نویسنده: موریس کلاین
مترجم: محمد دانش
مترجم: محمد دانش
برای خلق زیبایی
می توان ادعا کرد که ریاضیات محض، با این پیشرفت های اخیرش، جالب ترین آفریده ی ذهن انسان است.آلفرد نورث وایتهد
در دوره ی مدرن، عمق و پیچیدگی تأثیرهای ریاضی بیشتر شده است. می توانیم هر یک از زمینه های معرفت بشری را که تماس نزدیکی با ریاضیات دارد در یکی از دوره ها برگزینیم و استمرار و توسعه ی آن رشته را تا روزگار خود پیگیری کنیم. اما برای به دست دادن شرحی جامع از رابطه ی ریاضی با هنر، علم، فلسفه، منطق، علوم اجتماعی، مذهب، ادبیات و حجم عظیمی از دیگر فعالیت ها و علایق عمده ی انسانی هم به مجالی کافی لازم داریم و هم به زمانی کافی- که ما هم متأسفانه از هر دو بی بهره ایم. به هر حال، امیدوارم برای جا انداختن تزِ اصلی این منبع همین مقاله - این تز که ریاضیات نقش حیاتی و سرنوشت ساز در شکل گیری فرهنگ مدرن داشته - به اندازه ی کافی استدلال و شاهد آورده باشم.
ولی از کنار یک موضوع با بی اعتنایی گذشته ایم. چهارچوب درونی ریاضیات شاخه ای زنده و شکوفا از فرهنگ ماست. پیشرفت چندهزار ساله پیکره ای خیره کننده از اندیشه ها ایجاد کرده است که ویژگی های اساسی آن بر هیچ شخص تحصیل کرده ای پوشیده نیست. هر چند ماهیت ریاضیات معاصر تا حدی تحت الشعاع کارهای یونانیان قرار گرفته، رویدادهایی که در قرون متعاقب آن ها به وقوع پیوست و به ویژه آفرینش هندسه ی غیر اقلیدسی نقش و سرشت موضوع ریاضیات را اساساً دگرگون کرده است. مروری در ماهیت ریاضیات قرن بیستم نه فقط تصور و خطای ما را جبران می کند، بلکه شاید نشان دهد که چرا ریاضیات چنین قدرت و اهمیتی یافته است.
ریاضیات پیش از هر چیز دیگر یک روش است. این روش در تاروپود هر شاخه ی ریاضیات، مثل جبر اعداد حقیقی، هندسه ی اقلیدسی، یا هر گونه از هندسه ی غیر اقلیدسی نهفته است. جنبه های بارز و بر جسته ی این روش با بررسی ساختار مشترک این شاخه ها روشن خواهد شد.
هر شاخه یا سیستم ریاضیات به مجموعه مفاهیمی می پردازد که با آن در ارتباط اند؛ مثلاً موضوع هندسه ی اقلیدسی نقطه، خط، مثلث، دایره و امثال آن هاست. تعاریف دقیق مفاهیم نهفته در یک سیستم مهم ترین زیر بنایی است که روبناهای ظریف و پیچیده بر آن بنا می شود. متأسفانه، نمی توان تمام مفهوم ها یا اصطلاح ها را تعریف کرد بی آن که در دام تسلسل بی پایان تعاریف گیر نیفتاد. درست است که معانی اصطلاحات تعریف نشده با مثال های فیزیکی نموده می شوند، جمع را که یکی از اصطلاحات تعریف نشده ی جبری است می توان با در نظر گرفتن تعداد گاوهایی توضیح داد که با تشکیل یک گله واحد از دو گله ی متمایز به دست می آید اما چنین تبیین هایی که بر حسب مفاهیم فیزیکی صورت می گیرند از جنس ریاضیات نیستند؛ چرا که موضوع آن ها منطقاً مستقل و متکی به خود است. البته، شکی نیست که با توسل به مفاهیم تعریف نشده می توان برخی مفاهیم را تعریف کرد؛ درست همان طور که «دایره» را می توان بر حسب نقطه و صفحه و فاصله تعریف کرد: دایره مجموعه ی تمامی نقاط است واقع در یک صفحه که فاصله ی ثابتی از یک نقطه ی معین دارند.
اگر بعضی از اصطلاحات تعریف نشده باشند و تصاویر و فرایندهای فیزیکی که ما به عادت با این اصطلاحات همراه می کنیم بخشی از ریاضیات، به معنای دقیق کلمه، نباشند، از چه فاکت هایی در خصوص آن ها می توانیم سود جوییم تا استدلال خود را قوت بخشیم؟ پاسخ این است: از اصول موضوعه ی بدیهی کمک باید گرفت. این احکام که هم اصطلاحات تعریف شده را در برمی گیرد و هم اصطلاحات تعریف نشده، و ما هم بدون هیچ برهانی آن ها را می پذیریم، تنها شالوده ی محکمی هستند که می توانیم با تکیه بر آن ها هر نتیجه ای را در مورد مفاهیم مورد نظر بیرون بکشیم.
اما چگونه می دانیم که کدام اصول بدیهی را باید بپذیریم، به خصوص وقتی این نکته را هم لحاظ کنیم که آن ها اصطلاحاتی تعریف نشده را شامل می شوند؟ آیا مَثَل ما مَثَل سگانی نیست که تنها سر در پی دم خویش دارند؟ تا جایی که به اصطلاحات تعریف نشده مربوط می شود، تجربه معمولا پاسخ گوست. انسان اصول موضوعه ی حاکم بر روابط اعداد و اصول هندسه ی اقلیدسی را از آن رو پذیرفته است که تجربه اش از مجموعه های اجسام و اشکال فیزیکی این اصول را تأیید می کند؛ در این جا نیز باید حواسمان جمع باشد که تجربه ی فیزیکی را بخشی از زبان ریاضیات محض در نظر نگیریم. ریاضیات کار خود را با بیان اصول موضوعه شروع می کند و اصلاً هم برایش مهم نیست این اصول را از کجا آورده است. تا قرن نوزدهم، تجربه تنها منبع اصول موضوعه بود. اما دیدیم که وقتی از اصل توازی ای غیر از اصل توازی اقلیدس استفاده کردیم، مشعل هندسه ای غیر اقلیدسی زبانه کشید. این جور وقت هاست که ریاضی دانان آزادانه برخلاف تجربه عمل می کنند.
اگرچه اصول موضوعه ی هندسه ی غیراقلیدسی مغایر با تجربه های معمول افراد به نظر می رسد، از این اصول قضایایی نتیجه شده که در دنیای فیزیکی کاربرد دارد. با توجه به این واقعیت به نظر می رسد که دامنه ی انتخاب اصول موضوعه گسترده است ولی این نکته فقط بخشی از حقیقت است، زیرا، به هر حال، اصول موضوعه در هر شاخه از ریاضیات باید با هم سازگار باشند؛ و اگر نتیجه ای جز اغتشاش حاصل نخواهد آمد. انسجام تنها به این معنی نیست که اصول با یکدیگر متناقض نباشند، بلکه، درعین حال، این اصول نباید به قضایایی منجر شوند که متناقض یکدیگر باشند.
در اوایل قرن بیستم، بر اهمیت اثبات سازگاری بیش از هر زمان دیگری تأکید شد. مادام که ریاضی دانان اصول موضوعه و قضایای خود را حقایق مطلب درنظر می گیرند، این را به خواب شب خویش هم نمی دیدند که تناقض بتواند جز از راه منطق وارد شود. طبیعت سازگار است و، از آن جا که ریاضیات در اصول موضوعه اش حقایق طبیعت را بازگو می کند و به کمک قضایایش حقایق بیشتر و بیشتری هم استنتاج می کند (خواه این حقایق با را بتوان بلافاصله دید خواه نتوان)، ریاضیات هم باید سازگار باشد. بااین حال، با پدید آمدن هندسه ی غیر اقلیدسی، ریاضی دانان متوجه شدند که باید روی پای خود، و نه طبیعت، بایستند. آن ها طبیعت را ثبت و گزارش نمی کنند، بلکه آن را تفسیر می کنند و هر تفسیر نه تنها ممکن است خطا باشد، بلکه چه بسا ناسازگار هم باشد. به مسئله سازگاری ضمن بحث از نقش کانتور در عالم ریاضیات تأکید کردیم.
