپس ما اثبات کردیم که این راه حل ها به طور کلی بهینه هستند. علاوه بر این ما نشان دادیم که دستگاه راه حل ها یک نقطه‌ی ثابت بی همتاست و بازی توزیعی پیشنهاد شده به سمت آن نقطه همگراست. در نهایت ما کاربردهای روش های توزیعی پیشنهاد شده را با روش متمرکز مقایسه می کنیم.
آنالیز بازی مرحله‌ی خریدار (buyer-level game) برای گره منبع

انتخاب رله به وسیله‌ی گره‌ی منبع

به دلیل اینکه گره های رله در مکان های مختلف قرار دارند و توانایی های مختلفی برای کمک کردن به گره‌ی منبع دارند، این ممکن خوب نباشد که گره‌ی منبع(s) تمام گره های رله را انتخاب کند مخصوصا آنهایی را که شرایط کانالی بدی دارند و هزینه‌ی بالایی را طلب می کنند. به علاوه اگر گره‌ی منبع در طی بازی مرحله‌ی خریدار،گره های رله ای با مزیت کمتر را زودتر یا دیرتر مستثنی کند، بهتر است که در همان ابتدای کار آنها را کناربگذارد تا از پردازش غیر ضروری جلوگیری شود. به دلیل آنکه گره‌ی منبع در ماکزیمم سودمندی U_s از طریق خرید یک مقدار بهینه‌ی انرژی (P_(r_i )) کار می کند، پس یک راه طبیعی برای انتخاب رله برای گره‌ی منبع مشاهده‌ی نحوه‌ی تغییرات U_s به P_(r_i ) است برای مثال بررسی کسر
). به دلیل آنکه گره‌ی منبع به طور تدریجی مقدار انرژی خریداری شده از گره های رله را افزایش می دهد تا بتوانند میزان بهینه را بدست آورند، گره‌ی منبع با بررسی کسر وقتی باشد، می تواند گره های مد نظر خود را انتخاب کند.از تعریف (11) ما می دانیم که
وقتی انگاه . اگر در عبارت و برای گره ی رله ی صدق کند، انگاه ما داریم . که این بدین معناست که گره ی منبع وقتی افزایش یابد، بزرگتری پدید می آورند.در غیر این صورت گره ی رله ی باید کنارگذاشته شود.
سپس یک سوال این است که چگونه هر گره‌ی رله ای در ابتدا قیمت خود را ارائه می دهد. همانگونه که در کاربرد توزیعی هر گره‌ی رله قیمت های گره های دیگر را نمی داند، این طبیعی است که در ابتدا به طور آزمایشی قرار داده شود.اگر قیمت ابتدایی کمتر از باشد، منفعت منفی می شود و از این رو غیر عملی است. به عبارت دیگر اگر قیمت ابتدایی از بالاتر رود، گره‌ی رله ای ممکن است در این ریسک قرار داشته باشد که بوسیله‌ی گره‌ی منبع کنارگذاشته شود. اگر تحت این قیمت های ابتدایی پایین گره‌ی منبع علاقه نداشته باشد تا از گره‌ی رله ای انرژی خریداری نکند، پس در بازی مرحله‌ی خریدار شرکت نمی کند زیرا است.
برای خلاصه بندی تحلیل های بالا معیارهای کنارگذاشتن رله بوسیله‌ی گره‌ی منبع به صورت زیر تعریف می شود: فرض کنید که تعداد کل گره های رله N باشد. در ابتدا گره‌ی منبع بطور آزمایشی و
i=1,…,N قرار داده و تمام گره های رله ای قیمت های اولیه‌ی خود را برای هر i، قرار می دهند. برای گره‌ی رله ای ، اگر باشد آنگاه توسط گره‌ی منبع کنارگذاشته می شود. این مسئله در بخش های بعدی نشان داده می شود که این کنارگذاری ثابت می شود و پس از شروع بازی تغییر نمی کند.
با توجه به معیارهای کنارگذاری رله، گره‌ی منبع می تواند گره های بهینه را در زمان ابتدایی کار انتخاب کند . در این روش میزان پردازش علامت ها می تواند کاسته شود زیرا گره‌ی منبع و گره های رله ای کنارگذاشته شده دیگر نیازمند به تبادل داده نبوده و در نتیجه انرژی مصرف نمی کنند.

