تألیف: حمید وثیق زاده انصاری
منبع: راسخون
منبع: راسخون
حسابان، که شاخه ای از ریاضیات با کار برد در مسائل مشتقات و انتگرال ها است، از زمان ظهورش با مناقشه ی بلند مدتی رو به رو بوده است. هنوز بر سر این که چه کسی کاشف آن بود، سِر اسحاق نیوتن یا گاتفرید ویلهم لایبنیتز، مناظره می شود.
سِر اسحاق نیوتن، ریاضی دان و فیزیک دان انگلیسی، و گاتفرد ویلهم لایبنیتز ، یک فیلسوف و ریاضی دان آلمانی، پیش روان عنوان پدر علم حسابان می باشند. ا فراد کمی معتقدند اسحاق نیوتن بنیان گذار این شاخه از ریاضیات می باشد، در حالی که دیگران اعتقاد دارند این لایبنیتز بود که اول علم حسابان را کشف نمود. در این جا جنبه های گوناگون این مناقشه ی با اولویت (مهم) را فاش می‌نماییم.
روش نیوتن در علم حسابان مبتنی بر واقعیت حدها و ریاضیات گسسته بود. امروزه هنوز روش حدها برای حل مسایل در حسابان استفاده می شود. کار برد حدها در حسابان مطلب مهمی نیست اما زمانی مهم می شود که متغیرهایی را در نظر بگیریم که با زمان تغییر می کنند. تئوری مشتق تابع پیوسته توسط نیوتن گسترش و رواج یافت، که اولین روش برای بیان تئوری بنیادین علم حسابان می باشد. مشتق تابع پیوسته عبارتی است که برای مسایل متفاوت حسابان به وسیله نیوتن استفاده شد و این مفهوم در کتابش به نام روش مشتق تابع پیوسته در سال 1736 منتشر شد. کتابی با نام ریاضیات Naturalis Principia Mathematica نیز طی این دوره نوشته شد. این کتاب 3 جلدی بود که توسط نیوتن به لاتین در سال 1687 منتشر شد. کتاب شامل مفاهیم پایه ای مکانیک کلاسیک و دیگر قوانین فیزیک می باشد. شکل هندسی حسابان در اولین جلد این کتاب شرح شد. مشتق مرتبه دوم و مراتب بالاتر و قاعده زنجیره ای و قاعده مشتق ضمنی برای انتگرال گیری و مشتق گیری نیز کارهایی از نیوتن بودند.
همان طور که پیشتر بحث شد، نیوتن متغیرهایی را در حسابان در نظر گرفت که با زمان تغییر می کنند، اما لایبنیتز بر این بود که این متغیرها در دنباله ای از مقادیر بسته قرار دارند ، یعنی این متغیرها در حال تغییر بودند اما حد کران آنها معین بود. تعریف شرط این کران موضوع مهمی نبود بلکه مقادیر dx و dy مهم بودند، که بین مقادیر متوالی دنباله گفته شده، متفاوت بودند. نماد گذاری هایی که لایبنیتز استفاده نمود، رسمی بودند و همان نماد گذاری ها به طور غیر رسمی در همه ی کارهایش استفاده شده بودند. او علامت ʃ را برای انتگرال گیری و علامت d را برای مشتقات استفاده کرد، همان نماد گذاری ها امروزه استفاده می شوند. برای اولین بار، توسط لایبنیتز انتگرال برای پیدا کردن مساحت زیر نمودار تابع (y = f(x استفاده شد. هرکسی که با حسابان آشنا باشد، با قانون لایبنیتز یعنی قاعده مشتق ضمنی در حساب دیفرانسیل آشنا خواهد بود. قاعده انتگرال لایبنیتز برای یافتن مشتق تحت علامت انتگرال می باشد. این قانون امروزه هنوز استفاده می شود.
هر دوی این ریاضی دانان بزرگ بی اندازه در این زمینه از ریاضیات نقش و سهم داشته اند. اما مناقشه در باره این که چه کسی پدر علم حسابان به شمار می رود، هنوز حل نشده باقی مانده است.
