نویسنده: نیکلاس کاپالدی
مترجم: علی حقی
مترجم: علی حقی
درآمد:
به قرن نوزدهم می توان چونان دوره ای انتقالی نگریست. از یک سو، دانشمندان قرن نوزدهم به اکتشافات چشمگیر ادامه دادند، منتها در چارچوب مکانیک نیوتونی. از دیگر سو، این دانشمندان مسائل پاسخ داده نشده و پاسخ های نو به مسائل کهنه را، که سرانجام به چیزی رهنمون شد که می توانیم آن را«ترکیب اینشتینی»(1) بنامیم، بر هم انباشتند. بدین سان، ما قرن نوزدهم را حلقه رابطی میان نیوتون و اینشتین می دانیم.این مقاله به سه بخش عمده تقسیم می شود: در بخش یکم به پیشرفت ها و مسائل علوم فیزیکی خواهیم پرداخت؛ در بخش دوم با رشد و پیامدهای هندسه نااقلیدسی(2) سروکار خواهیم داشت. در بخش سوم از چندین نگرش خاص به روش و تبیین علمی بحث خواهیم کرد.
جهان فیزیکی
چشم انداز عالمی که گالیله به تصویر کشید و نیوتون آن را تقریر کرد، مکانیکی بود. این چشم انداز مکانیکی بود از این جهت که در آن گمان زده می شد همه پدیده های فیزیکی برحسب مکانیک، یعنی از حیث حرکت اجسام، تبیین پذیرند. از این گذشته، دو خصیصه مهم اجسام عبارت بودند از نفوذناپذیری و اینکه هیچ دو جسمی نمی توانند مکان واحدی را در یک زمان اشغال نمایند. می پنداشتند که همه نمودهای اجسام از قبیل گرما، کنش از راه دور و الکتریسیته برحسب عناصر بی وزنی همانند کالریک(3)، اتر و سیالهای الکتریکی(4) تبیین پذیرند.گرما
پیش از پایان قرن نوزدهم، گرما به عنوان نمودی تبیین می شد که هنگامی که اجسام عنصر بی وزنی موسوم به کالریک را از دست می دادند، پدید می آمد. گرم شدن جسم موجب می شد کالریک آزاد شده و بگریزد.در 1760، جوزف بلک(5)(99-1728)اثبات کرد که گرما هیچ رابطه ای با مقدار ماده ندارد. در نتیجه، نمی توان گفت که جسم کالریک از دست می دهد زیرا اجسام بزرگتر، به نظر نمی آید از این عنصر بیشتر داشته باشند. هم او کسی بود که نظریه کمّی گرما را پایه گذاری کرد.
کنت رامفرد(6)(1814-1753) دانشمند آمریکایی با آزمایش نشان داد که هرگاه جسم حرارت ببیند، در وزن آن تغییری حاصل نمی شود. این آزمایش مشعر بود به اینکه گرما عنصری در اجسام نیست. رامفرد در کتاب پرآوازه اش به نام تحقیق راجع به منبع حرارت که بر اثر اصطکاک ایجاد می شود(7)(1798) به این نتیجه رسید که گرما یکی از صور حرکت است.
نور
شاید مطالعه نور یگانه علمی باشد که مدیدترین و مداوم ترین رشد را داشته است. رشد این علم به قرون وسطی بازمی گردد که از آن هنگام تاکنون تاریخی ناگسسته داشته است. حتی می توان تاریخ نور را به عنوان نشانه بارز و علامت مشخصه کل تاریخ علم نوین بررسی کرد. در قرن نوزدهم چیزی که برای رشد مفاهیم علمی از همه بیشتر اهمیت دارد، مطالعه نور است. این رشته از علم یکی از چند رشته با اهمیت تر است که به نظریه نسبیت اینشتین رهنمون می شوند.برای شروع، نخست می باید به قرن هفدهم بازگردیم. اولاف رومر(8)در 1676 سرعت نور را کشف کرد. این کشف اهمیت دارد، زیرا بیشتر ما بسادگی گمان می بریم که نور لحظه ای و بلامدت(9)است. به تعبیر دیگر، ما می پنداریم، ظهور نور به همان سرعت روشن شدن لامپ با کلید برق است. رومر اثبات کرد که سیر نور از یک جا به جای دیگر، زمان می برد. نکته شنیدنی و شگفتی انگیز این است که کشف او رهاورد پاره ای از رصدهای ماه های مشتری و ماه گرفتگی هایشان است. زمانی که موردنیاز بود تا محاق در اثنای ماه گرفتگی به وقوع پیوندد، کجروی هایی پدید می آمد. باز در اینجا به اهمیتی که خطاهای جزئی برای پیشرفت علم دارند هشدار می دهیم( کپلر و تصاویر و اشکال تیکو براهه را به خاطر آورید).
با وجود این فرض که بین مشتری و ماه هایش رابطه ای ثابت و یکنواخت وجود داشت، یگانه تبیینی که برای دوره های مختلف محاق باقی می ماند این بود که زمین در موقعیت های گوناگون قرار داشت. هنگامی که زمین نزدیکتر بود، دوره کوتاهتر بود و هنگامی که زمین دورتر بود، دوره طولانی تر بود. پیامد آشکارِ این اندیشه ها این بود که نور برای سیر از فاصله های دورتر، زمان بیشتری می برد.
دو نظریه نور:
دو نظریه عمده بودند که نور را تبیین می کردند. نظریه نخست که قبول عام یافته بود از نیوتون بود که نور را مرکب از ذرات ریزی می دانست که از اجسام نورانی و درخشان ساطع می شدند. ما این را نظریه ذره ای(10)می نامیم. گرایش عمومی پیش از نیوتون این بود که هر چیزی را برحسب ذرات متحرک تبیین کنند.نظریه ای بدیل، که می توان آن را نظریه موجی(11) نامید، نخست توسط هویگنس تقریر شد. هویگنس استدلال کرده بود که نور محصول تموج(12) یا انتشار(13) موج هاست.
اِشکال عمده به نظریه موجی این بود که این نظریه بزعم نیوتون دلالت داشته است بر اینکه، نور چون محصول امواج متحرک است می باید در سایه که حرکت می کند، انحناء بردارد. اما هیچ انحنایی مشاهده نشده بود.
