نظم در مجموعه‌های بی‌نهایت بزرگ

بنا بر آن‌چه ریاضی‌دان برجسته، فرانک پلامپتون رمزی، ثابت کرده است، وجود بی‌نظمیِ کامل ناممکن است. هر مجموعه‌ی بزرگی از اعداد، نقاط یا اشیا، الزاماً حاوی الگوی بسیار منظمی است.
بر طبق نوشته‌ی کتیبه‌ای مربوط به سه هزار و پانصد سال پیش، زمانی یک حکیم سومری در عهد باستان به ستارگان آسمان نگریست و یک شیر، یک گاو، و یک عقرب در آن دید. اختر شناسان امروزی به احتمال قوی هر صورت فلکی را یک مجموعه‌ی موقتی از ستارگان توصیف می‌کنند که ما زمینی‌ها آن را از کناره‌ی یک کهکشان معمولی مشاهده می‌کنیم. با این حال، اغلب رصد کنندگان ستارگان تصدیق می‌کنند که آسمان شب سرشار از صورت‌هایی است که به شکل‌های خط راست، مستطیل و پنج ضلعی دیده می‌شوند. آیا ممکن است نیروهای کیهانیِ ناشناخته‌ای عامل پیدایش این گونه نقش‌های هندسی باشند؟
ریاضیات در این زمینه توضیح قابل قبولی ارائه می‌کند. فرانک پلامپتون رمزی، ریاضی‌دان، فیلسوف و اقتصاد دان انگلیسی، در سال 1928 میلادی ثابت کرد که این گونه نقش‌ها عملاً در هر ساختار بزرگی نهفته‌اند خواه مجموعه‌ای از ستارگان باشد یا آرایه‌ای از ریگ‌ها و یا زنجیره‌ای از اعداد حاصل از انداختن تاس. مثلاً با بررسی مجموعه‌ای با تعداد کافی از ستارگان، همیشه می‌توان گروهی از آن‌ها را یافت که با تقریب بسیار خوبی یک نقش خاص پدید بیاورند: خط راست، مستطیل، یا در موردِ خاص ستارگان شکلی به صورت ملاقه. در واقع نظریه‌ی رمزی می‌گوید که هر ساختاری الزاماً شامل یک زیر ساختار (ساختار فرعی) منظم است. چنان که ریاضی‌دانی امریکایی به نام تئودور موتسکین، چهل و هفت سال پیش اعلام کرد، نظریه‌ی رمزی تلویحاً حاکی از آن است که بی نظمی کامل غیر ممکن است.
پژوهش‌گرانی که روی نظریه‌ی رمزی کار می‌کنند در پیِ آنند که دریابند چه تعدادی ستاره، عدد یا شکل لازم است تا حتماً یک زیر ساخت مطلوب با ویژگی‌های مورد نظر در آن موجود باشد. حل چنین مسائلی معمولاً ده‌ها سال طول می‌کشد و در این راه تنها استدلال هوشمندانه و ظریف کارگشاست. پژوهش‌گرانِ نظریه‌ی رمزی، ضمن جستجوی راه حل‌های ممکن، به یاری مهندسانی می‌آیند که در پیِ به‌سازیِ شبکه‌های مخابراتی و هم‌چنین شبکه‌های انتقال اطلاعات و بازیافت مواد هستند. این پژوهش‌گران ابزارهایی ریاضی نیز یافته‌اند که در سالیان آتی راهنمای دانشمندان خواهد بود. شاید مهم‌ترین مورد این باشد که پژوهش‌گرانِ نظریه‌ی رمزی در حالِ آزمودن ساختار نهایی ریاضیات هستند، ساختاری که از چارچوب جهان مادی فراتر می‌رود.
نظریه‌ی رمزی را، بر خلاف خیلی از نظریاتی که امروزه مورد توجه متخصصان است، می‌توان به طور ملموسی بیان کرد. در واقع، جذابیت نظریه‌ی رمزی تا حدی ناشی از این است که مسائل مربوط به آن را می‌توان در قالب بسیار ساده‌ای مطرح کرد. مثلاً اگر شش نفر را به طور تصادفی انتخاب کنیم، که نامشان به فرض ابراهیم، بهرام، پروین، تقی، ثریا و جواد باشد، آیا این گفته درست است که حتماً یا سه تای آن‌ها دو به دو با هم آشنایند یا سه تای آن‌ها دو به دو نا آشنا هستند؟ این مسأله که معمای مهمانی خوانده می‌شود راه حل‌های گوناگونی دارد. می‌توانیم فهرستی از همه‌ی ترکیب‌های ممکن تهیه کنیم و یکایک آن‌ها را بررسی کنیم که آیا شامل یک گروه سه تایی از آشناها یا بیگانه‌ها هستند یا نه. اما چون باید 32768 ترکیب (یعنی دو به توان پانزده ترکیب) را بررسی کنیم، این روشِ خالی از ظرافت، نه عملی است و نه هوشمندانه.خوش‌بختانه جواب را می‌توانیم از ملاحظه‌ی دو حالت ساده پیدا کنیم. در حالت اول فرض می‌کنیم ابراهیم حداقل سه نفر از سایرین، مثلاً بهرام و پروین و تقی را می‌شناسد. حالا اگر بهرام و پروین، یا بهرام و تقی، یا پروین و تقی با هم آشنا باشند آن‌گاه ابراهیم و این زوج آشنا سه نفر می‌شوند که دو به دو با هم آشنا هستند. در غیر این صورت بهرام و پروین و تقی سه نفرند که دو به دو با هم بیگانه‌اند. در حالت دوم فرض می‌کنیم ابراهیم تنها دو نفر یا کم‌تر از سایرین، مثلاً بهرام و پروین را می‌شناسد. حالا اگر تقی و ثریا، یا تقی و جواد، یا ثریا و جواد با هم نا آشنا باشند در این صورت ابراهیم و این زوج نا آشنا سه نفر می‌شوند که دو به دو با هم بیگانه‌اند. در غیر این صورت، تقی، ثریا و جواد هر سه با هم آشنا هستند. به این ترتیب تنها در شش جمله ثابت کردیم که هر مهمانیِ شش نفره حتماً شامل حداقل سه نفر دو به دو با هم آشنا، یا دو به دو با هم نا آشنا خواهد بود. ضمناً جواب معمای مهمانی، حالت خاصی از نظریه‌ی رمزی است.
