نقش مسلمانان در حسابان

مقدمه
حسابان قسمتي از رياضيات مي باشد كه سكون كمتر و تحرك بيشتري دارد و با تغييرات و حركت مربوط مي باشد. در آن با كميت هايي روبرو هستيم كه به كميت هاي ديگري نزديك مي شوند، بنابراين مفهوم حد توابع نقش اصلي در مطالعه حسابان خواهد داشت. پس مي توان حسابان را قسمتي از رياضيات تعريف كنيم كه با حد مربوط مي شود. حسابان از دو مسأله اصلي تشكيل مي شود كه آن را به دو شاخه حساب ديفرانسيل و حساب انتگرال تقسيم مي نمايد و مسائل خط مماس و محاسبه مساحت شاخه هاي مذكور را به وجود مي آورند. دو شاخة اصلي فوق به نظر با يكديگر متفاوت مي باشند ولي آنها توسط قضيه اساسي حسابان به هم مربوط شده و به مفهومي عكس يكديگرند.
در طي سالهاي 1665 تا 1670، اسحاق نيوتن نوعي از حسابان را ابداع نمود كه به سري هاي تواني محاسبه مساحت سطح زير منحني توابع وابسته بود. او مي دانست كه مساحت زير منحنيy=xn بين خطوطx=o , x=bبرابر با (نتيجه اي كه در سالهاي 1630 توسط كاواليري (Cavalieri)؛ روبروال (Roberval) و فرما (Fermat) حاصل شده بود). با گسترش سري تواني توابع و استفاده از فرمول فوق نيوتن قادر به محاسبه مساحت سطح زير منحني توابع بي شماري شد و بالعكس با استفاده از فرمول مساحت سري تواني توابع زيادي را به دست آورد. براي مثال نيوتن سري تواني y= Arc sin xرا با استفاده از بيان آن به صورت يك مساحت به دست آورد و با استفاده از تساوي x= sin y<=> y= Arc sinx موفق به محاسبه سري تواني sinx گرديد ولي نتيجه مذكور 35 سال قبل توسط هندي ها با استفاده از فرمولي كه 1000 سال بعد از ميلاد توسط ابن هيثم مصري ثابت شده بود ارائه گرديد.
در اين نوشتار تحولاتي كه منجر به اثبات نتايج فوق بخصوص توسط ابن هيثم شده است را بررسي مي كنيم.
تاريخچه مسأله مساحت
در اكتبر سال 1636 روبروال در نامه اي به فرما اعلام نمود كه مساحت سطح زير منحني را به وسيله فرمولي براي محاسبه «مجموع توانهاي اعداد طبيعي» (فرمولي كه اثبات آن توسط مسلمانان را بررسي خواهيم كرد) به دست آورده است كه شكل رياضي آن:

به نامساوي روبروال معروف است. فرما در پاسخ نامه او بيان مي كند كه او نيز نتيجه مشابه را با استفاده از نامساوي فوق براي محاسبه مساحت قبلاً اثبات كرده است. هر دو آنها براي محاسبه مساحت سطح زير منحني روي فاصله [o,x_0 ]از روش فرسايشي (يا روش افناء كه يوناني ها 2500 سال پيش براي محاسبه مساحت دايره به كار بردند) تقسيم فاصله مذكور به nزير فاصله به طول و پوشش سطح زير منحني با خطوط x=0, x=x0 توسط مستطيل هاي محاطي و محيطي استفاده كردند (شكل زير).
مساحت مستطيل هاي محاطي برابر با

و به طور مشابه مساحت مستطيل هاي محيطي را به دست آورده و اگر A مساحت سطح زير منحني بين 0 و x0 باشد آنگاه

اگرn را به اندازه كافي بزرگ اختيار كنيم با مقايسه با نامساوي روبروال مقدار A برابر با نتيجه مي شود.
سؤال بديهي كه مطرح مي شود آنكه چگونه روبروال و فرما فرمول مجموع توانهاي اعداد صحيح را محاسبه كردند. هيچ مدركي در كارهاي روبروال به جز نامه او به فرما وجود ندارد و فرما هم بيان مي كند كه فرمول فوق را با استفاده از اعداد مثلثي و اعداد اهرامي كه از ستون هاي مثلث پاسكال حاصل مي شود اثبات كرده است (توجه كنيد كه كار فرما حدود بيست سال قبل از انتشار نتايج پاسكال انجام گرفته است هر چند كه خواص مثلث خيام ـ پاسكال به اشكال مختلف در حدود 600 سال قبل در چين، خاورميانه، افريقاي شمالي و اروپا منتشر شده بود).
فرما بيان مي كند كه با استفاده از رابطه (شكل رياضي مدرن امروزي)

حاصل عبارت:

محاسبه مي شود ولي او فقط حالت k=4 را بيان مي كند. براي سادگي حالت k=2 را با استفاده از خواص مثلث پاسكال بررسي مي كنيم.

