نویسنده: اسدالله فلاحی*
چکیده
نگارنده پیش از این در دو مقاله به تحلیل قضایای حقیقیه و خارجیه به کمک منطق جدید پرداخته بود که یکی منطق موجّهات جدید را برای صورت بندی قضایای حقیقیه، و دیگری محمول تعریف ناشده ی وجود را برای فرمول بندی قضایای خارجیه به کار گرفته است. مقاله ی دوم، تعریف هایی از وجود در منطق این همانی و منطق مرتبه ی دوم ارائه کرده است. امّا نتوانسته از این تعریف ها در تحلیل قضایای خارجیه کمک بگیرد.در این مقاله، با نشان دادن ضعف های بنیادین منطق این همانی و منطق مرتبه ی دوم در تحلیل قضایای خارجیه و با نشان دادن تعارض اصل این همانی با قاعده ی فرعیه، منطقی ضعیف تر از منطق این همانی به نام «منطق حذف این همانی» را طراحی کرده ایم که به خوبی توان بیان قضایای خارجیه را دارد. همچنین، منطق ضعیف تری نسبت به منطق مرتبه ی دوم استاندارد را، که به نام «منطق مرتبه ی دوم هنکین» شناخته می شود، به خدمت گرفته و نشان داده ایم که این منطق، برخلاف منطق مرتبه ی دومِ استاندارد، می تواند قضایای خارجیه را به خوبی صورت بندی کند. در ضمن، نشان داده ایم که منطق هنکین با مفاهیم ماهوی و معقولات اولی، و منطق استاندارد با مفاهیم انتزاعی و معقولات ثانیه تناسب دارد.
کلید واژه ها: قضیه ی حقیقیه، قضیه ی خارجیه، منطق حذف این همانی، منطق مرتبه ی دومِ استاندارد، منطق مرتبه ی دوم هنکین، معقولات اولی، معقولات ثانیه.
مقدّمه
قضایای حقیقیه و خارجیه را به روش های گوناگونی به زبان منطق جدید صورت بندی کرده اند. جدیدترین صورت بندی از قضایای حقیقیه را نگارنده در دو مقاله ی اخیر خود در منطق وجهی و منطق محمول ها و وجود ارائه کرده است. تحلیل نگارنده از قضایای حقیقیه و خارجیه در منطق وجهی بدنی گونه است: (1)
تحلیل نگارنده از همین قضایا در منطق محمول ها و وجود نیز به قرار زیر است: (2)
نگارنده در مقاله ی اخیر خود، چهار تعریف زیر برای وجود محمولی (یعنی برای E!x) از منطق آزاد و منطق مرتبه ی دوم نقل می کند: (3)
به نظر می رسد که هر یک از این تعاریف را می توان در صورت بندی قضایای خارجیه جایگزین E!x کرد؛ امّا به دلیل اینکه سه تعریف نخست، قضیه اند و بنابراین در ترکیب عطفی و در مقدّم شرطی، حذف می شوند، جایگزین کردن سه تعریف نخست، سبب می شود فرمول های قضایای خارجیه، معادل و هم ارزِ فرمول های قضایای حقیقیه شود و همین مسئله، تمایز میان این قضایا را نابود می سازد. تعریف چهارم نیز چندان مقبول به نظر نمی رسد؛ زیرا مدعی است «وجود داشتن» به معنای «داشتن صفت غیرضروری» است. اگر این تعریف درست باشد، الحاد و نفی خداوند لازم خواهد آمد؛ زیرا چنان که فلاسفه متألّه نشان داده اند، خداوند از همه ی جهات، ضروری و واجب الوجود است و هیچ صفت امکانی ای ندارد.