با تعمیم این حالت خاص می‌توانیم صورت کامل قضیه را بیان کنیم. به جای در نظر گرفتن شش نفری که داشتیم می‌توانیم هر چند نفر، یا به طور کلی، هر تعداد شیئ داشته باشیم. ضمناً لزومی ندارد خود را به دو نوع رابطه، که در این‌جا آشنایی و نا آشنایی بود، محدود کنیم. می‌توانیم هر چند نوع رابطه‌ی متمایزی را در نظر بگیریم، مثلاً دوستی، دشمنی، و بی‌تفاوتی. حالا می‌توانیم صورت کامل قضیه‌ی رمزی را عرضه کنیم. اگر تعداد اشیا در مجموعه‌ای به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد و هر زوج از اشیا تنها یک نوع رابطه با هم داشته باشند، آن‌گاه همیشه زیر مجموعه‌ای شامل تعداد خاصی از اشیا موجود خواهد بود که رابطه‌ی بین همه‌ی زوج‌های آن یک‌سان است.
فرانک رمزی که در سال 1928 میلادی این قضیه را ثابت کرد در کمبریج (انگلستان) بزرگ شد. پدرش آرتور رمزی در کمبریج استاد ریاضیات و رئیس کالج ماگدالن بود. در سال 1925، رمزی جوان به عنوان دانش‌جوی ممتاز ریاضیات از دانشگاه فارغ التحصیل شد. اگر چه فلسفه و منطق ریاضی او را بسیار به خود مشغول می‌داشت، در زمینه‌ی اقتصاد، احتمالات، نظریه‌ی تصمیم گیری، روان شناسی شناخت و معنی شناسی (سمانتیک) نیز آثاری پدید آورده است. اندکی پس از فراغت از تحصیل، به گروهی از اقتصاد دانان به سرپرستی مینارد کینز پیوست. رمزی تنها دو مقاله در باره‌ی اقتصاد ریاضی نوشته است، ولی در آثار دیگران از هر دوی آن‌ها مکرراً مطالبی نقل شده است. منبع الهام او در فلسفه، جورج مور، لودویگ وینگنشتاین و برتراندراسل بوده‌اند. مور در جایی نوشته است: «او اندیشه‌ی فوق العاده زلالی داشت: هیچ کس بهتر از او نمی‌توانست از چنگ آن نوع سر در گمی‌هایی که حتی بهترین فیلسوفان را هم به داممی‌کشدبگریزد.» دریغا که سرانجام رمزی در سال 1930 میلادی، در سن بیست و شش سالگی بیمار شد و بر اثر عوارض ناشی از عمل جراحی شکم در گذشت.
دست‌یابی رمزی به نظریه‌ای که به نام او خوانده می‌شود دو سال پیش از مرگش رخ داد و به نوبه‌ی خود ماجرایی دارد. فکر این مطلب ضمن تلاش در اثبات قضیه‌ای که راسل و آلفرد نورث وایتهد در اثر بزرگ خود به نام پرینسیپا ماتماتیکا بیان کرده بودند به ذهن او راه یافت. آن‌ها ابراز کرده بودند که همه‌ی حقایق ریاضی را می‌توان از مجموعه‌ی فشرده‌ای از اصول موضوع استخراج کرد. (اصول موضوع، حکم‌هایی هستند که درستی آن‌ها بدون اثبات پذیرفته می‌شود و سایر حکم‌ها بر اساس آن‌ها ثابت می‌شود.) داوید هیلبرت، ریاضی‌دان آلمانی، ضمن گسترش اندیشه‌ی آن‌ها اظهار داشته بود که باید دستور العملی موجود باشد برای تعیین این که هر قضیه‌ی مفروض از یک مجموعه‌ی خاص از اصول به دست می‌آید یا نه. رمزی نشان داد که چنین دستور العملی برای یک حالت خاص وجود دارد. (چند سال بعد، کورت گودل و در پی او الن تورینگ، ریاضی‌دان انگلیسی، و دیگران به طور قطعی نشان دادند که در حالت عمومی چنین دستور العملی وجود ندارد.)

