ارزیابی تراز تواناییهای شناختی ریاضی

چکیده

این مطالعه با هدف ارزیابی درک مفاهیم بنیادی ریاضی و بررسی رابطه بین تواناییهای شناختی ریاضی و عملکرد دانش آموزان دختر و پسر مقطع ابتدائی استان مازندران بر اساس نظریه پیاژه انجام شده است. برای پوشش دادن کامل اهداف تحقیق 16 فرضیه فرعی بررسی شد. جامعه آماری این مطالعه را کلیه دانش آموزان پسر و دختر پایه های اول تا پنجم مشغول به تحصیل در استان مازندران در سال تحصیلی 86-1385 تشکیل دادند. به طور کلی تعداد 200 آزمودنی (100 پسر و 100 دختر) در پنج پایه تحصیلی ابتدائی مورد آزمون تشخیص تواناییهای شناختی ریاضی پیاژه قرار گرفتند. از این تعداد از هر پایه تحصیلی 20 دانش آموز انتخاب شدند. در مجموع از هر پایه تحصیلی 40 دختر و پسر آزمودنیهای این مطالعه را تشکیل دادند.
ابزارهای این مطالعه را آزمون تواناییهای شناختی ریاضی پیاژه، آزمون هوش آزمای گودیناف و محاسبه میانگین نیمسال قبل تمامی دروس تشکیل دادند. یافته ها نشان داد که سطح عملکرد پایه های اول تا پنجم ابتدایی در مفاهیم دوازده گانه ریاضی متفاوت است. بین پایه های تحصیلی در ادراک فضایی نقطه، مفهوم ضرب و مفهوم کسر تفاوت معنادار وجود دارد، ولی در مورد سایر تواناییها تفاوت معنادار نیست. بین تواناییها شناختی ریاضی و پیشرفت تحصیلی در درس ریاضی دانش آموزان پایه های تحصیلی مختلف دوره ابتدایی همبستگی وجود دارد. بین تواناییهای شناختی ریاضی و سن عقلی دانش آموزان پایه های مختلف مقطع ابتدایی همبستگی معنادار وجود ندارد. بین میزان توانایی شناختی ریاضی پسران و دختران تفاوت معنادار وجود ندارد سطح خطاپذیری در تمامی موارد تعیین شده است. ( 0/5>P)
کلید واژه ها: تواناییهای شناختی ریاضی، سن عقلی، پیشرفت تحصیلی، نظریه تحولی پیاژه.