این که چگونه تعیین کنیم، در فلان مجموعه از اصول موضوعه، هیچ اصلی متناقض با دیگری نیست، شاید از طریق بررسی مستقیم آن ها شدنی باشد. اما چگونه می توانیم از این بابت مطمئن باشیم که هیچ یک از صدها قضیه ای که از این اصول قابل استنتاج اند با یکدیگر تناقض نخواهند داشت؟ پاسخ به این سؤال بحثی طولانی می طلبد و، در هر حال، باید اعتراف کرد که درحال حاضر کاملاً جواب قانع کننده ای در دست نداریم. بیشتر کارهای اخیر در ریاضیات در جهت اثبات سازگاری بسیاری از رشته های ریاضی است. با این حال، ریاضی دانان، حداقل تاکنون، در تلاش های بی وقفه ی خود برای این که اثبات کنند سیستم ریاضی مشتمل بر اصول موضوعه و قضایای حاکم بر سیستم معمول اعداد حقیقی سازگار است یا نه ناکام مانده اند. این وضعیت بسیار بغرنجی است. در سال های اخیر، خدای ریاضیات، یعنی صدق، جایش را به سازگاری داده است و اینک این احتمال وجود دارد که این خدا نیز شاید وجود نداشته باشد.
اصول موضوعه ی یک شاخه از ریاضیات، علاوه براین که باید با یکدیگر سازگار باشند، باید ساده نیز باشند. دلیل این لزوم روشن است. از آن جا که اصول بدون برهان پذیرفته می شوند، باید نسبت به آنچه در موردش توافق داریم دقیقاً آگاهی داشته باشیم. آنچه این آگاهی و تسلط را تضمین می کند، سادگی (1) است. مرجع است، هر چند لازم نیست که اصول موضوعه ی یک سیستم ریاضی مستقل از یکدیگر باشند؛ یعنی نتوان یک اصل موضوعه را از اصل یا اصول موضوعه ی دیگر «استنتاج» کرد. آن اصول موضوعه ای که می توانند استنتاج شوند بهتر است قضیه در نظر گرفته شوند، زیرا به این ترتیب تغداد احکام یا جملاتی که بی برهان پذیرفته می شوند به حداقل ممکن می رسد. سرانجام، این نکته را نیز باید درنظر داشت که اصول موضوعه ی یک سیستم ریاضی باید ثمربخش(2) باشند؛ یعنی باید همچون بذرهایی که به دقت برگزیده شده اند محصول با ارزشی به بار آورند، زیرا یکی از اهداف راستین فعالیت ریاضی به دست آوردن دانش و بینشی است که در اصول بدیهی نهفته است. نقش اقلیدس در ریاضیات از آن رو با ارزش است که وی با انتخاب مجموعه ساده ای از اصول موضوعه، صدها قضیه پدید آورد.
حال فرض کنید که ریاضی دان مجموعه ای از اصول موضوعه پیدا کرده که تمام شرایط لازم و کافی را برآورده می کند؛ سؤال این است که چگونه ریاضی دان می فهمد کدام قضیه ها را باید اثبات کند و چگونه کمر به اثبات آن ها می بندد؟ بهتر است این پرسش ها را جداگانه مورد توجه قرار دهیم.
برای به دست آوردن قضیه های ممکن، منابع بسیاری وجود دارد. ثمربخش ترین این منابع تجربه است. تجربه ای که با مثلث های حقیقی یا فیزیکی بسیاری از نتایج محتمل را در مورد مثلث های ریاضی درخود دارد. پس استنتاج از اصول موضوعه یا این نتایج را به کرسی قضایای ریاضی می نشاند یا اعتبار آن ها را ساقط می کند. البته تجربه را دراین جا به معنای توسعه یافته ی کلمه باید درک کرد. مشاهدات تصادفی گاهی چهره ی قضایای محتملی را آشکار می کند. مسائل علمی ای که در آزمایشگاه ها و رصدخانه ها مطرح می شوند و نیز مسائل هنری مربوط به ترسیم عمق بر سطح مستوی نطفه ی قضایای دقیقی را منعقد کرده اند.
تا حد زیادی هم خود ریاضیات مسائل خاص خود را پدید می آورد. بسیاری از قضیه های ممکن در واقع تعمیم مسائلی هستند در باب اعداد و اشکال هندسی. مثلاً هر کسی که با اعداد صحیح بازی کرده باشد بی تردید دیده است که حاصل جمع نخستین دو عدد فرد، یعنی 3+1، مربع عدد دو است؛ حاصل جمع نخستین سه عدد فرد، یعنی 5+3+1، مربع عدد سه است، و همین طور است در مورد حاصل جمع نخستین چهار عدد فرد، نخستین پنج عدد فرد و نخستین شش عد فرد و...می بینیم محاسبه ای این قدر ساده به حکمی کلی منجر می شود - یعنی به این حکم که حاصل جمع نخستین n عدد فرد، که n می تواند هر صحیح مثبتی باشد، برابر است با مربع n. البته، این قضیه از راه محاسبه ی بالا ثابت نمی شود. چنین محاسبه های ساده ای هرگز نمی توانند چنین احکامی را ثابت کنند، زیرا هیچ انسان فانی ای نمی تواند مجموعه ی نامتناهی ای از این محاسبات را انجام دهد تا نتیجه ی لازم را به «ازای هر n » به دست آورد. با این حال، این جور محاسبات زمینه ای برای کار ریاضی دان فراهم می کند.
به مورد دیگری از تعمیم به عنوان سرچشمه ای برای تولید قضایا توجه کنید. مثلث چند ضلعی است که تنها سه ضلع دارد. در هندسه ی اقلیدسی مجموع زاویه های یک مثلث 180 درجه است. آیا طبیعی نیست در پی این بر آییم که آیا قضیه ای عام در مورد مجموع زوایای چند ضعلی وجود دارد یا نه؟ پاسخ را قضیه ای بسیار کهن داده است. مجموع زاویه های هر چند ضلعی (بر حسب درجه) برابر است با حاصل تفریق دو از تعداد ضلع های آن چند ضلعی ضرب در 180 درجه.
پیش از این دیدیم که این مسئله صرفاً منطقیِ استنتاجِ اصل توازی اقلیدس از اصولی قابل قبول تر به هندسه ی غیر اقلیدسی منجر شد. وقتی ایده ی چنین هندسه هایی درک شد، ریاضی دانان با جست و جوی قضایای مشابه و هم ترازی که در هندسه ی اقلیدسی برقرار بود، به پیدایش قضایای بسیاری در هندسه ی نااقلیدسی دامن زدند. مثلاً در پی این برآمدند که در هندسه غیراقلیدسی، کدام قضیه است که مشابه این قضیه ی اقلیدسی باشد که مجموع زاویه های یک چهار ضلعی 360 درجه است؟
این اشارات اندک دراین خصوص که چگونه ریاضی دان می فهمد کدام قضیه ها را باید اثبات کنند فقط یک روی سکه است. حتی اگر سرچشمه های تصادفی به دست آوردن قضیه ها، از قبیل شانس محض، حدس و گمان و آزمون و خطا، را ذکر کنیم، باز هم به باارزش ترین منبع اشاره ای نکرده ایم - تخیل، شهود، و بینش نابغه ی خلاق. چه بسیار آدم ها که مدت ها به یک چهار ضلعی خیره شده اند بی آنکه در یابند اگر نقاط میانی این چهار ضلعی را به هم متصل کنند، شکلی که حاصل می شود مستطیل است (شکل 1). چنین معرفت و دانشی محصول منطق نیست، بلکه برق سریع بینش است.
