نویسنده: ژاک بدیان(1)
مترجم: عبدالحسین مصحفی
مترجم: عبدالحسین مصحفی
ژاپنی‌ها در برابر واژه‌ی حسابان واژه‌ی «ینری» (2) به مفهوم «نظریه‌ی دایره» را به کار می‌برده‌اند. بنابر نقل‌قول‌های نسل به نسل و تا اندازه‌ای دقیق، سه کی کووا (3) (1642-1708) بنیان‌گذار روش ینری بوده است. شگفت این که سال تولد او همان سال تولد نیوتن بوده است. روش ینری را برای به دست آوردن طول کمانی از دایره و از راه تشکیل یک سری نامتناهی و محاسبه‌ی حد آن به کار می‌برده‌اند. کمان داده شده را به 2، 4، 8، ...، و به طور کلی به
کمان با هم برابر تقسیم می‌کرده و حد مجموع وترهای این کمان‌ها را به تقریب به دست می‌آورده‌اند. برای توضیح، مثالی را که تاکی‌بی، (4) شاگرد سه‌کی، در حدود 1722 منشر کرده همراه با شکلی که به کار برده است، شکل [21] -1 نقل می‌کنیم.
تاکی‌بی وتر برابر با هم را در کمان داده شده محاط می‌کند، آن‌گاه رابطه‌ی بازگشتی (5) را به کار می‌برد، یعنی طول هر وتر را از روی طول وتر پیش از آن (با حساب کردن طول امین وتر از روی طول
امین وتر) به دست می‌آورد. پس از آن و بنابر آن‌که d طول قطر و s ارتفاع کمان AB باشد، برای توان دوم نصف طول کمان AB فرمول نامتناهی زیر را به دست می‌آورد که با نمادها و نشانه‌های امروزی نوشته شده است:
چگونگی محاسبه‌ها و عمل‌ها بیان نشده است و مثال‌ها در حالت‌های ویژه و با مقدارهای عددی معلوم به کار رفته‌اند. مآخذ معتبری در دست نیست تا معلوم شود تا کی‌بی خودش پدید آوردنده‌ی این فرمول بوده است. بیشتر به نظر می‌رسد آن را از متنی که نویسنده‌ی چینی مئی(6) در سال 1713 منتشر کرده است برگرفته باشد. این متن تعدادی از سری‌هایی را در بر داشته که اعضای میسیون یسوعی‌ها (7) به سرپرستی پیر ژارتو (8) با خود به چین آورده بودند. مدرک‌هایی در دست است که معلوم می‌کند ژارتو با لایب‌نیتس مکاتبه داشته است.
تاکی‌بی همچنین از راه محاسبه‌ی محیط ضعلی منتظم محاط در دایره‌ی به قطر یک، به محاسبه‌ی مقدار تقریبی پرداخته است. مثال زیر نمودی از روش محاسبه‌ی او را نشان می‌دهد. او محیط
ضلعی‌های منتظم محاطی را به ترتیب با a، b و c نشان داده و به دست آورده است: آن‌گاه بدون آن‌که ثابت کند یا توضیحی بدهد بهترین تقریب را مقدار p از رابطه‌ی زیر دانسته است:
از این رابطه و با توجه به مقدارهایی که در بالا برای a،bوc به دست آمده، مقداری که برای p به دست می‌آید برابر است با
و تنها تا 9 رقم پس از ممیز آن صحیح است. خود تاکی‌بی ادعا داشته مقدار تقریبی که از رابطه [2] به دست آورده تا 41 رقم پس از ممیز صحیح است.
[ یادداشت. ریاضیدان بزرگ ایرانی جمشید کاشانی، بیش از دویست سال پیش از سه‌کی و نزدیک به سیصد سال پیش از تاکی‌بی، محیط ضلعی‌های محاطی و محیطی دایره‌ی به قطر یک را به ترتیب برای مقدارهای 1، 2، 3، ...، از n حساب کرد و هر بار میانگین دو مقدار به دست آمده را یک مقدار تقریبی دانست. او این فرایند را تا ، یعنی تا ضلعی‌های محاطی و محیطی تکرار کرد و مقداری تقریبی را برای به دست آورد که تا 16 رقم پس از ممیز دقیق بود. کاشانی در آن موقع رکوردی را به دست آورد که تا «172» سال پس از او بدون رقیب ماند.
جمشید کاشانی با به کار بردن روشی ابتکاری، که گونه‌ای از آن را امروزه روش تکرار (9) (= روش از سرگیری) می‌نامند، به حل مسئله‌ی سینوس یک درجه هم، که سده‌ها سال دامنگیر ریاضیدانان بود، روی آورد و مقداری تقریبی را برای آن به دست آورد که در دستگاه عدد نویسیِ دهگانی تا رقم نهم پس از ممیز دقیق بود. برای آگاهی کامل بر کارهای همگی برجسته‌ی کاشانی به کاشانی‌نامه تألیف شادروان ابوالقاسم قربانی رجوع شود. این نکته هم یادآوری می‌شود که در حدود بیش از دویست سال پس از کاشانی، ریاضیدان آلمانی کونیکس (10) روش از سرگیری را برای حل «معادله‌ی کپلر»، (11) به صورت "u-e sinu=M" به کار برد.]