مقدمه

فرآیند تحول، مراحل، توالی و پدیدآیی مفاهیم بنیادی ریاضی و علوم، بخشی از مبانی روان شناختی برنامه ریزی درسی تلقی می شوند. ساختار و ماهیت روشهای آموزشی فعال و مدرن با تاکیدی که بر نقش فراگیر در فرآیند تدریس – یادگیری می نمایند، مستلزم آن است که به تمامی تواناییهای فراگیران توجه شود تا بر اساس آنها فرآیند برنامه ریزی درسی استقرار یابد. محتوای برنامه درسی را نمی توان بدون در نظر گرفتن مقتضیات تحول فراگیران تدوین کرد. نظریه های تحولی از جمله نظریه پیاژه با هدف تبیین مراحل تحول شکل گرفته و در ایران کمتر به طور تجربی مورد آزمون قرار گرفته است. این مطالعه با هدف ارزیابی تواناییهای شناختی و مقایسه آنها در پایه های تحصیلی ابتدایی و بررسی همبستگی آنها با پیشرفت تحصیلی و سن عقلی و جنسیت فراگیران انجام شده است. تعیین تراز، بررسی تأثیر تفاوتهای فردی، ارزیابی عوامل محلی و منطقه ای بر تراز شناختی، و نقش عواملی نظیر سن و جنسیت جزء عواملی هستند که در این مقاله بررسی شده اند.
تواناییهای شناختی ریاضی مجموعه ای از قابلیت ها هستند که طی تحقق تحول در دستگاه روانی کودک استقرار می یابند. پدیدآیی این امکانات شناختی جدید بر اساس نظریه پیاژه امری درونی است. پاره ای از محققان با استخراج این تواناییها از میان انبوه آزمایشها و آثار پیاژه آزمونی به همین نام ابداع کرده اند. این آزمون در ایران چندان شناخته شده نیست و در پژوهش های اندکی به کار رفته است. این پژوهش جزء معدود مطالعاتی است که با بهره مندی از یک ابزار جامع درباره تراز تحول شناختی انجام شده است. متون مربوط نشان دهنده پژوهش های متعدد در زمینه انواع نگهداری های ذهنی است، منتها هر یک از این مطالعات به یک یا تعداد معدودی از این مفاهیم پرداخته اند. این مطالعه با هدف آزمایش یکی از مشهورترین نظریه های تحولی در قرن بیستم اجرا شده است. با توجه به اینکه در تدوین کتابهای مقطع ابتدایی به خصوص در سالهای اخیر، به طور فراگیر از نظریات و یافته های پژوهشی متخصصان و نظریه پردازان تحولی استفاده شده، به نظر می رسد انجام این مطالعه توجه تدوین کنندگان کتابهای درسی و معلمان را به خود جلب می کند.
مرور فرا تحلیلی متون پژوهشی درباره مفاهیم و تواناییهای شناختی، گسترده و خط سیر مطالعات این موضوع را تبیین می کند پاره ای از تحقیقات در خصوص تطبیق نظام روان شناختی پیاژه با کودکان و نوجوانان ایرانی انجام شده است، از جمله این مطالعات می توان به زنجانیان ( 1363)، محمود کلایه (1363)، به پژوه و ایزدفر به نقل از بصارم تبار (1367) اشاره کرد. حاصل این مطالعات نشان دهنده انطباق مؤلفه های این نظریه در جامعه ایرانی است.
تناسب محتوای کتب ریاضی دوره ابتدایی با توان ذهنی دانش آموزان از دیدگاه پیاژه به روش تحلیل محتوا نتایج قابل توجهی را در پی داشته است. این مطالعه نشان دهنده انطباق کلیه مفاهیم کتاب سال اول با توان ذهنی فراگیران، انطباق کلیه مفاهیم پایه دوم بجز مورد جمع و تفریق اعداد از طریق محور اعداد و انطباق کلیه مفاهیم پایه سوم بجز مفاهیم مکعب، مکعب مستطیل، مساحت، استوانه، مخروط و انطباق کلیه مفاهیم پایه چهارم بجز مورد گنجایش، مساحت و واحد آن و انطباق کلیه مفاهیم پایه پنجم با توان ذهنی است ( فلامک، 1380).
ارتباط بین مشکلات یادگیری حساب و طراز عملیاتی و بهره هوشی ( گیلک، به نقل از کلانتری، 1373)، ارتباط تحول مفهوم زمان با پیشرفت تحصیلی ( کلانتری، 1380)، تفاوت بین دانش آموزان دختر و پسر در یادگیری دروس ( کریمی، 1375)، تسریع استقرار نگهداری ذهنی به مدت 7 تا 8 ماه به وسیله آموزش ( به کیش، 1370)، مقایسه کودکان عادی و عقب مانده ذهنی از لحاظ دستیابی به سطوح نگهداری ذهنی ردیف بندی ( خردمند، 1370)، ارتباط نداشتن بین دانش آموزان دختر و پسر از لحاظ فهم مفاهیم ریاضی ( نیک پور، 1371؛ حقیقی و رجبی، 1373)، وجود تفاوتهای جنسیتی در عملکرد ریاضی در برخی از پایه ها ( سیف، 1376)، ترتیب توالی پدیدآیی نگهداری ذهنی توده، وزن و حجم ( حسینی و بطحایی، 1370) و مطالعاتی از این دست در سه دهه اخیر در ایران نشان دهنده توجه پژوهشگران به این مسأله است.
مطالعه پوشنه (1381) نشان می دهد که درک مفاهیم شناختی ریاضی تابع روند تحول منطقی است. در ضمن هر چند بین تواناییهای شناختی ریاضی و میزان پیشرفت تحصیلی در درس ریاضی، سن عقلی و سن تقویمی همبستگی معنادار وجود دارد، ولی میزان همبستگی توانایی شناختی با سه متغیر پیشرفت تحصیلی در درس ریاضی، سن عقلی و سن تقویمی تا پایه چهارم ابتدایی هیچ گونه تفاوت معناداری با یکدیگر نداشته است. اما میزان همبستگی توانایی شناختی ریاضی در پایه پنجم ابتدایی به میزان معناداری بیشتر از همبستگی آن با سایر متغیرهاست.
نقش جنسیت در واریانس عملکرد ریاضی جامعه اندک و قابل چشم پوشی است ( هاید، فنی و لامون2، 1990). مقدار این تفاوتها تابع سطح شناختی، محتوای آزمون یا تکالیف ریاضی، میزان پراکندگی گروه نمونه نسبت به جامعه زنان و مردان، مقطع تحصیلی یا سن آزمودنیها است. بدون در نظر گرفتن این عوامل، نمی توان نتیجه گرفت که عملکرد کدام جنس در زمینه ریاضی برتر از دیگران است.
ارتباط پیشرفت تحصیلی ریاضیات با متغیرهای فردی و خانوادگی نیز بررسی شده است.
نتایج به دست آمده از تحقیق درباره دانش آموزان دختر و پسر در سه کشور کانادا، نروژ و ایالات متحده آمریکا نشان داد که خودپنداره ریاضی پیش بینی کننده قوی برای پیشرفت ریاضی در هر سه کشور است ( اریسیکان، مک کریس و لاپونیته3، 2005). همچنین بر اساس تحقیقی که کیامنش ( 2003) بر روی دانش آموزان دختر و پسر ایرانی انجام داد، متغیر خودپنداره ریاضی عامل مهم در پیش بینی پیشرفت ریاضی تلقی می شود.
وضعیت اقتصادی- اجتماعی خانواده یک ویژگی مهم در پیش بینی وضعیت تحصیلی دانش آموزان است ( ماری جان بانکس4 به نقل از وان دن بروک، اپدان آکر و ون دام5، 2003) جان جتویک و مالینیک6 (2003) نشان دادندکه خودپنداره تحصیلی دارای نقش واسطه ای بین سطح تحصیلی والدین و دیگر متغیرهای اقتصادی- اجتماعی از یک سو و موفقیت در مدرسه از سوی دیگر بوده است. کوتسولیسن و کمبل7 (2001) در تحقیق خود با استفاده از تحلیل مسیر روی دانش آموزان دختر و پسر قبرس نشان دادند، اثر وضعیت اقتصادی- اجتماعی خانواده با وجود متغیر میانجی خودپنداره ریاضی بر پیشرفت ریاضی این دانش آموزان معنادار است. این پژوهشگران همچنین رابطه بین وضعیت اقتصادی- اجتماعی خانواده و خودپنداره ریاضی را در دانش آموزان دختر و پسر به ترتیب 0/21 و 0/16 برآورد کردند.
نگرش دانش آموزان نسبت به موضوعات تحصیلی عاملی مهم در یادگیری و پیشرفت تلقی می شود. وقتی دانش آموز دیدگاه مطلوبی نسبت به درس ریاضیات داشته باشد، احتمال بیشتری وجود دارد که در این درس از خود پایداری و مقاومت نشان دهد و در سطوح بالاتری مشارکت نماید ( اکانر- پتروسو8 و همکاران، 2003).
در ایران نیز تحقیقاتی در این مورد صورت گرفته است. از جمله تحقیق کیامنش (2003) که در آن رابطه مثبتی بین نگرش دانش آموزان دختر و پسر ایرانی نسبت به ریاضیات و نمرات ریاضی آنها به دست آمده برای دانش آموزان دختر و پسر ایرانی، این متغیر به ترتیب 1/2 و 0/8 درصد واریانس نمرات ریاضی را تبیین نمود.
میزان افت تحصیلی در درس ریاضی از مشکلات رایج دانش آموزان ایرانی در همه پایه های تحصیلی است. نتایج و یافته های سومین مطالعه جهانی ریاضی ( تیمز9) در سال تحصیلی 74-1373 و مطالعه تیمز- آردر 78-1377نیز بر ضعف عملکرد دانش آموزان ایرانی در حوزه ریاضیات تأکید داشت. نتایج مطالعات 74-1373 نشان داد که ایران از بین 41 کشور شرکت کننده در درس ریاضیات در پایه دوم راهنمایی رتبه 37 و در پایه سوم راهنمایی رتبه 38 را کسب نموده است. ( کیامنش و نوری، به نقل از کلانتری، 1378). پهلوان و همکاران، ( به نقل از کریمی، 1384) ارتباط پیشرفت ریاضی دانش آموزان دختر و پسر ایرانی شرکت کننده در مطالعه تیمز 2003 با متغیرهای فردی و خانوادگی را بررسی کرده اند.
از لحاظ مقایسه عملکرد دانش آموزان دختر و پسر، متون پژوهشی نتایج متفاوتی را نشان می دهند. به عنوان نمونه در مطالعات ددول 10 ( 1960)، بطحائی و حسینی ( 1974) شی و ویرا11 ( 1980) سینها و وارجها12 ( 1989) تفاوت معناداری بین عملکرد پسران و دختران از لحاظ نگهداری ذهنی ملاحظه نشده است، در حالی که در برخی از مطالعات مانند گلداشمید 13 ( 1974) کلایک 14 ( 1983) برتری آشکار عملکرد پسران بر دختران مشاهده شده است.