بنابراين داريم

در نتيجه:

در حالت كلي مي توان نشان داد كه

وقتي كه P(n) يك چند جمله اي از درجه كمتر از k باشد. از تساوي فوق نامساوي روبروال به سادگي اثبات مي شود. البته نمي دانيم كه آيا فرما نتيجه نهايي را به صورت فوق محاسبه كرده است يا نه. زيرا او فقط حالت k=4 را بيان كرده است. نتيجه اي كه حدود 650 سال قبل از آن توسط ابن هيثم ثابت شده است.
ابن هيثم
فرمول محاسبه مجموع توانهاي kام اعداد طبيعي حداقل براي k=4 و نامساوي روبروال 650 سال قبل از قرن هفدهم توسط ابوعلي حسن ابن هيثم معروف به الهازن (1039-965) اثبات شده است. البته حالت k=2 توسط ارشميدس حدود 250 قبل از ميلاد و حالت k=3توسط آريابهاتا (Arabhata) در هند حدود سال 500 ثابت شده است و حالت k=4 ساده نيست زيرا با اثبات اين حالت روش كلي براي اثبات رابطه براي هر عدد طبيعي k نتيجه مي شود.
قبل از بررسي كار ابن هيثم در اثبات فرمول مجموع توانهاي اعداد طبيعي به طور خلاصه اوضاع علوم اسلامي دوره او را توصيف مي كنيم. در طي قرن نهم خليفه مأمون يك سِتاد تحقيقاتي در بغداد تأسيس نمود و از تمام دانشمندان دعوت كرد كه براي توسعه علوم سنتي در اسلام به آنجا بيايند. دعوت او نه تنها مسلمانان بلكه مسيحيان، يهوديان و زرتشتيان را نيز شامل مي شد. هدف اوليه آنها ترجمه بهترين كارهاي رياضي و علمي انجام گرفته توسط يوناني ها و هنديها به زبان عربي و سپس ابداع ايده هاي رياضي و علمي جديد بود. هر چند سِتاد مذكور بعد از دو قرن رفته، رفته از بين رفت ولي يكي از نتايج آن علاقمندي رهبران اسلامي به تشويق و حمايت كارهاي علمي و تحقيقاتي و استفاده علمي از نتايج حاصل بود. به همين دليل ابن هيثم كه در بصره عراق متولد شده بود توسط خليفه الحاكم براي تنظيم كار علمي خود را در هفت كتاب به نام علم نور يا في المناظر تحرير نمود. كتاب او در قرن سيزدهم به لاتين ترجمه شده و قرن ها در اروپا مورد مطالعه و بررسي قرار گرفت. نبوغ رياضي ابن هيثم در مقالة پنجم كتاب في المناظر آنجا كه مسأله اي را حل مي كند كه امروز به نام او معروف است به اوج شكوفايي رسيده است. مسأله الهازن به صورت زير است:
«در صفحة دايره اي به مركز o و به شعاع R دو نقطه ثابت A و B داده مي شود. هرگاه دايره را به مثابة آينه اي فرض كنيم بر آن نقطه اي چون M مي يابيد كه شعاع لوزي كه از A خارج مي شود پس از منعكس شدن در نقطه M بر B بگذرد».
راه حل بسيار پيچيده ابن هيثم به يك معادله درجه چهارم منتهي مي شود كه وي آن را با قطع كردن يك هذلولي متساوي القطرين و يك دايره حل كرده است. علاوه بر آن او با اثبات مسأله براي رويه هاي متنوع استوانه اي، كروي و مخروطي نشان داد كه كاملاً بر هندسه يوناني ها مسلط بوده است (البته لئوناردو داوينچي هم به اين مسأله علاقه پيدا كرد اما چون مباني رياضي مستحكم نداشت فقط توانست آن را از راه عملي (مكانيكي) حل كند. سرانجام هويگنس كه در 1696 درگذشت ظريف ترين و ساده ترين راه حل را نشان داد).
اثبات فرمول «مجموع توانهاي اعداد صحيح» در قرن يازدهم
ايده اصلي در اثبات ابن هيثم استفاده از رابطه:

مي باشد. او فقط نتيجه را براي n=4 وk=1,2,3 بيان كرده است ولي اثبات او براي هر يك از مقادير فوق با استقراء روي n انجام گرفته و به راحتي براي هرk قابل اثبات است.
اثبات او را براي k=3 و n=4 بررسي مي كنيم

از آنجا كه تساوي (*) براي n=3 ثابت شده فرض مي شود پس

بنابراين

پس (*) براي n=4 نيز صادق است. به سادگي مي توان روش ابن هيثم را براي هر عدد طبيعي با استقراء روي k به كار برده و (*) را ثابت كنيم.
ابن هيثم ابتدا از (*) فرمول مجموع توانها را براي مربع و مكعب اعداد پيدا كرد.