کمان با هم برابر تقسیم می‌کرده و حد مجموع وترهای این کمان‌ها را به تقریب به دست می‌آورده‌اند. برای توضیح، مثالی را که تاکی‌بی، (4) شاگرد سه‌کی، در حدود 1722 منشر کرده همراه با شکلی که به کار برده است، شکل [21] -1 نقل می‌کنیم.تاکی‌بی
وتر برابر با هم را در کمان داده شده محاط می‌کند، آن‌گاه رابطه‌ی بازگشتی (5) را به کار می‌برد، یعنی طول هر وتر را از روی طول وتر پیش از آن (با حساب کردن طول
امین وتر از روی طول
امین وتر) به دست می‌آورد. پس از آن و بنابر آن‌که d طول قطر و s ارتفاع کمان AB باشد، برای توان دوم نصف طول کمان AB فرمول نامتناهی زیر را به دست می‌آورد که با نمادها و نشانه‌های امروزی نوشته شده است:
چگونگی محاسبه‌ها و عمل‌ها بیان نشده است و مثال‌ها در حالت‌های ویژه و با مقدارهای عددی معلوم به کار رفته‌اند. مآخذ معتبری در دست نیست تا معلوم شود تا کی‌بی خودش پدید آوردنده‌ی این فرمول بوده است. بیشتر به نظر می‌رسد آن را از متنی که نویسنده‌ی چینی مئی(6) در سال 1713 منتشر کرده است برگرفته باشد. این متن تعدادی از سری‌هایی را در بر داشته که اعضای میسیون یسوعی‌ها (7) به سرپرستی پیر ژارتو (8) با خود به چین آورده بودند. مدرک‌هایی در دست است که معلوم می‌کند ژارتو با لایب‌نیتس مکاتبه داشته است.تاکی‌بی همچنین از راه محاسبه‌ی محیط
ضعلی منتظم محاط در دایره‌ی به قطر یک، به محاسبه‌ی مقدار تقریبی
پرداخته است. مثال زیر نمودی از روش محاسبه‌ی او را نشان می‌دهد. او محیط
ضلعی‌های منتظم محاطی را به ترتیب با a، b و c نشان داده و به دست آورده است: 
آن‌گاه بدون آن‌که ثابت کند یا توضیحی بدهد بهترین تقریب را مقدار p از رابطه‌ی زیر دانسته است:
از این رابطه و با توجه به مقدارهایی که در بالا برای a،bوc به دست آمده، مقداری که برای p به دست می‌آید برابر است با
و تنها تا 9 رقم پس از ممیز آن صحیح است. خود تاکی‌بی ادعا داشته مقدار تقریبی که از رابطه [2] به دست آورده تا 41 رقم پس از ممیز صحیح است.[ یادداشت. ریاضیدان بزرگ ایرانی جمشید کاشانی، بیش از دویست سال پیش از سه‌کی و نزدیک به سیصد سال پیش از تاکی‌بی، محیط
ضلعی‌های محاطی و محیطی دایره‌ی به قطر یک را به ترتیب برای مقدارهای 1، 2، 3، ...، از n حساب کرد و هر بار میانگین دو مقدار به دست آمده را یک مقدار تقریبی
دانست. او این فرایند را تا ، یعنی تا
ضلعی‌های محاطی و محیطی تکرار کرد و مقداری تقریبی را برای
به دست آورد که تا 16 رقم پس از ممیز دقیق بود. کاشانی در آن موقع رکوردی را به دست آورد که تا «172» سال پس از او بدون رقیب ماند.جمشید کاشانی با به کار بردن روشی ابتکاری، که گونه‌ای از آن را امروزه روش تکرار (9) (= روش از سرگیری) می‌نامند، به حل مسئله‌ی سینوس یک درجه هم، که سده‌ها سال دامنگیر ریاضیدانان بود، روی آورد و مقداری تقریبی را برای آن به دست آورد که در دستگاه عدد نویسیِ دهگانی تا رقم نهم پس از ممیز دقیق بود. برای آگاهی کامل بر کارهای همگی برجسته‌ی کاشانی به کاشانی‌نامه تألیف شادروان ابوالقاسم قربانی رجوع شود. این نکته هم یادآوری می‌شود که در حدود بیش از دویست سال پس از کاشانی، ریاضیدان آلمانی کونیکس (10) روش از سرگیری را برای حل «معادله‌ی کپلر»، (11) به صورت "u-e sinu=M" به کار برد.]
پی نوشت ها :
1- Jack Bedient.
2- Yenri.
3-.Seki Kowa
4- .Takebe
5- .recursion relation
6- Mei.
7- Jesuit missionary.
8- Pierre Jartouux.
9- iteration method .
10- .Koenigs
11- Kepler equation .