روش پژوهش

با توجه به اینکه این مطالعه به بررسی و توصیف وقوع مسأله ای در آموزش و پرورش می پردازد، از نوع تحقیق ارزیابی است. روش گرد آوری اطلاعات از نوع میدانی بوده و جامعه آماری آن را کلیه دانش آموزان پسر و دختر پایه های اول تا پنجم مشغول به تحصیل در استان مازندران در سال تحصیلی 86-1385 تشکیل می دهند. با استفاده از روش نمونه گیری تصادفی خوشه ای یا ناحیه ای از میان شهرستان های استان مازندران ابتدا چهار شهرستان انتخاب شدند. به طور کلی تعداد 200 آزمودنی ( 100 پسر و 100 دختر) در پنج پایه تحصیلی ابتدایی مورد آزمون تشخیص تواناییهای شناختی ریاضی پیاژه قرار خواهند گرفت.
متغیرهای این مطالعه از طریق ابزارهای زیر اندازه گیری شده اند:
1-آزمون تواناییهای شناختی ریاضی پیاژه: این آزمون شامل 31 آزمون فرعی است که چهار حیطه اساسی تواناییهای بنیادی ریاضی را اندازه گیری می کند، این حیطه ها شامل « فضا»، « عدد»، « طبقه بندی منطقی» و « اندازه گیری» می شود. شش آزمون فرعی مربوط به حیطه فضا، شش آزمون مربوطه به حیطه عدد، نه آزمون فرعی مربوط به حیطه طبقه بندی و بالاخره ده آزمون فرعی مربوط به حیطه اندازه گیری هستند. در این مطالعه از دو حیطه فضا و عدد استفاده شده است. اجرای این آزمون طبق دستورالعمل و با توجه به مقتضیات نظریه پیاژه از طریق روش « مصاحبه بالینی» پیاژه ای صورت پذیرفته است. این روش به آزمونگر کمک می کند که از یک سو اطلاعاتی را در زمینه تواناییهای حاصل آزمودنها به دست آورد و از سوی دیگر به چگونگی اندیشیدن او دست یابد ( کندی و تیپس15، 1997).
2-آزمون هوش آزمایی گودیناف: در این آزمون به جای مهارت هنری کودک بر درجه دقت مشاهدات و تحول اندیشیدن تأکید شده است. در آن جمعاً 73 ماده قابل نمره گذاری با توجه به تفاوت سنی، همبستگی با نمره های کل آزمون انتخاب شده است. مجموع تک نمره های هر مقیاس به نمره های معیار با میانگین 100 و انحراف معیار 15 تبدیل شده است ( آناستازی، 1363، ص 331).
3-محاسبه میانگین نیمسال قبل تمامی دروس: از میانگین نمرات تمامی دروس نیمسال قبل به عنوان شاخصی برای اندازه گیری میزان « پیشرفت تحصیلی»16 استفاده شده است.
برای برآورده پایایی « آزمون توانایی شناختی ریاضی» این آزمون به فاصله 20 روز دو بار بر روی 25 نفر از آزمودنیهایی که برای همین منظور انتخاب شده بودند، اجرا شد و ضریب همبستگی پیرسون بین این دو آزمون 79 درصد برآورد شده است. پایایی آزمون گودیناف به شیوه های مختلف بررسی شد. پایایی با روش بازآزمایی به فاصله یک هفته برابر با 0/68 و با روش تنصیف برابر با 0/89گزارش شده است. در این تحقیق نیز آزمون گودیناف به فاصله دو هفته بر روی 20 دانشجو اجرا شد و همبستگی پیرسون 0/87 به دست آمده است.
برای داوری در مورد روایی « آزمون سنجش تواناییهای شناختی ریاضی» و به طور اخص روایی صوری و محتوایی، تجزیه و تحلیل ها نشان می دهد که هر کدام از آزمونهای فرعی با توجه با اظهارات سازنده آزمون بر اساس پژوهش های پیاژه ای و متون پژوهشی پیرو آن طراحی و تدوین شده اند ( کریمی، 1358)، این آزمون با توجه به شباهت با آزمون پیاژه ای، دارای روایی صوری است. برای داوری تخصصی و حرفه ای، گروهی از کارشناسان آزمون را مطالعه کردند، یافته ها نشان داد که از سی و دو آزمون مندرج در این کتاب سی و یک آزمون معرفی شده می توانند تواناییهای مرتبط با تکلیف را مورد اندازه گیری قرار دهند. ( روایی محتوایی).
برای تجزیه و تحلیل داده ها از آزمون معنادار بودن مقایسه یک نسبت با یک نسبت ثابت برای مقایسه آزمودنی ها با نسبت ثابت 0/75و برای آزمون معناداری ضریب همبستگی با استفاده از توزیع t آزمون Zr فیشر و برای آزمون فرضیه های 2 تا 13 از مجذور کا، و آزمون بررسی معناداری بین دو ضریب همبستگی، و آزمون تحلیل واریانس یک طرفه و آزمون تعقیبی فیشر استفاده شده است.

فرضیه های پژوهش

1-سطح عملکرد آزمودنیهای پایه های مختلف ابتدایی به نسبت معیار ثابت پیاژه ای متفاوت است.
2-بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در ادراک حسی اشیاء تفاوت وجود دارد.
3-بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در ردیف بندی توپولوژیک تفاوت وجود دارد.
4-بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در ادراک فضایی تفاوت وجود دارد.
5-بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در ادراک فضایی خط راست تفاوت وجود دارد.
6-بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در تجسم فضایی اشیاء تفاوت وجود دارد.
7-بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در ادراک سیستم افقی و قائم تفاوت وجود دارد.
8-بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در نگهداری عدد تفاوت وجود دارد.
9-بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در سری کردن تفاوت وجود دارد.
10- بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در نگهداری مفهوم کل و جزء تفاوت وجود دارد.
11-بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در نگهداری مفهوم جمع و تفریق تفاوت وجود دارد.
12-بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در نگهداری مفهوم ضرب تفاوت وجود دارد.
13-بین توانایی دانش آموزان پایه های مختلف ابتدایی در نگهداری مفهوم کسر تفاوت وجود دارد.
14-بین توانایی شناختی ریاضی و پیشرفت تحصیلی در درس ریاضی دانش آموزان پایه های تحصیلی مختلف دوره ابتدایی همبستگی وجود دارد.
15-بین تواناییهای شناختی ریاضی و سن عقلی دانش آموزان پایه های مختلف مقطع ابتدایی همبستگی وجود دارد.
16-بین میزان توانایی شناختی ریاضی دانش آموزان دختر و پسر به تفکیک هر پایه تفاوت وجود دارد.