این که «چه چیز» را باید اثبات کنیم بلافاصله ما را به این جا می کشاند که «چگونه» باید اثبات کنیم. ریاضی دان ممکن است از بررسی واقعیت های معلوم، دریک حوزه، به این نتیجه برسد که اثبات قضیه ای ممکن است. اما تا وقتی که برهانی استنتاجی در مورد آن قضیه ارائه نکرده است، نه می تواند در مورد آن اظهار نظری کند و نه می تواند آن را به کار برد. تمیز میان برهان یک قضیه و این که آن قضیه باید برقرار باشد با مثال های کلاسیک بسیاری روشن می شود. یونانیان سه مسئله مشهور تضعیف مکعب، تثلیث زاویه و تربیع دایره را به کمک تنها خط کش و پرگار مطرح کرده بودند. تا دو هزار سال ریاضی دان های بسیاری معتقد بودند که ترسیم این سازه ها با شرایط بیان شده غیر ممکن است. اما برهان قاطعی برای رد آن ها نداشتند تا آن که سرانجام در قرن نوزدهم چنین برهانی ارائه شد و، درنتیجه، آن مسائل حل شده تلقی شدند.
مثال عالی یک حدس که صدقش هم تردید ناپذیر به نظر می رسد این است که هر عدد زوجی حاصل جمع دو عدد اول است. یادآوری می کنیم که عدد اول عدد صحیحی است که تنها بر خود و یک قابل قسمت باشد؛ به این ترتیب 13 اول است، اما 9 اول نیست. بنابراین حدس، 2 عبارت است از حاصل 1+1؛ 4 می شود حاصل 2+2؛ 6 می شود حاصل 3+3؛ 8 می شود 5+3؛ 10 می شود 7+3 و الی آخر. می توانیم این آزمون را تا ابد ادامه دهیم، و خواهیم دید که در هر مورد حدس ما درست است. با این اوصاف، حدس بالا قضیه ای در ریاضیات نیست؛ چرا که تا کنون هیچ برهانی برای آن ارائه نشده است.
شکی نیست که هر قضیه باید با استدلال استنتاجی از اصول موضوعه ثابت شود و حقیقت هم این است که ریاضی دانان هزاران سال است در پی چنین برهان هایی هستند. وقتی در گفت و گوهای هر روزه ی خود از تعابیری مثل «دقت ریاضی» و «وضوح ریاضی» استفاده می کنیم، عملاً داریم به احترام این غواصی خستگی ناپذیر در طلب یقین سر تعظیم فرو می آوریم.
پس از آن که فهمیدیم چه چیزهایی را باید اثبات کنیم، هنوز کارهای ریاضی بسیاری هست که باید انجام دهیم تا بلکه به روش های برهان دست یابیم. این حرف به گوش کسی که با مسائل هندسه دست و پنجه نرم کرده باشد حرفی آشناست؛ چون در این گونه مسائل به دانش آموز گفته شده چه چیزی را باید اثبات کند؛ و آنچه از او انتظار دارند این است که بتواند تازه از همین جا شروع کند. برای پیدا کردن روشی برای طراحی برهان نیز ریاضی دان باید از تخیل و بینش و توانایی خلاقه اش کمک گیرد؛ چنان که برای تشخیص آنچه باید اثبات کند به این قوا متوسل می شود. او باید تشخیص دهد که از چه راه هایی می تواند به مسئله نقب بزند و این چیزی نیست که از پسِ هر کسی بر آید؛ همچنین، باید از این قدرت ذهنی و روانی بهره مند باشد که تا راه حل را پیدا نکرده از نبرد با مسئله کناره نگیرد. ازاین که در ذهن او، وقتی که کار می کند، چه می گذرد، ما چیزی نمی دانیم؛ درست همان طور که نمی دانیم دقیقاً چه فرایندهای روانی و ذهنی ای کیتس را برمی انگیخت تا شعری زیبا بسراید یا آن که مثلاً چرا دست و مغز رامبران(3) قادر بود آن چنان نقاشی هایی بیافریند که از چنان ژرفای روان شناختی ای بهره مند باشند. ما نمی توانیم نبوغ را تعریف کنیم. تنها می توانیم این را بگوییم که توانایی خلاق در ریاضیات کیفیت های ذهنی ای می طلبد که تن به معیارهای معمولی نمی دهند.
آیا با پیش بینی یک قضیه و سپس اثبات آن، ریاضی دان به راستی چیز تازه ای آموخته است؟ نکته ی مهم این جاست که بیش از هر چیز ریاضی دان تنها آنچه خود در اصول پذیرفته شده اش بر آن صحه گذاشته، بیرون کشیده است؛ زیرا تمامی نتایجی که او می گیرد منطقاً در آن اصول موضوعه وجود دارد. ریاضی دانان اصول موضوعه ای را می پذیرند و سپس صدها سال را صرف استنتاج قضایایی می کنند که در واقع چیزی نیستند مگر بازگویی پر طمطراق همان اصول. به قول ویتگنشتاین(4) فیلسوف، ریاضیات فقط یک همان گویی (5) عظیم است.
اما چه عظمتی! این نکته بی شک درست است که ساختار منطقی ریاضیات را به «همان گویی» توصیف کنیم، اما چنین تعبیری همان قدر اطلاع دهنده است که بگوییم «ونوس میلو» (6) یک زن عظیم الجثه است. وقتی ریاضیات را «همان گویی» بدانیم، در واقع تلویحاً گفته ایم که انتخاب مجموعه ای از اصول موضوعه شبیه خرید یک قطعه زمین معدن خیز است. به این تعبیر که تمامی ثروت در آن جاست. اما چنین توصیفی حفاری های سخت و صبورانه را، تفکیک دقیق فلز باارزش از سنگ باطله را، ارزش و زیبایی گنجینه ی به دست آمده را، و نیز شادی و نشاط از یافتن نتیجه ی مطلوب را در نظر نمی گیرد.
حدس و اثبات قضیه ها ساختار رشته ها و شاخه های ریاضیات را کامل می کند. هر یک از این شاخه ها اصطلاحات تعریف شده و تعریف نشده، اصول موضوعه و نیز قضایایی را که بر اساس آن اصول ثابت شده اند در خود دارد. تحلیل یک سیستم ریاضی ساختار ریاضی اعداد و ساختار هر یک از انواع هندسه ها را آشکار می کند. به این ترتیب، به نظر می رسد که چنین تحلیلی ماهیت راستین ریاضیات را نشان می دهد. اما درک کامل تر این موضوع به تحقیقی اندکی ژرف تر نیاز دارد.
هر سیستم ریاضی اصطلاحات تعریف نشده ای دارد، مثل کلمات «نقطه» و «خط» در سیستم هندسی. ضمن بحث از هندسه های غیراقلیدسی، دریافتیم که می توانیم معانی ای فیزیکی برای کلمه ی «خط» قائل شویم که با ریسمان کشیده شده ای که ریاضی دانان به هنگام ساختن چنین هندسه هایی در ذهن دارند تفاوت قابل توجهی دارد. همین که می توانیم چنین دامنه ی آزادی را درمورد اصطلاحات تعریف نشده و تفسیرهایی ظاهراً غیر مجاز را در مورد آن ها در نظر بگیریم، اهمیت فوق العاده ی وجود اصطلاحات تعریف نشده را در یک سیستم ریاضی آشکار می کند.
بهتر است لحظه ای ریاضیات را وا بگذاریم و سری به قلمرو دیپلماسی بزنیم که خصلت منطقی اش کمتر است. فرض کنید سیاستمداری در یک کنگره ی بین المللی با وظیفه ی تشکیل کمیته هایی برای انجام وظایف گوناگون رو به روست و به این نتیجه می رسد که در تشکیل این کمیته ها شرایط زیر باید برقرار باشد:
الف) هر دو کشور حداقل باید در یک کمیته حضور داشته باشند.