رمزی این قضیه را به عنوان اولین قدم در اثبات حات خاص، ثابت کرد. بعداً معلوم شد که این کار را از راه‌های دیگر هم می‌توانسته انجام دهد. رمزی قضیه‌ای را ثابت کرده بود که چندان به درد اثبات اصلی نمی‌خورد و در حالت کلی اصلاً قابل اثبات نبود. اوضاع به همین قرار باقی ماند تا سال 1933 میلادی که دو ریاضی‌دان مجارستانی به نام‌های پُل اردیش و گئورگ سِکِرِس نظریه‌ی رمزی را دو باره کشف کردند. جلب توجه گروه وسیعی از اعضای جامعه‌ی ریاضی به این نظریه تا حد زیادی مرهون کار این دو ریاضی‌دان است. در آن هنگام اردیش دانشجوی نوزده ساله‌ای در دانشگاه بوداپست بود، و سکرس لیسانس مهندسی شیمی خود را از دانشگاه صنعتی بوداپست گرفته بود. آن دو به همراه گروهی از هم‌دوره‌ای‌های خود هر یک‌شنبه در پارک یا مدرسه جمع می‌شدند تا در باره‌ی ریاضیات صحبت کنند. در یکی از دیدارهای زمستان 1933 یکی از دانشجویان به نام استر کلاین جمع را به حل کردن مسأله‌ی غریبی فرا خواند: اگر پنج نقطه روی صفحه‌ای واقع باشند چنان که هیچ سه نقطه‌ای روی یک خط راست واقع نشود، ثابت کنید که همیشه چهار تا از این نقاط یک چند ضلعیِمحدبمی‌سازند. (واژه‌یمحدبدراین جابه معنیشکلهندسیبرآمده‌ایاستازنوعشش ضلعی و نه از نوع ستاره‌ی پنج پر. دقیق‌تر بگوییم، چند ضلعی را در صورتی محدب گویند که هر پاره خطی که بین رأس‌هایش کشیده شود درون آن قرار گیرد.) کلاین پس از آن که مدتی به دوستانش مهلت داد تا با مسأله کلنجار بروند، اثباتی عرضه کرد. اردیش و کلاین به زودی توانستند تعمیمی برای مسأله بیابند. آنان متوجه شدند که پنج نقطه از نه نقطه‌ی واقع در صفحه، همیشه یک پنج ضلعی محدب پدید می‌آورند. سپس آن دو مسأله‌ی تازه‌ای مطرح کردند: اگر تعداد نقاطی که در یک صفحه واقعند یک به اضافه‌ی دو به توان k-2 باشد که در آن k برابر است با 3 یا 4 یا 5، یا الی آخر، آیا همیشه می‌توان kنقطه را طوری اختیار کرد که تشکیل یک k ضلعی محدب بدهند؟
سکرس در یادداشتی، صحنه‌ی ماجرا را ترسیم کرده است: «خیلی زود متوجه شدیم که کار با یک اثبات ساده و سرسری تمام نمی‌شود و از این که نوع تازه‌ای از مسائل هندسی از جمع ما بیرون آمده بود دچار هیجان شده بودیم.» سکرس با شور و شوق ثابت کرد که همیشه عددی مثل n وجود دارد به طوری که اگر n نقطه در صفحه موجود باشد چنان که هیچ سه تایی بر یک راستا نباشند، بتوان k نقطه اختیار کرد که یک k ضلعی محدب تشکیل دهند. به عبارت دیگر، با داشتن تعداد نقاط کافی، همیشه می‌توان مجموعه‌ای یافت که چند ضلعی خاصی را پدید آورد. سکرس ضمن اثبات این مطلب، قضیه‌ی رمزی را مجدداً کشف کرد، هر چند هیچ یک از اعضای گروه بر این نکته واقف نبود.
در سال 1932 میلادی، اردیش و سکرس نتایجی را که یافته بودند منتشر کردند، اما نه آن‌ها و نه هیچ کس دیگر تاکنون نتوانسته‌اند حدس اردیش را در مورداین کهدقیقاًn=1+2k-2 نقطه کفایت می‌کند ثابت کنند. اردیش غالباً از این اثری که مشترکاً با سکرس منتشر کرد به عنوان مقاله‌ی خوش یُمن یاد می‌کرد، زیرا کمی پس از انتشار آن سکرس و کلاین ازدواج کردند. اردیش بعدها به سطح پر بازده‌ترین ریاضی دان قرن بیستم ترقی کرد. توجه اردیش به این نظر رمزی که هر ساختارِ به اندازه‌ی کافی بزرگ، الزاماً شامل زیر ساختار منظمی با یک اندازه‌ی معلوم است جلب شد. اما دقیقاً معلوم نبود که این ساختار چقدر باید بزرگ باشد تا حتماً شامل زیر ساختار خاص مورد نظر باشد. به این ترتیب اردیش کار روی نوعی معمای مهمانی را آغاز کرد. در این نوع از مسأله، به جای شش نفر شش رأس داریم. برای سهولت، رأس‌ها روی صفحه طوری رسم می‌شوند که هیچ سه تایشان بر یک راستا نباشند. این رأس‌ها به وسیله‌ی یال‌هایی که رنگشان به نوع رابطه‌ی بین دو نفر بستگی دارد به هم وصل می‌شوند. یال قرمز به معنی آشنایی بین دو نفر است و یال آبی به معنی آن است که دو نفر یک دیگر را نمی‌شناسند. پس اگر سه نفر دو به دو آشنا باشند، یال‌های رسم شده بین رأس‌ها مثلث قرمزی تشکیل می‌دهند و اگر سه نفر دو به دو بیگانه باشند یک مثلث آبی تشکیل می‌شود. در این حال، معمای مهمانی را به این صورت نیز می‌توان بیان کرد: آیا درست است که اگر هر یال بین شش رآس به دل‌خواه قرمز یا آبی رنگ شود، همیشه یک مثلث قرمز یا آبی وجود خواهد داشت؟
مسأله‌ی مورد مطالعه‌ی اردیش، صورت تعمیم یافته‌ی این مسأله بود. او شبکه‌ی کامل را به عنوان تعدادی رأس تعریف کرد که همه به وسیله‌ی یال‌هایی به یک دیگر وصل شده‌اند. سپس به جستجوی کوچک‌ترین شبکه‌ی کاملی برآمد که اگر به دل‌خواه قرمز و آبی رنگ آمیزی شود، حتماً شامل یک شبکه‌ی کامل سه رآسی به رنگ آبی یا قرمز خواهد بود. جواب، شبکه‌ی کاملی با شش رأس است. این مسأله و جوابش را ساده‌تر هم می‌توان بیان کرد. عدد رمزی برای سه قرمز و سه آبی، برابر با شش است.
