تاریخ احتمال در ریاضیات (2)

کاردانو روی شانس و ریاضیات

گیرولامو کاردانو در تاریخ احتمال حکم یک گذار را دارد. البته هر ریاضی‌دان شایسته‌ی ذکری، به مفهومی، نقش یک گذار را دارد؛ هر ریاضی‌دان خوبی خطاهای گذشته را تصحیح و درحد خود در پیشرفت آینده مشارکت می‌کند. اما این بیان معنای ویژه‌ای برای کاردانو دارد. به‌علت زمینه‌ی ریاضی‌اش او قادر به تشخیص راه تفکر جدیدی درباره‌ی بازی‌های شانس بود.
گاهی کاردانو قادر به فهمیدن و استفاده از احتمال به طرقی که مدرن به‌نظر می‌رسند بود. مثلاً او می‌دانست که احتمال آمدن 10 با دو تاس، 1/12 است. او این را با شمردن تعداد پی‌آمدهای مطلوب پیدا کرد. او به ما می‌گوید سه راه برای به‌دست آوردن 10 با دو تاس وجود دارد. می‌توان پرتاب‌های زیر را داشت:
(5، 5)، یعنی یک 5 روی هر تاس، یا
(4، 6)، یعنی یک 6 روی تاس اول و یک 4 روی دومی، یا
(6، 4)، یک 4 روی تاس اول و یک 6 روی دومی.
در مرحله ی بعد توجه کنید که 36 پی‌آمد مختلف وجود دارد. برای دیدن علت، تصور کنید که از یک تاس قرمز و یک تاس سبز، به‌عنوان راهی برای تشخیص آنها، استفاده می‌شود. اگر با تاس قرمز 1 بیاید، این 1 می‌تواند با هرکدام از شش عدد – یعنی 1، 2، 3، 4، 5، و 6 – آمده روی تاس سبز جفت شود. بنابراین شش پی‌آمد ممکنِ وابسته به آمدن یک 1 قرمز وجود دارد. اما در مورد عدد 1 چیز ویژه‌ای وجود ندارد. دقیقاً همین بحث را می‌توان در مورد هر عدد دیگری که روی تاس قرمز بیاید انجام داد. با جمع تمام امکان‌ها 36 پی‌آمد ممکن مختلف به‌دست می‌آوریم. (جدول زیر را ببینید.)
مجموع پی‌آمدهای مطلوب (3) را بر تعداد پی‌آمدهای ممکن (36) تقسیم کنید تا 3/36 یا 1/12 به‌دست آید. این یک نتیجه‌ی ساده است، اما نشان می‌دهد که او اصل علمی درگیر در مسئله را می‌فهمد.
آنچه در مورد کاردانو جالب است این است که گرچه او می‌داند چگونه احتمال‌های وقوع مربوط به پی‌آمدهای ساده‌ی معین را حساب کند، به حساب کردن کاملاً معتقد نیست. مشکلی که او در تفسیر محاسباتش دارد ناشی از این واقعیت است که او کاملاً نمی‌تواند از شر ایده‌ی بس غیر علمیِ شانس راحت شود. در اینجا گزیده‌ای از بخشی از Liber de Ludo Alea تحت عنوان «در موضوع جبن در پرتاب» ارائه می‌شود:
«به این دلیل، طبیعی است که در شگفت شویم که چرا آنهایی که تاس را با ترس پرت می‌کنند شکست می‌خورند. آیا خودِ فکر دارای یک احساس احذار از شر است؟ اما ما باید مردم را از خطا برهانیم؛ برای این‌که گرچه ممکن است این صحیح تصور شود اما همچنان دلیل بارزتری داریم. برای این‌که وقتی‌که کسی شروع به تسلیم شدن در برابر بخت و اقبال نامیمون کند، واقعاً غالباً او با پرتاب توأم با دلهره‌ی تاس خو می‌گیرد؛ اما اگر بختِ نامیمون در ماندن مصر باشد تاس لزوماً به‌صورت نامطلوب فرود خواهد آمد. لذا، چون او تاس را با ترس پرت کرد، به عقیده‌ی مردم به همین دلیل تاس به‌صورت نامطلوب بر زمین می‌نشیند؛ اما این‌طور نیست. علت آن ناسازگاری بخت و اقبال با فرود مطلوب تاس است، و چون تاس به‌طور نامطلوب پایین می‌آید او می‌بازد، و چون او می‌بازد تاس را با دلهره پرت می‌کند.»
در Liber de Ludo Aleae ما شانس و ریاضیات را شانه به شانه‌ی یکدیگر می‌یابیم. این تا حدودی چیزی است که کتاب را برای یک خواننده‌ی مدرن این‌قدر جالب می‌سازد.
یک خواننده‌ی مدرن گاهی خواندن Liber de Ludo Aleae را کمی دلسرد کننده (یا کمی خنده‌دار) می‌یابد. آدم وقتی که کاردانو برای گرفتنِ نتجه‌های «واضح» لقمه را دور سرش می‌پیچاند شروع به حیرت می‌کند. او اما معمولاً حیرت نمی‌کند. مثلاً او متذکر می‌شود که اگر کسی سه وجه دلخواه یک تاس را انتخاب کند، آنگاه یکی از اعداد روی این سه وجه درست همان‌قدر محتمل است که در یک پرتاب بیاید که یکی از اعداد روی سه وجه دیگر. از این مطلب او نتیجه می‌گیرد که «من به همان راحتیِ دو، چهار یا شش می‌توانم یک، سه یا پنج را پرت کنم» (همان منبع). به‌گونه‌ای، با ترسیم سه وجه از یک تاس شش وجهی به‌عنوان مطلوب و سه وجه دیگر به‌عنوان نامطلوب او مسئله‌ی پرتاب یک تاس را به یک مسئله‌ی انداختن سکه برمی‌گرداند: او به ما می‌گوید احتمال‌ پرتاب یک 1، یک 3، یا یک 5 عبارت است از 50/50. البته او درست می‌گفت، و او کمی فراتر از این مورد ساده رفت، اما درک او از احتمال، حتی آنچه که انحصاراً به تاس مربوط می‌شود، بسیار محدود بود.
ازنظر ریاضی، او بسیار به دستیابی به اکتشافات عمیق‌تر نزدیک شد، اما هرگز پیوندهای لازم را کاملاً ایجاد نکرد. علاوه براین، اینگونه نیست که همه‌ی ملاحظات فُرموله شده‌ی ریاضی مکتوب او درباره‌ی تاس صحیح باشد. مثلاً او نتیجه می‌گیرد که اگر کسی تاسی را سه مرتبه پرت کند شانس این‌که عدد مشخصی حداقل یک بار بیاید 50 درصد است، درحالی‌که این شانس واقعاً درحدود 42 درصد است. مطمئناً او در تحلیلش به نقاط دور نرسید، اما مهم است به‌خاطر بسپاریم که او اول کسی بود که تلاش کرد توصیفات احتمالاتیِ «پدیده‌ی تصادفی» را فُرمول‌بندی کند.
درصورتی که دو مانع اضافی که علاوه بر نو بودن موضوع در برابر کاردانو قرار داشت را درنظر بگیریم می‌توانیم قدردانی کامل‌تری از کار کاردانو را پرورش دهیم. نخست این‌که برای هر کسی سخت بود که برای احتمال، نظریه‌ای جامع‌تر را بدون سیستم خوبی از نمادسازی جبری توسعه دهد. بدون جبر، بسیار سخت‌تر می‌توان ایده‌های ریاضی شخص را روی کاغذ نمایش داد، و در زمان کاردانو نمادسازی جبری لازم برای بیان احتمال پایه هنوز در جریان توسعه بود. (Liber de Lydo Aleae عملاً تماماً نثر است.) دوم این‌که گرچه کاردانو در لبه‌ی راهی جدید از تفکر درباره‌ی تصادف ایستاد، روشن است که کاملاً نتوانست اجازه‌ی عزیمت از ایده‌های قدیمی را به‌خود دهد. به‌ویژه، او نتوانست پیش‌باورهای قدیمی در مورد نقش شانس را از دست دهد. مثلاً بسیار مطمئن بود که گرایش فرد پرتاب کننده‌ی تاس در نتیجه‌ی پرتاب تأثیر دارد. (متجاوز از یک قرن دیرتر، ریاضی‌دان بزرگ Abraham de Moivre احساس کرد که نیاز است بخشی را در کتابش، دکترین شانس‌ها، در رد این ایده بگنجاند که‌ شانس چیزی است که می‌تواند بر پی‌آمد یک واقعه‌ی تصادفی مؤثر باشد.) هرچند او توانست احتمال‌های وقوع ساده را محاسبه کند کاردانو تمایل نداشت اجازه دهد اعداد برای خودشان حرف بزنند. او معتقد بود که شانس هنوز نقش بازی می‌کند.
باوجود این نقایص، در نوشته‌های کاردانو نخستین مدارک تلاش‌های یک کسی را برای توسعه‌ی یک توصیف ریاضی از الگوهای تصادفی می‌یابیم.

