انتگرال معین

از دید تاریخی، به دست آوردن مساحت ناحیه ای از صفحه ی محورهای مختص های عمود بر هم که بین محورxها، خط x=a و منحنی نمایش تابع y=f(x) واقع باشد، به کار بردن قاعده ای انجامید که با فرض a<b، امروزه انتگرال معین از a تا b نامیده می شود (شکل [23]-1) ناحیه به تعدادی نامتناهی مستطیل هایی با عرض بی نهایت کوچک dx و به بلندی y تقسیم می شود (شکل [23]-2) و مساحت ناحیه از جمع مساحت های مستطیل ها به دست می آید. این مجموع با انتگرالی به شکل ، برگرفته از شکل حرف لاتین s (= نخستین حرف از واژه ی لاتین summa به معنی مجموع)، نموده می شود و آن را به صورت یکی از دو شکل

می نویسند که در آن، a و b دو کران ناحیه را می نمایانند و یا به صورت ساده تر
. شکل نمادی انتگرال معین بالا خوانده می شود «انتگرال از a تا bی ydx.» این نماد انتگرال را نخستین بار لایب نیتس در 1675 در دستنوشته ای به جای "omn.1" به صورت
به کار برد و به مفهوم «مجموع همه ی 1ها» بود . واژه ی انتگرال را هم نخستین بار یاکوب برنولی در 1690 به کار برد. نماد
را هم که برای مفهوم مجموع یابی به کار می رود، و حرف بزرگ کتابی سیگما از الفبای یونانی است، لایب نیتس به کار برد و چنین نوشت: اگوستن لویی کوشی در آغاز دهه ی نوزدهم در راستای گسترش مفهوم «حد» نظریه ی «جدید» انتگرال را بنیان گذارد. به ازای تابع y=f(x)، که در بازه ی [a,b] پیوسته است، مجموع حاصل ضرب های زیر را در نظر گرفت.
که مطابق با شکل [23]-3،

هرگاه تفاضل که i می تواند 1، 2، 3، ...، و یا n باشد، کوچک شود و تا صفر تنزل کند، مقدار Sn سرانجام به مقداری حدی مثل s می رسد. این مقدار s را، که یکتاست و به تابع داده شده ی f(x) و به دو مقدار a و b بستگی دارد، «انتگرال معین» می نامند.
اگرچه نماد f(x) به همان معنی تابع به کار می رود، اما x که در آن خودنمایی می کند، اگر گمراه کننده نباشد زاید است. نظریه ی مجموعه ها که در نیمه ی دیرتر سده ی نوزدهم روی کارآمد، تجدید نظر در تعریف ها را به دنبال داشت. بنابر تعریف جدید، تابع تناظری بین دو مجموعه ی A و B است و با یک حرف تنهای f، g، یا ... نموده می شود. تابع f که از مجموعه ی A در مجموعه ی B تعریف شده باشد، هر عضو x از مجموعه ی A را تنها با یک عضو از مجموعه ی B نظیر می سازد که این عضو را با f(x) نشان می دهند. نماد f(x) را «مقدار تابع به ازای x» می نامند. انتگرال معین با تابع f و دو کران a و b کاملاً مشخص می شود و از این رو کافی و دقیق است که آن را با نماد نشان دهیم. بیش از نیم سده است که این گونه نمایش انتگرال معین کاربرد گسترده یافته است.

پی نوشت ها :

1- definite integral.
2- .A. R. Lovaglia

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..