به این ترتیب بود که توماس یانگ(14)(1829-1773)اثبات کرد که باید انحنایی در نور وجود داشته باشد. این انحنا بسیار اندک بود و درواقع برخاسته از خُردی و سرعت سرسام آور نور بود؛ اما با همه اینها، وجود داشت. افزون بر این، یانگ استدلال کرد که اگر نور را قسمی موج، شبیه امواج آب، بدانیم فقط دو نوع حرکت می تواند وجود داشته باشد: ارتعاش طولی(15)و ارتعاش عرضی(16). در ارتعاش طولی ذرات به موازات انتشار موج حرکت می کنند. در ارتعاش عرضی ذرات به طور عمودی و در جهت رو به جلو موج، بالا و پایین می روند. برای همگان شگفت آور است که بدانند ارتعاش های نور منحصراً عرضی هستند.
سازوار با سمتگیری مکانیکی قرن نوزدهم، این بحث پیش آمد که امواج نور می باید از مصادیق حرکت در ملاء باشد. این ملاء اتر نامیده شد، مفهومی با سرگذشتی دل انگیز. می پنداشتند که امواج اتر از طریق منابع نور در همه جهات در حرکت اند، درست همان گونه که سنگی که در آب می افتد موجب پیدایش موج هایی می گردد.
یکی از اشخاصی که مسبب و باعث و بانی نظریه اتر بود، فیزیکدان فرانسوی اوگوست ژان فرنل(17)(1827-1788)بود. فرنل همچنین بانی سنجش طول امواج نور بود.
یادآوری:
در این مقطع، تکاپویی طولانی برای تأیید تجربی وجود اتر آغاز می گردد. تاریخ این تکاپو تا حدی همانند تکاپوی نیوتون برای یافتن علت گرانش است. اتر یک مفهوم نظری، یعنی واژه ای که جلوه های متعدد نور را توصیف کند، نبود. اتر موجودی فرضی(18)بود که برای تعلیل حرکت نور از دیدگاهی مکانیک ابداع گشته بود.اتر
همه کوشش ها برای اثبات وجود اتر به شکست انجامید. این مفهوم به آفات عدیده ای مبتلا بود. اولاً، چون نور امواج طولی نداشت، لاجرم اتر ممکن بود تا جایی که به صفر برسد، فشرده شود. در عین حال، سرعت بالای نور حاکی از این بود که کشسانیِ(19) اتر بیشتر از چگالی(20) آن است. ثانیاً، چون سیارات بنا به فرض از بین اتر عبور می کنند، لاجرم می باید قسمی سیارات کندرو(21) وجود داشته باشند. اما این کندروها هرگز مشاهده نشده بودند.پس چرا یافتن اتر این قدر اهمیت داشت و حتی فرض وجود آن در اولویت بود؟ اگر کسی مبنای مکانیکی تبیین را بپذیرد، نتیجه ای که در پی می آورد این است که مثلاً کنش از راه دور، گرانش و پدیده های الکترومغناطیسی(22)، می باید در ملاء باشند یا در آن به وقوع پیوندند. اعتقاد به اتر بدین گونه بود. اما یک چنین اتری، بهره ای سهمگین، بهره ای اعجاب آور و باورنکردنی از تنش، با خود همراه آورد.
یادآوری:
چون نظریه اتر نظریه ای شکست خورده است، لزومی ندارد که تمام تاریخچه این شکست را با ذکر جزئیات یک به یک بازگو کنیم. اما نکته ای که باید تذکر دهیم این است که به اتر اوصافی بسیار ساده و ضد و نقیض منسوب شده بود. همه شگردهای تکمیلی را که یادآور گردبادهای دکارت بودند، مسلم انگاشتند تا این موانع را از سر راه اتر بردارند.هرچند اتر فرجامی مرگبار داشت، اما دست کم یکی از دلایل این تکاپو، حائز اهمیت بود. نظریه مکانیکی عالم، حتی در نیوتون، یک تبیین کامل نبود؛ این تبیین مدلی بود که می پنداشتند راهنمای پژوهش های آینده است. لکن دانشمندان به این مدل به عنوان سرچشمه ای از دلالت ها که مبتنی بر کامیابی های گذشته بود، نمی نگریستند. آنان آن را یک قانون همگانی در عالم می دانستند؛ بی رغبتی آنان به دست کشیدن از آن یا از هر چیزی که با آن پیوند داشت، همانند اتر، به این جهت بود. این نمونه ای بارز از نفوذ آهسته و تدریجی نگرش قانون همگانی در فعالیت علمی است.
مشخصاً دو رویداد در سرنگونی نظریه اتر سهیم بودند. اولاً دانشمند فرانسوی دیگر، ژ.ل. فوکو(23)(98-1819)، ثابت کرد که سرعت نور در رسانه های رقیق تر(24) بیشتر است. نور از درون هوا سریع تر از آب حرکت می کند.
ثانیاً، همه کوشش هایی که برای سنجش حرکت زمین به دستاویز اتر شده بود( زمین دسترس پذیرترین سیارات بود)، به شکست انجامیدند. دلیل نقضی بر این حرکت، آزمایشی بود که با نام فیزیکدان آمریکای مایکلسون(25)پیوند خورده است. مایکلسون استدلال کرد که اگر اتر همانند آب باشد، لاجرم باید در جهات مختلف سرعتهای متفاوت داشته باشد. از باب نمونه، سرعت امواج آب با جزر و مدهای بالا و پایین دگرگون می شود. مایکلسون آزمایشی را بدین گونه ترتیب داد که دسته ای از شعاع های نورانی از یک منبع مشترک نور ساطع بشوند اما در جهات مختلف حرکت کنند.اگر زمین در درون اتر حرکت بکند، باید یکی از شعاعهای نورانی که در جهت خلاف حرکت زمین است، هنگامی که بازتابانده می شود، سریع تر بازگردد. اما، حقیقت مطلب این بود که هیچ فرق نمی کرد.
ماحصل همه اینها این بود که در همان زمانی که بذر تردیدهایی به مدل مکانیکی که توسط دانشمندان به کار گرفته شده بود، کاشته می شد، نظریه موجی برخوردار از اهمیت و آوازه می گشت.
الکتریسیته و مغناطیس
پیش از قرن نوزدهم، الکتریسیته و مغناطیس پدیده هایی جداگانه انگاشته می شدند و الکتریسیته از لحاظ اینکه منبعث از حضور یا غیاب سیاله هایی اسرارآمیز است، تبیین می کردند. اما، دانشمند دانمارکی، اورستد(26)در 1820 پی برد که رابطه ای قطعی و معین بین الکتریسیته و مغناطیس وجود دارد.کار عمده در عرصه نظریه الکتریکی در قرن نوزدهم توسط فاراده(27) و مکسول(28)انجام شد. مایکل فاراده(1867-1791)دست به آزمایش با الکتریسیته زد و دریافت در فضا میدانهای الکتریکی و مغناطیسی وجود دارند. این آزمایش ها به واژگونی این تصور انجامید که الکتریسیته یک قسم ماده است. صرفاً به این دلیل که دو میدان الکتریکی می توانند فضای واحدی را در زمانی واحد اشغال کنند.