روی کرد: روی کرد تعبیر شده برای توسعه و گسترش علم حسابان به وسیله لایبنیتز و نیوتن متفاوت بود، با این حال آرمان آنها یکی بود. مفاهیمی که آنها خلق نمودند، در ارتباط با حسابان دیفرانسیل خرد بودند. اگر چه نیوتن روی کرد هندسی را نسبت به حسابان اتخاذ نمود، اما لایبنیتز آن را به عنوان یک ابزار تحلیلی به کار برد.
انتشار: نیوتن کار روی این مفاهیم را در سال 1666 آغاز نمود در حالی که کارهای لایبنیتز به تاریخ حدود 1674 با اولین انتشارش در سال 1684 می باشد. کارهای نیوتن تا زمان مرگش هرگز منتشر نشد. حسابان خرد در زمینه مشتق تابع پیوسته یا دیفرانسیل در مجله ی Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica در سال 1687 به شکل هندسی توضیح داده شدند. با این حال، تحقیق می گوید که کار برد این نماد گذاری در نامه ای که لایب نیتس به نیتون در سال 1677 نوشته، به کار رفته است.
نماد گذاری ها: مقاله های تحقیقی خاصی از لایبنیتز نشان می دهند که او به طور مستقل روی حسابان کار نمود. لایبنیتز در ابتدا برای مسایل سری های نامتنا هی به سمت انتگرال گیری رفت، در صورتی که نیوتن در ابتدا به عنوان راه حل، موضوع را با استفاده از مشتقات حل نمود. نیوتن هرگز روی کرد یک نواختی نسبت به کار برد نماد گذاری ها در حل مسایل حسابان نداشت، در حالی که لایب نیتس مجموعه ای از نماد گذاری ها را مطرح کرد که به طور رسمی در هر راه حلی استفاده نمود.
سرقت دست آوردهای علمی: بحث دیگری که به مناقشه اضافه شده، این حقیقت است که لایبنیتز بعضی از دست نوشته های نیوتن را دید و از آنها در کار گسترش علم حسابان استفاده نمود. لایبنیتز ممکن است از دست نوشته های منتشر نشده ی نیوتن سوء استفاده کرده، نماد گذاری ها را تغییر داده ، و کار را به نام خودش منتشر ساخته باشد. این حقیقت که نیوتن پیش از این روی برخی از مفاهیم علم حسابان با هم کارانش بحث کرده بود، به شدت وزنه بحث را به نفع او سنگین می کند. در سال 1984، در حالیکه C.I. گرهارت دیگر ریاضی دان آلمانی دست نوشته های لایبنیتز را خواند، رد پاهایی از کتاب نیوتن با نام De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas که در سال 1704 منتشر شده، یافت. لایبنیتز کمی قبل از مرگش، دیدن مقالات نیوتن را اقرار کرد، اما این طور بیان داشت که آنها کم اهمیت بودند یا اصلاً مهم نبودند. او اشاره به مقالاتی داشت که روش های تانژانت را در بر می گرفت.
هم کاری: این حقیقت معلوم نیست که لایبنیتز و نیوتن به طور منظم از طریق نامه با هم در ارتباط بودند و لابد موضوع بحث هم ریاضیات بود. این باور وجود دارد که اول نیوتن روش ها، فرمول ها و مفاهیمش در باره ی علم حسابان را در نامه ای به لایبنیتز به بحث گذاشته بود. این شک وجود دارد که ممکن بود لایبنیتز ایده ها را از این نامه ها گرفته باشد و از آنها در مطرح نمودن دست آوردهای شخصی اش استفاده کرد.
در سال 1704، یک بررسی بی نام و نشان از کار منتشر شده ی نیوتن روی مربع نمودن، نشان داد که نیوتن ایده مشتق تابع پیوسته را از لایب نیتس قرض گرفته بود. اما این موضوع موجب این پرسش اساسی است که آیا لایبنیتز ایده کار روی علم حسابان را از نیوتن گرفته بود.
Account of the Commercium Epistolicum
جامعه سلطنتی انگلستان در سال 1712 Commercium Epistolicum Collinii & aliorum, De Analysi promota را منتشر نمود که مجموعه ای از اسناد مرتبط با دعوای نیوتن و لایبنیتز بود. این گزارش به صورت مستعار منتشر شد اما اعتقاد بر این است که این پیش نویس توسط نیوتن نوشته شده بود.