تخصیص بهینه‌ی انرژی برای گره های رله ای انتخاب شده

پس از انتخاب، گره های انتخابی تشکیل یک گروه می دهند که ما می توانیم برای آنها انرژی بهینه را بوسیله‌ی مشتق گرفتن از در (11) بدست آوریم که این مقدار برابر است با
برای ساده سازی را تعریف می کنیم. بوسیله‌ی رابطه‌ی (10) ما اولین رابطه‌ی را به صورت زیر بدست می آوریم:
که
و
که و است و با جایگذاری (12) و (18) در (17) داریم:
به دلیل آنکه سمت چپ ( LHS) عبارت (21) برای هر گره‌ی رله ای با سمت راست( RHS) برابر است، با هم ارزسازی RHS معادله‌ی (21) برای گره های رله ای داریم:
پس معادله‌ی (19) می تواند به صورت زیر تشخیص داده شود:
با جایگذاری (24) در (21) و پس ازمقداری دستکاری ما می توانیم معادله‌ی درجه‌ی 2 از داشته باشیم. مصرف بهینه‌ی انرژی برابر است با:
که در اینجا و است.
حل معادله‌ی(25) همچنین می تواند بوسیله‌ی شرایط KKT [27] تأیید گردد. و به عنوان حالت بهینه‌ی مسئله‌ی (13) باشد زیرا تابع در مقعر وگروه حمایت کننده‌ی محدب هستند.

تحلیل بازی مرحله‌ی فروشنده برای گره های رله‌ای

با جایگذاری (25) در (15) داریم:
ما می توانیم توجه کنیم که معادله‌ی (26) یک بازی غیرمشارکتی است که بوسیله‌ی گره های رله ای انجام می شوند و این کار یک سبک و سنگین کردن بین قیمت های و تسهیلات گره های رله ای (U_(r_i )) است. اگر گره‌ی رله ای r_i دارای شرایط کانالی مناسبی باشد، در ابتدا قیمت نسبتا پایینی ارائه می دهد و از این رو گره‌ی منبع s انرژی بیشتری ازآن خریداری می کند و بنابراین U_(r_i ) با رشد
افزایش می یابد.وقتی در حال رشد باشد و به مقدار معینی برسد، این مسئله برای منبع s مزیت ندارد که بیش از این از r_i انرژی خریداری کند،اگر چه r_i رله ای ممکن است در شرایط کانالی خوبی قرار داشته باشد. در این راه P_(r_i ) کاهش یافته و از این رو باعث می شود تا U_(r_i ) کاسته شود. بنابراین یک قیمت بهینه برای هر گره‌ی رله ای وجود دارد که این قیمت به شرایط کانالی آن بستگی دارد. به علاوه قیمت بهینه‌ی همچنین بوسیله‌ی قیمت های سایر گره های رله ای نیز تحت تأثیر قرار دارد.
با توجه به تحلیل بالا با مشتق گیری از U_(r_i ) نسبت به و برابر صفر قرار دادن آن ما داریم:
با حل معادلات بالا ما نشان دادیم که قیمت بهینه برابراست با
در بخش قبلی ما فرض کردیم که گره‌ی منبع با انرژی ثابت انتشار انجام می دهد. به هر حال اگر گره‌ی منبع انرژی کمتری را انتشار دهد، علاقه مند به خرید انرژی بیشتری از گره های رله ای است تا نرخ بالایی از داده را بدست آورد و از این رو گره های رله ای می توانند درخواست قیمت بالاتری برای کمک کردن به گره‌ی منبع انجام دهند.به عبارت دیگر اگر منبع دارای انرژی منتشرشده‌ی بیشتری باشد، می تواند انرژی کمتری از گره های رله ای بگیرد و همچنین پرداخت کمتری به آنها انجام خواهد داد.