اما در مورد عدد رمزی برای پنج قرمز و سه آبی چه می‌توان گفت؟ به عبارت دیگر، کوچک‌ترین شبکه‌ی کامل کدام است برای آن که وقتی به دل‌خواه قرمز و آبی رنگ آمیزی شود حتماً شامل شبکه‌ی قرمزی با پنج رأس یا شبکه‌ای آبی با سه رأس باشد؟ عدد رمزی برای پنج قرمز و سه آبی عدد چهارده است. اثبات درستی این جواب، بعدها، یعنی در سال 1955 میلادی، یافته شد.
محاسبه‌ی اعداد رمزی به طور بارزی دشوار است. تلاش چندین نسل از ریاضی‌دانان و کامپیوترها تنها منجر به یافتن هفت عدد رمزی شده است. (اعداد رمزی طبق تعریف عبارتند از کوچک‌ترین مقادیر n به طوری که در هر گروه n رأسی، یا یک گروه j رأسیشبکه‌یکاملیازیال‌هایقرمز تشکیل دهند،یایکگروهk رأسیشبکه‌یکاملیازیال‌هایآبیایجادکنند. نمودارهاییکه در این رابطه ترسیم می‌شود نشان می‌دهند که هر عدد رمزی به چه بزرگی‌ای باید باشد. اولین نمودار مربوط به نمایش پنج رأس می‌شود که به وسیله‌ی یال‌های قرمز و آبی به هم وصل می‌شوند چنان که هیچ سه نقطه‌ای یک شبکه‌ی کامل قرمز یا شبکه‌ی کامل آبی تشکیل نمی‌دهند. پس، از نمودار مربوط به آن بر می‌آید که عدد رمزی برای سه قرمز و سه آبی باید بزرگ‌تر از پنج باشد. به همین ترتیب می‌توان گفت که نمودار دوم نشان دهنده‌ی آن است که عدد رمزی برای سه قرمز و چهار آبی، بزرگ‌تر از هشت است. با روش‌های پیچیده‌تر دیگری می‌توان ثابت کرد که عدد رمزی برای سه قرمز و سه آبی شش است و عدد رمزی برای سه قرمز و چهار آبی نُه است. ثابت کرده‌اند که عدد رمزی برای سه قرمز و هشت آبی بزرگ‌تر از بیست و هفت و کوچک‌تر یا مساوی با بیست و نه است. چند سال پیش ثابت شد که این مقدار بیست و هشت است هرچند صحت اثبات قطعی نبود.) اردیش برای نشان دادن میزان دشواری محاسبه‌ی اعداد رمزی، اغلب این لطیفه را ذکر می‌کرد: غریبه‌هایی کره‌ی زمین را تسخیر و تهدید می‌کنند آن را ظرف یک سال نابود خواهند کرد مگر آن که انسان‌ها بتوانند عدد رمزی را برای پنج قرمز و پنج آبی پیدا کنند. در این حال بهترین متفکران و سریع‌ترین کامپیوترها به کار گرفته می‌شوند و احتمالاً ظرف یک سال عدد مطلوب به دست می‌آید. اما اگر این غریبه‌ها عدد رمزی برای شش قرمز و شش آبی را بخواهند چاره‌ای نخواهیم داشت جز این که در حمله به آنان پیش قدم شویم.
