شرط بندي پاسکال

نويسنده: تام سيگفريد
مترجم: مهدي صادقي

هرچند ممکن است پارادوکس به نظر برسد، همه ي علوم دقيق تحت تسلط ايده ي تقريب هستند.
برتراند راسل (1)
پاسکال به عنوان جواني در فرانسه ي قرن هفدهم، به نظر مي رسيد تصميم گرفته رياضيدان بزرگي شود. او در شانزده سالگي رساله اي سرشار از نبوغ درباره ي هندسه نوشته بود و کامپيوتري ابتدايي براي کمک به محاسبات پدرش، که مأمور ضبط ماليات بود، اختراع کرده بود. اما در دوران بلوغ، پاسکال به مذهب روي آورد و رياضيات را فراموش کرد تا مجموعه اي از تفکرات فلسفي را در کتابي به نام تأملات (2) جمع آوري کن ( که بعد از مرگش چاپ شد ). در سي و نه سالگي درگذشت و ميراثي به جاگذاشت. به قول رياضيدان اي تي بل (3) « شايد بزرگ ترين ميراثي که ممکن بود در تاريخ گذاشته شود » (4).
امروزه در کتاب هاي درسي نام پاسکال، به دليل کمکي که او به اشرف زاده ي فرانسوي قماربازي انجام داد، نامي آشناست. آن چه پاسکال انجام داد نه مشاوره اي مذهبي درباره ي زشتي قمار، بلکه ابزاري رياضي بود که کمک مي کرد تا در قمار برنده شود. در مکاتبات پاسکال با پي ير فرما، پاسکال اساس نظريه ي احتمال را ابداع کرد. فارغ از تفکرات مذهبي پاسکال، ايده اش درباره ي احتمالات به عنوان مفهومي بنيادي در رياضيات با کاربرد ويژه در نظريه ي بازي ها در قرن هاي بعد ظاهر شد.
پاسکال مشاهده کرد که کافي نيست براي انجام شرط بندي احتمال بردن يا باختن را بدانيم. شما نياز داريد که بدانيد موضوع شرط بندي چيست. مثلاً اگر منفعت برنده شدن بسيار زياد باشد، ممکن است بخواهيد احتمال ضعيفي را انتخاب کنيد يا ممکن است بخواهيد بازي کم خطري انجام دهيد و بر روي چيز مطمئني شرط بندي کنيد حتي اگر منفعتش بسيار کم باشد. اما به نظر نمي رسد که عاقلانه باشد اگر منفعت ناچيز باشد، بر روي فرصتي با خطر زياد شرط بندي کنيد.
پاسکال اين موضوع را در نوشته هاي مذهبي اش، به ويژه درباره ي شرط بندي کردن درباره ي وجود خدا، طرح کرد. او گفت که انتخاب اعتقاد به خداوند مثل شرط بندي است. اگر شما به خداوند اعتقاد داشته باشيد و اين اعتقاد اشتباه باشد، چيزي را از دست نمي دهيد. اما اگر خداوند وجود داشته باشد، با اعتقاد به او خوشبختي ابدي را برنده مي شويد. حتي اگر احتمال وجود خداوند کم باشد، منافعش بسيار زياد است ( بي نهايت است ) و اين در هر حال شرط بندي خوبي است. پاسکال نوشت: « اجازه بدهيد منفعت و ضرر شرط بندي بر روي خدا را اندازه بگيريم و اجازه بدهيد اين دو شانس را تخمين بزنيم. اگر برنده شويد همه چيز را برده ايد، اما اگر ببازيد چيزي را از دست نداده ايد. پس بدون هيچ ترديدي درباره ي آن شرط بندي کنيد » (5).
استدلال پاسکال ممکن بود از نظر علوم ديني ساده باشد، اما قطعاً از نظر رياضي فريبنده بود (6). اين نوع استدلال در محاسبه ي « اميد رياضي » وارد تصميم گيري اقتصادي شد که در آن احتمال نتيجه در مقدار ارزش آن نتيجه ضرب مي شود. انتخاب منطقي، تصميمي است که به دست آوردن بيش ترين مقدار اميد را محاسبه مي کند. شرط بندي پاسکال غالباً به عنوان مثالي اوليه از نگرش بر پايه ي رياضي نظريه ي تصميم (7) ذکر مي شود.
البته در زندگي واقعي، مردم غالباً به سادگي با انجام چنين محاسباتي تصميم مي گيرند. اما وقتي بهترين تصميم شما به تصميمي که ديگران مي گيرند بستگي داشته باشد، نظريه ي ساده ي تصميم نمي تواند کاربرد داشته باشد و بهترين شرط بندي به مسئله اي در نظريه ي بازي ها تبديل مي شود ( بعضي متخصصان مي گويند نظريه ي تصميم، حالت خاصي از نظريه ي بازي هاست که در آن بازيکني در برابر طبيعت بازي مي کند ). احتمالات و منافع مورد انتظار، به شکلي عميق و پيچيده با نظريه ي بازي ها درهم تنيده است.
از اين منظر، همه ي علوم به شکلي عميق با نظريه ي احتمال درهم تنيده اند. اين نظريه براي کليه ي فرايندهاي مشاهده، تجربه، و اندازه گيري و سپس مقايسه ي اعداد با نظريه ضروري است. احتمالات نه فقط در اندازه گيري و سنجش فرضيه ها، بلکه در هر توصيفي از پديده هاي فيزيکي، به ويژه در زمينه ي فيزيک آماري، ظاهر مي شوند. البته در علوم اجتماعي، همان گونه که آدولف کتله دو قرن پيش ادعا کرد، نظريه ي احتمال ضروري و صرف نظر نکردني است. فکر مي کنم رابطه ي عميق نظريه ي بازي ها با احتمالات يکي از دلايلي است که چرا نظريه ي بازي ها چنين کاربردي در بسياري از زمينه هاي علمي پيدا کرده؛ ترديدي نيست که اين جنبه از نظريه ي بازي ها آن را به عاملي استراتژيک به عنوان ترکيب کننده ي آمار فيزيکي و اجتماعي به شکل فيزيک اجتماعي ( چيزي شبيه روان تاريخ آسيموف يا رمز طبيعت ) درآورده است.
تلاش براي درست کردن فيزيک اجتماعي براي توصيف جامعه، عمدتاً بر پايه ي نظريه ي بازي ها بلکه بر پايه ي مکانيک آماري بوده است. اما فرمول بندي احتمالاتي استراتژي هاي مخلوط نظريه ي بازي ها، شباهت هاي درخور ملاحظه اي با توزيع احتمال فيزيک آماري نشان مي دهد. در حقيقت، استراتژي هاي مخلوط مورد استفاده ي بازيکن هاي بازي، براي رسيدن به تعادل نش، توزيعي احتمالي دقيقاً شبيه توزيع مولکول ها در گاز هستند که فيزيک آماري محاسبه مي کند.
اين درک منجر به اين نتيجه ي شايان توجه مي شود که نظريه ي بازي ها و مکانيک آماري ماهيت هاي تغييريافته اي هستند. به عبارت ديگر، آن ها را مي توان با استفاده از زبان رياضي واحدي بيان کرد. دقيق تر اين که بايد گفت نسخه هاي معيني از نظريه ي بازي ها، رياضيات يکساني با فرمول بندي هاي خاصي از مکانيک آماري دارد، اما ارتباط عميقي در وراي آن وجود دارد. اين چيزي است که افراد کمي آن را ذکر کرده اند.