گالیله

دانشمند ایتالیایی، گالیله (1642-1565)، یکی از موفق‌ترین دانشمندان همه‌ی ازمنه بوده است. رصدهای نجومی او، به‌ویژه از زهره، خورشید، و سیاره‌ی مشتری، برهان قدرتمندی بر این‌که زمین مرکز کیهان نیست فراهم آورد. او یکی از نخستین دانشمندان بود که فیزیک را با استفاده از ترکیبی از آزمایش‌های به‌دقت طراحی شده و تحلیل ریاضی دقیق تحقیق نمودند. او نقش مهمی در استقرار پایه‌های دانش مدرن بازی کرد. او در پی‌گیری درستی علمی و ریاضی، خلاقیت، و در مواجهه با مشکلات، شجاعت نشان داد. او همچنین در مقاله‌اش «اندیشه‌هایی درباره‌ی بازی‌های تاس» کمی درباره‌ی تصادف نوشت.
ملاحظات گالیله در مورد تاس مشهور نیستند. حتی به‌نظر نمی‌رسد گالیله توجه زیادی به موضوع داشت. او در نخستین پاراگراف بیان می‌کند تنها چون‌که «مأمور» این کار شده است درباره‌ی تاس می‌نویسد. (ذکر نمی‌کند چه کسی او را مأمور کرده بود.) به‌نظر می‌رسد گالیله تنها شخص زمانش بوده که درباره‌ی تصادف در مسیری ریاضی اندیشیده است. (کاردانو هنگامی که گالیله طفل بود مرد.) ایده‌هایی که گالیله در مقاله‌اش بیان می‌نماید ساده و مستقیم توضیح داده شده‌اند. حتی امروز این مقاله‌ی بسیار کوتاه مقدمه‌ی خوبی بر ساده‌ترین ایده‌ها درباره‌ی احتمال فراهم می‌آورد.
گالیله به‌خصوص به مسأله‌ی توضیح چراییِ این‌که در پرتاب سه تاس اعداد 10 و 11 با تواتر بیشتری نسبت به اعداد 9 و 12 ظاهر می‌شوند علاقه داشت. حل این مسأله، به‌سادگی، امری مربوط به شمارش است. او با ذکر این شروع می‌کند که تنها 16 عدد مختلف وجود دارد که با پرتاب سه تاس می‌توان به‌دست آورد: 3، 4، 5، ...، 18. اما این اعداد همه هم‌احتمال نیستند. او متذکر می‌شود که عدد 3 تنها به یک طریق می‌تواند به‌دست آید: سه تا 1 باید پرت شود. احتمال ظاهر شدن اعداد دیگر بیش از احتمال مربوط به 3 است زیرا آنها می‌توانند با یک تنوع بزرگ‌تری از ترکیب‌های تاس‌ها به‌دست آیند.
برای تعیین این‌که چرا به‌هنگام پرتاب سه تاس، اعداد 10 و 11 نسبت به اعداد 9 و 12 محتمل‌ترند گالیله همه‌ی راه‌هایی که اعداد 10 و 11 را می‌توان به‌دست آورد می‌شمارد. مثلاً او نشان می‌دهد که 27 راه مختلفِ پرتاب 10، ولی تنها 25 راه مختلف پرتاب 9 وجود دارد. برای دیدن این‌که چرا این مطلب درست است تصور کنید که سه تاس از هر نظر به‌جز رنگشان یکسانند. فرض کنید یک تاس سبز، دومی زرد، و سومی قرمز است. حال که می‌توانیم به‌آسانی تاس‌ها را تشخیص دهیم می‌توانیم ببینیم که دو سبز، یک زرد، یک قرمز پی‌آمدی متفاوت با یک سبز، دو زرد، یک قرمز است. این مطلب حتی اگر در هر دو مثال مجموع اعداد تاس‌ها 4 شود درست است. با درنظر داشتن این مطلب، شمردن همه‌ی امکان‌ها کاری ساده است. جدول زیر، همه‌ی ترکیب‌های ممکن 9 و 10 را برای مقایسه لیست کرده است.
همچنین توجه کنید که 216 پی‌آمد ممکن مختلف وابسته به پرتاب سه تاس وجود دارد: شش عدد «سبز» مختلف، شش زرد، و شش قرمز. چون اعدادِ روی تاس‌های با رنگ‌های مختلف در هر ترکیبی می‌تواند ظاهر شود تعداد کلی ترکیب‌ها عبارت است از 6×6×6 یا 216 پی‌آمد.
اگر قرار بود مسئله‌ی گالیله را خودمان مطالعه کنیم احتمالاً مطالعه‌امان را با این مشاهده که شانس‌ پرتاب 10 برابر است 27/216 به‌پایان می‌بردیم، زیرا 27 راه مختلف از میان 216 پی‌آمد ممکن متمایز مربوط به آمدن 10 وجود دارد. در مقابل، شانس پرتاب 9 برابر است با 25/216. گالیله تا اینجا پیش نمی‌رود. او به لیست کردن تعداد کلی پی‌آمدهای منجر به 10 (27 ترکیب) و تعداد کلی پی‌آمدهای منجر به 9 (25 ترکیب) راضی است و آنگاه نتیجه می‌گیرد که 10 محتمل‌تر از 9 است. گالیله از هیچ‌کدام از زبان‌هایی که ما به احتمال یا تصادف وابسته کرده‌ایم استفاده نمی‌کند. برای او احتمال مطلب ساده‌ای از شمارش و مقایسه است. با این حال، مقاله‌ی گالیله پیشرفته‌ترین رساله روی یک مسئله‌ی مورد عمل ما با ریاضیات احتمال است که تا آن زمان نوشته شده بوده است. شاید حتی مهم‌تر این است که این مقاله عاری از ایده‌ی شانس است – مفهومی که به تفکر کاردانو آسیب رسانده بود. این، علیرغم این واقعیت که هیچ‌کس، ظاهراً نه حتی خود گالیله، آن را شایسته‌ی توجه زیاد درنظر نمی‌گرفت، توفیق مهمی بود.