با این حال، اردیش راهی یافت برای آن که معلوم شود هر عدد رمزی حدوداً به چه بزرگی باید باشد. اما اگر شبکه‌ی کامل بزرگی یافته شود که شبکه‌ی سه رأسی قرمز یا شبکه‌ی سه رأسی آبی در آن موجود نباشد، چه نتیجه‌ای می‌توان گرفت؟ از این جا معلوم می‌شود که عدد رمزی برای سه قرمز و سه آبی باید بزرگ‌تر از پنج باشد. عدد پنج یک کران پایینی برای این عدد رمزی است. (هر کران پایینی مجموعه‌ای از اعداد، عددی است که از هر عدد مجموعه کوچک‌تر یا با آن مساوی است.) در سال 1947 میلادی اردیش روشی غیر عادی برای یافتن کران پایینی هر عدد رمزی پیشنهاد کرد: پرتاب سکه. او آزمایشی خیالی ترتیب داد که در آن هر یال از شبکه‌ی کاملی که مثلاً یک میلیون رأس دارد بر اساس نتیجه‌ی پرتاب سکه‌ی سالمی تعیین می‌شود. اگر نتیجه خط باشد یال قرمز، و اگر شیر باشد یال آبی فرض می‌شود. وی سپس کوشید نشان دهد که عدد رمزی مثلاً برای سی و چهار قرمز و سی و چهار آبی بزرگ‌تر از یک میلیون است. اگر اصلاً شبکه‌ی آبی سی و چهار رأسی یا شبکه‌ی قرمز سی و چهار رأسی حاصل نشود نتیجه‌ی آزمایش مثبت تلقی می‌شود.
اما تا چه حد می‌توان به یافتن این نتیجه مطمئن بود؟ هر شبکه‌ی سی و چهار رأسی شامل شش‌صد و پنجاه و یک یال است که این رأس‌ها را به هم وصل می‌کنند. اگر با اولین پرتاب سکه معلوم شود که اولین یال آبی است، آن‌گاه شش‌صد و پنجاه پرتاب دیگر هم باید نتیجه‌ی آبی بدهند تا یک شبکه‌ی آبی به دست آید. احتمال وقوع این وضع، نیم به توان پانصد و شصت و یک است. احتمال تشکیل شبکه‌ی قرمز هم همین قدر است. پس احتمال کلی دو برابر، یعنی تقریباً دو ممیز شش ضرب در ده به توان منفی صدو شصت و نه است. از طرف دیگر تعداد مجموعه‌های سی و چهار رأسی در یک میلیون رأس برابر است با
1000000×999999×…×999967÷(34×33×…×2×1)
که حدوداً برابر است با سه و چهار دهم ضرب در ده به توان صد و شصت و پنج. پس از بین همه‌ی شبکه‌های کامل سی و چهار رأسی، احتمال یک رنگ بودن برابر است با
(3.4×10165)×(2.6×10-169)
یا تقریباًٌ یک هزارم. پس در نود و نه و نه دهم درصد از موارد، آزمایش خیالی نتیجه‌ی مثبت می‌دهد و هیچ شبکه‌ی سی و چهار رأسی یک رنگی پدید نمی‌آید.
اردیش در این جا از یک از یک برهان خلف ظریف استفاده کرد. او گفت اگر به فرض هیچ یک از طرح‌های رنگ آمیزی نتیجه‌ی مثبت ندهد (یعنی همیشه یک شبکه‌ی سی و چهار رأسی یک رنگ پیدا شود)، احتمال مثبت بودن نتیجه‌ی آزمایش خیالی باید صفر باشد، در حالی که با توجه به محاسبات فوق، اردیش می‌دانست چنین نیست. پس این فرض نادرست استو حتماً باید یک رنگ آمیزی مطلوب وجود داشته باشد (نه صرفاً به احتمال نود و نه و نه دهم درصد، بلکه با تعیین مطلق). وجود یک رنگ آمیزی مطلوب به معنی آن است که یک میلیون، یک کران پایینی برای عدد رمزی مربوط به سی و چهار قرمز و سی و چهار آبی است. (به عبارت دیگر، وجود حتی یک رنگ آمیزی مطلوب (فاقد شبکه‌ی سی و چهار رآسی یک‌رنگ) به معنی آن است که تعداد رأس‌ها باید از این یک میلیون بیش‌تر باشد.) این طرز استدلال که به عنوان روش احتمالاتی شناخته شده است بهترین نتایج را در مورد یافتن کران‌های پایینی اعداد رمزی داده است. اما روش احتمالاتی هیچ سرنخی راجع به ساختار واقعی رنگ آمیزی مطلوب به دست نمی‌دهد. طی کوششی که برای ایجاد این رنگ آمیزی‌ها صورت گرفت، شیوه‌های گوناگونی از نظریه‌ی اعداد، نظریه‌ی مجموعه‌ها و سایر شاخه‌های ریاضیات به کار بسته شد. نتایج به دست آمده، اگرچه به هر حال جالب است، ولی هنوز با نتایجی که از راه پرتاب سکه حاصل می‌شود قابل مقایسه نیست.