فاراده پیشنهاد کرد مفهوم میدان نیرو(29) مفهومی که گیلبرت و دکارت بر او سبق بردند، جایگزین این تصور بشود که الکتریسیته یک قسم ماده است. فحوای میدان نیرو به بهترین وجه برحسب حرکت الکتریسیته توصیف شده است. با داشتن دو منبع الکتریسیته( مثلاً دو سیم) می توانیم میدان نیرو را به وجود آوریم. جریان ها همیشه به سمت قطعه ضعیف تر میدان حرکت می کنند و این حرکت را می توان با نمودار نشان داد. الگویی که به دست می آید یک میدان است. بر پایه جهت جریان ها، الگوهای گوناگون شکل می گیرد.
یادآوری:
درست همان گونه که معلوم شد گرما نوعی جسم نیست، به همین ترتیب معلوم شد که الکتریسیته نیز ماده نیست. هر دوی اینها صور حرکت(30)اند نه ماده هایی در حال حرکت. تصور میدان نیرو این را کاملاً روشن ساخت.جیمز کلارک مکسول(79-1831)نخستین سهم خویش را به علم با تداوم کار فاراده ادا کرد. کتاب او، درباره خطوط نیروی فاراده(31)، صورت بندی ریاضی ای از اندیشه های فاراده به دست می داد. اثر مکسول، همانند فاراده، حاکی از این بود که الکتریسیته در درون فضا حرکت می کند. این بدین تصور رهنمون شد که نور فی نفسه هیچ چیز بجز یک ارتعاش الکتریکی نیست. سپس مکسول اقدام به ساختن یک سلسله معادله های دیفرانسیل کرد که صورت بندی ریاضی مشترکی را هم برای پدیده های الکتریکی و هم برای نور میسر ساخت. نور می باید به الکتریسیته فروکاسته(32) شود. مؤیّدات تجربی از پس نظریات مکسول یکی پس از دیگری از راه رسیدند. در ابتدا، استارک(33) و زیمان(34)ثابت کردند که میدان های الکتریکی و مغناطیسی بر اتم هایی که موجب پدید آمدن نورند، تأثیر می گذارند، سپس هرتس(35) امواج رادیویی یا ارتعاشات الکتریکی را تولید کرد که می توانستند بدون واسطه گریِ سیم از داخل فضا عبور کنند.
به مدد اقدامات پیشگفته، دانشمندان توانستند طیف های امواج الکتریکی را ترسیم کنند. امواج نوری، تنها بخش اندکی از طیفی است که دیده انسان می تواند به آن واکنش نشان دهد. امواج رادیویی و فروسرخ بسامد پایین تری از امواج نوری دارند. یعنی آنها طول موج های طولانی تر دارند. اشعه فرابنفش، ایکس و گاما، اشعه هایی با بسامدهای بالاتراند.
مسائل
کار مکسول نشان داد که مسائل نور صرفاً مسائل الکترومغناطیس هستند. لکن این، دشواری تبیین سرشت مکانیکی پدیده های الکترومغناطیسی را برای دانشمندان به میراث گذاشت. به نظر می آید در این زمینه دو نظریه بدیل وجود داشت. از یک سو، نظریه ذره ای پدیده های الکترومغناطیسی را برحسب کنش از راه دور تبیین می کرد. مؤید غیرمستقیم نظریه ذره ای، نظریه اتمی و نظریه جنبشی گازها(36)در شیمی بود. با نظریه دوم، رفتار گازها به طرز موفقیت آمیزی به عنوان ماحصل کثیری از واکنش ها در بین ذرات(مولکول ها)یی که سازنده یک گازاند، تبیین شده بودند. از این گذشته، آزمایش تخلیه الکتریکی در یک گاز، برحسب ظاهر حاکی از این بود که جرمْ خودش ذره ای از الکتریسیته است. سرانجام، نظریه ذره ای حاکی از قسمی عالم گسسته و ناپیوسته است همراه با ذراتی که فضایی خالی، غیر از این فضا را، اشغال می کنند.در سوی دیگر، نظریه میدان(37)وجود داشت. برحسب این نظریه، پدیده های الکترومغناطیسی، به وسیله یک رسانه مداخله گر(38)، تبیین می شدند. مکسول و فاراده این دیدگاه را برگزیدند که الکتریسیته مرکب از ذرات نیست، بلکه از درون فضا منتشر می شود. این نظریه بر وجود تداوم در طبیعت گواهی می داد.
هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی
صورت بندی هندسه های نااقلیدسی در قرن نوزدهم، نشانه یک انقلاب سترگ علمی و فلسفی بود. برای درک اینکه چرا این رویداد آن قدر چشمگیر و حادثه ساز بوده است، نخست می باید بخشی از تاریخ ریاضیات، خاصه هندسه را، مرور کنیم.اقلیدس
هنگامی که کسی از هندسه سخنی بر زبان می آورد، بیشتر ما بی درنگ همان هایی را که در دبیرستان فراگرفته ایم، در نظر می آوریم. مواد درسی هندسه در دبیرستان تا حد زیادی بر پایه هندسه ای بوده و هست که توسط اقلیدس در اصول هندسه(39)صورت بندی شده است. اقلیدس (در حدود 275-330 ق م)در اسکندریه، در طی همان دوره ای که بطلیموس می زیست، به تحصیل علم پرداخت، ظاهراً اقلیدس تدوین گر یک دسته بندی از همه کارهایی بوده است که در هندسه تا زمان او صورت گرفته است. قرن ها باید سپری می شد تا کس دیگری جانشین او شود و کتاب او از دور خارج شود.اهمیت اقلیدس از دو سو است. اولاً، معرفت هندسی موجود را به صورت یک دستگاه، که به نحو مؤثری دنیای شناخته شده را تبیین می کرد و قسمی یقین به ارمغان می آورد، تدوین کرد(40). این درست همان باوری بود که جهان می باید به زبان هندسه فهم گردد و همین باور، از جمله گالیله را، در پیشرفتهای علمی راهنمایی کرد. ثانیاً، اقلیدس روشی را برای ارائه مطلب پیش گرفت که به عنوان مدلی عقلانی برای تقریباً همه اندیشمندان بعدی کارساز بود. این روش همانا نظامی صوری( قیاسی، استدلالی) بود.