پیِر دو فرما و بلِیس پاسکال

غالباً گفته می‌شود نظریه‌ی احتمال با کار دو فرانسوی آغاز شده است، بلِیس پاسکال (62-1623) و پیِر دو فِرما (65-1601). هر دو ریاضی‌دانانِ به‌شدت موفقی بودند. هر کدام از آنها اکتشافات بسیاری در تنوعی از انتظام‌های ریاضی به‌عمل آوردند، اما نه فرما و نه پاسکال عمدتاً ریاضی‌دان نبودند. هر دوی آنها مشغولیات‌گرای ریاضیات بودند؛ خوشبختانه، آنها مشغولیت‌گرای بسیار بااستعدادی بودند.
پیر دو فرما 22 سال مسن‌تر از پاسکال بود. او در دانشگاه تولوز قانون خواند و بعداً کاری دولتی در شهر تولوز پیدا کرد. این به او اجازه داد که به عنوان وکیل کار کند و علایق فراوانی که خارج از حوزه‌ی قانون داشت را دنبال کند. هنگامی که دادگاه‌های قانونی جلسه داشتند او با مشق قانون مشغول بود. هنگامی که دادگاه‌ها خارج از سرویس بودند او ریاضیات، ادبیات، و چند زبان مطالعه می‌کرد. فرما زبان‌های زیادی می‌دانست ازجمله یونانی، لاتین، اسپانیولی، ایتالیایی، و البته فرانسوی. او دوست داشتنی بود. با هر حسابی او مؤدب و باملاحظه و فرهیخته بود، اما زیر ظاهر خارجیِ نجیبش، دارای کنجکاوی آتشینی بود.
تعقیب منزوی ریاضیات، موضوعی سخت است. ایده‌های درگیر می‌توانند از نظر ادراکی مشکل باشند، و حل‌ها می‌توانند از نظر فنی مشکل باشند. به‌سادگی انسان در جزئیات متوقف می‌شود و جنگل را از فرط درختانش نمی‌بیند. دسترسی به دیگر افراد دارای علایق مشترک کمک می‌کند فرد فکرش را تازه نگاه دارد. برای فرما، «تازه نگاه داشتن» به معنی ارسال نامه به ریاضی‌دانان فاضل بود. او به مراوده‌ای باروح با بسیاری از بهترین ریاضی‌دانان زمانش ادامه می‌داد. نامه‌ها، که بسیاری از آنها نگهداری شده‌اند، گویای مردی فروتن و کنجکاو است در جستجویی جدی و پی‌گیر برای درستیِ ریاضی‌وار.
در مقایسه با فرما، بلِیس پاسکال سال‌های نوجوانی خود را به خوشه‌چینی تحصیلات ریاضی‌اش از تماس‌های چهره به چهره با تعدادی از بهترین ریاضی‌دانان در اروپا گذراند. او این کار را با حضور در یکی از معروف‌ترین «کلوپ‌ها»ی ریاضی در تاریخ ریاضیات انجام داد.
در زمان فرما و پاسکال، و حتی در زمان کاردانو، در فرانسه و ایتالیا گروه‌های رسمی و غیررسمی زیادی از افراد هم‌فکر وجود داشت که با همدیگر برای بحث روی ایده‌های جدید در علوم و ریاضیات ملاقات می‌کردند. گرد‌هم‌آیی‌ها کمابیش به‌طور منظم برگزار می‌شد. یکی از مشهورترینِ این گروه‌ها هر هفته در پاریس، زادگاه پاسکال، در منزل مارین مارسن جمع می‌شدند. مارسن کشیشی عاشقِ علوم، ریاضیات، و موسیقی بود. او یک نویسنده‌ی پرکار بود و با بسیاری از ریاضی‌دانان و دانشمندان پیشتاز زمان خود مکاتبه داشت، اما این گرد‌هم‌آیی‌های هفتگی برگزار شده در منزلش بود که او را در سراسر اروپا مشهور ساخت. بعضی از بهترین ریاضی‌دانان و دانشمندان زمان، عصری را در هر هفته در جایی که اشتهار به آکادمی مارسن یافت می‌گذراندند. آنها حرف می‌زدند، بحث می‌کردند، و یاد می‌گرفتند. پیِر دو فرما، که در تولوز که دور بود زندگی می‌کرد، عضو نبود، اما یک ریاضی‌دان دیگر، اِتیِن پاسکال، کراراً حضور می‌یافت. او، علاوه بر حضورش در آکادمی، با فرما در تعدادی از موضوعات مکاتبه داشت. گرچه اتیِن پاسکال یک ریاضی‌دان خوب بود، امروز بیشتر به‌عنوان پدر بلِیس پاسکال به‌خاطر می‌آید.
اتین پاسکال مانند فرما شغلی دولتی داشت، اما علاقه‌ی عمده‌ی او تحصیلات پسرش بود. ابتدا او به تعلیم بلیس در زبان‌ها و ادبیات پرداخت. او به تدریس ریاضیات به پسرش نمی‌پرداخت، زیرا نمی‌خواست کار زیاد بر او بار کند. این وضعیت ادامه داشت تا پاسکال جوان شروع به مطالعه‌ی هندسه نزد خود نمود که پدرش نرم شد و شروع به تدریس ریاضی به او نیز کرد. بلیس پاسکال، 12 ساله بود که شروع به دریافت آموزش در ریاضیات کرد. زمانی که 14 ساله بود پدرش را در گردهم‌آیی‌های خانه‌ی پدر مارسن همراهی می‌کرد.
گردهم‌آیی‌ها تأثیر عمیقی بر فکر بلیس پاسکال داشت. زمانی که 16 ساله بود کشف مهمی در رشته‌ی جدید هندسه‌ی ترسیمی به‌عمل آورده بود. (ریاضی‌دانی که رشته‌ی هندسه‌ی ترسیمی را پایه‌گذاری نمود، گیرارد دسارگوس، به‌طور منظم در گردهم‌آیی‌ها حاضر می‌شد، و کشف پاسکال تعمیمی از کار دسارگوس بود.) اما علاقه‌های پاسکال جوان به‌سرعت تغییر کرد و به‌زودی مطالعه‌ی هندسه را متوقف کرد. زمانی که 18 ساله بود به خود به‌عنوان مخترع ماشین حساب مکانیکی توجه می‌کرد، چیزی که او برای کمک به پدرش در انجام محاسبات مربوط به مسئولیتش به‌عنوان یک صاحب‌منصب دولتی ساخته بود. این ماشین حساب که به پاسکالاین معروف شد نه قابل اعتماد بود و نه ارزان، اما او چندین کپی از آن را ساخت و بعضی را فروخت. این ماشین حساب‌ها اثر بزرگی بر معاصرین پاسکال داشت و چندین ماشین حسابی که بعد آمدند تعدادی از ایده‌های پاسکال را در طرح‌های خود دخیل کردند.