گرچه بسیاری از کارهای اولیه در زمینه‌ی نظریه‌ی رمزی بر مجموعه‌های نقاط و خطوط متمرکز شده است، تعدادی از نخستین مسائل به مجموعه‌های اعداد مربوط می‌شده است. در واقع، ریاضی‌دانی هلندی به نام بارتل ل. وان در وردن، پیش از آن که رمزی قضیه‌ی خود را ثابت کند به حل این گونه مسائل پرداخته است. در سال 1962 میلادی، وان در وردن به مسأله‌ی غریبی در باره‌ی تصاعدهای حسابی برخورد. چنان که می‌دانیم، تصاعد حسابی زنجیره‌ای از اعداد است که تفاضل هر دو جمله‌ی متوالی آن مقدار ثابتی است. مثلاً رشته‌ی 7، 5، 3 یک تصاعد حسابی سه جمله‌ای است که در آن تفاضل بین جمله‌های متوالی دو است. حالت خاصی از مسأله که توجه وان در وردن را به خود جلب کرد چنین بود: اگر هر یک از اعداد صحیح از یک تا نُه، روی کاغذی به یکی از دو رنگ قرمز یا آبی چاپ شود آیا می‌توان گفت که همیشه سه عدد قرمز یا سه عدد آبی تصاعدی حسابی تشکیل می‌دهند؟ جواب این سؤال را ارائه می‌دهیم:
هر تصاعد حساب رشته‌ای از اعداد است که در آن تفاضل بین جمله‌های متوالی مفدار ثابتی است. مثلاً 16، 13، 10، 7 یک تصاعد حسابی است که تفاضل بین جمله‌های متوالی آن سه است. این قضیه در مورد تصاعدهای حسابی، از نظریه‌ی رمزی حاصل می‌شود: اگر هر عدد از 1 تا 9 را به یکی از دو رنگ قرمز یا آبی در آوریم، یا سه عدد قرمز یا سه عدد آبی یک تصاعد حسابی تشکیل خواهند داد. برای اثبات این ادعا می‌توانیم همه‌ی پانصد و دوازده حالت ممکن برای رنگ آمیزیِ نُه عدد را بررسی کنیم. ولی ادعای فوق را تنها با در نظر گرفتن دو حالت هم می‌توان ثابت کرد. ابتدا حالتی را در نظر می‌گیریم که 4 و 6 هم‌رنگ و مثلاً آبی باشند (آ نشانه‌ی آبی و ق نشانه‌ی قرمز است): 9، 8، 7، 6(آ)، 5، 4(آ)، 3، 2، 1. برای آن که تصاعدِ حسابیِ آبی رنگِ 6، 5، 4 تشکیل نشود 5 را قرمز می‌کنیم: 9، 8، 7، 6(آ)، 5(ق)، 4(آ)، 3، 2، 1. برای آن که تصاعدهای حسابی آبی رنگ 6، 4، 2 و نیز 8، 6، 4 تشکیل نشود 2 و 8 را به رنگ قرمز در می‌آوریم: 9، 8(ق)، 7، 6(آ)، 5(ق)، 4(آ)، 3، 2(ق)، 1. اما با این کار تصاعد حسابی قرمز رنگِ 8، 5، 2 ایجاد می‌شود. پس اگر 4 و 6 هم‌رنگ باشند همیشه یک تصاعد حسابی سه جمله‌ای هم رنگ وجود دارد. سپس حالتی را در نظر می‌گیریم که 4 و 6 ناهم‌رنگ باشند مثلاً 4 قرمز و 6 آبی باشد. عدد 5 را می‌توانیم به دل‌خواه، قرمز یا آبی کنیم بدون آن که تصاعدی تشکیل شود. در این جا 5 را قرمز می‌کنیم: 9، 8، 7، 6(آ)، 5(ق)، 4(ق)، 3، 2، 1. سپس اعداد دیگر را برای جلوگیری از ایجاد تصاعد به این صورت رنگ آمیزی می‌کنیم:(3 آبی برای جلوگیری از تشکیل تصاعد قرمزِ 5، 4، 3)(9 قرمز برای جلوگیری از تشکیل تصاعد آبیِ 9، 6، 3)(7 آبی برای جلوگیری از تشکیل تصاعد قرمز 9، 7، 5)(8 قرمز برای جلوگیری از تشکیل تصاعد آبی 8، 7، 6)(2 آبی برای جلوگیری از تشکیل تصاعد قرمز 8، 5، 2)(1 قرمز برای جلوگیری از تشکیل تصاعد آبیِ 3، 2، 1) در نتیجه، رشته اعداد رنگ شده به این صورت در می‌آید: 9(ق)، 8(ق)، 7(آ)، 6(آ)، 5(ق)، 4(ق)، 3(آ)، 2(آ)، 1(ق). اما می‌بینیم که در این رشته، تصاعد هم‌رنگِ 9، 5، 1 وجود دارد. پس چه 4 و 6 هم‌رنگ باشند و چه نباشند، همواره یک تصاعد حسابی هم‌رنگ وجود دارد.
وان در وردن کوشید تا به این تعمیم برسد: اگر n عدد صحیحِ به اندازه‌ی کافی بزرگی باشد و اگر هر عدد صحیح از 1 تا n به دل‌خواه به یکی از دو رنگ معین چاپ شود، آن‌گاه همواره تصاعد حسابی یک‌رنگی با تعداد معینی جمله وجود خواهد داشت. این قضیه را می‌توان قضیه‌ی رمزی برای تصاعدهای حسابی قلمداد کرد ولی عموماً از آن به عنوان قضیه‌ی وان در وردن یاد می‌شود. وان در وردن نوشته است که در این مورد با دو تن از هم‌کارانش مشترکاً تلاش کرده و پس از جستجوی فراوان و آزمودن راه‌های مختلف سرانجام به راه حلی دست یافته‌اند. وان در وردن به زودی دریافت که اثبات این قضیه برای دو رنک الزاماً باید با اثبات آن برای هر تعداد رنگ هم‌زمان باشد.