ـ تجزیه و تحلیل یافته ها

ابتدا داده های توصیفی برای ارائه نگاه کلی در قالب جدول 1 ارائه می شود. این مطالعه از 16 فرضیه تشکیل شده است. جدول 1 فراوانی ها و درصد سطح عملکرد پایه ها را نشان می دهد.
جدول1- فراوانی و درصد دستیابی آزمودنیها به مفاهیم یا توانایی شناختی ریاضی- آزمودنیهای پنج پایه

			فضا												عدد
			ادراک حسی اشیاء		ردیف بندی توپولوژیک		ادراک فضایی نقطه		ادراک فضایی خط راست		تجسم فضایی اشیاء		تجسم فضایی شبکه افقی و قائم			نگهداری عدد		سری کردن		نگهداری مفهوم کل و جزء		مفهوم جمع و تفریق		مفهوم ضرب		مفهوم کسر
	پایه اول			32		30		19		21		16		19			37		24		14		24		14		9
				80/0		75/0		47/0		52/0		40/0		47/0			92/0		60/0		35/0		60/0		35/0		22/0
	پایه دوم			33		35		19		27		22		21			30		24		19		22		24		11
				82/0		87/0		47/0		67/0		55/0		52/0			75/0		60/0		47/0		55/0		80/0		27/0
	پایه سوم			35		34		30		32		27		24			38		30		22		30		32/0		30
				87/0		85/0		75/0		80/0		67/0		67/0			95/0		75/0		55/0		75/0		80/0		75/0
	پایه چهارم			35		37		38		34		24		24			35		37		22		27		32/0		35
				87/0		92/0		95/0		85/0		60/0		60/0			87/0		92/0		55/0		67/0		80		87/0
	پایه پنجم			38		37		38		37		34		35			37		38		32		32		37		37
				95/0		92/0		95/0		92/0		85/0		87/0			92/0		95/0		80/0		80/0		92/0		92/0

فرضیه اول: سطح عملکرد آزمودنیهای پایه های مختلف ابتدایی به نسبت معیار ثابت پیاژه ای متفاوت است.
بر اساس پژوهش هایی که در خصوص نظریه تحولی پیاژه انجام می شود، ابتدا به مقایسه آزمودنیهای پنج پایه با نسبت ثابت 0/75 می پردازیم. به منظور رعایت اختصار، مقادیر Z محاسبه شده برای مقایسه سطح عملکرد دانش آموزان هر پایه با نسبت ثابت یاد شده در جدول 2 خلاصه شده است.
جدول2- مقادیر Z محاسبه شده برای مقایسه سطح عملکرد پایه های پنجگانه با نسبت ثابت 0/75
جدول 2 مقادیر Z محاسبه شده برای مقایسه سطح عملکرد پایه های پنجگانه

ردیف	اول	دوم	سوم	چهارم	پنجم
1 ـ ادراک حسی اشیاء	79/0	16/1	26/2	26/2	88/5
2 ـ ردیف بندی توپولوژیک	0	4/2	78/1	4/2	4/2
3 ـ ادراک فضایی	5/3-	5/3-	0	88/5	88/5
4 ـ ادراک فضایی خط راست	94/2-	08/1-	79	78/1	04/4
5 ـ تجسم فضایی اشیاء	54/4-	56/2-	08/1-	94/1-	78/1
6 ـ ادراک سیستم افقی و قائم	5/3-	94/2-	08/1-	94/1-	26/2
7 ـ نگهداری عدد	04/4	0	88/5	26/2	04/4
8 ـ سری کردن	94/1	94/1	0	04/4	88/5
9 ـ نگهداری مفهوم کل و جزء	33/5-	54/3-	54/2-	54/2-	79/0
10 ـ نگهداری مفهوم جمع و تفریق	94/1-	56/2-	0	08/1	79/0
11 ـ نگهداری مفهوم ضرب	33/5-	94/1-	79/0	79/0	04/4
12 ـ نگهداری مفهوم کسر	15/8-	85/6-	0	26/2	04/4