در این مقاله می خواهیم نشان دهیم که سه تعریف نخست را می توان جایگزین E!x کرد، بدون اینکه قضایای حقیقیه و خارجیه به یکدیگر فرو کاسته شوند. لازمه ی این کار، طراحی نظامی منطقی است که این سه تعریف در آنها قضیه و قابل اثبات پذیر نباشد. برای این کار، دو منطق به نام های «منطق حذف این همانی» و «منطق مرتبه ی دوم هنکین» را معرفی خواهیم کرد که منطق اول برای نخستین بار ارائه می شود، امّا منطق هنکین در ادبیات منطق مرتبه ی دوم، کاملاً شناخته شده است.(4)
منطق حذف این همانی
1. نظام استنتاجیمنطق محمول ها و این همانی شامل دو قاعده ی اختصاصی به نام های «معرفی این همانی» و «حذف این همانی» است:
قاعده، «معرفی این همانی» قاعده ای بسیار معروف است که غالباً با نام «اصل این همانی» به ارسطو نسبت داده می شود و هم طراز «اصل تناقض» (و گاهی بالاتر از آن) به شمار می آید. با وجود این، باید توجه کرد که این اصل و قانون، تنها در عالم وجود و جهان واقعی برقرار است و در جهان های ممکنِ فرضی و عالم معدومات. دلیل این مسئله، قاعده ای دیگر به نام «قاعده ی فرعیه» است که بر اصل این همانی تسلط دارد و صورت بندی عمومی آن بدین گونه است: «ثبوت شیء لشیء فرع ثبوت المثبت له». بنا به این قاعده ی جدید، حمل محمول بر موضوع، در قضایای موجبه، فرع بر وجود موضوع است؛ در نتیجه اگر موضوع موجود نباشد، هیچ چیزی را نمی توان بر آن حمل کرد، حتی خود آن شیء را. بنابراین، معدومات هیچ حکم ایجابی ای ندارند و برای نمونه، نمی توان گفت «سندباد ماجراجوست» و یا حتی «سندباد، سندباد است».
از اینجا معلوم می شود که اگر بخواهیم منطقی بسازیم که نه تنها قواعد حاکم بر موجودات، بلکه قواعد معدومات را نیز بیان کند، چاره ای نداریم جز اینکه قاعده ی «معرفی این همانی» را از قواعد استنتاجی کنار بگذاریم؛ امّا کنار گذاشتن این قاعده به اثبات ناپذیری بسیاری از قوانین مطلوب این همانی مانند تقارن می انجامد. توضیح اینکه با رها کردن قاعده ی معرفی این همانی، نه تنها قوانین نامطلوب زیر اثبات پذیر نخواهند بود:
بلکه قوانین مطلوب زیر نیز از دست خواهند رفت:
مقصود از «اصل اقلیدس» این قانون معروف است که «دو شیء برابر با شیء سوم، خود با یکدیگر برابرند». این اصل، تقریرهای دیگری نیز دارد که تقریر بالا تقریر نخست آن است و از این رو، با شماره ی یک نشان داده شده است.
با وجود این، تنها نباید گمان کنیم که همه ی قضایای مطلوب این همانی از دست رفته اند؛ زیرا قضایای زیر، تنها به کمک قاعده ی حذف این همانی اثبات پذیرند:
برای جبران قضایای مطلوب از دست رفته چه می توان کرد؟ برای جبران این کاستی، ناگزیریم هر دو صورت قاعده ی حذف این همانی را به منزله ی قاعده ی اصلی داشته باشیم. با این اصلاح، «منطق حذف این همانی» برابر است با منطق محمول ها به همراه دو قاعده ی زیر:
2. سمانتیک منطق حذف این همانی
هر تغییری در قواعد استنتاجی، باید با تغییری در سمانتیک همراه باشد تا صحت و تمامیت نظام برجا بماند. برای این کار، باید به سمانتیک «منطق محمول ها و این همانی» نظر بیفکنیم و ببینیم کدام ویژگی اساسی است که باید تعدیل شود.
در سمانتیک استاندارد، به هر محمول نشانه -n موضعی، زیر مجموعه ای دلخواه از توان nا م دامنه ی سخن را اسناد می دهند؛ امّا به محمول نشانه ی دو موضعی این همانی، زیر مجموعه ی قطری از توان دوم دامنه ی سخن را نسبت داده اند. این بدان معناست که مجموعه ی همه ی زوج مرتب هایی که دو عضوشان یکی است به محمول «این همانی» نسبت داده می شود. بر پایه ی این قرارداد، هر عضوی از دامنه ی سخن، این همان با خود خواهد بود.
اگر بخواهیم دامنه ی سخن، معدومات نیز در بر گیرد، بنا به قاعده ی فرعیه، آن معدومات نباید هیچ حکمی داشته باشند و مهم تر از همه اینکه نباید این همان با خود باشند. بنابراین دیگر لازم نیست که مجموعه ی همه ی زوج مرتب هایی که دو عضوشان یکی است، به محمول «این همانی» نسبت داده شود؛ بلکه کافی است مجموعه ای از زوج مرتب هایی که دو عضوشان یکی است، به محمول «این همانی» نسبت دهیم؛ و به عبارت سوم، زیر مجموعه ای از قطر توان دوم دامنه ی سخن را.