وان در وردن در اثبات قضیه، نوع حاصی از استقرای ریاضی را به کار برد. روش معمولی که استقرای ضعیف خوانده می‌شود دو مرحله دارد. ابتدا ثابت می‌شود که قضیه برای یک مقدار کوچک، مثلاً برای دو، صادق است. سپس اثبات می‌شود که اگر قضیه برای مقداری صادق باشد برای عددِ یکی بیش‌تر هم صادق خواهد بود. به عبارت دیگر برای سه، چهار، الی آخر نیز صدق خواهد کرد. نتایج به طور پیاپی مثل سقوط متوالی مهره‌های دومینو حاصل می‌شوند. وان در وردن استقرای قوی را به صورت ابزار ظریف‌تری برای اثبات قضیه‌ی رمزی در مورد تصاعدهای حسابی به کار برد. او فرض کرد که به ازای هر تعداد معینی از رنگ‌ها عددی مثل n وجود دارد چنان که اگر هر عدد صحیح از 1 تا n به یکی از این رنگ‌ها چاپ شود یک تصاعد حسابی تک‌رنگ مثلاً با 10 جمله موجود باشد. وی سپس توانست به این نتیجه برسد که به ازای هر تعداد معینی از رنگ‌ها یک عدد m وجود دارد که اگر هر عدد صحیح از 1 تا m به یکی از این رنگ‌ها چاپ شود تصاعد حسابی یک‌رنگی با 11 جمله موجود خواهد بود. او نشان داد که به طور کلی، دانستن نتیجه برای k جمله و هر تعداد رنگ منجر به پذیرفتن نتیجه برای k+1 جمله و هر تعداد رنگ می‌شود.وقتی وان در وردن در اثبات خود به این مرحله رسید، کافی بود ثابت کند که نتیجه برای یک مقدار کوچک k صدق می‌کند. اگر تعداد عددهای صحیح یکی بیش‌تر از تعداد رنگ‌ها باشد آن‌گاه همواره دو عددِ هم‌رنگ وجود دارد. این دو عدد صحیح یک تصاعد حسابی دو جمله‌ای می‌سازند. پس اگر تعداد اعداد صحیح یکی بیش‌تر از تعداد رنگ‌ها باشد همیشه یک تصاعد حسابی یک‌رنگ با دو جمله موجود خواهد بود. از نتیجه‌ی مربوط به هر تعداد رنگ و دو جمله می‌توان قضیه را برای هر تعداد رنگ و سه جمله و سپس برای هر تعداد رنگ و چهار جمله و الی آخر تعمیم داد.
وان در وردن پس از اثبات قضیه‌ی رمزی برای تصاعدهای حسابی، به سراغ این مسأله رفت: کوچک‌ترین مقدار n چقدر است برای آن که اگر اعداد صحیح 1 تا n به دل‌خواه به یکی از دو رنگ معین چاپ شوند حتماً یک تصاعد حسابی شامل 10 جمله پدید آید؟ بهترین جوابی که وان در وردن می‌توانست پیدا کند آن‌قدر بزرگ بود که آن را با علائم معمولی نمی‌توان ثبت کرد. این عدد بزرگ‌تر از یک میلیارد و بزرگ‌تر از ده به توان یک میلیارد بود. ریاضی دانان برای نمایش این نتایج، زنجیره‌ای از توابع را که سلسله‌ی آکرمان خوانده می‌شود به کار می‌برند. اولین تابع این سلسله DOUBLE (X) است . چنان که از معنی کلمه در زبان انگلیسی بر می‌آید این تابع عددX را دو برابر می‌کند. پس DOUBLE (1)می شود 2 و DOUBLE (50) می‌شود 100. تابع دوم، EXPONENT (X)، را می‌توان به صورت 2 به توان X نشان داد و بنا بر این EXPONENT (3) می‌شود 8. ضمناً تابع EXPONENT را می‌توانیم بر حسب تابع DOUBLE هم بیان کنیم. مثلاً برای یافتن EXPONENT (3) عدد 1 را دو برابر می‌کنیم و مجدداً نتیجه را دو برابر می‌کنیم. در واقع هر تابع از سلسله‌ی آکرمان بر حسب تابع قبل از خود تعریف می‌شود. بنا بر این سومین تابع این سلسله یعنی TOWER (X) را می‌توان بر حسب تابع EXPONENT بیان کرد. مثلاً TOWER (3) برابر است با 2 به توان 2 به توان 2 که برابر است با 2 به توان 4 یعنی 16. ضمناً TOWER (X) را می‌توان به صورت برجی از نماها نوشت (توجه کنید که واژه‌ی TOWER در انگلیسی به معنی برج است) که در آن تعداد 2های برج، X است. اما حتی تابع TOWER (X) هم سرعت زیاد شدنش آن قدر نیست که بتواند نتایج وان در وردن را بیان کند.