ب) هر دو کشور نیابد در بیش از یک کمیته حضور داشته باشند.
ج) هر دو کمیته باید حداقل در یک کشور مشترک باشند.
د) هر کمیته باید از حداقل سه کشور تشکیل شده باشد.
گرچه این شرایط در نظر سیاستمدار عاقلانه می آید، وی نگران است که مبادا به نتایج نامطلوبی منجر شود که آن ها را پیش بینی نکرده است. در نتیجه، با ریاضی دانی مشورت می کند و ریاضی دادن بلافاصله نتایج ممکن را به او یادآور می شود:
1)هر ترکیب خاص از دو کشور باید دریک و تنها یک کمیته پدید آید.
2) هر دو کمیته در یک کشور و تنها در یک کشور مشترک باشند.
3) ترکیب های بسیاری وجود دارد در مورد سه کشوری که در هیچ یک از کمیته ها دیده نمی شوند.
ریاضی دان پیامدهای یاد شده را از آن رو توانست بی درنگ بگوید که تشخیص داد شرایط کشورها و کمیته ها دقیقاً شبیه احکام زیر است در موردنقطه و خط:
الفَ) هر دونقطه حداقل یک خط را مشخص می کنند.
بَ) هر دو نقطه بر بیش از یک خط دیده نمی شوند.
جَ) هر دو خط حداقل در یک نقطه با هم مشترک اند.
دَ) هر خط حداقل سه نقطه دارد.
تنها تفاوت بین این دومجموعه در این است که به جای کشور و کمیته کلمات «نقطه» و «خط» نشسته است. از این رو، همین قضایایی که ریاضی دان، روزگاری با توجه به شرایط (الفَ) تا (دَ) در رابطه با نقطه و خط ثابت کرده بود، درمورد کشورها و کمیته ها به کار آمدند، « زیرا برای اثبات این قضیه ها تنها از فاکت های (الفَ) تا(دَ) استفاده شده است.» تنها کاری که ریاضی دان کرد این بود که جای نقطه و خط را در این قضایای ریاضی با کشور و کمیته عوض کرد و نتایجی را که به دست آورده بود در اختیار سیاستمدار گذاشت. پس می بینیم که عدم وجود معانی کاملاً مشخصی برای اصطلاحات تعریف نشده ی «نقطه» و «خط» مزیت فوق العاده ای دارد.
حال این نتیجه ی بسیار مهم باید آشکار شده باشد: « در برهان استنتاجی از اصول موضوعه که به صراحت و روشنی بیان شده باشند، معنی واژه های تعریف نشده نقشی ندارد.» ریاضی دان عصر ما این نکته را به روشنی می داند که هر معنای فیزیکی را می تواند برای نقطه، خط و دیگر اصطلاحات تعریف نشده، تا آنجا که این اصطلاحات به قصد معانی فیزیکی به کار می روند، قائل شود. اگر اصول موضوعه برقرار باشند، قضیه ها در مورد این تفسیرهای فیزیکی نیز به کار می آیند.
ممکن است چنین به نظر برسد که درک جدید ما از ماهیت ریاضیات آن را از تمام معانی اش تهی کرده است؛ یعنی چه بسا به نظر بیاید ریاضیات، به جای آن که پیوند جدایی ناپذیری با مفاهیم معین فیزیکی داشته باشد و بینشی در مورد دنیای فیزیکی به ما ببخشد، با کلماتی تهی سروکار دارد که «به هیچ چیز دلالت نمی کنند». اما عکس این تصور درست است. ریاضیات بیش از هر زمان دیگری معنایی بسیار غنی تر، دامنه ای بسیار وسیع تر، و کاربردی بسیار ثمربخش تر می یابد. علاوه بر معانی فیزیکی که سابقاً با مفاهیم ریاضی پیوسته بود و امروزه نیز همچنان می تواند با آن همراه باشد، تنوعی نامحدود از معانی جدید می توان یافت که شرایط اصول موضوعه ی سیستم های ریاضی را برآورده می کنند. در چنین موقعیت های تازه ای، قضایای این سیستم ها معانی ای تازه و، بنابراین، کاربردهای تازه ای پیدا می کنند.
با این حال، ریاضیات محض، به خودی خود، هیچ رابطه ی مستقیم یا ذاتی ای با معانی خاص که می توان به اصطلاحات تعریف نشده بخشیده، ندارد. ریاضیات محض با استنتاج هایی سروکار دارد که با اصول موضوعه و اصطلاحات تعریف شده ساخته شده اند. از سوی دیگر، ریاضیات کاربردی با آن بخش از معانی فیزیکی مفاهیم ریاضیات محض سروکار دارد که قضیه ها را در کار علمی مفید می کنند. گذار از ریاضیات محض به ریاضیات کاربردی معمولاً چند هیاهو و قال و قیلی بر نمی انگیزد. این گزاره که مساحت دایره
است، قضیه ای است از ریاضیات و این که مساحت یک میدان دایره ای شکل
برابر مجذور طول معینی است، قضیه ای است در ریاضیات کاربردی.تمایزی که بین ریاضیات محض و کاربردی قائل شدیم، دقیقاً همان چیزی است که برتراند راسل در این جمله ی به ظاهر سرسری، ولی کاملاً قابل قبول، در نظر داشت:
«ریاضیات محض موضوعی است که در آن هرگز نه می دانیم درباره ی چه چیز صحبت می کنیم و نه می دانیم که آنچه درباره اش صحبت می کنیم صادق است یا نه.» البته، آدم های زیادی به چنین اندیشه هایی درباره ی ریاضیات رسیده اند؛ هر چند جرئت راسل را نداشتند که بلند اعلامشان کنند. شاید هم اصلاً این جور آدم ها ندانند چرا این اندیشه هایشان درست است یا آن که چگونه می توانند درستی آن ها را توجیه کنند. ریاضی دانان نمی دانند درباره ی چه چیزی سخن می گویند؛ به این دلیل که ریاضیات محض با معانی فیزیکی سروکاری ندارد. ریاضی دانان هیچ گاه نمی دانند که آنچه از آن سخن می گویند صادق است یا نه؛ باز هم به این دلیل که آن ها، در مقام متخصصان ریاضیات «محض»، هیچ تلاشی نمی کنند تا بفهمند که آیا قضایای آن ها احکام صادقی در مورد جهان فیزیک محسوب می شوند یا نه. درمورد چنین قضایایی، تنها سؤالی که می توانیم بپرسیم این است که آیا آن ها بنابر قواعد درست استدلال به دست آمده اند یا نه.
سرشت انتزاعی سیستم های ریاضی و رابطه ی آن ها با معانی فیزیکی را می توان با مقایسه با موسیقی بهتر فهمید. بتهوون سمفونی پنجم را ساخت. آدم های کم اهمیت تر و ناچیزتر این اثر را تفسیر کردد. امید، یأس پیروزی، شکست و نبرد انسان با سرنوشت؛ این ها همه ی تفسیرهای اثر بتهوون اند. موسیقی، همچون ریاضیات، مستقل از چنین «کاربردهایی » وجود دارد.
شاید با خود بگوییم که روند استنتاج از اصول موضوعه در مورد اصطلاحات تعریف نشده، خاص ریاضیات محض است؛ اما کمی توجه نشان می دهد که چنین روند استدلالی به هیچ وجه مختص ریاضیات محض نیست. بیایید فرایندهای فکری خاص حقوق دانان را بررسی کنیم. حقوق دان این واقعیت را که هر حاکمیتی قدرت پلیسی دارد به عنوان یک اصل موضوعه می پذیرد؛ هرچند ترجیح می دهد آن را اصل (7) یا قاعده (8) بنامد. ایالت نیویورک، مطابق تعریف «ایالت (state) در ایالات متحده، در امور محلی خود حاکمیت دارد. نظارت بر مشاغلی که کاملاً در حیطه ی ایالت نیویورک اند، از جمله امور محلی است. پس، نیویورک بر مشاغلی که کاملاً درون مرزهای این ایالت اند قدرت پلیسی دارد و، بنا به تعریف مندرج در قانون، استخدام متصدیان آسانسور در ساختمان های نیویورک، شغلی است که کاملاً در نیویورک جریان دارد؛ پس، نیویورک بر استخدام متصدیان آسانسور در این ایالت، و به خصوص بر استخدام متصدیان زن قدرت پلیسی دارد.