تا اینجا معادل سمانتیکی کنار گذاشتن قاعده ی «معرفی این همانی» را به دست آوردیم؛ امّا درباره ی «قاعده ی فرعیه» چطور؟ آنچه تا کنون انجام دادیم، رعایت قاعده ی فرعیه درباره ی محمول نشانه ی این همانی بود. اینکه بخواهیم قاعده ی فرعیه را به دیگر محمول نشانه ها نیز تعمیم دهیم، امری اختیاری است و تنها تفاوت این است که اگر به این تعمیم پایبند باشیم، منطق حاصل، به منطق قدیم وفادارتر خواهد بود. از آنجا که مقصود این مقاله وفاداری صددر صد به منطق قدیم نیست، بر خود بایسته نمی بینیم که تعمیم قاعده ی فرعیه به همه ی محمول نشانه ها و پیامدهای استنتاجی آن را بررسی کنیم؛ امّا چون به نظر می رسد بیشتر خوانندگان، وفاداری هر چه بیشتر به منطق قدیم خوشایندتر است، به صورت گذرا به این تعمیم و پیامدهای آن می پردازیم تا خواننده هرجا که نیاز باشد خود بتواند به این تعمیم دست یازد؛ با وجود این، این تعمیم، در کلّیت این مقاله، جایگاه تعیین کننده ای ندارد.
برای تعمیم قاعده ی فرعیه به سایر محمول نشانه ها کافی است به هر محمول نشانه ی -n موضعی، زیر مجموعه ای دلخواه از توان nا م مجموعه موجودات دامنه سخن را اسناد دهیم در این صورت، قاعده ی استنتاجی زیر باید به نظام استنتاجی افزوده شود:
اگر F محمول نشانه ای -n موضعی باشد آن گاه:
3. منطق حذف این همانی و منطق محمول ها و وجود
در منطق حذف این همانی، مشابه آنچه از مقاله ی «تحلیل قضایای خارجیه با محمول وجود» نقل کردیم، می توان وجود را تعریف کرد؛ برای نمونه به دو صورت زیر:
قضیه ی «هم ارزی دو تعریف وجود»، که در بخش نظام استنتاجی ارائه شد، نشان می دهد که افزودن هر یک از این دو تعریف به منطق حذف این همانی، دیگری را نتیجه می دهد و ما را به منطق استاندارد این همانی می رساند. توجه کنید که عکس این کار شدنی نیست؛ یعنی نمی توانیم این همانی را در منطق محمول ها و وجود تعریف کنیم. شاید به نظر برسد که عکس تعریف بالا کاملاً معقول است:
با این حال به این تعریف جدید، ایرادی وارد است: اگر این همانی را در منطق محمول ها و وجود تعریف کنیم، نمی توانیم قاعده ی «حذف این همانی» را اثبات کنیم؛ زیرا محمول E! در منطق محمول ها و وجود، هیچ قاعده ی استنتاجی ویژه ای ندارد؛ بر خلاف معمول محمول این همانی که در منطق حذف این همانی، قاعده ی ویژه دارد.
منطق مرتبه دوم هنکین
در مقدّمه دیدیم که تعریف وجود در منطق مرتبه ی دوم استاندارد (یعنی تعریف
بدون شک، x یا صفت A را دارد یا ندارد؛ از این رو، سطر 1 برهان یادشده بی اشکال می نماید. بنابراین، اگر اشکال و ایرادی هست، باید در سطر دوم، و مربوط به قاعده ی «معرفی سور جزئی» در منطق مرتبه ی دوم باشد: می توان در این مقدّمه که «داشتن یا نداشتن صفت A» خود یک صفت برای x است تردید کرد. آیا صفات مرکب که از ترکیب صفات اولیه و ادات منطقی مانند ناقض، عاطف، فاصل، شرطی، دو شرطی ساخته می شوند. صفات حقیقی شیء به شمار می آیند؟ برای پاسخ به این پرسش، باید مقصود خود را از «صفت حقیقی» بیان کنیم. اگر مقصود ما از «صفت حقیقی» مفاهیم ماهوی و معقولات اولی باشد، بدون شک، صفاتی را که در بردارنده ی ادات منطقی اند نمی توانیم «صفت حقیقی» بنامیم؛ زیرا ادات های منطقی، حاصلِ «تأمّلات» و «تعملات» ذهنی اند و از عمل مقایسه ای که ذهن میان مفاهیم پیشین خود انجام می دهد به دست می آیند؛ امّا اگر مقصود از «صفت حقیقی»، در برگیرنده ی معقولات اولی و ثانیه باشد، بدون شک این صفات صفات حقیقی خواهند بود.
