جبر در تاریخ جبر

همان طور که سدة اخیر شاهد پایه گذاری رشتة مستقلی با عنوان تاریخ علم بوده است، تحولات چند دهة گذشته در نگارش تاریخ علم را نیز می توان انقلابی در این رشته به شمار آورد. بحث اخیر مورخان ریاضیات بر سر تعریف و تاریخ علم جبر انعکاسی است از نگرشی عمیق تر به نحوة تعبیر و نگارش تاریخ علم که سال ها به یک تجدید نظر کلی نیازمند بوده است. در این مقاله، پس از شرح آراء مختلف دربارة چگونگی تعبیر متون ریاضیات دوران باستان، به نقد کوتاهی بر چند جنبة مهم از این نظریات، که با تعریف علم جبر و نگارش تاریخ آن رابطه دارند، می پردازیم.
علوم ریاضی از دیدگاه معاصر و مسألة تعبیر"جبر هندسی"
با اینکه تعبیر وقایع تاریخی از دیدگاه معیارهای کنونی آنقدر مسألة جدی و شناخته شده ای است که در تاریخ نویسی اصطلاح مستقلی به آن اختصاص یافته است، مشکل نگارش تاریخ علوم ریاضی از دیدگاه محدود معاصر مدت زیادی نیست که مورد انتقاد شدید مورخین قرار گرفته است. سال هاست که این حرف بر سر زبان هاست که آینة تاریخ باید از زنگار هرگونه پیش-داوری و تعصب پاک باشد، و به خصوص نگریستن به مسیر علوم از پشت عینک موقعیت فعلیتان طبیعتأ تصویری نادرست از این علوم به ما نشان می دهد. با این حال مسألة جدی تعییر تاریخی متون ریاضی از دیدگاه معیارها و زبان ریاضیات امروز مسأله ای است که به تازگی مورد توجه مورخین ریاضیات قرار گرفته، و تازگی آن خود مبین لزوم ترجمه بیشتر صاحب نظران به این مسأله است. در قسمت بعدی پس از مرور تاریخچة فصل کوتاهی در تاریخ ریاضیات که در میان مورخان به "جبر هندسی" معروف است و به کمک شواهدی از تاریخ که از چشم ایشان دور مانده است به گسترش این مبحث جالب می پردازیم.
برخورد مورخ با ریاضی دان و مسألة"دو فرهنگ"
ظاهرأ دکستر هوس هلندی اولین مورخی است که با توجه به مشکل حساس تعبیر متون ریاضیات باستان هشدار داد که " خطری که همة کسانی را که می خواهند ریاضیات یونان را از دیدگاه امروزی بنویسند تهدید می کند این است که ارائة مفاهیم در قالب جدید چگونگی ادراک آن ها را نیز مدرن جلوه خواهد داد". پس از حدود نیم قرن سکوت در قبال چین اخطار هوشیارانه و معقولی، ساباتای اونگورو با چاپ مقاله ای در نشریة آرشیو تاریخ علوم دقیق تحت عنوان " دربارة نیاز به از نو نویسی تاریخ ریاضیات یونان باستان"، در میان مورخان ریاضیات که غالبأ خود ریاضی دان نیز هستند سر و صدای زیادی به راه انداخت. اعتراض اصلی این نویسنده به اصطلاح "جبر هندسی" است که در اواخر قرن نوزدهم ژویتن ریاضیدان دانمارکی آن را بر بخشی از ریاضیات یونان باستان اطلاق کرد. مورخانی که این اصطلاح را در مورد قسمت هایی از کتب اقلیدس و آپولونیوس به کار برده اند "جبر هندسی" را جبری می دانند که در آن خطوط مستقیم نمایش اعداد حقیقی مثبت هستند و اعمال چهارگانه منحصر به خطوط مستقیم و سطوحی چون مربع و مستطیل است که از حاصل ضرب خطوط به دست می آیند. در میان مثال های گوناگون کتب ریاضی یونان باستان، قضایایی از مقالة دوم کتاب اصول اقلیدس ظاهرأ مناسب ترین نمونه ها برای توضیح جبر هندسی و مشکل اساسی تعبیر آن بوده اند. برای مثال قضیة چهارم این مقاله بدین شرح است: " اگر خط مستقیمی از نقطة دلخواهی قطع شود، مربعی بر روی تمام این خط مساوی با مجموع دو مربع بر روی دو قسمت این خط، به اضافة دو برابر مستطیل احاطه شده با این دو قسمت می باشد". به زبان دیگر، مقدار سطح مربعی با قطر خط (ب د) مساوی است با مجموع مقدار سطح دو مربع یا اقطار (ب ج) و (ج د ) و مقدار سطح دو مستطیل (ا ج) و (ج ه)که معادل جبری آن چنین است:
(a+b)2=a2+b2+ab+ab=a2+b2+2ab
با در نظر گرفتن اینکه این قضیه کاملأ هندسی است، تبدیل آن به کمک حروف و فرمول های نمادین مدرن به یک اتحاد جبری، هر چند از نظر ریاضی اشکال ندارد، از نظر تعبیر تاریخی قابل قبول نیست. ادعای اونگورو سخنگوی اصلی معترضان در هر سه مقالة خود این است که نه تنها علمی به صورت" جبر هندسی" در آن دوره از تاریخ امکان پذیر نبوده است بلکه این اصطلاح یک "تناقض" است. از نظر او ترکیب علمی چون هندسة یونان باستان و علم مستقلی چون علم جبر قابل توجیه تاریخی نیست و زاییدة تصورات برخی از مورخان معاصر است که امروزه با در دست داشتن فرمول اتحادها و معادلات درجه دوم می توانند قضیه هایی هندسی از قبیل قضیة چهارم، پنجم و ششم مقالة دوم یا قضیة بیست و هشتم و بیست و نهم مقالة ششم کتاب اصول اقلیدس را به صورت قضیه های جبری تبدیل کنند. او این افراد را متهم می کند که با عینکی مدرن به مفاهیم گذشته می نگرند و لذا تعبیری را اختیار می کنند که از حساسیت تاریخی برخوردار نیست.