حقوق دان با استفاده از چند اصل موضوعه درباره ی مفاهیم یا اصطلاحات به نتیجه ای رسیده است. اما توجه کنید که در این استدلال هیچ تعریفی از قدرت پلیسی ارائه نشده است و بدیهی است که از آن استفاده هم نشده است. حقوق دان ما تنها از این اصل موضوعه استفاده کرده که هر حاکمیتی قدرت پلیسی دارد. بنابراین، اصطلاح «قدرت پلیسی» در این جا به صورت اصطلاحی تعریف نشده مورد استفاده قرار گرفته است، درست همان طور که ریاضی دان از اصطلاحات نقطه و خط استفاده می کند. از این گذشته، خواننده ای که تجربه ای در حقوق ندارد ممکن است استدلال بالا را قبول کند؛ ولی قدرت پلیسی را به معنای «افراد پلیس» در نظر گرفته باشد. اما تعبیر حقوقی اصطلاح قدرت پلیسی، توانایی ارائه ی بهداشت و خدمات عام المنفعه است. این نکته به تاریخ حقوق مربوط است که زمانی قدرت پلیسی حداقل دستمزد ثابت برای زنان را شامل نمی شد؛ بنابراین، استدلال ما ممکن است به این نتیجه برسد که نیویورک نمی تواند حداقل دستمزد را برای زنان آسانسورچی تثبیت کند. اما بعدها، بر اساس رأی یک دادگاه عالی ایالتی، اعلام شد که قدرت پلیسی حداقل دستمزد ثابت برای زنان را هم شامل می شود. با چنین تفسیری از قدرت پلیسی، ایالت نیویورک دیگر می تواند حداقل دستمزد ثابت برای زنان آسانسورچی را تثبیت کند. می بینیم که اصطلاح تعریف نشده ی «قدرت پلیسی » می تواند تفسیرهای کاملاً متناقضی داشته باشد و، با این حال، نتیجه ای که از استدلال بالا به دست می آید بنابر هر تفسیری صادق و برقرار است.
با توجه به این مثال می بینیم که حقوق دان، همچون ریاضی دان، در زنجیره های استدلال استنتاجی در باب اصطلاحات تعریف نشده گرفتار است و غالباً معنای انضمامی و ملموسی به این اصطلاحات می دهد- البته تنها وقتی که بخواهد نتایج خود را به کار گیرد. علاوه بر این، او نیز درست نظیر ریاضی دان، که در موقعیت های مختلف معانی گوناگون وحتی متناقضی به واژه هایی چون «خط» می دهد، درهر موقعیت معانی متناقضی به اصطلاحاتی چون «قدرت پلیسی» می دهد.
شباهت میان روش ریاضی و روش حقوقی فقط به استفاده از اصطلاحات تعریف نشده در زنجیره های استدلال استنتاجی خلاصه نمی شود. اصول قانون صرفاً اصل های موضوعه نیستند، آن ها همچون اصول موضوعه ی ریاضیات به سیستم هایی تعلق دارند و، در نتیجه، سیستم های مختلف ممکن است اصولی متناقضی داشته باشند. مثلا حق قانونی فرد برای دخالت در امور انتفاعی خصوصی، در سیستم های حکومتی سرمایه داری، یک اصل پایه است؛ درست همان طور که اصل توازی اقلیدسی یک اصل موضوعه در سیستم هندسه ی اقلیدسی است. تفاوت بین اشکال حکومتی فاشیستی، دموکراتیک و کمونیستی از تفاوت در اصول پایه ی آن ها ناشی می شود؛ درست همان طور که قضیه های متفاوت در هندسه های متفاوت از اصول موضوعه ی متفاوت آن ها نشئت می گیرد و، درست همان طور که هر نوع هندسه ای می کوشد به فضای فیزیکی بپردازد، هر سیستم سیاسی نیز می کوشد به نظم اجتماعی بپردازد.
نه تنها حقوق دانان درحیطه ی سیستم های قانونی، بلکه سیاستمداران نیز در حیطه ی حزب های سیاسی از چهارچوب کلی فکر ریاضی استفاده می کنند. پیش از برگزاری هر انتخاباتی، سیاستمداران خود را منطقی تر نشان می دهند. رؤسای هر حزب سخنرانی می کنند و اعلامیه می دهند که هر بند آن ها در واقع یکی از اصول موضوع اعتقادی آن حزب است. از طریق اظهارات این مرام نامه، ما می توانیم موضع آن حزب را در مورد قانونگذاری آینده استنتاج کنیم. خُب، تا این جا که مشکلی نیست. کاری که سیاستمداران نمی توانند به درستی انجام دهند استفاده ی آزادانه از کلماتی است تعریف نشده چون آزادی، عدالت، امریکاییگری، دموکراسی و امثال آن ها در اطلاعیه ها و سخنرانی ها. نیاز به گفتن نیست که استفاده از اصطلاحات تعریف نشده در این شرایط حساب شده و عامدانه است.
بحثی که در مورد اهمیت اصطلاحات تعریف نشده در سیستم های ریاضی کردیم، احتمالاً در درک خصلت انتزاعی تفکر ریاضی به ما کمک می کند. این خصلت مجرد یا انتزاعی از این واقعیت ناشی می شود که ریاضیات، به معنی خاص کلمه، معانی و تعابیر فیزیکی اصطلاحات تعریف نشده را دور می اندازد. روش ریاضی به معنای دیگری نیز انتزاعی است. ریاضیات این معجون تجربه هایی که طبیعت جلوه گر می کند، جنبه های ویژه ای را تفکیک و پژوهش را بر آن ها متمرکز می کند. این گونه انتزاع محدود کردن پدیده ی مورد بررسی است. مثلاً خط راست ریاضی در قیاس با خط راستی که لبه ی میز نمایشگر آن است یا با مداد ترسیم می شود، ویژگی های بسیار کمی دارد. این ویژگی های محدود خط ریاضی در اصول موضوعه بیان می شود؛ مثلاً هر خط با دو نقطه مشخص می شود. خط فیزیکی، علاوه بر این ویژگی ها، رنگ و حتی عرض و ارتفاع دارد. از این گذشته، خط فیزیکی از ملکول ها تشکیل شده است که خود ساختاری پیچیده ای دارند.
در وهله ی نخست، ممکن است چنین به نظر برسد که تلاش برای مطالعه ی طبیعت با تمرکز و تأمل بر فقط چند ویژگی معدود اجسام فیزیکی کارایی چندانی نداشته باشد. اما بخشی از راز قدرت ریاضیات در استفاده از این گونه تجربه ی نهفته است. به این ترتیب، ذهن از جزئیات نامربوط و گیج کننده آزاد می شود و می تواند کارایی زیادی داشته باشد؛ مسلماً وقتی کل تصویر فیزیکی را پیش ذهن قرار دهیم جزئیات نامربوط زیاد می شوند و کارآمدی هم کمتر می شود. موفقیت فرایند تجرید جنبه هایی خاص از طبیعت بر قاعده ی «تفرقه انداز و حکومت کن» استوار است.