اندکی بعد از این که لایبنیتز متهم به سوء استفاده شده و جامعه سطنتی نیوتن را برای توسعه و گسترش علم حسابان معتبر دانست، رأی هیأت منصفه از اعتبار ساقط شد. هر دو نفر برای توسعه علم حسابان معتبر شناخته شده بودند. زمانی که ادعاهایی زیادی که لایب نیتس سارق علمی است، پدیدار شدند، او در سال 1716 این مناظره را از جانب خودش در نامه ای به Abbot Antonio Conti توضیح داد:
به منظور پاسخ دهی نکته به نکته به تمام کار منتشر شده بر علیه من، مجبورم به نکات جزیی که 30، 40 سال پیش رخ داده، بپردازم، که جزئیات کمی را از آن به خاطر می آورم. مجبور بودم تا در نامه های قدیمی خودم جستجو کنم، که بسیاری از آنها گم شده اند. به علاوه، در اکثر موارد، کپی از آنها نداشتم و موقعی هم که کپی کرده بودم، کپی در تل عظیمی از کاغذها دفن شده است، که تنها می توانستم با صرف وقت و شکیبایی مرتب شان کنم. من فراغت کمی داشتم، با وجود مشغله هایی با ما هیت کاملاً متفاوت این موضوع اهمیت چندانی نداشت.
لایبنیتز نامه ای به جامعه سلطنتی فرستاد که نوع ماجرا از دیدگاه خودش را توضیح می داد. اما جامعه سلطنتی هرگز خواهان چنین توضیحاتی نبود. بعداً این جامعه کمیته ای را برای پایان بخشیدن به مناقشه نیوتن و لایبنیتز به کار گمارد. کمیته در این ماجرا به نفع نیوتن حکم داد. اعتقاد بر این است که در حقیقت، لایبنیتز بعضی از کارهای نیوتن را (در بریتانیا) کپی کرده بود و همان نتیجه در کتاب در باره ی جنگ بین فیلسوف ها با نام جدال میان نیوتن و لایبنیتز منتشر شد.
قطعاً اسحاق نیوتن کسی بود که اول علم حسابان خرد را ابداع نمود و این علم را به نحو گسترده‌ای در الگوریتمی تعمیم پذیر، استادانه و با زحمت به کار برد در حالی که به پتانسیل های این علم کاملاً واقف بود؛ با همین قطعیت، حساب دیفرانسیل و انتگرال، مخزن پیش رفت های بزرگ که به طور مداوم از سال 1684 تا کنون جاری است، به طور مستقل توسط گاتفرید لایب نیتس خلق شد.
انگلستان از به رسمیت شناختن کار لایبنیتز سر باز زد و نیوتن را برای گسترش علم حسابان معتبر دانست. کشفیات نیوتن در روش های حساب تفاضلی در کل انگلستان تدریس شدند.
با این حال بقیه دنیا هنوز قرار است برنده‌ی واقعی این رقابت را اعلام کند.
هرکسی ممکن است پدر علم حسابان باشد، اما نقش و سهم سِر اسحاق نیوتن و گاتفرید ویلهم لایبنیتز یا هر دو نفر نمی تواند از بیخ و بن نا دیده گرفته شود. هر دوی آنها باید برای کار وسیعی و عالی‌ای که در این زمینه انجام داده اند، معتبر شناخته-شوند.
جدال در افسانه؟ آیا وجود مناقشه بر سر این موضوع فقط یک خیال بافی است؟
در یک اپیزود به نام تجانس مادرانه، از طنزهای تلویزیونی معروف تئوری بیگ بنگ (انفجار بزرگ)، این نزاع با اولویت (مهم) در مکالمه بین شلدون و لئونارد نشان داده می شود. حسابان یا حساب دیفرانسیل و انتگرال خرد علمی است که روی حدها، مشتقات، انتگرال گیری، توابع و سری های نامتناهی تمرکز دارد. حسابان از خیلی قبل تر در فیزیک و اختر شناسی استفاده شد، و در سال های بعدی، علاوه بر دو حوزه قبلی در علوم اجتماعی یعنی در اقتصاد های نئو کلاسیک مطرح شد. با این وجود، کشف علم حسابان موضوع بحث بر انگیزی است.سِر اسحاق نیوتن، ریاضی دان و فیزیک دان انگلیسی، و گاتفرد ویلهم لایبنیتز ، یک فیلسوف و ریاضی دان آلمانی، پیش روان عنوان پدر علم حسابان می باشند. ا فراد کمی معتقدند اسحاق نیوتن بنیان گذار این شاخه از ریاضیات می باشد، در حالی که دیگران اعتقاد دارند این لایبنیتز بود که اول علم حسابان را کشف نمود. در این جا جنبه های گوناگون این مناقشه ی با اولویت (مهم) را فاش می‌نماییم.