در جدول 2 داده های هر یک از پایه ها در هر یک از تواناییهای دوازده گانه با نسبت ثابت 0/75 مقایسه شده است. این نسبت بر اساس آثار پیاژه به عنوان معیار ( ملاک) دستیابی به هر توانایی قلمداد شده است.
در واقع ضمن مقایسه دانش آموزان پایه های پنجگانه با این نسبت ثابت، به مقایسه سطح عملکرد پایه ها با یکدیگر می پردازیم. در جدول 2 مقادیر Z که در سطح خطاپذیری (0/5>P) و Z جدول ( 1/96) با نسبت ثابت 0/75 به طور معنادار متفاوت هستند، پر رنگ نشان داده شده اند. مقادیر منفی بیانگر سطح عملکرد پایین تر از نسبت و مقادیر مثبت بالاتر از آن را نشان می دهند. در مجموع در تمام موارد ( توانایی شناختی مختلف) تفاوت وجود دارد.
مقادیر Z محاسبه شده نشان می دهد که در مورد تواناییهای شماره 3، 4،6، 11 و 12 سطح عملکرد در پایه های اول و دوم به طور معنادار پایین تر از نسبت ثابت و سطح عملکرد پایه های چهارم و پنجم به طور معنادار بالاتر از آن قرار دارد. در مورد تواناییهای شماره 1، 2 و 8 سطح عملکرد پایه های چهارم و پنجم بالاتر از نسبت ثابت و پایه های اول تا سوم برابر با آن قرار دارد و در مورد تواناییهای 5، 9 و 10 سطح عملکرد پایه های پایین تر به طور معنادار پایین تر از نسبت ثابت و میزان عملکرد پایه های سوم تا پنجم همتراز با نسبت ثابت قرار دارد در این سه مورد هرگز سطح عملکرد بالاتر مشاهده نشده است. در مورد توانایی 7 فقط سطح عملکرد پایه دوم برابر با نسبت ثابت محاسبه شده است. داده های این جدول بیانگر پایه ای هستند که هر مفهوم در دستگاه روانی کودک استقرار پیدا می کند. سطح عملکرد مساوی با سطح عملکرد معادل نسبت ثابت 0/75 به عنوان نقطه شروع استقرار مفهوم یا توانایی تلقی می شود. در آن صورت هر مفهوم یا توانایی حداقل یک پایه جلوتر استقرار پیدا می کند یا حداقل اینکه مقدمات استقرار آن فراهم می شود.
برای آزمون فرضیه های دوازده گانه با توجه به در اختیار بودن فراوانی های هر پایه از آزمون X2 استفاده شده است، در جدول 3 فراوانی ها و مقادیر X2 به صورت خلاصه ارائه شده است.
با توجه به مقادیر X2 محاسبه شده در سطح خطاپذیری (0/5 > P) و درجه آزادی 4 و X2 مبین برابر با 9/48، مقادیر X2 در ادراک فضایی نقطه، مفهوم ضرب و مفهوم کسر بیشتر از X2 مبین است. بنابراین تفاوت بین پایه های پنجگانه ابتدایی فقط در مورد سه توانایی یاد شده معنادار است و فرض صفر در مورد فرضیه های 3، 11 و 12 رد شده و در سایر موارد پذیرفته می شود. این یافته را می توان با این واقعیت مرتبط دانست که 9 مفهوم یا توانایی باقیمانده از همان پایه اول در دستگاه روانی استقرار پیدا می کنند و بین پایه های پنجگانه تفاوت معناداری مشاهده نمی شود.
جدول3- فراوانی و مقادیر X2 مربوط به تفاوت بین پایه های اول تا پنجم در هر یک از تواناییها

پایه ها	ادراک حسی اشیاء	ردیف بندی توپولوژیک	ادراک فضایی نقطه	ادراک فضایی خط راست	تجسم فضایی اشیاء	تجسم فضایی شبکه افقی و قائم	نگهداری عدد	سری کردن	نگهداری مفهوم کل و جزء	مفهوم جمع و تفریق	مفهوم ضرب	مفهوم کسر
اول	32	30	19	21	16	19	37	24	14	24	14	9
دوم	33	35	19	27	22	21	30	24	19	22	24	11
سوم	35	34	30	32	27	27	38	30	22	30	32	30
چهارم	35	37	38	34	24	24	35	37	22	27	32	35
پنجم	38	37	38	37	34	35	37	38	32	32	37	37
	53/0	94/0	57/12	23/5	1/7	2/6	15/1	9/5	9/7	5/2	8/11	34/29

فرضیه 14- بین تواناییهای شناختی ریاضی و پیشرفت تحصیلی در درس ریاضی دانش آموزان پایه های تحصیلی مختلف دوره ابتدایی همبستگی وجود دارد.
جدول 4- مقادیر همبستگی محاسبه شده بین توانایی شناختی ریاضی و پیشرفت تحصیلی پایه های تحصیلی مختلف ابتدایی و مقادیر Z محاسبه شده برای بررسی معناداری ضرایب همبستگی

پایه تحصیلی	اول	دوم	سوم	چهارم	پنجم
همبستگی بین توانایی شناختی و پیشرفت تحصیلی	40/0	67/0	60/0	35/0	30/0
نمرات Z	69/2***	55/5***	62/4***	31/2***	93/1

با توجه به جدول 4 بیشترین مقدار همبستگی بین این دو متغیر در پایه دوم و کمترین مقدار آن در پایه پنجم مشاهده شده است. داده ها نشان می دهند که با افزایش پایه تحصیلی از میزان همبستگی بین توانایی شناختی ریاضی و پیشرفت تحصیلی کاسته می شود. به منظور بررسی معناداری ضرایب همبستگی فوق آزمون Z اجرا شد و نتایج آن در جدول 5 ارائه شده است. با توجه به نمرات Z مشاهده شده در جدول 4 در سطح خطاپذیری 5 درصد ضرایب همبستگی گفته شده بین توانایی شناختی ریاضی و پیشرفت تحصیلی در پایه های اول تا چهارم معنادار بود و در مورد پایه پنجم فرض صفر پذیرفته می شود.
فرضیه15- بین توانایی های شناختی ریاضی و سن عقلی دانش آموزان پایه های مختلف مقطع ابتدایی رابطه وجود دارد.
جدول5- مقادیر همبستگی محاسبه شده بین توانایی های شناختی ریاضی و سن عقلی پایه های مختلف تحصیلی ابتدایی و مقادیر Z محاسبه شده برای بررسی معناداری ضرایب همبستگی

پایه تحصیلی	اول	دوم	سوم	چهارم	پنجم
همبستگی بین توانایی شناختی ریاضی و سن عقلی	26/0	10/0	26/0	17/0	12/0
نمرات Z	65/1	619/0	65/1	06/1	747/0

بر اساس جدول 5 بالاترین مقدار همبستگی بین این دو متغیر در پایه های اول و سوم و کمترین مقدار آن در پایه دوم مشاهده شده است. در مجموع روند نشان دهنده کاهش همبستگی از اول تا پنجم دبستان است. از نمرات Z محاسبه شده در جدول 5 در سطح خطاپذیری 0/05>P و 1/96=Z چنین نتیجه گرفته می شود که فرض صفر در تمامی پایه ها پذیرفته شده، بنابراین با 95 درصد اطمینان ضرایب همبستگی توانایی شناختی ریاضی و سن عقلی پایه های مختلف تحصیلی معنادار نیستند. به منظور بررسی تفاوت ضرایب همبستگی مربوط به پایه های مختلف ابتدایی آزمون، تفاوت معنادار بین دو گروه مستقل با استفاده از جدول Zr فیشر استفاده شد و در جدول 6 ارائه شده است:
جدول6- مقادیر Z محاسبه شده به منظور بررسی معناداری تفاوت بین دو ضریب همبستگی مربوط به توانایی شناختی ریاضی و سن عقلی در پایه های مختلف

پایه تحصیلی	اول	دوم	سوم	چهارم	پنجم
اول	-	-	-	-	-
دوم	715/0	-	-	-	-
سوم	0	16/0-	-	-	-
چهارم	40/0	31/0-	9%	-	-
پنجم	62/0	9%-	62/0	21/0	-