آنگاه حالت k=4 از (*) محاسبه مي گردد.

بعد از خلاصه كردن عبارت فوق داريم:

علاوه بر آن توجه كنيد كه با استفاده از رابطه فوق نتيجه مي شود كه:

رابطه اي كه فرما و روبروال از نامساوي روبروال ثابت كردند.
ابن هيثم با استفاده از نتايج فوق حجم حادث از دوران سهمي حول خط عمود بر محور سهمي را با روشي كه امروزه انتگرال ناميده مي شود محاسبه كرد. فرمول ابن هيثم براي مجموع توانهاي چهار در چندين قرن بعد از او در دنياي اسلام ديده شده است به ويژه در كتاب مفتاح الحساب غياث الدين جمشيد كاشاني. به هر حال معلوم نيست كه رياضي دانان مذكور چگونه از فرمول ابن هيثم آگاهي يافته و به چه منظوري از آن استفاده كردند. رياضي دانان هندي در قرن شانزدهم فرمول ابن هيثم را به كار برده اند تا سري تواني توابع مثلثاتي sin x و cos x و Arc tan x را بيابند و نيوتن با استفاده از اين نتايج نظريه حسابان خود را پايه گذاري نمود.
نتيجه گيري
با توجه به مطالب ارائه شده فوق دانشمندان اسلامي يك فرمول عمومي را براي محاسبه انتگرال چند جمله ايها را در حدود 1000 بعد از ميلاد توسعه داده و قادر بودند چنين فرمولي را براي هر چند جمله اي مورد علاقه تعميم دهند. ولي به نظر مي رسد كه علاقمند به چند جمله ايها با درجه بيش از چهار نبوده اند. از طرف ديگر دانشمندان هندي در 1600 با استفاده از فرمول مجموع ابن هيثم براي هر عدد طبيعي موفق به محاسبه سري تواني توابع مورد علاقه شان گرديدند. بنابراين بعضي از ايده هاي اساسي حسابان قرن ها قبل از نيوتن در مصر و هند شناخته شده بود ولي آنها نياز به گسترش از حالات خاص به شكل هاي عمومي را احساس نكردند. شايد به نظر مي رسد كه بايد كتب حسابان دوباره نويسي شده و با تقدير از زحمات نيوتن و لايپ نيتز ابداع اوليه حسابان توسط مسلمانان نيز يادآوري شود: شكي نيست كه نيوتن و لايپ نيتز كساني بوده اند كه ايده هاي متفاوت بسياري را به هم تركيب كرده تا مفاهيم مشتق و انتگرال حاصل شوند و روابط بين آنها را به صورت سيستماتيك معرفي كرده و حسابان را به صورت قوي ترين وسيله حل مسائل تبديل نمايند ولي نكته اي كه هنوز روشن نمي باشد آن است آيا رياضي دانان قبل از آنها بخصوص روبروال و فرما از ايده هاي رياضي مسلمانان از منابعي كه براي ما اكنون شناخته شده اطلاع داشته اند يا خير؟ موضوع چگونگي انتقال دانش رياضي از فرهنگ اسلامي به اروپا در حال حاضر مورد توجه و تحقيق مي باشد. با توجه به ترجمه كتب رياضي كشف شده از عربي به زبان هاي اروپايي رد پاي بسياري از ايده هاي رياضي از عراق و ايران به مصر و سپس به مراكش و اسپانيا دنبال مي شود. در قرون وسطا اسپانيا محل ملاقات فرهنگ هاي اسلامي، يهودي و فرهنگ نوخاسته مسيحي لاتيني اروپا بوده است. بسياري از آثار علمي دانشمندان اسلامي در قرن دوازدهم توسط علماي يهودي كه عبري هم مي نوشتند به لاتين ترجمه شد. ولي با وجود اينكه هيچ مدركي وجود ندارد كه كار ابن هيثم روي مجموع توانهاي صحيح در آن زمان ترجمه شده باشد ايده هاي اصلي او در كارهاي لاتيني و عبري قرن سيزدهم آورده شده است و از آنجا كه ايده هاي اصلي كارش در مطالب هندي هم آورده شده است به نظر مي رسد كه اتصال به هند نيز از طريق ترجمه هاي فوق انجام گرفته باشد. به هر حال بررسي پاسخ دقيق چگونگي اتصال ايده هاي فوق به تحقيق بيشتري كه هم اكنون در حال انجام مي باشد نياز دارد. شايد چندين سال ديگر مدارك كافي براي اينكه نشان دهيم كه ايده هاي اصلي حسابان از افريقا يا آسيا به اروپا رفته است را در اختيار داشته باشيم.

پی نوشت ها :
 

*حيدر زاهد زاهداني ـ استاد گروه رياضي دانشگاه شيراز

منبع: نشریه پایگاه نور شماره 28