تمرکز فقط چند جنبه از تجربه ی عینی، علاوه بر جمع و جور کردن مسئله ی مورد بررسی، مزایای دیگری هم دارد. معمولاً تفکر دانشمند علوم تجربی، از آن جا که مستقیماً با اجسام فیزیکی سروکار دارد، به این اجسام بدان گونه که از طریق حواس دریافت می شوند محدود است. او به زمین زنجیر شده است. ریاضیات با مجرد کردن مفهوم ها و ویژگی های اجسام فیزیکی، بال های پرواز به ورای دنیای محسوس را به اندیشه می بخشد. ازاین روست که ریاضیات می تواند با «چیز» هایی چون بسته های انرژی بیامیزد که چه بسا هیچ گاه نتوان توصیفی کیفی از آن ها ارائه کرد؛ چرا که چنین چیزهایی ورای قلمرو محسوسات هستند. ریاضیات می تواند گرانش را همچون ویژگی فضایی «توضیح دهد: که آن قدر وسیع و پهناور است که در قوای بصری نمی گنجد. ریاضیات به همین نحو است که می تواند پدیده هایی راز آلود چون الکتریسته، امواج رادیویی و نور را، که هر تصویر فیزیکی از آن ها عمدتاً گمانه زنانه نارساست، بکاود «بشناسد». مجرد سازی، یعنی همان فرمول های ریاضی، مهم ترین و مفید ترین فاکت هایی هستند که درمورد این پدیده ها در اختیار داریم.
تجرید جنبه های کمی پدیده های فیزیکی، غالباً روابط نامنتظره ای را آشکار می کند؛ زیرا قوانین کمی در مورد پدیده های به ظاهر بی ربط به هم یکسانند. اکتشاف مکسول مبنی بر این که امواج الکترومغناطیسی و امواج نور در معادلات دیفرانسیل یکسانی صدق می کنند، به خوبی ادعای بالا را روشن می کند. به همین دلیل، این ایده مطرح شد که امواج الکترومغناطیسی و امواج نور ویژگی های فیزیکی یکسانی دارند و رابطه ی بین آن ها از آن زمان تاکنون هزاران بار تأیید شده است. وایتهد می گوید:
هیچ چیز تأثیرگذارتر و حیرت انگیز تر از این واقعیت نیست که هر چه ریاضیات بیشتر به قلمروهای وسیع و مجرد اندیشه می رود، با همان سرعت و پیشرفت به زمین بر می گردد تا واقعیات انضمامی و ملموس را تحلیل کند. امروزه دیگر این پارادوکس کاملاً مسجل شده است که مجردترین تجریدها حربه های راستینی برای تسلط بر واقعیات ملموس هستند.
آن ها که، در عین پذیرفتن این پارادوکس، همچنان از این واقعیت اظهار تأسف می کنند که علوم فیزیکی برای دستیابی به موفقیت مجبورند بهای مجرد سازی ریاضی را پرداخت کنند، باید در آنچه در تحقیقات علمی شان به دنبالش می گردند عمیقاً تجدید نظر کنید. پاسخ ادینگتن آن است که آگاهی از روابط و ساختار ریاضی تمام آن چیزی است که از علم فیزیک نصیب ما می شود. جینز معتقد است که توصیف ریاضی عالم همان حقیقت نهایی است. از نظر او، تصاویر و مدل هایی که به درک ما از طبیعت کمک می کنند، یک قدم از حقیقت دورند؛ آن ها به «تصاویر حکاکی شده ی یک روح» می مانند. وقتی به ورای فرمول های ریاضیات گام می گذاریم، در خطر خطا هستیم.
ما از ریاضیات به مثابه ی یک روش بحث کردیم؛ روشی که هم برای مطالعه ی روابط کمی و فضایی به کار می آید و هم برای توضیح مفاهیمی که از دل این حوزه های تحقیقاتی بر می آید. اما امروزه دیگر مرزهای ریاضیات آن قدرها مشخص نیست. دیدیم که آفرینش هندسه ی غیر اقلیدسی، ریاضی دانان را از بندگی تولید حقایق آزاد کرد و آنان را در موقعیتی قرار داد که بتوانند آزادانه اصولی موضوعه اختیار کنند و در مورد ایده هایی پژوهش کنند که ظاهراً هیچ سود آشکاری برای تسلط بر دنیای فیزیکی یا درک آن ندارند. به این ترتیب، ریاضی دان ناچار می شود از خود بپرسد که چه چیز راهنمای او در انتخاب موضوع مورد نظرش و چه چیز انگیزه ی فعالیت اوست. چه چیز کار او را از چیستان های پیِش پاافتاده، جدول کلمات متقاطع یا حتی از مهملات محض متمایز می کند؟(بهتر است برای پاسخ به این سؤال زیاد عجله نکنید.) بیش از یک صد سال است که ریاضی دانان آنچه را یونانیان احساس و حتی به نوعی اعلام کرده بودند، اما در لا به لای قرن ها گم شده بود، می شناسند. ریاضیات یک هنر است و فعالیت ریاضی هم باید اقتضائات زیباشناختی آن را برآورده کند.
بی تردید بسیاری بر آن اند که روا نیست ریاضیات را هم به هنرهای هفت گانه اضافه کنیم. محکم ترین اعتراض این افراد آن است که ریاضیات هیچ بار عاطفی و حسی ای ندارد. مسلماً، این استدلال آن همه احساس نفرت و دافعه ای را که ریاضیات در برخی برمی انگیزد نادیده می گیرد. این استدلال همچنین لذتی را که آفرینندگان ریاضیات با موفقیت در صورت بندی ایده های خود و با طراحی برهان های هوشمندانه و استادانه تجربه می کنند در نظر نمی گیرد. حتی محصلان ریاضیات مقدماتی هم از موفقیت در حل تمرینات کلیشه ای شان شاد می شوند و از این که می توانند وضوح و معنا و نظمی ببینند لذت می برند- چون پیش از حل مسئله همه چیز مبهم و مغشوش بود.
به هر حال، انکار نمی توان کرد که ریاضیات کمتر از موسیقی و نقاشی و شعر عواطف ما را بازی می دهد. هر کس کاملاً حق دارد بر این ایده اصرار ورزد که وظیفه ی اصلی هنر برانگیختن عواطف و تحریک احساسات است. اما، بر اساس چنین تعبیری از هنر، عکس رمانتیکی که بر دلمان می نشیند هنری تر از بسیاری از نقاشی های بزرگ می شود و احتمالاً نقاشی آبستره [ انتزاعی] یا بسیاری از مجسمه های مدرن «هنر» به شمار نمی آیند و این وضع در مورد معماری و سرامیک سازی نیز برقرار است. به این ترتیب، طبیعت های بی جان پیکاسو(9)، کارهای امپرسیونیستی از قبیل آثار مونه(10)، تأثیرهای اتمسفری و نور از قبیل کارهای سورا (11) و سزان(12) و «آرایش های منظم» کوبیست ها هیچ کدام مصداق این تعبیر از هنر نیست. در واقع، هنر ناب روزگار مدرن بر جنبه های نظری و صوری نقاشی، بر خط و فُرم و بر مسائل فنی تأکید دارد. چنین آثاری بیشتر از عقل کمک می گیرند تا از عواطف و احساسات. بیشتر نقاشی های رنسانس، به رغم مطالعات تعقلی ای که در ترسیم و ترکیب آن ها به کار رفته است، مستقیماً بر عواطف ما اثر می گذارند، حال آن که آثار نقاشان معاصر را نخست باید «فهمید». این شرط سفت و سخت که هنر باید بر انگیزنده ی عواطف باشد، به نظر می رسد که خصوصاً امروزه چندان باب نیست.
هر هنری باید راهی برای شعله کشیدن غریزه ی خلاق شخص به دست دهد. نگاهی به گذشته ی سیستم اعداد ما، پیشرفت روش های محاسبه، ایجاد و گسترش رشته های جدیدی که ملهم از مسائل هنر، علم و فلسفه بوده اند و پالایش استانداردهای استدلال دقیق و محکم نشان می دهد که ریاضی دانان هم خلق می کنند. نحوه ی دقیق تعیین احکام موجود در قضایا و برهان های آن ها همگی مصداق بارز خلق و آفرینش اند. در ریاضیات هم، همان طور که در هنرها می بینیم، جزئیات اثر کشف نمی شود، بلکه ساخته می شود.