نظام صوری اقلیدس برای هندسه مشتمل بود بر:
الف. تعاریف( مجموعاً 28تا، که از این تعداد، شماره های 1 و 2 و 13 و 20 در زیر می آیند).
1. یک نقطه هیچ اجزائی ندارد یا نقطه آن است که دارای هیچ عِظَمی(41)نیست.
2. خطْ درازایی بدون پهناست.
13. دایره شکل مسطحی است که خطی به نام محیط دایره آن را محصور کرده است و به گونه ای است که همه خط های مستقیمی که از یک نقطه معین در درون شکل به محیط دایره رسم گردیده اند، متساوی و با هم برابر باشند.
20. از اشکال سه ضلعی، مثلث متساوی الاضلاع مثلثی است که دارای سه ضلع مساوی است.
ب. اصول موضوعه(42)(مجموعاً 5 تا، که از آنها شماره های 1 و 3 در زیر می آیند).
1. یک خط مستقیم را می توان از هر نقطه ای به نقطه ای دیگر ترسیم کرد.
3. دایره را می توان از هر مرکزی، در هر فاصله ای از آن مرکز، تعریف کرد.
5. اگر خط مستقیمی دو خط مستقیم دیگر را قطع کند به گونه ای که مجموع زوایای داخلی آنها از دو قائمه کمتر باشد، وقتی که آن دو خط به طور نامتناهی امتداد داده شوند، در طرفی که زاویه های کوچکتر از دو زاویه قائمه قرار دارند، همدیگر را قطع می کنند.
پ. اصول متعارفه(43)(مجموعاً 12 تا، که از آنها شماره های 1 و 2 در زیر می آیند).
1. دو چیز مساوی با یک چیز، مساوی یکدیگرند.
2. اگر مقادیر مساوی را با مقادیر مساوی دیگر جمع کنیم، حاصل جمعها با یکدیگر مساوی خواهند بود.
ت. قضایا( در کتاب اقلیدس قضایای زیادی وجود دارد، اما واقعیت چشمگیر درباره این قضایا این است که آنها منحصراً با استفاده از تعاریف، اصول موضوعه، اصول متعارفه و قضایایی که قبلاً اثبات شده اند، اثبات گردیده اند. در نتیجه اگر کسی حدهایش را به دقت تعریف کند و به بقیه اطلاعات یا باورهای خود سامان بخشد، می تواند هر چیز دیگری را که از مجموعه اولیه گزاره ها استنتاج می شوند، اثبات می کند. این دقیقاً همان چیزی است که مقصود و مراد یک نظام منطقی یا صوری است. مراد از منطقی بودن هم همین است. قضیه 1 در زیر اثبات شده است).
قضیه 1( قضیه یا مسأله): تعریف کردن یک مثلث متساوی الاضلاع، بر پایه یک خط مستقیم متناهیِ مفروض.
فرض کنید AB همان خط مستقیم مفروض باشد: این فرض برای ترسیم یک مثلث متساوی الاضلاع بر روی AB دربایست است.
مراحل/ دلایل
1. به مرکز A، به فاصله AB،دایره BCD را رسم کنید./(اصل موضوعه 3)
2. به مرکزB، به فاصله BA، دایره ACE را رسم کنید./ (اصل موضوعه 3)
3. از نقطه C، که دایره ها در آن همدیگر را قطع می کنند، خطوط CA و CB را تا نقاط A و B رسم کنید./ (اصل موضوعه 1)
4. ABC، مثلثی متساوی الاضلاع خواهد بود، زیرا نقطه A مرکز دایره BCD است و AC برابر است با AB./(تعریف 13).
5. و چون نقطه B مرکز دایره ACE است، BC برابر است با BA./(تعریف 13).
6. اثبات گردید که CA برابر است با AB، بنابراین هرکدام از CA و CB برابرند با AB. دو چیز مساوی با یک چیز، مساوی یکدیگرند./ (اصل متعارفه 1).
7. بنابراین CA برابر است با CB./(تعریف 20)
بنابراین CA، AB و BC با یکدیگر برابرند.
اینها دلایلی است که چرا مثلث ABC متساوی الاضلاع است و باید بر روی پاره خط مستقیم مفروض AB ترسیم شود.
تاریخچه
صورت بندی اقلیدس از هندسه در همه دوران ها پر رونق ترین کالای فکری بوده است. عرف و سنت مردم را به این باور سوق داد که نه فقط صورت بندی او، یک صورت بندی است بلکه یگانه صورت بندی همین است، یعنی پنداشته شده بود که نظام اقلیدس یگانه نظامی است که امکانپذیر است. این نظام بی چون و چرا توصیفی درست از جهان انگاشته می شد. این نظام آن چنان برای مردم آشکار و بدیهی گشته بود که نمی توانستند امکان دیگری را در مخیله خویش تصور کنند.یادآوری:
درخور ذکر است که چون مردم به تجسم اشیاء برحسب هندسه اقلیدس خوگر شده بودند، این فکر برای آنها طبیعی می نمود که این یگانه هندسه قابل تصور است.اما، بخت با نظام اقلیدس سازگار نبود. ریاضیدانان شروع به خرده گیری از اصل موضوعه پنجم کردند. در افواه عموم، سه دلیل برای ناخرسندیشان وجود داشت. یکم، صورت بندی اقلیدس، صورت بندی ای بغرنج بود و همانند دیگر صورت بندی ها آسان یاب نبود. دوم، از حیث نظری، گفته می شد که درخصوص حقایق بدیهی این نظام پاره ای تردیدها وجود دارد. سوم، استنتاج اصل موضوع پنجم از بعضی از قضایا مقدور بود، از این رو ریاضیدانان از این تصور آگاه شدند که این اصل نمی باید اصلی حتمی و اجتناب ناپذیر باشد.
یادآوری:
دو تا از قضایایی که می توانیم اصل موضوع پنجم را از آنها استنتاج کنیم، از این قرارند:(1) مجموع زوایای یک مثلث برابر با دو قائمه است؛(2) بر هر سه نقطه غیرواقع بر یک خط راست، فقط یک صفحه می گذرد.در قرن هجدهم، اصل موضوع پنجم صورت بندی تازه ای موسوم به اصل متعارف بقاعده (44)یا اصل موضوع متوازی(45) کسب کرد. از یک نقطه مفروض یک خط و فقط یک خط می توان به موازات یک خط مفروض ترسیم کرد. سپس ریاضیدانان کوشیدند اثبات کنند که اصل متعارف بقاعده از اصول متعارفه دیگر می تواند استنتاج یا بر پایه آنها اثبات شود. کوتاه سخن، همه این کوشش ها نافرجام بودند.