موجودیت معادله برای بازی پیشنهادی

در این بخش ما اثبات کردیم که راه حل های در معادله‌ی (25) و در معادله‌ی (28) معادله‌ی استراکبرگ ( SE) برای بازی پیشنهادی است و و شرایطی را بوسیله‌ی خواص ، مقایسه و برهان متعاقب نشان می دهد که SE بهینه می گردد.
ما ابتدا SE بازی پیشنهادی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
تعریف 1. ، SE بازی پیشنهادی است اگر برای هر ، وقتی ثابت شود
و برای هر، وقتی ثابت شود.
سپس ما نشان دادیم که بهینه ساز ی معادله‌ی (13) می‌تواند بوسیله‌ی مساوی قرار دادن با صفر و به واسطه‌ی خواص زیر به دست آید.
خاصیت 1. تابع منفعت U_s گره‌ی منبع مشترک برای هر i در ثابت شده، محدب است.
به خاطر خاصیت 1، در معادله‌ی (25) میزان بهینه‌ی جهانی است که مقدار امکانات گره‌ی منبع(
) را ماکزیمم می کند. بنابراین در معادله‌ی (29) صدق می کند و SE ، P_(r_i)^SE است. علاوه بر این در اجرای بازی، گره‌ی منبع می تواند مقداربهینه‌ی انرژی را بوسیله‌ی افزایش تدریجی انرژی خریداری کرده از هر یک از گره های رله ای بدست آورد؛ تا بدون آگاهی از CSI، مقدار U_s واحد به مقدار ماکزیمم خود برسد.
در دو خاصیت زیر ما نشان دادیم که گره های رله ای نمی توانند بطور نامحدود U_(r_i ) را به وسیله‌ی درخواست قیمت های بالا و با خودخواهی افزایش دهند:
خاصیت 2. مصرف انرژی بهینه برای گره رله ای r_i وقتی سایر قیمت های گره های رله ای ثابت شده باشند، با قیمت P_i کاهش می یابد.
در نتیجه یک سبک و سنگین کردن در مورد هر گره‌ی رله ای برای درخواست هزینه وجود دارد و ما می توانیم قیمت بهینه را بوسیله‌ی معادله‌ی (∂U_(r_i)^*)/(∂p_i )=0 بدست آوریم. دلیل این کار در ادامه آورده شده است:
خاصیت 3. تابع کاربردی U_(r_i ) ی هر گره‌ی رله ای در نقطه‌ی قیمت وقتی مصرف انرژی آن مقدار بهینه‌ی خریداری شده باشد، محدب است همانگونه که در معادله‌ی (25) محاسبه شد. همچنین سایر قیمت ها ی گره های رله ای در این حالت باید ثابت در نظر گرفته شوند.
بر اساس خواص 1، 2 و 3 ما می توانیم نشان دهیم که معیارهای کنارگذاشتن رله ها که در بخش قبلی توضیح داده شد، به گره‌ی منبع کمک می کنند تا مقدار حداقل گره های رله ای بهینه را بر اساس پیشنهادات زیر انتخاب کند:
پیشنهاد 1. معیارهای کنارگذاشتن رله که در بخش قبل توصیف شدند، مورد نیاز هستند و برای کنارگذاشتن حداقل گره های رله ای بهینه کافی می باشند. براساس ضرورت این بدان معناست که هر
r_i در L_h نمی تواند دور انداخته شود و نتیجه پدید آمدن همان فرایند ماکزیمم شدن U_(r_i ) باشد. در حالی که این بدان معناست که حتی اگر ما r_j را که باید از لحاظ معیارهای کنارگذاشتن در L_h ، کنارگذاشته شود، نگه داریم ، در فرایند بعدی ماکزیمم کردن U_(r_j ) کنارگذاشته می شود.