وقتی پاسکال بالغ شد با نجیب‌زاده‌ای فرانسوی به نام چوالیِر دو مِری که مردی عاشق قمار بود آشنا شد. پاسکال و دو مری در مورد پایه‌ی ریاضی مسائل معینی وابسته به قمار بحث می‌کردند. سرانجام پاسکال برای کسب کمک در حل این مسائل به فرما رجوع کرد. در 1654 فرما و پاسکال سریِ مشهور نامه‌های خود درباره‌ی بازی‌های شانسی را شروع کردند.
بعضی از مسائلی که پاسکال و فرما بحث می‌کردند مربوط به مسئله‌ی «تقسیم شرط‌ها» بود. ایده به‌حد کافی ساده است. فرض کنید که دو بازیکن، به‌اندازه‌ی مساوی پول شرط‌بندی روی یک بازی شانسی بگذارند. فرض کنید یکی از بازیکن‌ها از دیگری جلو زند و آنگاه آنها تصمیم بگیرند که بازی را قبل از این‌که به پایان برسد متوقف کنند. آنها چگونه باید پول شرط‌بندی را تقسیم کنند؟ اگر بازیکنی جلو است معقول نیست پول شرط‌بندی بالسویه تقسیم شود، چون‌که بازیکنی که جلو است «احتمالاً» برنده می‌شد. اما همان‌طور که هر قماربازی می‌داند جلو بودن در یک بازی شانسی تضمینی برای یک برد نیست: درواقع، گاهی بازیکنی که عقب است به‌هررو نهایتاً برنده می‌شود. با این‌حال در یک بازه‌ی طولانی غالباً بازیکنی که جلو است از بازیکنی که عقب است می‌برد. تقسیم پول شرط‌بندی باید منعکس کننده‌ی این امر باشد. این مسئله درگیر چندین مفهوم احتمالاتی مهم است و ممکن است ایده‌هایی خارج از حوزه‌ی قماربازی الهام‌بخش آن باشد. (متن حاشیه‌ای را ببینید.)
پاسکال و فرما در نامه‌هایشان ویژه شرح‌های متعدی از این نوع مسائل مربوط به قمار را حل می‌کنند. آنها با مسائل درگیر با دو بازیکن و یک تاس منفرد شروع کردند. بعداً آنها بازی‌های سه نفره را مد نظر قرار دادند، اما خودشان را محدود به مسئله‌ی تقسیم پول‌های شرط‌بندی نکردند. آنها همچنین به پرسش‌های مربوط به احتمال حداقل یک بار آمدنِ یک عدد ویژه در تعداد معینی پرتاب پاسخ دادند. (مثلاً احتمال این‌که در هشت بار پرتاب یک تاس حداقل یک بار 6 بیاید چیست؟ متن حاشیه‌ای «اشتباه کاردانو» که قبلاً در همین فصل آمد را برای حل یک مسئله‌ی مربوطه‌ی نزدیک به آن ببینید.) نامه‌های آنها منعکس کننده‌ی هیجانی واقعی است درباره‌ی آنچه آنها درحال انجامش بودند.
متأسفانه پاسکال و فرما برای تنها چند ماه درباره‌ی بازی‌های شانسی مکاتبه داشتند و بعد از آن پاسکال یکسره کار روی ریاضیات را متوقف کرد. او به انجمنی مذهبی پیوست و در بقیه‌ی عمرش ریاضیات را رها کرد. چند سال بعد فرما آخرین نامه را فرستاد و پیشنهاد ملاقاتِ او در میانه‌ی راه بین خانه‌هایشان را داد ولی پاسکال آن را رد کرد. سال‌های کمی بعد هردو نفر مردند. درجه‌ی کمال در کار فرما و پاسکال بسیار نسبت به کار کاردانو و گالیله بیشتر است. قبلاً کاردانو اظهار قطعی کرده بود که آنچه او درباره‌ی یک تاس منفرد کشف کرده است تنها از منظری نظری جالب است اما از یک نقطه نظر عملی بی‌ارزش است. این درست است که نه کشفیات او و نه هیچ‌کدام از کشفیات بعدی، یک قمارباز را قادر به پیش‌گویی در مورد این‌که چه عددی در پرتاب بعدی یک تاس ظاهر می‌شود نمی‌سازند؛ پروسه‌های تصادفی در طبیعت خود غیرقابل پیش‌گوییند. (اگر قابل پیش‌گویی بودند «تصادفی» نبودند.) درعوض، آنچه فرما و پاسکال کشف کردند این بود که (حداقل در بعضی موارد ساده) به‌شرطی که تاس به‌تعداد دفعات زیاد پرت شود می‌توان خواصی از الگوی تصادفی که پدیدار خواهد شد را پیش‌گویی کرد. مثلاً گرچه آنها نتوانستند تعیین کنند که آیا یک قمارباز در هشت پرتاب یک تاسِ منفرد حداقل یک بار 6 می‌آوَرَد یا نه – زیرا آنها نتوانستند پی‌آمدهای تک به تک را پیش‌گویی کنند – اما توانستند میزان تواتری که قمارباز حداقل یک 6 در هشت پرتابِ یک تاس منفرد می‌آورد را درصورتی که قمارباز این «آزمایش» را به تعداد دفعات زیاد انجام دهد پیش‌گویی کنند. این نوع بینش، که به فرد اجازه می‌دهد احتمال پی‌آمدهای مختلف را مقایسه کند، می‌تواند از نقطه نظری عملی مفید باشد. آنها در طی مکاتبات مختصرشان کوششی جدی به‌عمل آوردند که نتایج این ریاضیات جدید را در مسائل مربوط به بازی، و در پروسه‌ای که در آن آنها راه جدیدی از تفکر درباره تصادف را کشف کردند به‌کار ببرند.