در منطق مرتبه ی دوم استاندارد، وقتی می گوییم،
1. نظام استنتاجی منطق هنکین
منطق مرتبه ی دومی که سورهای خود را به معقولات اولی و ماهیات اختصاص می دهد، چگونهه منطقی است؟ لئون هنکین (1921- 2007) در سال 1950 منطق مرتبه ی دومی معرفی کرده است که با آنچه ما می خواهیم مطابقت تام دارد و ما می توانیم این منطق را برای مقصود خود برگزینیم. قواعد این منطق، دقیقاً شبیه قواعد منطق مرتبه ی اول اند؛ با این تفاوت که سورها روی محمول تغییر می کنند:
برای بیان این قواعد، X را متغیر محمولی –n موضعی، Y را محمول نشانه ی –n موضعی، A(X) را فرمولی شامل متغیر X و A(X) را حاصل جایگزینی Y به جای همه ی موارد X در A(X) بگیرید. اکنون بیان قواعد:
تفاوت قواعد منطق مرتبه ی دوم هنکین، با قواعد منطق مرتبه ی دوم استاندارد این است که دو قاعده ی نخست در منطق مرتبه ی دوم استاندارد به صورت زیر است: برای بیان این دو قاعده، X را متغیر محمولی –n موضعی، B را فرمولی با n متغیر آزاد محمولی، A(X) را فرمولی شامل متغیر X و A(Y) را حاصل جایگزینی B به جای همه ی موارد X در A(X) بگیرید به طوری که این جایگزینی هیچ متغیر آزاد را پابند نکند. در این صورت داریم:
همان گونه که دیده می شود، در این دو قاعده به جای A(Y)، داریم: .A(B) معنای این تفاوت چیست؟ برای بیان این تفاوت، ناگزیریم تفاوت Y و B را مورد ملاحظه قرار دهیم: در اینجا، حروف بزرگ آغازین الفبای لاتین را برای فرمول ها به کار برده ایم؛ در حالی که حروف بزرگ پایانی را برای متغیرهای محمولی.
با این قرار داد، در منطق هنکین، برای حذف سور کلی، به جای همه ی موارد متغیر محمولی، X، تنها می توانیم محموله نشانه (مانند Y) را قرار دهیم؛ امّا در منطق مرتبه ی دوم استاندارد، هم می توانیم محمول نشانه (مانند Y) را قرار دهیم و هم می توانیم فرمول باز (مانند B) بگذاریم.
تفاوت محمول نشانه و فرمول باز این است که محمول نشانه، بسیط است و هیچ ادات منطقی ای در آن حضور ندارد؛ بر خلاف فرمول باز که ممکن است در آن، ادات های منطقی حضور داشته باشد (این همان تفاوت مفاهیم ماهوی و معقولات اولی با مفاهیم انتزاعی و معقولات ثانیه است. بنابراین می توان گفت که منطق مرتبه ی دوم هنکین، منطق معقولات اولی و منطقه مرتبه ی دوم استاندارد، منطق معقولات ثانیه است).
2. سمانتیک منطق هنکین
مقصود از این عبارت ها چیست؟ برای تسهیل در بیان مقصود، سخن را به محمول نشانه های یک موضعی محدود می کنیم. پس از درک اصل مطلب، می توان مسئله را به محمول های –n موضعی تعمیم داد.
در سمانتیک استاندارد، به هر محمول (یک موضعی) «زیر مجموعه ای از دامنه ی سخن» را اسناد می دادیم. در سمانتیک هنکین، در هر تعبیر، ابتدا، «زیر مجموعه هایی از دامنه ی سخن» را بر می گزینیم و ثابت نگاه می داریم و آن گاه به هر محمول (یک موضعی)، یکی از آنها را نسبت می دهیم.
اکنون می توان دید که چرا قواعد استنتاجی هنکین معادل این سمانتیک است. می دانیم که هر فرمول باز با یک متغیر فردی آزاد، درباره ی بعضی (یا همه یا هیچ یک) از اعضای دامنه صادق و برای دیگر (یا هیچ یا همه ی) اعضای دامنه کاذب است. اعضایی که یک فرمول باز را صادق می گردانند «مجموعه ی صدق آن فرمول» نامیده می شوند. این مجموعه، آشکارا، زیر مجموعه ای از دامنه ی سخن است که احتمال دارد تهی یا ناتهی، و یا حتی معادل کل دامنه ی سخن باشد.