در قرن هجدهم، ریاضیدان ایتالیایی ساکی یری(46)درصدد برآمد رویکرد نوینی را بیازماید. اگر نتوانیم اصل موضوع پنجم را مستقیماً استنتاج کنیم، آن را به طور غیرمستقیم استنتاج می کنیم. فرض می کنیم که اصل موضوع پنجم یا اصل متعارف بقاعده مستقل اند، بعد اثبات می کنیم که این فرض منتهی به تناقض می شود. اگر به تناقض رسیدیم، علم پیدا می کنیم که این فرض نادرست است. به این ترتیب به یک برهان نامستقیم بر غیرضروری بودنِ اصل موضوع پنجم دست پیدا می کنیم. جهد ساکی یری هم بی توفیق بود.
شقهای بدیلِ هندسه اقلیدسی
دو عامل در رشد هندسه های نااقلیدسی سهیم بودند: یکم، شکست کوششهایی که برای انهدام و پایین آوردنِ ارج و قدر اصل موضوع پنجم صورت گرفت، برخی هندسه دانها و ریاضی دانها را بر آن داشت تا در هندسه به طور کلی تجدیدنظر کنند. دوم، ناهمخوانی های متعدد در براهین اقلیدس شروع به پدیدارشدن کردند.همه هندسه های بدیل در قرن نوزدهم با نافرجام ماندن حذف اصل موضوع پنجم پیوند دارند. یانوس بُل یُوی(47)(60-1802) ریاضیدان مجارستانی، چنین می پنداشت که از یک نقطه مفروض بیش از یک خط موازی می توان برای یک خط مفروض ترسیم کرد. بر پایه این فرض، او هندسه ای بدیل را پایه گذاری کرد. ن.ای. لباچفسکی(48)(1856-1793)روسی و ک.ف. گاوس(49)(1855-1777)ریاضیدان پرآوازه آلمانی، به همان سمتی هدایت شدند که بل یوی شده بود. گاوس نام هندسه نااقلیدسی را برای مشخص نمودن نظریه های رقیب جدید، پیشنهاد کرد. ب.ریمان(50)(66-1826) دیگر ریاضی دان آلمانی، هندسه ای را صورت بندی کرد که اصلاً در آن خطوط موازی وجود نداشتند.
یادآوری:
چنانکه پیشتر دیده ایم، اصل موضوع پنجم عکس این قضیه است که مجموع زوایای یک مثلث برابر با دو قائمه(180 درجه) است. در هندسه نااقلیدسی، مجموع زوایای مثلث هیچ وقت برابر با 180 درجه نیست.برای توضیح تفاوتهای نظامهای هندسی گوناگون، سه شیوه سنتی وجود دارد. شیوه نخست، روش اصل متعارفی(51)است. در این صورت بندی، نظامهای هندسی مختلف دستگاههای اصول متعارفی بدیلی دارند. تفاوت در اصول متعارفه، سرمنشاء تفاوت در بقیه دستگاه است. مفروض بودنِ موازی ها، وجود نداشتن هیچ موازی ای، یا بیش از یک موازی وجود نداشتن، همگی نمایانگر تفاوت در اصول متعارفه مفروض است. شیوه دوم به نظریه خمیدگی(52)[= انحنا] که نخستین بار توسط گاوس صورت بندی شد، راجع می شود، مجملاً، هندسه اقلیدسی فضایی را مفروض می گیرد که هیچ گونه خمیدگی ندارد. نظام هندسی لباچفسکی وار خمیدگی منفی( مثلاً رویه پشت زین)را مفروض می گیرد. نظام هندسی ریمانی، خمیدگی مثبت (مثلاً سطح یک کره) را مفروض می گیرد. سومین روش افتراق و تفکیک، روش تصویری(53)است. همان گونه که توسط کیلی(54) و کلین(55) ریاضیدان توضیح داده شده است. تفاوت های نظام های هندسی منبعث از تفاوت هایی است که در تعریف واژه زیربنایی« فاصله» وجود دارد.
سازگاری
گفته شده است که دستگاهی از اصول متعارفه سازگار است اگر و فقط اگر هیچ دو عبارت یا دو قضیه متناقض را از آن رشته از اصول متعارفه نتوان استنتاج کرد. ریاضیدانان کوشیدند به سه چیز در قرن نوزدهم جامه عمل بپوشانند. یکم، جهد نمودند که اثبات کنند هندسه اقلیدسی سازگار است. آنان پی بردند که سازگاری نظام اقلیدسی بستگی به سازگاری اعداد حقیقی دارد. اگر اعداد حقیقی یک نظام سازگار را تشکیل بدهند، هندسه اقلیدسی هم نظامی سازگار خواهد بود.یادآوری:
سازگاری ریاضیات به مثابه یک کل مشتمل بر اعداد حقیقی، امروزه یک هدف دست نایافتنی انگاشته می شود. اثبات شده است که یک چنین سازگاری ای ناممکن است یا منجر به پیامدهای ناگوار می گردد. ما نمی توانیم این مطلب را پیگیری کنیم زیرا از محدوده این کتاب بیرون است.دوم، ریاضی دانان جهد کردند که اثبات کنند نظام های نااقلیدسی ناسازگارند. آنان نتوانستند به مقصود خویش برسند. سوم، ریاضیدانان کوشش ورزیدند که اثبات کنند نظام های هندسی نااقلیدسی سازگارند. آنان در این کوشش کامیاب شدند. در 1869، بل ترامی(56) اصطلاحات هندسه لباچفسکی را به گونه ای تعریف کرد که با آن می شد اصول موضوعه اش را مبرهن کرد یا در درون هندسه اقلیدسی به اثبات رساند. کوتاه سخن اینکه، هندسه لباچفسکی سازگار بود اگر هندسه اقلیدسی سازگار بود. معلوم شد که عین همین ماجرا در مورد هندسه ریمانی نیز صدق می کند. بر پایه سازگاری، از بین هندسه های بدیل، هیچ گونه گزینشی را نمی توان انجام داد.