سهم و نقش سِر اسحاق نیوتن در علم حسابان
سهم نیوتن در علم حسابان عمیق است. ادعا بر این است که روش مشتق تابع پیوسته و حساب دیفرانسیل سیال (روش قراردادی برای بیان پویایی دامنه) شکلی از علم حسابان است، نیوتن کار در این زمینه را از سال 1666 آغاز نمود. با این حال، این کارش هرگز در هیچ مقاله ای از مجلات ریاضی منتشر نشد. قاعده مشتق ضمنی، قاعده زنجیره ای، نمادگذاری برای مشتقات بالاتر، سری تیلر و توابع تحلیلی همگی از کارهای نیوتن می باشند. نه تنها کارهای او در ارتباط با علم حسابان بود، بلکه آنها را برای حل مسایل به کار برد. او شکلی از سطح شار دورانی، حرکت وزن لغزشی روی سیکلوئید، و بسیاری از چنین مسایل مشابه را با استفاده از روش خود در حسابان یافت.روش نیوتن در علم حسابان مبتنی بر واقعیت حدها و ریاضیات گسسته بود. امروزه هنوز روش حدها برای حل مسایل در حسابان استفاده می شود. کار برد حدها در حسابان مطلب مهمی نیست اما زمانی مهم می شود که متغیرهایی را در نظر بگیریم که با زمان تغییر می کنند. تئوری مشتق تابع پیوسته توسط نیوتن گسترش و رواج یافت، که اولین روش برای بیان تئوری بنیادین علم حسابان می باشد. مشتق تابع پیوسته عبارتی است که برای مسایل متفاوت حسابان به وسیله نیوتن استفاده شد و این مفهوم در کتابش به نام روش مشتق تابع پیوسته در سال 1736 منتشر شد. کتابی با نام ریاضیات Naturalis Principia Mathematica نیز طی این دوره نوشته شد. این کتاب 3 جلدی بود که توسط نیوتن به لاتین در سال 1687 منتشر شد. کتاب شامل مفاهیم پایه ای مکانیک کلاسیک و دیگر قوانین فیزیک می باشد. شکل هندسی حسابان در اولین جلد این کتاب شرح شد. مشتق مرتبه دوم و مراتب بالاتر و قاعده زنجیره ای و قاعده مشتق ضمنی برای انتگرال گیری و مشتق گیری نیز کارهایی از نیوتن بودند.
نقش و سهم گاتفرد ویلهم لایبنیتز در علم حسابان
لایبنیتز یک ریاضی دان آلمانی بود و اعتباری بابت ایفای نقشی در زمینه علم حسابان داشته است. نماد گذاری های او در ریاضیات هنوز قابل استفاده اند. برخلاف نیوتن که قضیه حدها را در حسابان به کار برد، لایبنیتز روی شکل نا متناهی و مطلق حسابان متمرکزتر شد. رساله کلکولس اولین بار توسط لایبنیتز منتشر شد که مناقشه ی سرقت دستاوردهای علمی را برعلیه لایبنیتز بر انگیخت.همان طور که پیشتر بحث شد، نیوتن متغیرهایی را در حسابان در نظر گرفت که با زمان تغییر می کنند، اما لایبنیتز بر این بود که این متغیرها در دنباله ای از مقادیر بسته قرار دارند ، یعنی این متغیرها در حال تغییر بودند اما حد کران آنها معین بود. تعریف شرط این کران موضوع مهمی نبود بلکه مقادیر dx و dy مهم بودند، که بین مقادیر متوالی دنباله گفته شده، متفاوت بودند. نماد گذاری هایی که لایبنیتز استفاده نمود، رسمی بودند و همان نماد گذاری ها به طور غیر رسمی در همه ی کارهایش استفاده شده بودند. او علامت ʃ را برای انتگرال گیری و علامت d را برای مشتقات استفاده کرد، همان نماد گذاری ها امروزه استفاده می شوند. برای اولین بار، توسط لایبنیتز انتگرال برای پیدا کردن مساحت زیر نمودار تابع (y = f(x استفاده شد. هرکسی که با حسابان آشنا باشد، با قانون لایبنیتز یعنی قاعده مشتق ضمنی در حساب دیفرانسیل آشنا خواهد بود. قاعده انتگرال لایبنیتز برای یافتن مشتق تحت علامت انتگرال می باشد. این قانون امروزه هنوز استفاده می شود.