بدیهی است که فرایند خلاقیت باید اثری پدید آورد که طراحی، هماهنگی و زیبایی داشته باشد. این کیفیت ها در آفریده های ریاضی هم است. طراحی دقیق در ریاضی یعنی وجود الگوهای ساختاری، نظم، تقارن، و توازن. بسیاری از قضایای ریاضی چنین طرحی را نشان می دهند. به عنوان مثال، به قضیه ی زیر از هندسه ی مسطحه توجه کنید: در میان تمام چند ضلعی ها با مساحت یکسان، چند ضلعی های منتظم، یعنی آن ها که ضلع ها و زاویه های برابر دارند، دارای کمترین محیط اند. پس، تا این جا ریاضیات می گوید که چند ضلعی منتظم به محیطی کمتر از چند ضلعی نامنتظمی، با همان مساحت و با همان تعداد ضلع، نیاز دارد. اما، درمیان چند ضلعی های منتظم با تعداد ضلع های متفاوت، ولی دارای مساحت برابر، کدام یک کمترین محیط را دارد؟ پاسخ این است که بین چند ضلعی های منتظم با مساحت یکسان، شکلی که بیشترین تعداد ضلع را دارد دارای کمترین محیط است. البته، می توانیم چند ضلعی منتظم با هر تعداد ضلع داشته باشیم. حال سؤال این است که به ازای مساحتی معین کدام شکل است که کمترین محیط را دارد؟ در این جا، حتی آن احساس شهودی که از طراحی دقیق ریاضی داریم پاسخ را به ما می گوید: با افزایش تعداد اضلاع یک چند ضلعی منتظم، شکل آن به دایره نزدیک می شود. پس، دایره باید کمترین محیط را داشته باشد. این یک قضیه از ریاضیات است و چنین قضیه هایی از کمال نظم و طرح برخوردارند.
وجود طرح دقیق در ریاضیات امری صرفاً تصادفی نیست. چنین ویژگی ای ضرورتاً درهر ساختار منطقی وجود دارد. تنها با طراحی آگاهانه و هشیارانه بود که اقلیدس توانست کل هندسه ی اقلیدسی را با قبول تنها چند اصل موضوعه پدید آورد.
در ساختن هندسه های چند بُعدی، می توان نمونه ای عالی از کارکرد طرح را به صورت اصلی در آفرینش ریاضی مشاهده کرد.مثلا، چون
معادله ی دایره در صفحه ای دو بُعدی و
معادله ی کره در فضای سه بُعدی است، می توان معادله ی
را معادله ی اَبَر کره(13) در فضای چهار بُعدی دانست. به این ترتیب، طرح کلی هندسه ی مختصاتی دو و سه بُعدی می تواند ابعاد به دلخواه بالاتری پیدا کند.
در هر آفرینش هنری، رابطه ی اجزا با یکدیگر و با کل آفریده باید هماهنگی باشد. هماهنگی در آفریده های ریاضی هماهنگی ای است عقلانی؛ یعنی به صورت سازگاری منطقی جلوه گر می شود. قضایای هر سیستم ریاضی باید با یکدیگر هماهنگی کامل داشته باشند. اما هماهنگی های دیگری هم هست. کل ساختار هندسه ی اقلیدسی با ریاضیات اعداد هماهنگی دارد. با استفاده از دستگاه مختصات می توان قضایا و مفاهیم هندسه را به زبان جبر تعبیر کرد و برعکس؛ یعنی معادلات جبری هم تعبیر هندسی خود را دارند. بنابراین، این دو پدیده هماهنگ با یکدیگرند.
شاخه های اصلی ریاضی با یکدیگر هماهنگ اند. در این کتاب مختصر، با چهار شاخه ی مجزا از هندسه آشنا شدیم – اقلیدسی، تصویری و دو گونه هندسه ی غیر اقلیدسی. آن گونه که از این مباحث سخن گفتیم، آن ها متمایز از یکدیگر و در مواردی متناقض با یکدیگر به نظر می رسند. اما یکی از جالب ترین دستاوردهای روزگار ما اثبات این نکته است که می توان هندسه ی تصویری را بر مبنایی اصل موضوعی چنان بنا کرد که قضایای آن سه قسم هندسه ی دیگر به صورت قضایای خاص هندسه ی تصویری نتیجه شوند. به عبارت دیگر، محتوای این چهار گونه هندسه امروزه در کلی هماهنگ یگانه شده اند.
ریاضیات شکل دیگری از هماهنگی را هم نشان می دهد. طرحی که ریاضیات بر طبیعت تحمیل می کند یا در طبیعت آشکار می کند، نظمی هماهنگ و هارمونیک را جانشین بی نظمی می کند. نقش بنیادی بطلمیوس، کوپرنیک، نیوتن و اینشتین همین بود.
البته کاملاً امکان دارد که آفریده ای دارای تمام مشخصات رسمی یک اثر هنری باشد و با این حال، به مقوله ی هنر تعلق نداشته باشد. بسیاری از کسانی که موسیقی جدید را می شنوند یا نقاشی معاصر را می بینند، این نکته را در مورد هنری که امروزه تولید می شود درست می دانند. معیار نهایی یک اثر هنری نقش آن در ایجاد لذت زیباشناسانه یا زیبایی است. خوشبختانه یا متأسفانه این معیار ذهنی و فردی است و بسته به سلیقه ی افراد عوض می شود. از این رو، به این سؤال که آیا ریاضیات زیبایی دارد تنها کسانی می توانند پاسخ دهند که ریاضیات خوانده باشند.
واقعیت مهم این است که جست و جوی لذت زیباشناسانه همیشه در رشد ریاضیات تأثیر داشته است از میان انبوه طرح ها، مایه ها و الگوها، ریاضی دان تنها آنهایی را برمی گزیند که آگاهانه یا ناآگاهانه حس زیباشناختی او را ارضا می کنند. یونانیان عهد باستان از آن رو در هندسه پژوهش می کردند که فرم ها و ساختار منطقی آن به چشمشان زیبا می آمد. آن ها به کشف روابط هندسی در طبیعت بها می دادند؛ نه از آن رو که چنین اکتشافاتی به آنان در تسلط بر طبیعت کمک می کرد، بلکه از آن رو که ساختار زیبای طبیعت با این اکتشاف ها آشکار می شد. دیدیم که کوپرنیک از نظریه ی حرکت های سیاره ای خود به این دلیل دفاع می کرد که ریاضیات مبین این نظریه به او لذتی زیباشناسانه می داد و کپلر نیز به همین دلیل مدافع نظریه ی خورشید مرکزی بود. به گفته ی خود کپلر: « از اعماق وجودم بر درستی [این نظریه] گواهی می دهم و به زیبایی آن با لذتی دیوانه وار و باور نکردنی می اندیشم.» کپلر، تحت تأثیر کوپرنیک، بیشتر زندگی اش را در جست و جوی قوانین ریاضی ای گذراند که از لحاظ زیباشناختی ارضا کننده باشند. نیوتن نیز همین دل مشغولی به زیبایی را جوهر نهایی کار علمی و ریاضی خود می دانست. او خداوند را حافظ هماهنگی و زیبایی عالم می دانست. می توانیم چنین اظهاراتی را در نوشته های بیشتر ریاضی دانان بیابیم.