ایمانوئل کانت و هندسه اقلیدسی
با بردن نام فیلسوف آلمانی ایمانوئل کانت(57)(1804-1724)، به طور مرسوم مسأله هندسه اقلیدسی تداعی می شود. یکی از آثار عمده کانت سنجش خردناب(58)(1781)متضمن بازنگری در مفهوم شناخت، به قصد نهایی دفاع از برخی دلمشغولی های کانت در پهنه اخلاق و اختیار، بود سنجش بررسی و کاوش در چیزی که کانت آن را مسأله هیومی می نامید، نیز گنجانده شده بود. کانت این را می پذیرد که برای هیوم استدلال علّی[=تعلیل] سودمند و اجتناب ناپذیر است ولی یقین آور نیست. کانت می خواهد نظامی داشته باشد با دست کم پاره ای ضرورت ها و حقایق همگانی در علوم و ریاضیات. این حقایق ضروری در اصل از تجربه ناشی نشده اند( مقدم بر تجربه اند) و می توانند به تفکیک از تجربه معلوم شوند.از جمله این حقایق مقدم بر تجربه حقایقی هستند که درباره زمان و مکان اند. زمان و مکان صوری هستند که ذهن آنها را بر داده های تجربه اعمال می کند. ذهن آدمی به گونه ای ساخته شده است که همواره تجربه را به دستاویز برخی نسبت های مکانی که به تجربه یافت نمی شوند، تفسیر می کند. این نسبت های مکانی اقلیدسی اند. هندسه اقلیدسی صورت شهود خارجی ما را تعین می بخشد. این نکته تعلیل می کند که چرا هندسه اقلیدسی تنها هندسه شناخته شده بوده است و نیز تعلیل می کند که چرا این قسم هندسه آن قدر برای مکانیک نیوتونی ضروری و حیاتی بوده است.
صورت بندی هندسه های نااقلیدسی اثبات کرد که کانت بر خطا بوده است. اینکه گفته شده است ذهن انسان به معنی محض اقلیدسی ساخته شده است، درست نیست. ذهن آدمی کاملاً قادر است برحسب مفاهیم نااقلیدسی نیز بیندیشد.
یادآوری:
بسیاری کسان از این دیدگاه کانت با توسل به قراردادگرایی(59)، که در ذیل از آن بحث خواهیم کرد، دفاع کرده اند. عجالتاً به این نکته توجه می دهیم که برحسب ظاهر دفاع از ضرورت هر گزاره ای ممکن است، اگر فرد مایل باشد که برخی مفاهیم را از نو تعریف کند و به میزان کافی فرضیه های الحاقی را بیفزاید. اگر این ها که گفتیم تحقق پیدا کند، می شود استدلال کرد که کانت در اصل درست گفته است، هر چند درباره هندسه اقلیدسی مرتکب اشتباه گردیده است.یک گزاره می تواند به دو صورت مستقل از تجربه بشود:(1)در اصل(60)از تجربه ناشی نشده باشد؛(2) از طریق تجربه نتوان از آن سلب تأیید کرد. کانت بر ضرورت گزاره های هندسی به معنی اول استدلال کرد. در اینجا او به خطا رفته است. چنانکه خواهیم دید، برخی بی نظمی ها و تجربه ها به پذیرش هندسه نااقلیدسی در نظریه نسبیت عام اینشتین منتهی شد. به معنی دوم در بالا، قراردادگرایی می تواند هر گزاره ای را از تجربه مستقل کند یا آن را به گونه ای درآورد که نشود از آن سلب تأیید کرد. حتی اگر قراردادگرایی درست باشد، استدلال کانت این نبوده است.
پیامدها
به طور کلی هم نظریه پردازان علمی و هم فلسفی از صورت بندی هندسه های نااقلیدسی دچار دلنگرانی و تشویش شدند. دست کم سه دلیل برای این واکنش منفی وجود داشت. نخست، افراد کوته فکر همیشه هنگامی که در مفاهیم سنتی مناقشه می رود، دچار تشویش می شوند. مشکل فقط این نبود که رقبایی برای اقلیدس وجود داشتند، چون ممکن بود هنوز کسانی باشند که از اقلیدس دفاع کنند. مشکل این بود که اصلاً رقیبی وجود داشته باشد. برای تقریباً دو هزار سال، اندیشمندان به هندسه اقلیدسی به عنوان هندسه ای راستین و حقیقی چشم دوخته بودند، بلکه آن را تنها صورت بندیِ ممکن از هندسه و سرمشق و مثل اعلی یقین می انگاشتند. بطور خلاصه، بشریت با فاجعه ای عقلانی روبرو شده بود.دوم، راه حل کانتی برای مشکل تصویب علم نوین، در این مورد نیوتون، همراه با باورهای سنتی به خدا، جاودانگی نفس و اختیار، بی ثمر و نافرجام بود. بدین سان، دلایلی غیرعلمی برای این دلهره وجود داشت.
سوم، صورت بندی هندسه های نااقلیدسی آخرین مرحله از هم پاشیدگی تدریجی این بینش بود که فقط گزاره های ریاضی می توانند اطلاعات مشخصی را درباره طبیعت تأمین کنند که اینها عبارت بودند از اصولی کلی یا مبادی ای که با آنها پیش بینی هایی درباره جهان امکانپذیر می شد. مراحل پیشین این از هم پاشیدگی یکی تمایزی بود که نیوتون میان یقین ریاضی و یقین فیزیکی قائل بود و دیگری تحلیل هیوم از علیت بود. ممکن است طبیعت به زبان ریاضی نوشته شده باشد، اما دقیقاً کدام زبان ریاضی، هیچ کس نمی دانست.