اولین عکس العمل در برابر مطالب جالب و جسورانة این نویسنده از طرف وان دروردن، ریاضیدانی که مقالات و کتب زیادی در تاریخ ریاضیات باستان نوشته است، در مقالة کوتاهی بود تحت عنوان" دفاع از یک نظریة تکان دهنده"، که همان سال در همان نشریه به چاپ رسید. این مقاله همان طور که از نامش نیز پیداست جواب مستقیمی به اعتراض اونگورو است؛ " ما (زویتن و پیروانش)، معتقدیم که یونانیان ابتدا به علم جبر پرداخته اند و بعدها آن را به زبان هندسی تبدیل کرده اند. جبر هندسی یک واقعیت است و همان طور که جزئی از جبر است جزئی از هندسه نیز هست. اونگورو در این مورد که ریاضیدانانی چون زویتن عقاید خود را دربارة جبر هندسی یونانی صرفأ از راه تبدیل قضیه های اقلیدسی به زبان سمبلیک جبری به دست آورده اند کاملأ در اشتباه است... مقالة دوم کتاب اصول اقلیدس به قدری از لحاظ در بر داشتن اصول جبر هندسی مشهور است که حتی گاهی تصور شده که نویسندة مقالة دوم پیرو یک مکتب جبری بوده است".
تا چند سال بعد از انتشار مقالة وان دروردن مطالبی دفاعی در همین زمینه از ریاضی دان های دیگر در همان مجله به چاپ می رسید. پس از چاپ مقاله فرویدنتال با عنوان:" جبر چیست و تاریخ آن چه بوده است ؟"، حملة نهایی از آندره وایل فرانسوی بود و نامة تند وی به مدیر این نشریه تحت عنوان:" چه کسی به اقلیدس خیانت کرد؟" با این جمله تمام می شود:" وقتی یک رشتة تحقیقی تازه بین دو رشته به وجود می آید، معمولأ منجر به ظهور انگل هایی می شود که از هر دو رشته بی خبرند، لیکن وانمود می کنند که محققان هر یک از این دو، آن رشتة دیگر را نمی فهمند. متأسفانه امروز ما در تاریخ ریاضیات با این جریان روبرو هستیم. بیایید این بیماری را قبل از اینکه مهلک شود براندازیم".
گفتگوی تند و حتی توهین آمیز این عده از محققان گاهی به جای از میان برداشتن مسألة "دو فرهنگ"، یعنی نزدیک کردن مورخ و ریاضی دان یا به طور کلی محقق علوم ریاضی و علوم انسانی، نمکی هم بر زخم هایی که بر اثر جدایی این دو گروه ایجاد شده، پاشیده است. برخورد شدید این افکار یادآور آن است که باید به جای زخم بندی سطحی، ترمیم عمیق تری در این زمینه آغاز شود و شاید این ترمیم از راه تاریخ علوم که خود حکم پلی میان این دو قطب را دارد آسانتر باشد. ولی منتقدین مفهوم "جبر هندسی" و مدافعین آن گاهی فراموش کرده اند که هر مفهوم تاریخی را باید از پشت دورنمای زمان و در لابه لای شواهد تاریخی جستجو کنند و این شواهد به وضوح نشان می دهند که بعد تاریخ اجازة تأیید و انکار، یا حتی تعریف مفهومی را که وجود و معنی ثابتی در تاریخ نداشته است نمی دهد.