با توجه به داده های جدول 6 در سطح خطاپذیری 0/05>P و 196=Z در کلیه موارد فرض صفر تأیید شد. بنابراین با اطمینان 95 درصد بین دو ضریب همبستگی توانایی شناختی ریاضی و سن عقلی در تمامی موارد تفاوت معنادار وجود ندارد، بنابراین در مورد فرضیه شماره 15 فرض صفر پذیرفت شده که بین توانایی شناختی ریاضی و سن عقلی دانش آموزان پایه های مختلف تحصیلی ابتدایی همبستگی وجود ندارد.
فرضیه 16- بین میزان توانایی شناختی ریاضی دانش آموزان دختر و پسر به تفکیک هر پایه تفاوت وجود دارد.
جدول7- محاسبه تحلیل واریانس یکطرفه برای آزمون معناداری تفاوت بین دو جنس

منابع تغییر	SS	d.f	MS	F
بین گروه ها	62/4308	9	7/478	494/29
درون گروه ها	6/3084	190	23/16

با توجه به فراوانی محاسبه شده ( 29/494) و مقایسه آن با فراوانی جدول ( 2/41) در سطح خطاپذیری ( 0/1> P) فرض صفر رد می شود. با توجه به میزان فراوانی محاسبه شده برای مقایسه زوجی میانگین ها، آزمون تعقیبی فیشر ( شریفی، نجفی زند، 1371) اجرا شد. نتایج آن در جدول 7 ارائه شده است.
جدول 8- مقادیر مربوط به آزمون تعقیبی فیشر مقایسه های زوجی میانگین ها

	پایه اول	پایه دوم	پایه سوم	پایه چهارم	پایه پنجم
	پسر           دختر	پسر           دختر	پسر           دختر	پسر           دختر	پسر           دختر
پایه اول	پسر
	دختر        968/1
پایه دوم	پسر           10/1         86/0
	دختر        04/2         70/0	94/0
پایه سوم	پسر           70/5         74/3	60/4         66/3
	دختر        90/5         93/3	80/4         85/3	196/0
پایه چهارم	پسر           71/7         74/5	61/6         66/5	2              81/1
	دختر        22/8         25/6	12/7         18/6	51/2         32/2	51/0
پایه پنجم	پسر           07/10       11/8	97/8         03/8	37/4         89/3	36/2         56/1
	دختر        62/10       70/8	20/7         58/8	92/4         72/4	91/2         40/2	36/2

بر اساس مقادیر جدول 8 با توجه به t جدول (2/57) در سطح خطاپذیری 0/01> p و 190=df، تفاوت بین میانگین های زوجی دختران و پسران در هر پنج پایه معنادار نیست. بنابراین با 0/99 اطمینان بین میزان توانایی شناختی پسران و دختران تفاوتی وجود ندارد. مقایسه های زوجی دیگر نیز انجام شده است. این مقادیر محاسبه شده تفاوت بین میانگین های هر یک از جنسیت ها را با جنسیت های پایه های دیگر مقایسه می کند. بجز میانگین های پایه های مجاور در باقی موارد تفاوت معنادار بین آنها مشاهده شده است.
یافته های این مطالعه به طور تقریبی از سوی برخی از پژوهش های موجود در متون تحقیقی از جمله پورشیرازی، تیمز، دادستان، کریمی، سیف، هابسون ، مک کوبی و ژاکلین همخوانی داشت و با برخی دیگر از جمله بطحای و حسینی، شی و ویرا، سینها و ارجها، نیک پور، کلانتری، حقیقی و رجبی همخوانی نداشت. به طور کلی بر تفاوت جنسیتی در توانایی های شناختی در مقطع ابتدایی با توجه به نظریه های تحولی، کمتر تأکید شد، چون این دوره از رشد با دوران کمون یا نهفتگی توصیف شده است و بسیاری از تفاوتهای جنسیتی هنوز بروز نکرده اند و کودک در گذار از کودکی و ورود به مرحله نوجوانی دوران کوتاه مقطع ابتدایی را به آرامی از سر می گذراند.