اثبات. ما اول شرط کافی رااثبات می کنیم. فرض کنید که معیار کنارگذاشتن رله به تعدادی گره‌ی رله ای r_j اعمال شود برای مثال وقتی P_(r_i )=0 باشد، یعنی است و برای هر i P_i=C_i است. به دلیل آنکه
در محدب است، تخصیص بهینه‌ی انرژی عبارت است از فرض کنید که منبع s ، را کنارنگذارد و در فرایند به روز رسانی قیمت بعدی، تمام گره های رله ای باقی مانده قیمت خود را افزایش دهند تا امکانات بیشتری دریافت کنند. برای اثبات آن نتیجه‌ی جدید P_(r_J)^(*new)<0 ، این کافی است که اثبات کنیم〖∆P〗_(r_j)^*<0. که 〖∆P〗_(r_j)^* نشان دهنده‌ی افزایش P_(r_J)^* در زمانی است که هر گره‌ی رله ای r_i، P_i را به وسیله‌ی مقدار مثبت بسیار کوچکی از قیمت C_i افزایش دهد.این می تواند به صورت هم ارز و با اثبات زیر بررسی گردد:
ما می دانیم که:
و
بنابراین تنها کافی است که معادله‌ی (31) را به وسیله‌ی اثبات زیر تأیید کنیم:
بدون از بین رفتن کلیت فرض می کنیم که گره های رله ای انتخاب شده عموما خواص مشابهی را پخش می کنند. یعنی برای ∀i≠j ، است. ما می توانیم معادله‌ی (34) را به صورت نامساوی زیر اثبات کنیم:
بنابراین در فرایند افزایش قیمت بعدی، هنوز بوسیله‌ی گره‌ی منبع و با توجه به کنارگذاشته می شود.
در ادامه ما شرط ضروری را اثبات می کنیم. در هر نوبت، هر دوتا گره‌ی رله ای و قیمت های خود را در دو مرحله‌ی پشت سر هم به روز رسانی می کنند. در ابتدا قیمت خود را افزایش می دهد و آن را به مقدار بهینه‌ی می رساند و سپس بوسیله‌ی معادله‌ی (32) می فهمیم که P_(r_i)^(*new) از P_(r_i)^* بزرگ‌تر است که در آن P_(r_i)^*>0 است. بنابراین است که این بدین معناست که کنارگذاشته نمی شود اگر ، P_K را افزایش دهد. در مرحله‌ی دوم پس از آنکه P_K افزایش یافت، r_i قیمت P_i خود را افزایش می دهد. در معادله‌ی (54) فرض کنید که (p_i ) ̅ قیمت r_i است به نحوی که P_(r_i)^*=0 باشد و سایر قیمت های گره های رله ثابت شده باشند. بنابر این داریم:
با استفاده از خاصیت 3 ، قیمت بهینه‌ی P_i^* به نحوی که (∂U_(r_i)^*)/(∂p_i )=0 باید در عبارت صدق کند. این بدان معناست که برای ماکزیمم کردن U_(r_i )، درخواست یک قیمت پایین تر از (را می دهد تا از کنار گذاشته شدن به وسیله‌ی گره‌ی منبع جلوگیری کند.
اگر گره‌ی رله ای r_i به دلیل محدب بودن U_(r_i ) ( اثبات شده در خاصیت 3) به وسیله‌ی گره‌ی منبع انتخاب گردد، می تواند همیشه قیمت بهینه‌ی خود را پیدا کند. و بنابراین برای
است. با توجه به گفته های بالا و خاصیت 1 ما نظریه زیر را ساختیم.
نظریه‌ی 1. در معادله‌ی (25) و {P_i^* }_(i=1)^(N^' ) در معادله‌ی (28)، SE برای بازی پیشنهادی است که SE در معادله‌ی (29) و (30) تعریف شده است.
در بخش بعد ما نشان می دهیم که SE بی همتاست و بازی پیشنهادی وقتی هر گره‌ی رله قیمت هایشان را بر اساس تابع نمونه به روز رسانی کنند، به این SE بی همتا همگراست.
استفاده از مطالب این مقاله با ذکر منبع راسخون بلامانع می باشد.