اکنون،
3. منطق هنکین و تعریف وجود
آشکار است که قاعده ی معرفی سور جزئی که بر سطر اول اعمال شده و سطر دوم را نتیجه داده، قاعده ای است در منطق مرتبه ی دوم استاندارد و نه در منطق مرتبه ی دوم هنکین؛ زیرا سطر1 حاصل جانشینی محمول نشانه به جای متغیر محمولی نیست، بلکه حاصل جانشینی فرمول باز به جای متغیر محمولی است.
4. قضایای منطق هنکین
قضایای منطق مرتبه ی دوم هنکین، کاملاً مانند قواعد منطق مرتبه ی اول است؛ جز اینکه سور روی محمول وارد شده است. بنابراین، کافی است به قضایایی از منطق مرتبه ی دوم استاندارد توجه کنیم که در منطق هنکین، دیگر قضیه نیستند:
کاذب بودن دو فرمول نخست، به دلیل قاعده ی فرعیه است؛ زیرا بنا به این قاعده، اشیای معدوم، هیچ صفتی ندارند. شاید قضیه بودن فرمول های بالا در منطق مرتبه ی دوم استاندارد،به جز دو فرمول نخست، پیش پاافتاده به نظر برسد؛ زیرا تالیِ بیشترِ آنها قضیه است و بنا به تابع ارزشی بودن شرطی، آنها نیز قضیه خواهند بود. این سخن درست است؛ امّا توجه کنید که حتی اگر شرطی را شرطی ربطی در نظر بگیریم، دوباره خواهیم دید که این فرمول ها قضیه هستند و قضیه بودن آنها به سبب صدق تالی نیست؛ بلکه با اعمال قواعد منطق مرتبه ی دوم استاندارد، می توان از مقدّم آنها به تالی رسید!
منطق هنکین و منطق حذف این همانی
پرسشی که اکنون خود را به ذهن تحمیل می کند، این است که دو منطق معرفی شده در این مقاله (منطق حذف این همانی و منطق هنکین) چه نسبتی با هم دارد؟ این پرسش، از این رو، رواست که نخست این دو منطق، بر خلاف منطق این همانی استاندارد و منطق مرتبه ی دوم استاندارد، قابلیت تعریف وجود و تفکیک قضایای حقیقیه و خارجیه را دارند؛ و دوم، در منطق مرتبه ی دوم استاندارد، ادات این همانی تعریف پذیر است:
دو تعریف وجود) ناسازگارند و باید یکی از آنها را کنار نهاد. از اینجا می توان دریافت که این دو منطق، نمی توانند در طول یکدیگر باشند (مگر اینکه تعریف دیگری برای این همانی در منطق هنکین بیابیم).
فروکاستن قضایای حقیقیه و خارجیه به یکدیگر
تفکیک قضایای حقیقیه و خارجیه، تا کنون، در چهار منطق تحلیل شده است. 1. منطق وجهی؛ 2. منطق محمول ها و وجود؛ 3. منطق حذف این همانی و 4. منطق مرتبه ی دوم هنکین. در اینجا شایسته است نحوه ی فروکاهی قضایای حقیقیه و خارجیه را در هر یک از این چهار منطق جداگانه بررسی، و سپس آنها را با هم مقایسه کنیم.
در منطق مرتبه ی دوم هنکین نیز افزودن قواعد منطق مرتبه ی دوم استاندارد، سبب قضیه شدن تعریف وجود، و حذف آن از تحلیل قضایای خارجیه و فروکاهی آنها به قضایای خارجیه می شود. افزودن اصل فراگیری (یا جامعیت) همین نقش را دارد. این اصل موضوع به صورت زیر است:(5)
برای مقایسه ی این چهار منطق، می توان به چند نکته اشاره کرد:
1. نظام های کلاسیک و متداول در منطق وجهی (مانند نظام های K تا S5)، امکان تفکیک قضایای حقیقیه و خارجیه را فراهم می آورند؛ امّا نظام غیرکلاسیک و نامتداول Triv، تفکیک را نابود می سازد و به فروکاهی قضایای حقیقیه و خارجیه می انجامد. این در حالی است که در منطق های غیروجهی، نظام های استاندارد و متداول به فروکاهی می انجامند؛ امّا نظام های نااستاندارد توان تفکیک دو نوع قضایا را دارند.