بحث و نتیجه گیری

آزمون فرضیه های اول نشان می دهد که مفاهیمی از قبیل « ادراک فضایی اشیاء»، « نگهداری مفهوم کل و جزء» و « اندازه گیری فاصله» در پایان دوره ابتدایی در دستگاه روانی کودک استقرار می یابد و بیشترین مفاهیم در پایه پنجم و بعد از آن در پایه چهارم و سپس پایه سوم پدیدار می شوند. در پایه اول و دوم فقدان پدیدآیی تعدادی از مفاهیم یا توانایی ها به چشم می خورد. این بخش از یافته های پژوهشی با پدیدآیی مفاهیم در نظام روانی پیاژه ای اندکی متضاد است. البته این تفاوت بیشتر از جنس تأخیر است نه از نوع کمبود توالی پدیدآیی مفاهیم. این بخش از یافته ها نشان دهنده تأخیر پدیدآیی مفاهیم و توانایی ها در نزد کودکان ایرانی است که در شهرستان ها زندگی می کنند.
برخی از مفاهیم یا توانایی ها از پیچیدگی بالاتری برخوردارند و برخی از آنها مستلزم شکل گیری و استقرار مفاهیم دیگری هستند، یعنی به نوعی مستلزم شکل گیری مفاهیم یا توانایی پیش نیاز هستند. به عبارت دیگر بین فرایند استقرار مفاهیم ریاضی، ساختار سلسله مراتبی وجود دارد و بر اساس میزان پیچیدگی، چند بعدی بودن و عملی یا ذهنی بودن، در یک نظام مندی خاص، ضمن پیروی از اصول « از عام به خاص»، « از کلی به جزئی»، « از ساده به دشوار» و « از تمایز نایافته به متمایز» در دستگاه روانی کودک استقرار می یابند. پدیدآیی این مفاهیم و ساختار هم کنشی بین آنها، سلسله مراتب استقرار هر یک از آنها در سالهای دبستان به عنوان یکی از معیارهای اصلی گزینش هدف، انتخاب محتوا، انتخاب تجربیات یاددهی- یادگیری و اجرای ارزشیابی برنامه درسی محسوب می شود.
به علت تعداد زیاد فرضیه ها، فرصت بحث به صورت فرضیه به فرضیه وجود ندارد. یافته های مربوط به فرضیه چهارم، دوازدهم و سیزدهم از طرف یافته های پوشنه، گینگما و خردمند، فرضیه یازدهم با یافته های بصارم تبار، و به پژوه، فرضیه دوم، سوم، پنجم تا یازدهم بایافته های ایزدفر، درودیان، زنجانیان همخوانی دارند و از لحاظ زمانی ( نه از لحاظ توالی) با یافته های تعدادی از پژوهشگران همخوانی ندارد. این ناهمخوانی شاید به اختلافات فرهنگی و تفاوت تراز عملیاتی مربوط به کلان شهرها و شهرستانهای کوچک ارتباط داشته باشد. این یافته ها را می توان به استقرار تواناییهای شناختی مربوط به فرضیه هایی که تفاوت معنادار در آنها مشاهده نشده است، تبیین نمود و تنها در مورد فرضیه های سوم، یازدهم و دوازدهم به دلیل استقرار این تواناییها در طول سالهای دبستان تفاوت معنادار بین آزمودنی های پنج پایه مشاهده شده است.
در خصوص فرضیه چهاردهم یعنی وجود همبستگی بین توانایی شناختی ریاضی و پیشرفت تحصیلی دانش آموزان پایه های تحصیلی مختلف دوره ابتدائی، داده ها نشان می دهند که بیشترین ضریب همبستگی در پایه دوم و کمترین آن در پایه پنجم وجود دارد.ضمناً Zهای محاسبه شده در خصوص معناداری ضرایب همبستگی نشان دهنده آن است که بجز پایه پنجم که آن نیز تا سطح معناداری از فاصله بسیار ناچیزی برخوردار بود، همبستگی تمامی پایه های دیگر معنادار بوده است. بنابراین فرض صفر رد شده و فرض تحقیق پذیرفته می شود که بین توانایی شناختی ریاضی و پیشرفت تحصیلی آزمودنیهای پایه های تحصیلی مختلف همبستگی وجود دارد.
در مورد فرضیه پانزدهم یعنی وجود همبستگی بین توانایی شناختی ریاضی و سن عقلی آزمودنیهای پایه های مختلف ابتدایی، داده ها نشان دادند که بیشترین ضریب همبستگی در پایه اول و سوم وکمترین آن در پایه دوم مشاهده شده است. آزمون بررسی معناداری ضرایب همبستگی بیانگر معنادار نبودن تمامی ضرایب همبستگی یاد شده هستند. بنابراین چنین نتیجه گرفته می شود که بین توانایی شناختی ریاضی و سن عقلی همبستگی معنادار وجود ندارد. یافته های مربوط به این فرضیه به نظر متناقض می رسد. یافته های پوشنه نشان دهنده وجود همبستگی معناداربین دو متغیر یاد شده هستند. می توان یکنواختی و سرعت نداشتن رشد در دوره ابتدایی و رکود آن در این دوره را به عنوان توجیه گر این یافته ارائه نمود. آزمون فیشر نیز نشان دهنده معنادار نبودن تفاوت بین ضرایب همبستگی در این مورد بوده است.
درخصوص فرضیه های شانزدهم یعنی وجود تفاوت بین میزان توانایی شناختی ریاضی دانش آموزان دختر و پسر پایه های اول تا پنجم ابتدایی، هر چند آزمون تحلیل واریانس نشان دهنده تفاوت بین میانگین ها بوده است، ولی مقایسه های زوجی بیانگر تفاوت معنادار بین دانش آموزان دختر و پسر در هر پایه نبوده است. مقدار تفاوت در پایه پنجم اگر چه معنادار نبوده، ولی این تفاوت از همه پایه ها بیشتر مشاهده شده است. به نظر می رسد این مطلب بیانگر شروع ایجاد تفاوتها در سالهای آینده است. این اختلاف تا حدودی به واسطه مفهوم بنیادی سرعت رشد بیشتر در دختران است که در مباحث نظری روان شناسی تحولی مورد توجه قرار گرفته است. یافته های این مطالعه را به طور تقریبی برخی از پژوهش های موجود در متون تحقیقی از جمله پورشیرازی، تیمز، دادستان، کریمی، سیف، هابسون، مک کوبی و ژاکلین تأیید کردند و برخی دیگر از جمله بطحای و حسینی، شی و ویرا، سینها و ارجها، نیک پور، کلانتری، حقیقی و رجبی تأیید نکردند.

ـ پیشنهادها

مطالعه در زمینه انطباق محتوا و مفاهیم کتابهای درسی ریاضی با زمان پدیدآیی این مفاهیم در دستگاه روانی کودک
پژوهش در زمینه هنجارگزینی آزمون توانایی شناختی ریاضی و انتشار آن در حد گسترده
مطالعه در مورد تضاد بین الگوهای تدریس فعال و جریان موضوع و محتوا مداری با توجه به پدیدآیی مفاهیم و تواناییها
مطالعات تکمیلی و طولی در مورد پدیدآیی مفاهیم و توانایی ها در مقطع راهنمایی و انطباق آنها با محتواهای کتابهای درسی
مطالعه در مورد انطباق مفاهیم مربوط به علوم تجربی با نظریه های تحولی از دیدگاه نظریه پردازان مطرح جهانی.
مطالعه تطبیقی بین نظریه تحولی پیاژه و نظریه هوشهای چند گانه هاوارد گاردنر.
با توجه به محدود شدن آموزش مدرسه ای به مفاهیم نظری و کمبود امکانات و تجهیزات آموزشی برای پرداختن به مفاهیم متعدد، ضروری است دستگاه تعلیم و تربیت کشور برای پوشش دادن تمامی مفاهیم اقدام نماید.
با توجه به اینکه تفاوت معناداری بین دانش آموزان دختر و پسر از لحاظ مفاهیم بنیادی ریاضی وجود ندارد ضرورتی وجود ندارد تا محتوای آموزشی متفاوت در مقطع ابتدایی تدوین شود.
طبق نظریه پیاژه، تحول در سایه تعامل کنش متقابل آزمودنی و اشیاء پدیدار می گردد، اگر محیط یادگیری غنی وجود نداشته باشد تا کودک به کنش وری با آن بپردازد، مسلماً پدیدآیی مفاهیم جلوه گر نخواهد بود، بنابراین تبلور این مفاهیم در یک محیط غنی، پویا و زنده امکان پذیر خواهد بود.
امروزه نظام های آموزشی و پرورشی کشورهای توسعه یافته مدیون و مرهون نظریات مربیان و روان شناسانی نظیر دیوئی، پیاژه، برونر، ویگوتسکی و نظایر آنها هستند. بنابراین ضرورت بهره مندی از یافته ها و نظریه های تحولی در رویارویی با اقدامات تربیتی همچنان احساس می شود.