تابع بعدی که به صورت WOW (X) نوشته می‌شود با شروع از 1 و X بار استفاده از تابع TOWER ساخته می‌شود. بنا بر این: WOW (1)=TOWER (1)=2 و WOW (2)=TOWER (2)=4 و WOW (3)=TOWER (4)=65546. برای یافتن WOW (4) باید TOWER (65546) را محاسبه کنیم. برای این منظور از 1 شروع می‌کنیم و تابع EXPONENT را 65536 بار به کار می‌بریم. اگر فقط پنج بار تابع EXPONENT را به کار بریم نتیجه 265536 می‌شود که برابر است با عددی که رقم‌هایش چهار صفحه‌ی مجله را پر می‌کند. در واقع حتی اگر عددی همه‌ی صفحات هر کتاب و همه‌ی حافظه‌های هر کامپیوتری را پر کند هنوز با WOW (4) قابل مقایسه نیست.
به این ترتیب برای بیان نتایج وان در وردن لازم است تابعی با سرعت رشد بیش از این تعریف شود. تابع آکرمان (ACKERMAN) به وسیله‌ی رشته توابع WOW (4)، TOWER (3)، EXPONENT (2)، BOUBLE (1) الی آخر تعریف می‌شود. تابع آکرمان نهایتاً از همه‌ی توابع این سلسله فراتر می‌رود. اثبات وان در وردن به این نتیجه‌ی عددی منتهی شد: اگر اعداد صحیح ِ ACKERMAN (K)، ...، 2، 1 دو رنگی باشند، آن‌گاه همواره یک تصاعد حسابی یک رنگ K جمله‌ای موجود خواهد بود.
این موضوع خیلی عجیب به نظر می‌رسید که چنین اعداد غول آسایی از یک مطلب به ظاهر ساده، که صرفاً به تصاعدهای حسابی مربوط می‌شد، به دست آید. طی سال‌های متمادی ریاضی‌دان‌ها کوشیدند تا اثبات وان در وردن را تکمیل کنند. با زیاد شدن موارد شکست کم کم این فکر قوت گرفت که استقرای قوی و تابع آکرمان مربوطه، اجزای ضروری هر اثباتی از قضیه‌ی وان در وردن هستند. منطق دانان هم تلاش روز افزونی به خرج دادند تا ثابت کنند که واقعیت به همین قرار است. در سال 1987 منطق دانی به نام شارون شلاه از دانشگاه عبری اورشلیم به موفقیت چشم گیری دست یافت. شلاه را یکی از قوی‌ترین مسأله حل کن‌های ریاضیات نوین می‌دانند. او توانست با اثبات این حکم از سد توابع آکرمان بگذرد: اگر اعداد صحیحِ WOW (K)، ...، 2، 1 به دو رنگ چاپ شوند، آن‌گاه همیشه باید یک تصاعد حسابی تک رنگ K جمله‌ای موجود باشد. شلاه با وجود آشنایی قبلی با منطق ریاضی، در اثبات این حکم، به هیچ وجه از این رشته‌ی تخصصی خود استفاده نکرد. در اثبات او فقط مطالب ابتدایی ریاضیات (البته به نحوی بسیار هوشمندانه) به کار رفته است. متن کامل این اثبات شاید حدود چهار صفحه بشود و اغلب کارشناسان آن را روشن‌تر از اثبات اولیه‌ی وان در وردن می‌دانند. مهم‌ترین نکته این است که او از به کار بردن استقرای قوی احتراز کرده است. او تعداد رنگ‌ها را مشخصاً دو (یا عدد معین دیگری) در نظر می‌گیرد و سپس از یک استقرای ضعیف استفاده می‌کند: اگر قضیه برای تصاعدهای K جمله‌ای درست باشد برای تصاعدهای K+1 جمله‌ای نیز صادق خواهد بود.
ریاضی دان‌ها سرگرم کنکاش روی اثبات شلاه هستند تا معلوم کنند آیا می‌توان آن را بیش‌تر اصلاح کرد آن گونه که یک تابع TOWER یا حتی تابع EXPONENT از آن برای قضیه‌ی وان در وردن نتیجه شود. جایزه‌ای به مبلغ هزار دلار برای اثبات یا رد این قضیه در نظر گرفته شده است که به ازای هر عدد K، اگر اعداد TOWER (K)، ...، 2، 1 به دو رنگ چاپ شوند، آن‌گاه حتماً یک تصاعد حسابی یک‌رنگِ K جمله‌ایبایدتشکیلمی‌شود.
حاصل کار رمزی، اردیش، وان در وردن و بسیاری دیگر، پایه‌های نظریه‌ی رمزی را تشکیل داده است. پژوهش‌گران هنوز در آغاز راه جستجوی نتایج فرعی این نظریه هستند. از این یافته‌ها چنین بر می‌آید که بخش عظیمی از ساختار اساسی ریاضیات شامل اعداد و مجموعه‌های فوق العاده عظیم و اشیای غول آسایی است که نمایش آن‌ها دشوار و تجسم آن‌ها به مراتب دشوارتر است. ضمن سر و کار یافتن با این اعداد بزرگ شاید بتوانیم رابطه‌هایی پیدا کنیم که مهندسان را در ساختن شبکه‌های عظیم مخابراتی یاری دهد یا برای تشخیص الگوهای موجود در سیستم‌های فیزیکیِ بزرگ مقیاس به درد دانشمندان بخورد. امروزه به عنوان یکی از نتایج نظریه‌ی رمزی، به راحتی می‌توانیم صورت‌های فلکی را در آسمان شب تشخیص دهیم. راستی آیا در مجموعه‌هایی که ACKERMAN (9) بار بزرگ‌ترند چه الگوهایی می‌توان یافت؟