هر دوی این ریاضی دانان بزرگ بی اندازه در این زمینه از ریاضیات نقش و سهم داشته اند. اما مناقشه در باره این که چه کسی پدر علم حسابان به شمار می رود، هنوز حل نشده باقی مانده است.
بیایید نگاهی دقیق تر به این بحث بیاندازیم.
مناقشهروی کرد: روی کرد تعبیر شده برای توسعه و گسترش علم حسابان به وسیله لایبنیتز و نیوتن متفاوت بود، با این حال آرمان آنها یکی بود. مفاهیمی که آنها خلق نمودند، در ارتباط با حسابان دیفرانسیل خرد بودند. اگر چه نیوتن روی کرد هندسی را نسبت به حسابان اتخاذ نمود، اما لایبنیتز آن را به عنوان یک ابزار تحلیلی به کار برد.
انتشار: نیوتن کار روی این مفاهیم را در سال 1666 آغاز نمود در حالی که کارهای لایبنیتز به تاریخ حدود 1674 با اولین انتشارش در سال 1684 می باشد. کارهای نیوتن تا زمان مرگش هرگز منتشر نشد. حسابان خرد در زمینه مشتق تابع پیوسته یا دیفرانسیل در مجله ی Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica در سال 1687 به شکل هندسی توضیح داده شدند. با این حال، تحقیق می گوید که کار برد این نماد گذاری در نامه ای که لایب نیتس به نیتون در سال 1677 نوشته، به کار رفته است.
نماد گذاری ها: مقاله های تحقیقی خاصی از لایبنیتز نشان می دهند که او به طور مستقل روی حسابان کار نمود. لایبنیتز در ابتدا برای مسایل سری های نامتنا هی به سمت انتگرال گیری رفت، در صورتی که نیوتن در ابتدا به عنوان راه حل، موضوع را با استفاده از مشتقات حل نمود. نیوتن هرگز روی کرد یک نواختی نسبت به کار برد نماد گذاری ها در حل مسایل حسابان نداشت، در حالی که لایب نیتس مجموعه ای از نماد گذاری ها را مطرح کرد که به طور رسمی در هر راه حلی استفاده نمود.
سرقت دست آوردهای علمی: بحث دیگری که به مناقشه اضافه شده، این حقیقت است که لایبنیتز بعضی از دست نوشته های نیوتن را دید و از آنها در کار گسترش علم حسابان استفاده نمود. لایبنیتز ممکن است از دست نوشته های منتشر نشده ی نیوتن سوء استفاده کرده، نماد گذاری ها را تغییر داده ، و کار را به نام خودش منتشر ساخته باشد. این حقیقت که نیوتن پیش از این روی برخی از مفاهیم علم حسابان با هم کارانش بحث کرده بود، به شدت وزنه بحث را به نفع او سنگین می کند. در سال 1984، در حالیکه C.I. گرهارت دیگر ریاضی دان آلمانی دست نوشته های لایبنیتز را خواند، رد پاهایی از کتاب نیوتن با نام De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas که در سال 1704 منتشر شده، یافت. لایبنیتز کمی قبل از مرگش، دیدن مقالات نیوتن را اقرار کرد، اما این طور بیان داشت که آنها کم اهمیت بودند یا اصلاً مهم نبودند. او اشاره به مقالاتی داشت که روش های تانژانت را در بر می گرفت.
هم کاری: این حقیقت معلوم نیست که لایبنیتز و نیوتن به طور منظم از طریق نامه با هم در ارتباط بودند و لابد موضوع بحث هم ریاضیات بود. این باور وجود دارد که اول نیوتن روش ها، فرمول ها و مفاهیمش در باره ی علم حسابان را در نامه ای به لایبنیتز به بحث گذاشته بود. این شک وجود دارد که ممکن بود لایبنیتز ایده ها را از این نامه ها گرفته باشد و از آنها در مطرح نمودن دست آوردهای شخصی اش استفاده کرد.