پی‌نوشت‌ها:

این مقاله برگرفته از طرح پژوهشی است که بودجه آن از اعتبارات مالی معاونت پژوهشی دانشگاه آزاد اسلامی واحد چالوس تأمین شده است.
1-استادیار دانشکده علوم تربیتی واحد چالوس
Email: khazaiekamyanyahoo.com
2-Haied & Lamon
3-Ericikan & Mc Creith & Lapointe
4-Marijonbanks
5-Van den Broeck & Opedenakker & Van Damme
6- Janjetovic & Malinic
7- Kontsoulis & Compbell
8-Oconnor- petruso
9-Third International Mathematics and Science Study (TIMSS)
10-Dodwell
11-Shea & Verua
12- Sinha & Warjha
13-Goldschmid
14-Click
15-Kenedy & Tips
16-Academic Achivement

ـ منابع
ـ بصارم تبار، محمد علی. ( 1367)، « بررسی چگونگی ارتباط میان توان ذهنی دانش آموزان کلاس اول ابتدایی و مفاهیم اساسی کتاب ریاضی» پایان نامه فوق لیسانس دانشگاه علامه طباطبایی.
ـ بیداروند، کوروش.( 1370) ، «چگونگی ارتباط نمرات مفاهیم نگهداری ذهنی وزن و حجم با سواد، درآمد، نمره ریاضی و علوم تجربی»، پایان نامه فوق لیسانس دانشگاه شیراز.
ـ به کیش، پریچهر. (1370)،« بررسی تأثیر آموزش بر اکتساب نگهداری ذهنی»، پایان نامه فوق لیسانس دانشگاه تهران.
ـ پوشنه، کامبیر. ( 1381)،« ارزیابی درک مفاهیم بنیادی ریاضی دانش آموزان مقطع ابتدایی استان تهران»، پایان نامه دکتری واحد علوم و تحقیقات.
ـ حقیقی، جمال و غلامرضا رجبی. ( 1373)، « بررسی رابطه سن، جنسیت با مفهوم نگهداری ذهنی در دانش آموزان 6 تا 10 دبستانهای اهواز»، مجله علوم تربیتی و روان شناسی، دانشگاه شهید چمران اهواز سال اول پاییز- زمستان 1373.
ـ خردمند، پویا (1370)،« مقایسه کودکان عادی و عقب مانده از لحاظ دستیابی به سطوح نگهداری ذهنی و ردیف بندی»، پایان نامه فوق لیسانس دانشگاه تهران.
ـ دادستان، پریرخ.( 1369)،« بررسی تجربی حافظه و موقعیت آن در گستره کنش های شناختی دیدگاه عملیاتی»، مجله دانشکده ادبیات و علوم انسانی دانشگاه تهران، شماره 116-115 شماره های 3 و 4
ـ دادستان، پریرخ. (1381)،« تبیین روند تحولی خود در کودکان 6 تا 12 ساله ایرانی بر اساس الگوی تحولی ویلیام دیمون و دانیل هارت»، پایان نامه فوق لیسانس دانشگاه تهران.
ـ دلاور، علی. (1371)، روش های آماری در روان شناسی و علوم تربیتی، تهران، دانشگاه پیام نور.
ـ رابینسون، نانسی ام،هالبرت بی رابینسون. (1368)، کودک عقب مانده ذهنی، ترجمه فرهاد ماهر، مشهد، آستان قدس رضوی.
ـ زنجانیان کلایه، محمود. (1373)،« بررسی مفاهیم نگهداری ذهنی توده، وزن و حجم در دانش آموزان دختر و پسر تهرانی»، مجله روان شناسی، شماره 17
ـ سیف، علی اکبر. (1376)،« بررسی تفاوتهای جنسی در عملکرد ریاضی گروهی از دانش آموزان کلاسهای دوم تا پنجم ابتدایی»، پایان نامه فوق لیسانس دانشگاه شیراز.
ـ شریفی، حسن پاشا. جعفر نجفی زند. ( 1371)، روشهای آماری در روانشناسی، علوم تربیتی و اجتماعی، تهران، نشر دانا.
ـ فلامک، عفت.( 138)، « ارزیابی تناسب محتوای کتب ریاضی دوره ابتدایی با توان ذهنی دانش آموزان از دیدگاه پیاژه»، پایان نامه دکتری واحد علوم و تحقیقات.
ـ کریمی، زینب. ( 1375)،« بررسی عملکرد دانش آموزان نسبت به مراحل رشد پیاژه»، پایان نامه فوق لیسانس دانشگاه تهران.
ـ کلانتری حمیرا ( 1380)،« بررسی رابطه تحول مفهوم زمان با پیشرفت تحصیلی در دانش آموزان دوره ابتدایی»، پایان نامه فوق لیسانس دانشگاه تهران.
ـ نیک پور، رضا. (1371)،« مقایسه دختران و پسران از نظر فهم مفاهیم ریاضی»، پایان نامه فوق لیسانس دانشگاه تهران.
ـ ولدبیگی، حجت الله. ( 1368)،« بررسی ارتباط میان توان ذهنی دانش آموزان پایه پنجم ابتدایی با مفاهیم کتاب ریاضی در تهران»، پایان نامه فوق لیسانس، دانشگاه علامه طباطبایی.
ـ Cook,R.C., Doll,R.D. (1983).The elementary school curricular.Boston Allyn and Bacon inc.
Haied,G,. Lamon.,b. (2003).Sex differences in the use of organization strategies: A developmental analysis. Journal of experimental child psychology 41,18-37
Ericikan,F,.Mc Creith. (2005). Building mathematics,London.Hutchison Educational ltd.
Dodweel,P.C. (1960).Childrens understanding of number and report concepts. Canadian journal of psychology, 14,191-205.
Goldschmid, M.L. (1969). Different typesof conservation and unconservation and their relation to age, sex,IQ, mental age and vocabulary. Child development, 38,1229-1246
Ocannor-Petruso.Miranda, G.J. (2003). Relationship among pigsties IO and achievement assessment child development, 43,796-750.
Shea,J.D.C,& Yerua,G. (1980).Conservational skill community school children in papna,New Guonea,International journal of Psychology. 15,11-25
Sinha,Wariha. (1989). Child Psychology. New York: John Willy and sons. Van den Broeck, (2003).The Role of family soscioeconomic statues in prediction,JOURNAL OF PSYCHOLOGY.151.249
منبع:دانش و پژوهش در روانشناسی، فصلنامه علمی پژوهشی، دانشگاه آزاد اسلامی واحد خوراسگان، شماره 34، زمستان 1386