تقسیم پول‌های شرط‌بندی،

تفسیری متفاوت

یکی از مهم‌ترین مسائل در نظریه‌ی اولیه‌ی احتمال، تقسیم پول‌های شرط‌بندی نامیده می‌شد. غالباً مسئله به‌صورت زیر بیان می‌شود:
«دو بازیکن روی یک بازی شانسی توافق می‌کنند. آنها روی نتیجه، به‌اندازه‌ی مساوی پول، شرط‌بندی می‌کنند. همه‌ی پول به برنده می‌رسد. بازی شروع می‌شود اما قبل از کامل شدن قطع می‌شود. هنگام قطع بازی، یکی از بازیکن‌ها جلوتر است. پول‌های شرط‌بندی چگونه باید تقسیم شود؟»
در متن مقاله این مسئله به‌عنوان انگیزه‌ی دلواپسی در قمار تشریح شد، اما در اینجا تفسیری دیگر وجود دارد که مورد علاقه‌ی ماست. برخی از دانشوران برآنند که مسئله‌ی تقسیم پول‌های شرط‌بندی توسط دلواپسی‌های اقتصادی وسیع‌تر برانگیخته می‌شود. در خلال رُنسانس، وام‌دهندگان و تجار شروع به توسعه‌ی سیستم‌های مالیه‌ی پیچیده‌تری نمودند. وام‌دهندگان به‌دنبال دادن پول به تجار برای تجارتشان بودند به این امید که تجار در تاریخی در آینده اصل سرمایه را به‌اضافه‌ی مبلغی اضافه (سود وام‌دهنده) به آنها بازگردانند. (امروز ما غالباً به سود به‌عنوان بهره‌ی وام فکر می‌کنیم، اما در آن زمان، در عمل، استراتژی‌های متفاوت دیگری مثل سهمی از سود آینده‌ی تاجر وجود داشت.) انتظار می‌رفت که تجار روی معاملات ریسکی نیز سرمایه‌گذاری کنند، به‌گونه‌ای که ریسک نیز تسهیم می‌شد.
دراین‌جا این سؤال پیش می‌آمد که شرایط منصفانه برای ریسکی که به عهده‌ی هر طرف است چیست: درصورتی که وضعیت آن‌گونه که وام‌دهنده و تاجر انتظار داشتند پیش نرفت «پول‌های شرط‌بندی» چگونه می‌تواند منصفانه بین آنها تقسیم شود؟ از این منظر، مسائل مربوط به قمار که این نظریه‌پردازان اولیه خود را معطوف آنها ساختند – مسائلی که نظریه‌ی احتمال اصلاً بر مبنای آنها بنا نهاده شد – واقعاً مسائل بیمه‌ای امروز به بیان سرگرمی قمار است. این همچنین کمک می‌کند که توضیح دهیم چرا این نوع از مسائل قمار در زمان مناسب خود توسعه یافت. اقتصاد اروپا متحمل دوره‌ای از تغییرات و رشد سریع در همان زمانی شد که ریاضی‌دانان به مسئله‌ی تقسیم پول‌های شرط‌بندی علاقه‌مند شدند. برخی از دانشوران برآنند که این دو پدیده به هم مربوطند.
باید مراقب باشیم درباره‌ی آنچه فرما و پاسکال کردند مبالغه نکنیم. آنها مجموعه‌ای از مسائل جداگانه‌ی احتمال را حل کردند؛ اما نظریه‌ای وسیع را گسترش ندادند. این، با توجه به زمان مختصری که آنها روی این مسائل کار کردند، جای تعجب ندارد. مدنظر قرار دادن توفیقات آنها کمک می‌کند که نتایج کار آنها را با هندسه‌ی اقلیدسی، موضوعی که هر دو با آن کاملاً آشنا بودند، مقایسه کنیم. در هندسه‌ی اقلیدسی، ریاضی‌دانان یونانی چیزهایی را تعیین هویت کرده بودند که با آنها سروکار داشتند، نقطه‌ها، خط‌ها، صفحه‌ها، و قس‌علی‌ذلک. آنها لیستی از تعاریف و اصول موضوعه برای توضیح خواص اساسی این چیزها تهیه کردند. نهایتاً آنها از این خواص اساسی برای استنتاج خواص باز هم بیشتری از سیستم نقاط، خطوط، و صفحاتی استفاده کردند که وجود آن را تصور کرده بودند. ریاضی‌دانان یونانی می‌کوشیدند یک سیستم ریاضی کامل خلق کنند. آنها می‌خواستند یک علم استنتاجی خالص بیافرینند. کار پاسکال و فرما در این سطح نبود. درواقع، تا قرن بیستم ریاضی‌دانان عمیقاً به‌درون ایده‌های مبنایی نظریه‌ی احتمال ننگریستند.
با این حال، نامه‌هایی که پاسکال و فرما رد و بدل کردند تأثیری قوی روی بسیاری از ریاضی‌دانان داشت. ابتدائاً، اکتشافات آنها فقط علاقه به تئوری ریاضی قمار را افزایش داد، اما این نوع از نتایج به‌زودی به‌طرق شگفت‌آور و مهمی مورد استفاده واقع شد. به‌زودی از الگوهای تصادفی در هر چیزی از محاسبه‌ی عدد π تا برقراری یک سیستم معقول سلامت عمومی استفاده شد. به معنایی کاملاً واقعی، تاریخ احتمال با پاسکال و فرما شروع شد.