در سال 1704، یک بررسی بی نام و نشان از کار منتشر شده ی نیوتن روی مربع نمودن، نشان داد که نیوتن ایده مشتق تابع پیوسته را از لایب نیتس قرض گرفته بود. اما این موضوع موجب این پرسش اساسی است که آیا لایبنیتز ایده کار روی علم حسابان را از نیوتن گرفته بود.
Account of the Commercium Epistolicum
جامعه سلطنتی انگلستان در سال 1712 Commercium Epistolicum Collinii & aliorum, De Analysi promota را منتشر نمود که مجموعه ای از اسناد مرتبط با دعوای نیوتن و لایبنیتز بود. این گزارش به صورت مستعار منتشر شد اما اعتقاد بر این است که این پیش نویس توسط نیوتن نوشته شده بود.
اندکی بعد از این که لایبنیتز متهم به سوء استفاده شده و جامعه سطنتی نیوتن را برای توسعه و گسترش علم حسابان معتبر دانست، رأی هیأت منصفه از اعتبار ساقط شد. هر دو نفر برای توسعه علم حسابان معتبر شناخته شده بودند. زمانی که ادعاهایی زیادی که لایب نیتس سارق علمی است، پدیدار شدند، او در سال 1716 این مناظره را از جانب خودش در نامه ای به Abbot Antonio Conti توضیح داد:
به منظور پاسخ دهی نکته به نکته به تمام کار منتشر شده بر علیه من، مجبورم به نکات جزیی که 30، 40 سال پیش رخ داده، بپردازم، که جزئیات کمی را از آن به خاطر می آورم. مجبور بودم تا در نامه های قدیمی خودم جستجو کنم، که بسیاری از آنها گم شده اند. به علاوه، در اکثر موارد، کپی از آنها نداشتم و موقعی هم که کپی کرده بودم، کپی در تل عظیمی از کاغذها دفن شده است، که تنها می توانستم با صرف وقت و شکیبایی مرتب شان کنم. من فراغت کمی داشتم، با وجود مشغله هایی با ما هیت کاملاً متفاوت این موضوع اهمیت چندانی نداشت.
لایبنیتز نامه ای به جامعه سلطنتی فرستاد که نوع ماجرا از دیدگاه خودش را توضیح می داد. اما جامعه سلطنتی هرگز خواهان چنین توضیحاتی نبود. بعداً این جامعه کمیته ای را برای پایان بخشیدن به مناقشه نیوتن و لایبنیتز به کار گمارد. کمیته در این ماجرا به نفع نیوتن حکم داد. اعتقاد بر این است که در حقیقت، لایبنیتز بعضی از کارهای نیوتن را (در بریتانیا) کپی کرده بود و همان نتیجه در کتاب در باره ی جنگ بین فیلسوف ها با نام جدال میان نیوتن و لایبنیتز منتشر شد.
قطعاً اسحاق نیوتن کسی بود که اول علم حسابان خرد را ابداع نمود و این علم را به نحو گسترده‌ای در الگوریتمی تعمیم پذیر، استادانه و با زحمت به کار برد در حالی که به پتانسیل های این علم کاملاً واقف بود؛ با همین قطعیت، حساب دیفرانسیل و انتگرال، مخزن پیش رفت های بزرگ که به طور مداوم از سال 1684 تا کنون جاری است، به طور مستقل توسط گاتفرید لایب نیتس خلق شد.
انگلستان از به رسمیت شناختن کار لایبنیتز سر باز زد و نیوتن را برای گسترش علم حسابان معتبر دانست. کشفیات نیوتن در روش های حساب تفاضلی در کل انگلستان تدریس شدند.
با این حال بقیه دنیا هنوز قرار است برنده‌ی واقعی این رقابت را اعلام کند.
هرکسی ممکن است پدر علم حسابان باشد، اما نقش و سهم سِر اسحاق نیوتن و گاتفرید ویلهم لایبنیتز یا هر دو نفر نمی تواند از بیخ و بن نا دیده گرفته شود. هر دوی آنها باید برای کار وسیعی و عالی‌ای که در این زمینه انجام داده اند، معتبر شناخته-شوند.
/ج
.jpg "معرفی خوشنویسان معروف قرآن کریم")
