تابع های متقارن

تابعی متقارن از دو متغیر یا بیشتر، تابعی است که در صورت تعویض هر دو متغیر، تأثیری نبیند. شاید معمول ترین تابع های متقارن، آن هایی اند که در نظریه ی مقدماتی معادلات با آن ها روبه رو می شویم که در آن برای معادله ی درجه ی سوم

داریم

این سه تساوی اخیر، ضرایب معادله ی درجه سوم را به عنوان تابع هایی از ریشه ها؛ یعنی بیان می کنند.
وقتی فرانسوا ویت نخستین کشفیات تجربی خود درباره ی تابع های متقارن را در سده ی شانزدهم به عمل آورد، درک درست ریشه های یک معادله ی جبری تا حد زیادی به دلیل فهم ناکافی از اعداد منفی و موهومی ناکامل بود. خود ویت تنها با ریشه های مثبت کار می کرد. وی متوجه شد که اگر معادله یrc="00302743.jpg" /> دو ریشه ی مثبت و داشته باشند، آنگاه
1)
 2)
همچنین، بنا به گفته ی کاژوری:
نزدیک ترین رویکرد او به تشخیص کامل این حقیقت ها در این حکم نهفته است که معادله ی

سه ریشه ی w,v,u دارد. برای معادله های درجه سوم، این حکم بدون نقص است، هرگاه w,u,v مجاز باشند که هر عددی را نشان دهند. اما ویت بنا به عادت تنها مقادیر مثبت را برای حروف در نظر می گرفت، به طوری که از این گفتار در حقیقت کمتر از آنچه در بدو امر به نظر می رسد مراد می شود.
آلبر ژیرار علاقه داشت که نتیجه ی ویت را توسیع دهد. وی همه ی ریشه ها و حتی آن هایی را که وی «غیرممکن»(یعنی موهومی)نامید علاوه بر ریشه های منفی و مثبت در نظر گرفت. او مجموع حاصل ضرب های آن ها را در حالی که دو به دو در نظر گرفته می شدند (شبیه به ویت 1)، در بالا) و سپس سه به سه (شبیه به ویت2)، در بالا)، و به همین ترتیب الی آخر بررسی کرد.
اما ژیرار به دست آوردن عبارت هایی برای مجموع های توان های مفروضی از ریشه ها نیز علاقه مندبود، این مجموع ها در مقایسه با آن ها که اساساً ویت پیشگام آن ها بود، مجموعه ای متفاوت از تابع های متقارن تشکیل می دادند. ژیرار نتایج خود را در 1629 در آمستردام در جزوه ای با عنوان اختراعی نوین در جبر(2) منتشر کرد که این حکم را در خود داشت که اگر

 آن گاه
ژیرار این نتیجه را تا حدی به صورت گذرا بیان کرد. شاید به این دلیل و شاید به دلیل این که ریاضیدانان سده ی هفدهم آمادگی نداشتند، به تذکر ژیرار تا ظهور مجدد آن، بدون برهان در حساب عمومی نیوتن (1707) که به اشتهار آن انجامید، اعتنایی نشد. این نتیجه همچنین به یکی از چند قضیه ای بدل شد که «قضیه ی نیوتن» نامیده می شوند.
چند سالی پس از نیوتن، ریاضیدانان متعددی، از جمله کالین مک لورن، لئونهارت اویلر و ژوزف لوئی لاگرانژ، به برهان ها و تعمیم های این قضیه پرداختند.

پی نوشت ها :

1. Dorothy wolfe
2. Invention nouvelle en l’algebre

منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385