کریستین هویگنس

اثرِ کار کوتاه مدت پاسکال و فرما قرار بود القاکننده‌ی بحث دربین بسیاری از ریاضی‌دانان در پاریس باشد. یکی از آنان که این بحث‌ها را شنید و در آنها شرکت کرد یک ریاضی‌دان جوان هلندی، کریستیَن هودیگنس (95-1629) بود. همچون گالیله، اکنون کریستین هویگنس عمدتاً به‌عنوان یک فیزیکدان و مخترع به خاطر می‌آید. او طرح تلسکوپ جدیدی را توسعه داد و اولین کسی بود که طبیعت حلقه‌های زحل را فهمید. (تلسکوپ گالیله تصاویر محوی تولید می‌کرد که تنها برآمدگی‌هایی را در هر طرف زحل نشان می‌داد.) هویگنس همچنین طرح ساعت جدید و دقیق‌تری را با استفاده از یک آونگ برای تنظیم حرکت ساعت توسعه داد. (گالیله اولین کسی بود که خواص اساسی آونگ‌ها را تشخیص داد.) هویگنس همچنین به توسعه‌ی نظریه‌ی موجی نور کمک کرد، و در 1655 در دیداری از پاریس مجذوب بحث‌های بین ریاضی‌دانان پاریسی درباره‌ی نظریه‌ی ریاضی بازی‌های تاس شد. او نه پاسکال، که قبلاً ریاضی را برای مذهب رها کرده بود، و نه فرما را ملاقات نکرد. اما آن‌قدر از این بحث‌ها شنید که با تحقیقات خودش شروع کرد.
یک سال بعد از اولین ملاقاتش از پاریس او کتاب متنی را برای احتمال، کامل کرد. این کتاب در 1657 منتشر شد. در کتابش، که به لاتین با عنوان De Ratiociniis in Ludo Aleae (در استدلال در بازی‌های تاس) منتشر شد، هویگنس تعدادی از همان مسائلی را حل می‌کند که قبلاً توسط فرما و پاسکال حل شده بود. او همچنین تعدادی مسئله‌ی ابداعی خودش را حل کرد. مسائل، منظم شده‌اند و نتایج مسائل قبلی در حل مسائل بعدی استفاده شده‌اند. دوباره، کوششی واقعی برای کشف اصول زمینه‌ای مسائل وجود نداشت، اما کتاب متن کوچک هویگنس عرصه‌ی جدید احتمال را در دسترس مخاطبین بیشتری قرار داد. در مقایسه با نامه‌های فرما و پاسکال، هویگنس یک متن به‌دقت نوشته شده ایجاد کرد که توضیح می‌دهد چرا جملات معینی درست است و چگونه این ایده‌های جدید را می‌توان استفاده کرد. این کتاب، اولین کتاب ریاضی نوشته شده در احتمال است، و برای حدود نیم قرن یک مقدمه‌ی استاندارد بر موضوع احتمال باقی ماند.