حس زیباشناختی ریاضی دان واقعی از خلق وخوی بهانه گیر ترین و غرغروترین زنان نیز قوی تر و بیشتر است. بیشتر تلاش ریاضی دانان برای اثبات قضایایی که قبلاً ثابت شده اند، صرفاً به این دلیل است که برهان های موجود جاذبه ی زیباشناسانه ندارند. اثبات های ریاضی ای وجود دارد که صرفاً قانع کننده اند. به قول لرد ریلی (14)، فیزیک -ریاضی دان مشهور، این «اثبات ها»، برهان های دیگری هستند که «افسونگرند و ذهن را شیفته ی خو می کنند. این گونه برهان ها مسرت بخش اند و میلی سیری ناپذیر در فرد بر می انگیزند که سر تعظیم پیش آن ها فرود آورد.» برهانی که با ظرافتی تمام طراحی شده باشد، از هر لحاظ، جز شکل نوشتن، یک شعر کامل است.
جست و جوی هوس انگیز ولی الزام آور مسائل ریاضی این ارمغان ها را به بار می آورد: جذبه و آرامش ذهنی در این کارزار بی پایان چالش ها، متانت و وقار کاری، شیوه ی نبرد بدون زدوخورد، « گریز از اضطرارهای رویدادهای هر روزه و معمولی»، و آن نوع زیبایی ای که کوه های پا برجا و پا درجا بر می انگیزند.
این جذابیت نهفته در بی طرفی و عینیت محض استدلال ریاضی را برتراند راسل به زیبایی هر چه تمام تر توصیف کرده است:
به دور از احساسات و انفعالات انسانی، حتی به دور از واقعیت های حقیر و اسف بار طبیعت، نسل ها، یکی از دیگری، آهسته و پیوسته کیهانی منظم آفریدند که مأمن اندیشه ی ناب است؛ جایی است که حداقل یکی از تمایلات شریف تر و اصیل تر ما می تواند از تبعید پر ملال و مخوف دنیای واقعی بدان بگریزد.
حتی عامه ی فرهیخته ی غیر ریاضی دان هم سرشت هنری آثار ریاضی را پذیرفته اند. ثورو(15) می گوید: « ممتازترین و زیباترین احکام باید بتوانند به قالبی ریاضی ریخته شوند.» خواننده ای که قانع نشده است. حداقل می تواند با آگاهی به این که ریاضی دانان در پی زیبایی اند، گرایش ها و تلاش های آنان را محسوس تر و معقول تر بیابد.
تمام این حرف ها باید نشان داده باشد که معیارهای هنر درمورد ریاضیات هم صدق می کند. به هر حال، بسیاری موضوعیت این بحث را قبول ندارند؛ هر چند آن ها هم ناخودآگاه بر همین باورند. هیچ کس از ذوق یا نبوغ درک تاریخ یا اقتصاد یا حتی زیست شناسی سخن نمی گوید. اما تقریباً همه داشتن قریحه یا نبوغی را برای درک ریاضیات لازم می دانند؛ هر چند از نبود آن در وجود خودشان افسوس بخورند. به این ترتیب، توانایی ریاضی هم تراز توانایی هنری قرار می گیرد.
متأسفم که نمی توانیم بیش از این بحث خود در باب ماهیت و تأثیر ریاضیات ادامه دهیم. اگر مجالی داشتیم تا از شاخه های پیشرفته تر ریاضیات هم صحبت کنیم، می توانستیم درمورد نقشهای فراوان و تمام نشدنی ریاضیات در فرهنگ خود به کاوش بپردازیم. متأسفانه، برای تسلط بر ایده های ریاضی سال ها کار و کوشش لازم است و هیچ شاه راهی هم در کار نیست که این مسیر طولانی و پرپیچ و خم را کوتاه کند. امیدوارم این مقاله حداقل این تصور باطل را از بین برده باشد که ریاضیات کتابی است بسته، داستانی است که از زبان یونانیان باستان شنیده می شد و فصلی است ناچیز و بی اهمیت در تاریخ انسان، و نیز امیدوارم تصوری پیدا کرده باشیم از جایگاهی که ریاضیات در فرهنگ و تمدن ما داشته و دارد.
متأسفانه، ریاضیات تمام مشکلاتی را که انسان پیش رو دارد حل نمی کند. عقل و منطق، روش اصل موضوعی و تحلیل کمی در تمام مراحل و مصایب زندگی کارگر نیست. نقاش ممکن است از پرسپکتیو ریاضی استفاده کند، اما پرسپکتیو درست به خودی خود هنر نیست. هر چند متفکران قرن هجدهم یقین داشتند که می توانند به کمک ریاضیات قوانین جامعه را کشف و تمامی مشکلات اجتماعی را حل کنند، اما امروزه نظام اجتماعی متأسفانه بسیار پیچیده تر و مغشوش تر از نظام اجتماعی قرن هجدهم است. برای حل مشکلات عاشقانه یا حل گرفتاری های ناشی از ازدواج اصلاً ریاضیات را توصیه نمی کنیم؛ هر چند انسان شناسان، در یکی از آخرین همایش های خود، بر قدرت ریاضیات در حل دقیقاً همین مسائل قویاً اصرار داشتند. دامنه ی ریاضیات محدود است و دلایل این محدودیت به اختصار در این کلام بازگو شده که انسان حیوانی است ناطق: ناطقیت انسان صرفاً کیفیتی است از حیوانیت او و، از آن جا که خواهش ها، عواطف و غرایز او هم بخشی از طبیعت حیوانی اش هستند که غالباً عقل و منطق از پس ارضا آن ها بر نمی آید، عقل نیز به تنهایی راهبر و راهنمای تمام فعالیت های انسان نیست. البته، این سخن هرگز به این معنا نیست که کاربری عقل و منطق در امور انسانی به نقطه ی اشباع خود رسیده است.
ریاضیات را به طرق گوناگونی توصیف کرده اند: پیکره ای از معارف، ابزاری علمی، سنگ بنای فلسفه، کمال روش منطقی، کلید طبیعت، بازی و سرگرمی ای فکری، ماجراجوهایی در قلمرو عقل و مجردات، و تجربه ای زیباشناسانه. این کتاب احتمالاً دلایل و انگیزه های چنین اوصافی را نشان داده است. وقتی به تعداد قلمروهایی توجه می کنیم که ریاضیات در آن ها نفوذ کرده است یا به تعداد قلمروهایی که ریاضیات تسلط بر آن ها را برای ما میسر کرده است، به این سمت متمایل می شویم که بگوییم ریاضیات باب ورود به دنیای تجربه های فیزیکی، ذهنی و عاطفی است. ریاضیات عصاره ی خالص ترین چیزی است که تفکر دقیق از دل تلاش های انسانی بیرون کشیده است؛ تلاش های انسان برای درک طبیعت، برای نظم بخشیدن به رویدادهای جهان فیزیک، برای خلق زیبایی، و نیز برای فرونشاندن این میل طبیعی مغزهای سالم برای آزمودن و به کار انداختن خویش. ما که در تمدنی زندگی می کنیم که پیش از هر چیز با دستاوردهایی مشخص می شود که وجودشان را به ریاضیات مدیون اند، اکنون در موقعیتی هستیم که می توانیم بر درستی تمام جملات بالا قسم بخوریم.
پی نوشت ها :
1- Simplicity
2- Fruitful
3- Rembrandt، نقاش و حکاک بزرگ هلندی (1606 – 1669)
4- Wittgenstein.. J J.. L، فیلسوف بزرگ اتریشی (1889 – 1951)
5- Tautology
6- Venus de Milo، مجسمه ی معروفی که در جزیزه میلو (یونانی، مِلوس)، در یونان، در 1820 کشف شد.
7- Principle
8- Rule
9- P.Picasso، پابلو رویث ای پیکاسو، نقاش اسپانیایی(1881، 1973).
10- C. Monet، نقاش دورنماساز امپرسیونیست فرانسوی (1840- 1926)
11- G. Seurat، نقاش فرانسوی (1859- 1891).
12- P. Cezanne)، نقاش بزرگ فرانسوی (1839- 1906)
13- Hypersphere
14- Lord Rayleigh، شهرت جان ویلیام سترات، فیزیک دان انگلیسی (1842- 1919)
15- H. D. Thoreau، شاعر و نویسنده ی امریکایی(1817- 1862).