2. اصولاً تحلیل قضایای خارجیه و حقیقیه در منطق وجهی و تحلیل همان قضایا در سه منطق دیگر، متفاوت است. تحلیل قضایا در این سه منطق از ساختاری که در مقدّمه ی این مقاله از مقاله ی «تحلیل قضایای خارجیه با محمول وجود» نقل کردیم پیروی می کند.
3. از میان این منطق ها، منطق محمول ها و وجود، در منطق حذف این همانی و منطق هنکین تعریف پذیر است؛ امّا این تعریف پذیری در جهت عکس و نیز در سایر منطق ها برقرار نیست.
نتیجه گیری
دیدیم که تفاوت میان قضایای حقیقیه و خارجیه را نه تنها می توان به کمک «منطق های وجهی» و «منطق محمول ها و وجود»، بلکه با «منطق محمول ها و حذف این همانی» و «منطق مرتبه ی دوم هنکین» می توان نشان داد. منطق حذف این همانی، که از کنار گذاشتن قاعده ی معرفی این همانی از منطق محمول ها و این همانی به دست می آید، دارای دامنه ای شامل موجودات و معدومات است. مانع عمده در رسیدن به این منطق، بداهت فوق العاده ی قاعده ی معرفی این همانی است که اجازه ی عبور از آن را به ذهن نمی دهد. ما با توجه به قاعده ی فرعیه و اینکه گزاره های موجبه، به ویژه گزاره های این همانی، با معدوم بودن موضوع، کاذب اند، این مانع را پشت سر گذاشتیم.منطق مرتبه ی دوم هنکین نیز از تضعیف دو قاعده از قواعد سور در منطق مرتبه ی دوم استاندارد به دست می آید. این منطق، بر خلاف منطق حذف این همانی، پیش تر شناسایی شده و مورد بحث و بررسی قرار گرفته است. به نظر می رسد که مانع اصلی در توجه به این منطق برای تفکیک قضایای حقیقیه و خارجیه، شهرت بیش از حد منطق مرتبه ی دوم استاندارد بوده است (تا حدی که در ادبیات منطق مرتبه ی دوم، منطق هنکین را تنها به صورت یک منطق فرعی و کم اهمیت مورد بحث قرار داده اند).
پی نوشت ها :
*استادیار دانشگاه زنجان .دریافت :15/7/88 ـ پذیرش: 20/3/89.
falahiy@yahoo.com
1- اسدالله فلاحی، «صورت بندی جدیدی از قضایای حقیقیه و خارجیه»، آینه ی معرفت، ش11، ص52.
2- اسدالله فلاحی، «تحلیل قضایای خارجیه با محمول وجود»، معرفت فلسفی، ش23، ص71.
3- همان، ص 57.
4- برای توضیح بیشتر درباره ی دو نظام منطق مرتبه ی دوم استاندارد و هنکین، ر.ک: محمّد اردشیر، منطق ریاضی، ص 189-205؛ علیرضا دارابی، بررسی نحوی و معنایی منطق درجه ی دوم، ص34-38 و 50-59؛ سید محمّدعلی حجتی و علیرضا دارابی، «بررسی و مقایسه ی دو دلالت شناسی منطق مرتبه ی دوم»،مطالعات و پژوهش ها، ش 51، ص 75-77.
5- محمّد اردشیر، همان، ص 196.
- اردشیر، محمّد، منطق ریاضی، تهران، هرمس، 1383.
- حجّتی، سید محمّدعلی و علیرضا دارابی، «بررسی و مقایسه ی دو دلالت شناسی منطق مرتبه ی دوم»، مطالعات و پژوهش ها، ش51، 1386، ص 69-84.
- دارابی، علیرضا، بررسی نحو و معنایی منطق درجه ی دوم، پایان نامه ی کارشناسی ارشد، رشته ی فلسفه، تهران، دانشگاه تربیت مدرس، 1384.
- فلاحی، اسدالله، «صورت بندی جدیدی از قضایای حقیقیه و خارجیه»، آینه معرفت، ش11، تابستان 1386، ص 30-61.
- --- ، «صورت بندی قضایای خارجیه با محمول وجود»، معرفت فلسفی، ش 23، بهار 1388، ص 51-76.
- Henkin, Leon, "Completeness in the Theory of Types", The Journal of symbolic Logic, 15, 1950,p. 81-91.
منبع: معرفت فلسفی شماره 28