جاکوب برنولی

اعتقاد بر این است که ریاضی‌دان و فیلسوف آلمانی گوتفرید لایبنیتز (1716-1646) و ریاضی‌دان و فیزیکدان انگلیسی اسحاق نیوتون (1727-1643) کاشفان همزمان حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند. اما آنها تمام موضوع را خودشان ابداع نکردند. بسیاری از ایده‌ها و تکنیک‌ها که حساب دیفرانسیل و انتگرال را می‌سازد قبلاً برای فرما و دیگران آشنا بود. ریاضی‌دان و منجم بزرگ فرانسوی پیِر سیمون لاپلاس حتی فرما را به‌عنوان مُبدع «واقعی» حساب دیفرانسیل توصیف می‌کند، لذا اعتبار کشف نیمی از موضوع را به فرما می‌داد. مقداری واقعیت در این ادعا وجود دارد. با این حال، لایبنیتز و نیوتون، که به‌طور مستقل کار می‌کردند، اولین کسانی بودند که همه‌ی ایده‌های متفرقِ دربردارنده‌ی حساب دیفرانسیل و انتگرال را گردآوری کردند و به‌عنوان قسمتی از یک کل بزرگ‌تر مورد ملاحظه قرار دادند.
ضربه‌ای که حساب دیفرانسیل و انتگرال بر ریاضیات زمان وارد آورد اغراق‌آمیز نیست. بسیاری از مسائلی که حل آنها زمانی مشکل تصور می‌شد اکنون، در یک دورنمای ریاضی بسیار وسیع‌تر، موارد ویژه‌ی ساده‌ای ملاحظه می‌شد. مرزهای ریاضیات به عقب هل داده شده بود، و برای چندین نسل بعد ریاضی‌دانان بیشترین فایده را از این ایده‌های جدید برای تصور و حل انواع جدید زیادی از مسائل بردند. نظریه‌ی احتمال نیز از ایده‌ها و تکنیک‌های جدید حساب دیفرانسیل و انتگرال بهره برد. لکن لایبنیتز و نیوتون علاقه‌ی کمی به نظریه‌ی احتمال داشتند.
ریاضی‌دان سویسی جاکوب برنولی (1705-1654) عضوی بود از آنچه مطمئناً ریاضی‌دان‌ترین خاندان در تاریخ به‌حساب می‌آید. چند نسل از برنولی‌ها مشارکت‌های مهمی در علوم ریاضی به‌عمل آوردند. جاکوب متعلق بود به نسل دوم خاندان ریاضی برنولی، و او یکی از اولین ریاضی‌دانان بود که اهمیت حساب دیفرانسیل و انتگرال را در احتمال و نیز اهمیت احتمال را در انتظام‌هایی ورای مطالعه‌ی بازی‌های شانسی تشخیص دادند. جاکوب برنولی به‌عنوان یک کشیش تحصیل کرد، اما به‌نظر می‌رسد کشیشی بیشتر ترجیح پدرش بود تا خودش. درعوض، برنولی به نجوم و ریاضیات علاقه‌مند بود. به‌هرحال بسان هر پسرِ خوبی او پیِ حرف رفت. نخست، درجه‌ای در الهیات به‌دست آورد و سپس زادگاهش، باسل، سویس، را ترک کرد و در اطراف اروپای شمالی برای ملاقات دانشمندان و ریاضی‌دانان به مسافرت پرداخت. او به تبادل ایده‌ها پرداخت و هرچقدر توانست یاد گرفت. در سن 27 سالگی به باسل بازگشت و کارِ زندگیش به‌عنوان یک معلم و دانش‌پژوه ریاضیات را آغاز کرد. بعداً هنگامی که مُهری را برای خودش طراحی کرد از این شعار در آن استفاده کرد: «برخلاف خواست پدرم ستارگان را مطالعه می‌کنم.»
برنولی سال‌ها با لایبنیتز مکاتبه داشت و علائق اولیه به احتمال را در خود پرورش داد. او به‌ویژه تحت تأثیر کتاب کریستین هویگنس، De Ratiociniis in Ludo Aleae، که قبلاً در این فصل توضیح داده شد، قرار گرفت. درواقع، کار بزرگ برنولی در رشته‌ی احتمال، به‌نام Ars Conjectandi، دربردارنده‌ی تقریظی بر کار هویگنس است. (ترجمه‌ی عنوان معروف لاتینی کتاب برنولی عبارت است از «هنرِ حدس زدن».) برنولی روی Ars Conjectandi تا زمان مرگش کار کرد. هنگامی که او مُرد کتاب تقریباً تمام شده بود. نیکولز، پسر برادر جاکوب، پس از تأخیر زیاد، کتاب را تمام کرد و این کتاب هشت سال بعد از مرگ برنولی انتشار یافت.
بسیاری از محاسبات در Ars Conjectandi پیرامون بازی‌های شانسی متمرکز است. بازی‌های شانسی نوعی فرهنگ لغت را فراهم می‌آورد که در آن برنولی – به‌مثابهِ فرما، پاسکال، و هویگنس – ایده‌هایش درباره‌ی تصادف را بیان می‌نمود. اما در Ars Conjectandi برنولی نظریه‌ی احتمال را به ورای این سوق می‌دهد که عمدتاً محملی برای محاسبه‌ی احتمالات قمار باشد. مثلاً او درنظر می‌گیرد که چگونه احتمال در مسائل دادگستری جنایی و مرگ و میر انسانی کاربرد دارد. او پیشرفت چندانی در این حوزه‌ها ننمود، اما این قابل توجه است که او تشخیص داد که نظریه‌ی احتمال می‌تواند در درک تنوعی از گستره‌های تجربیات بشر به ما کمک نماید.
مشهورترین نتیجه‌ی به‌دست آمده در Ars Conjectandi قضیه‌ای ریاضی به‌نام قانون اعداد بزرگ است که گاهی قضیه‌ی برنولی خوانده می‌شود. برنولی ادعا می‌کند با ایده‌های موجود در قانون اعداد بزرگ برای 20 سال دست و پنجه نرم کرده است. این کشف ریاضی برانگیزنده‌ی بحث بین ریاضی‌دانان و فلاسفه برای بیش از یک قرن پس از اولین انتشار Ars Conjectandi گردید. قانون اعداد بزرگ همچنان به‌عنوان قسمت مهمی از هر دوره‌ی دانشگاهی مقدماتی در احتمال، تدریس می‌شود.
در قانون اعداد بزرگ، برنولی مجموعه‌ای از رویدادهای تصادفی را که از یکدیگر مستقل می‌باشند درنظر گرفت. در نظریه‌ی احتمال هنگامی به دو رویداد مستقل از هم گفته می‌شود که پی‌آمد یک رویداد تأثیری بر پی‌آمد رویداد دیگر نداشته باشد. مثلاً احتمال پرتاب 4 با یک تاس منفرد برابر است با 1/6. این مطلب هر دفعه که کسی یک تاس را پرت کند درست است. آنچه که فرد قبلاً پرت کرده است اهمیتی ندارد، زیرا پرتاب‌های قبلی اثری روی پی‌آمدهای آینده ندارد. بنابراین، هربار که کسی تاسی را پرت می‌کند احتمال آمدنِ 4 برابر با 1/6 باقی می‌مانَد، و آنچه در مورد 4 می‌توان گفت در مورد هرکدام از اعداد دیگرِ روی تاس نیز می‌توان گفت. ریاضی‌دانان این وضعیت را در این خلاصه می‌کنند که هر پرتاب تاس مستقل از هر پرتاب دیگر است.
سپس برنولی نسبت‌ها و تنها نسبت‌هایی که بین تعداد دفعات وقوع یک رویداد داده شده و کل دفعات آزمایش وجود دارد را درنظر گرفت. (اعتماد به نسبت‌ها مهم است: هنگام بالا انداختن یک سکه‌ی بی‌طرف عموماً اختلاف بین تعداد کلی شیرهای آمده و تعداد کلی خط‌های آمده، وقتی که سکه به‌اندازه‌ی کافی زیاد بالا انداخته شود، خیلی بزرگ می‌شود. اما نسبت وقوع شیر به کل پرتاب‌ها و نسبت وقوع خط به کل پرتاب‌ها همواره متمایل به 50 درصد است.) در بازگشت مجدد به تاس، برنولی به‌جای درنظر گرفتن مثلاً تعداد کل 4های به‌دست آمده، نسبت شکل کرفته از تقسیم تعداد دفعات ظاهر شدن 4 به تعداد دفعات پرتاب تاس را درنظر گرفته است:

تعداد4ها/تعدادپرتابها

در Ars Conjectandi برنولی نشان داد که هنگامی که آزمایش‌ها مستقلند، نسبت تعداد پی‌آمدهای موفق به کل تعداد آزمایش‌ها به‌سمت احتمال پی‌آمد موفق میل می‌کند. (در اینجا کلمه‌ی موفق یک پی‌آمد ویژه را مشخص می‌کند، و این را نمی‌رساند که پی‌آمدی مطلوب‌تر از دیگری است.) یا به‌دیگر سخن: اگر تاس را به دفعات به‌اندازه‌ی کافی زیاد، پرت کنیم، فراوانی‌ای که در آن عدد 4 می‌آید خیلی به احتمال وقوع 4 نزدیک خواهد بود.
ورای بیان این مشاهدات، که ممکن است واضح و شاید نه حتی خیلی ریاضی‌گونه به‌نظر رسند، برنولی طریقی که در آن این نسبت به احتمال رویدادِ داده شده میل می‌کند را روشن ساخت. فرض کنید p نشان‌دهنده‌ی احتمال رویداد مورد علاقه‌ی ما باشد. می‌توانیم فاصله‌ی کوچکی اطراف p تصور کنیم. مثلاً می‌توانیم فاصله‌ای شامل تمام اعداد روی محور اعداد که در درون فاصله‌ی یک‌هزارم p در سمت چپ و راست p واقع می‌شوند را تصور کنیم. این اعداد فاصله‌ای به مرکزیت p را می‌سازند. قانون اعداد بزرگ بیان می‌دارد که اگر کل تعداد آزمایش‌ها به‌اندازه‌ی کافی زیاد باشد، آنگاه نسبت تعداد رویدادهای موفق به کل تعداد آزمایش‌ها تقریباً مطمئناً در داخل این فاصله‌ی کوچک قرار می‌گیرد. تقریباً مطمئناً به این معناست که اگر بخواهیم 99ر99 درصد مطمئن باشیم که نسبت در داخل این فاصله قرار می‌گیرد آنگاه نیاز داریم تنها به دفعات معینی آزمایش را اجرا کنیم. اگر تاس را n بار (یا بیشتر) پرت کنیم می‌توانیم 99ر99 درصد مطمئن باشیم که نسبتی که به‌دست می‌آوریم در داخل فاصله‌ای که انتخاب می‌کنیم قرار خواهد گرفت. البته چیز خاصی در مورد عدد یک هزارم یا درصدِ 99ر99 وجود ندارد. ما آنها را تنها برای معین بودن انتخاب کردیم. آزادیم که اعداد یا درصدهای دیگر را جایگزین کنیم. آنچه مهم است این است که برنولی برای رده‌ی ویژه‌ای از پروسه‌های تصادفی ارتباطی مهم بین آنچه مشاهده می‌کنیم و آنچه محاسبه می‌کنیم را روشن ساخت.
قانون اعداد بزرگ تأثیر شگرفی بر ریاضی‌دانان و دانشمندان زمان داشت. جاکوب برنولی در کتابش نشان داد که ساختاری قوی و خوش تعریف برای رده‌ی پروسه‌های تصادفی مستقل وجود دارد. گرچه درست است که هر پروسه‌ی تصادفی مستقل نیست، اما پروسه‌های تصادفیِ مستقل رده‌ی مهمی از پروسه‌های تصادفی را تشکیل می‌دهند، و به مفهومی مطمئن، پروسه‌های تصادفی مستقل تصادفی‌ترین پروسه‌های تصادفی می‌باشند. برنولی در اثبات وجود ساختاری عمیق وابسته به رویدادهایی که تا آن زمان به‌سادگی غیرقابل پیش‌گویی توصیف شده بودند موفق بود. برنولی به یک نوع معکوسِ قانون اعداد بزرگ هم علاقه‌مند بود. به‌یاد آورید که در این قانون فرض کردیم که احتمال را می‌دانیم و نشان می‌دهیم که فراوانی اندازه‌گیری شده که با آن رویدادی رخ می‌دهد به‌سمت احتمال میل می‌کند. به‌گونه‌ی دیگر، فرض کنید احتمال را نمی‌دانیم. درعوض، فرض کنید که همه‌ی آنچه می‌دانیم عبارت است از فراوانی نسبی رویدادی که پس از مجموعه‌ای از آزمایش‌ها روشن می‌شود. برنولی می‌خواست از این داده‌ها برای تخمین احتمال رویداد استفاده کند. این مسئله‌ای سخت‌تر است، و برنولی توفیق کمتری در حل آن داشت. با این حال، او یکی از اولین کسانی بود که هر دو نیمه‌ی مسئله را تشخیص دادند: (1) اگر احتمال داده شده باشد فراوانی را پیش‌گویی کنید، و (2) اگر فراوانی داده شده باشد احتمال را استنباط کنید. ارتباط بین این دو جنبه‌ی مسئله‌ی واحد، توجه ریاضی‌دانان را برای سال‌های زیادی مشغول داشت.
کار برنولی نقطه‌ی تحولی در تاریخ احتمال قرار می‌دهد. نتایج او الهام‌بخش ریاضی‌دانان بسیاری بود تا بکوشند که این ایده‌ها را در مسائل مختلفی در ریاضیات و علوم به‌کار برند. دیگر ریاضی‌دانان شروع به جستجوی راه‌هایی برای تعمیم نتایج برنولی نمودند. با این حال دیگرانی به بحث راجع به دلالت‌های معنی این نتایج پرداختند. Ars Conjectandi مرحله‌ی برجسته‌ی مهمی در تاریخ احتمال بود.

آبراهام دو مویوِر

در فرانسه، در 1667، 13 سال بعد از تولد جاکوب برنولی، آبراهام دو مویور به‌دنیا آمد. او یک پروتستان فرانسوی بود، و در این زمان در فرانسه پروتستان‌های فرانسوی تحت قانونی به‌نام فرمان نانتس از آزادی محدودی برخوردار بودند. دو مویور در نوجوانی در سوربون در پاریس ریاضی خواند. ولی وقتی دو مویور 18 ساله بود فرمان لغو شد، و دو مویور بی‌درنگ به‌زندان افتاد. او برای دو سال در زندان ماند. پس از آزادی، او فرانسه را به‌قصد انگلستان ترک کرد و دیگر هرگز به کشور موطنش بازنگشت.
آبراهام دو مویور با هوش عملی خود زندگی می‌کرد. مهارت او دانش ریاضی‌اش بود، و او زندگی زمان بلوغش را با تدریس خصوصی برای ثروتمندان و یادگیری ریاضیات بیشتر گذراند. درحالی که به‌طور گسترده‌ای به خودتدریسی پرداخته بود، گفته می‌شود برای اولین بار کار بزرگ نیوتون، Principia Mathematica، را در خانه‌ی یکی از دانش‌آموزانش دید. او بعداً کتاب را خرید و در راه یادگیری تمام متن آن، هربار یک صفحه درحالی که در اطراف لندن از یک کار تدریس خصوصی به یکی دیگر می‌رفت، صفحات آن‌را پاره پاره کرد.