یادآوری:
وجه تشابه مهمی بین صورت بندی هندسه های نااقلیدسی و مفهومی که در نزد نیوتون از مکان مطلق بود، وجود دارد. قوانین حرکت نیوتون در قالب اصول متعارفه، درست همان گونه که قوانین هندسی سنتی بودند، ارائه شده بود. از این گذشته، قوانین یا اصول متعارفه حرکتْ حرکات مشهود را تبیین می کردند، اما خودشان تعمیم های استقرایی نبودند. به همین منوال، اصول موضوعه و اصول متعارفه هندسی حرکات و الگوهای مشهود را تبیین می کردند، اما اصول متعارفه خود تعمیم های استقرایی نبودند. اصول متعارفه نیوتون متضمن عناصری بود که دستگاه مرجعی(61) را مشتمل بر مکان مطلق بدیهی می انگاشت. مکان مطلق خود قابل اثبات نبود، اما نیوتون آن را با مؤیداتِ جاری تجربی نامستقیم تأیید کرد. لکن از آزمایشهای نیوتون، مشخصاً از سوی ماخ، فیزیکدان آلمانی در قرن نوزدهم، بدین علت که آنها را نمی توان از راه یک چارچوب سنجش رقیب تبیین کرد، انتقاد به عمل آمد. مثلاً، آزمایش مشهور با سطل آب، که متضمن سطح قوس داری از آب بود، از جانب نیوتون به عنوان پیامد حرکت مطلق( که حاکی از مکان مطلق بود) تبیین شد. ماخ اشکال گرفت که سطح قوس دار ممکن است بر اثر گرانش ثوابت پدید آمده باشد. اگر چارچوب های سنجش رقیبی برای اصول متعارفه فیزیک میسر باشند، چرا برای اصول متعارفه هندسه ممکن نباشند؟کدام هندسه حقیقی است؟
اگر بیش از یک هندسه وجود داشته باشد، به طور طبیعی این پرسش پیش می آید که کدام یک هندسه حقیقی است؟ این پرسش را به دوگونه می توان پاسخ داد. نخست، باید تمایز بین هندسه محض و کاربردی را نشان دهیم.اگر هندسه را به عنوان یک نظام صوری در نظر بگیریم، بدون آنکه به هیچ چیزی خارج از خودش ارجاع بشود، در این صورت از هندسه محض سخن می گوییم. یگانه پرسش معنی داری که درباره یک نظام صوری می تواند مطرح بشود این است که آیا قضایا از اصول متعارفه نتیجه می شوند یا قابل استنتاج اند. با وصف این، چون نظام محض به هیچ وجه به چیزهای خارج از خودش راجع نمی شود، اصلاً بحث حقیقت و صدق در مورد آن نمی تواند مطرح شود.
اگر قرار باشد هندسه را به عنوان یک نظام کاربردی در نظر بگیریم، می باید تفسیری از حدود این نظام به دست دهیم، از حیث آنکه این نظام گزارش هایی راجع به طبیعت دارد. پس از این، این موضوع کم و بیش واقعی و تجربی می گردد که کدام نظام حقیقی است. اما حتی در اینجا باید تمایزی را تصریح کنیم. ما می توانیم نظامی را در نظر بگیریم که کاربرد دارد، خواه اصول متعارفه آن به عنوان گزاره هایی درست یا نادرست تفسیر شده باشد یا قضایای آن به عنوان گزارش هایی درست یا نادرست تفسیر شده باشد. مثلاً، ممکن است اصول متعارفه خیلی کلی بیان شده باشند یا به گونه ای تفسیر نشده باشند که بتوانیم آنها را مستقیماً بیازماییم. ممکن است فقط بتوانیم صدق قضایای نتیجه شده را بیازماییم.
آزمایش گاوس
گاوس کوشش کرد این نظام رقیب را به معرض آزمون گذارد. در نظام اقلیدسی مفروض است که مجموع زوایای داخلی مثلث 180° است. در نظامهای نااقلیدسی، مثلث ها °180 ندارند. گاوس مثلثی را محاسبه کرد که از قله های سه کوه درست شده بود.نتیجه این آزمایشها نابسنده و بدون نتیجه قطعی بود. سنجش مثلث نشان نمی داد که ° 180 باشد، اما این سنجش آن چنان به 180° نزدیک بود که کسی دیگر می توانست این نتایج را به انحاءِ گوناگون تفسیر نماید. مثلاً، بسیار محتمل بود که، با ملحوظ کردن ضریب خطای معمول در این گونه آزمایشها، این انحراف صرفاً بازتاب آن ضریب خطا باشد. از سوی دیگر این احتمال داده می شد که نظام طبیعت نااقلیدسی است اما تفاوت در عمل بالفعل و واقعی آن چنان اندک است که باعث هیچ تفاوت عملی نمی شود.
آزمودن هندسه
برای آزمودن هندسه چندین عامل می باید ملحوظ شود. اولاً، لازم است واژه هایی نظیر«خط»، «سطح» و غیره تفسیر شوند، به گونه ای که بتوانیم بدانیم چه چیز مصداق آن واژه در جهان تجربی است. برخی اوقات ایراد گرفته شده است که چون ابزارهای سنجش ما خودشان اقلیدسی هستند، آزمایش هایمان همواره نتایجی اقلیدسی خواهند داشت. حاق مطلب این چنین نیست. ابزارهای اقلیدسی اشکال نااقلیدسی را معوج نمی کنند. ثانیاً، لازم است به وضوح مشخص شود که روال سنجش چه خواهد بود. ما باید فرض کنیم یا تضمین دهیم که ابزارهای سنجش باعث اعوجاج و تغییرشکل نخواهند شد.آزمون های عملی ثابت کرده اند که شالوده های عالم ما نااقلیدسی اند. نظریه نسبیت عام اینشتین مبتنی بر نظام هندسی نااقلیدسی( هندسه نااقلیدسی ریمان) است، اما حتی در اینجا، پاسخ ما نابسنده و غیرقطعی است. مدافع هندسه اقلیدسی هنوز می تواند از خودش دفاع کند. یک نظام هندسی حتی هنگامی که کاربرد پیدا کند، نظامی از تعاریف ضمنی، قواعدی برای تعریف پدیده ها و قواعدی برای رده بندی است. اگر پدیده ها از هنجار مقرر تخطی کنند، همیشه می توان تعاریفی همراه با اطلاعات برای تعلیل این تخطی ها، به آن نظام ضمیمه کرد. مثلاً، اگر ما در سنجش منطقه ای، که گاه ضرورت ایجاب می کند، از پرتوهای نور استفاده کنیم، می شود ایراد گرفت که پرتوهای نور به واسطه نیروهای خارجی تغییرشکل داده و اعوجاج پیدا کرده اند. حتی می توان ایراد گرفت که اجسام صلب مانند میله های فلزی(62) که در سنجش ها مورداستفاده قرار می گیرند، تغییر شکل داده اند. اگر دلیل این تغییر شکل ها را از ما بپرسند، صرفاً به پیامد هندسه نااقلیدسی اشاره می کنیم. این گونه دفاع از هندسه اقلیدسی معروف به قراردادگرایی است.
قراردادگرایی
قرارداد گرایی بینشی است که نخستین بار از طرف ریاضی دان و دانشمند فرانسوی، هانری پوانکاره(63)(1912-1854)ابراز شد. از نظر پوانکاره، دسته ای از اصول متعارفه را که فرد برمی گزیند، خواه اقلیدسی باشند یا نااقلیدسی، مفاد آن یک قرارداد یا گزینش دلبخواهی است. هندسه کاربردی با ملاحظات تجربی حل و فصل پیدا نمی کند بلکه با دسته ای از «تعاریف مکتوم»(64)سرنوشت آن معلوم می شود.تا جایی که پوانکاره اظهار می دارد که گزینش نظام های محض اصول متعارفه دلبخواهی است سخن او بر صواب است. اما او پیشتر می رود و استدلال می کند که همیشه می توان اطلاعاتی تکمیلی را یافت که نظام اقلیدسی را حفظ کنند.
یادآوری:
پیشتر خاطر نشان کرده ایم که نظریه نسبیت اینشتین مبتنی بر هندسه نااقلیدسی است. اما این تخطی ها از هندسه اقلیدسی را می توان به عوامل خارجی نسبت داد. در واقع، خود اینشتین اثبات کرد نیروی گرانشی که در نزدیکی اجرامی نظیر خورشید است می تواند سبب خمیدگی پرتوهای نور باشد. به لحاظ عملی، انحراف های فواصل کوتاه، همانند فواصل روی زمین، به طور نسبی، آن قدر جزئی و اندکند که عملاً می توان از آنها چشم پوشی کرد. برای سنجش هایی که بر روی زمین انجام می گیرد، هنوز نظام های اقلیدسی کاربرد دارند.سپس پوانکاره استدلال کرد که حتی اگر ما انحراف هایی را مشاهده کردیم، نمی توانیم به طور خودکار این انحراف ها را به خطا در نظام هندسی نسبت دهیم. هندسه در نظریه فیزیکی فقط یک مؤلّفه است و هنگامی که خطایی رخ می دهد آناً معلوم نمی شود که کدام بخش مسبب این خطا بوده است. وانگهی،اصلاً چیزی به عنوان آزمایش فیصله بخش وجود ندارد که با آن بتوان شناسایی کرد خطا از کدام بخش بوده است. در همه این موارد حق با پوانکاره است.
سومین استدلال پوانکاره این است که هندسه اقلیدسی احتمالاً مناسب ترین نظام است و بهره برداری از آن در آینده نیز ادامه خواهد یافت. این رأی او نادرست است. در واقع، تاکنون در برخی حوزه ها، به طور نمایان در نظریه نسبیت عام اینشتین، هندسه نااقلیدسی جایگزین هندسه اقلیدسی شده است.
پوانکاره برای تبیین انحرافات می توانست به عوامل منحرف کننده جهانی تمسک جوید. اما هیچ دلیل مستقلی برای چنین عواملی وجود نداشت. از قرار معلوم این تمسک صرفاً دفاعی موقت(65)از یک آموزه بود.
از این مهمتر، قراردادگرایی پوانکاره دو اشکال اساسی داشت. هیچ نظریه ای منعزل و برکنار نبود. همه نظریه ها باید در یک نظام یا در نظام هایی، گنجانیده بشوند. خیلی واضح نبود که نظریه اقلیدسی با آن تعداد فرضیه های تکمیلی الحاقی(66) بتواند بدین گونه در یک نظام یا نظامهایی گنجانیده شود، یا خیلی واضح نبود که ما همواره خواهیم توانست به اطلاعات تکمیلی دست پیدا کنیم.
اما ایراد اصلی به قراردادگرایی این است که این نظریه نامربوط می نماید. غرض سنتی که در ریاضیات و به خصوص در هندسه جستجو می شد، این بود که، این دو علم از آن چنان قدر و شأن رفیعی برخوردارند که با آن می توان مبنایی بلامنازع از اصول کلی را پی ریزی کرد و امور واقع جدید را بدون خطا پیش بینی و کشف کرد. این مبنای پیش بینیْ سبب اکتشافات گالیله بود. مبنای اصول کلیْ دکارت را برای یافتن مبادی کلی همه علوم تجهیز کرد. قراردادگرایی یک چیز و فقط یک چیز را تضمین می کند: مهم نیست که چه واقعیت هایی کشف گردیده اند، همیشه می توانیم در زبان ریاضیات تجدیدنظر کنیم که آنها را بتواند توصیف کند. لکن دیگر چیزی را که ما می توانیم توقع داشته باشیم تضمین نمی کند. از نظرگاه روش اکتشاف، ریاضیات به ابداعی زبانی مبدل می شود. دیگر ریاضیات سرچشمه سادگی، جامعیت و یقین نیست.
یادآوری:
قراردادگرایی یک قسم نوکانت گرایی(67)است، اما نوکانت گرایی ای که از تأمین چیزی که کانت در جستجوی آن بود عاجز است: پاسخ دادن به هیوم. هیوم استدلال کرد که هر پیش بینی بی آنکه یقین آور باشد، بر پایه اطلاعات پیشین صورت می پذیرد. کانت در جستجوی تأمین یقین بود. اما، ما نمی توانیم بر پایه قراردادگرایی آنچه را که اتفاق خواهد افتاد و باید اتفاق افتد، پیش بینی کنیم. فقط می توانیم به انتظار بنشینیم و ببینیم چه اتفاق می افتد، سپس برای توضیح و توصیف آن تدبیری بیندیشیم. نیز باید به یاد آوریم که نظام های رقیب در هندسه، صورت بندی هایی بدیل برای امور واقع مشهودند. این شقهای بدیل با زبان سروکار دارند نه با امور واقع.پی نوشت ها :
1.Einsteinian synthesis
2.non-Euclidean geometry
3.caloric
4.electric fluids
5.Joseph Black
6.Countrumford
7.Inquiry concerning the Source of the Heat which is excited by Friction
8.Olaf Roemer
9.instantaneous
10.particle theory
11.wave theory
12.undulation
13.propagation
14.Thomas Young
15.longitudinal vibration
16.transeverse vibration
17.Auguste Jean Fresnel
18.hypothetical entity
19.elasticity
20.density
21.slowing down
22.electromagnetic phenomena
23.J.L.Foucaut
24.rarer media
25.Michelson
26.H.C.Oersted
27.Faraday
28.Maxweel
29.field of force
30.forms of motion
31.On Faraday`s lines of force
32.reduced
33.Stark
34.Zeeman
35.Hertz
36.kinetic theory of gases
37.field theory
38.intervening medium
39.The Elements
40.codified
41.magnitude
42.postulates
43.axioms
44.Playfair`s axiom
45.Parallel postulate
46.Sacchieri
47.János Bolyai
48.N.I.Lobachevski
49.K.F.Gauss
50.B.Riemann
51.axiomatic method
52.theory of curvature
53.projective method
54.Cayley
55.Klein
56.Belterami
57.Immanuel Kant
58.Critique of Pure Reason
59.conventionalism
60.origin
61.system of refernce
62.metal rods
63. éHenri Poincar
64.concealed definitions
65.ad hoc
66.ad hoc
67.neo-Kantianism