آمار بازي ها

اگر تحقيقات انجام شده را کامل دنبال کنيد، چند مقاله از چند نفر انگشت شمار پيدا مي کنيد که به تحقيق در زمينه ي ارتباط نظريه ي بازي ها و فيزيک آماري پرداخته اند. يکي از آن ها فيزيکدان - رياضيداني در مرکز تحقيقات ناسا در کاليفرنيا به نام ديويد ولپرت است.
ولپرت يکي از متفکران خلاقي است که کليشه هاي رايج علمي را نمي پذيرد. او بينش هاي خودش را دنبال مي کند و به مرزهاي غير شفافي علاقه مند است که فيزيک، رياضيات، علوم کامپيوتر، و نظريه ي پيچيدگي (8) را از هم جدا مي سازد ( يا به هم وصل مي کند ). من اولين بار او را در اوايل دهه ي 1990 ملاقات کردم در حالي که در انستيتو سانتافه در حال تحقيق روي مرزهاي علوم بين رشته اي بود و درباره ي موضوعاتي نظير محدوديت هاي محاسبه پذيري و ماهيت حافظه بحث کرديم.
در اويل سال 2004، وقتي او مقاله اي را قبل از چاپ در شبکه ي جهاني وب قرار داده بود، نام ولپرت دوباره به چشمم خورد (9). مقاله ي او نشان مي داد که چگونه مي توان با استفاده از نظريه ي اطلاعات بين نظريه ي بازي ها و فيزيک آماري پل زد ( که تصادفاً يکي از دلايل کليدي براي نوشتن اين کتاب را ايجاد کرد ). در واقع همان گونه که ولپرت در اين مقاله نشان داد در نگرش خاصي به مکانيک آماري از رياضياتي استفاده مي شود که معادل رياضيات بازي هاي غيرمشارکتي است.
مقاله ي ولپرت ذکر مي کند ذراتي که فيزيک آماري توصيف مي کند، در تلاش اند تا انرژي جمعي خود را حداقل کنند، نظير اين که مردم در بازي تلاش مي کنند تا به تعادل نش برسند و منفعتشان حداکثر شود. استراتژي هاي مخلوطي که بازيکن ها براي رسيدن به تعادل نش استفاده مي کنند، توزيع احتمالاتي شبيه توزيع انرژي ذراتي دارند که فيزيک آماري توصيف مي کند.
پس از خواندن مقاله ي ولپرت، نامه اي درباره ي اين مقاله به او نوشتم و چند ما بعد با او در کنفرانسي در بوستون ملاقات و بحث کردم. سؤال کردم چه چيزي او را به ايجاد ارتباط بين نظريه ي بازي ها و فيزيک آماري هدايت کرد و او پاسخ داد: پذيرفته نشدن مقاله.
ولپرت بر روي سيستم هاي يادگيري ماشيني جمعي کار مي کرد. وضعيتي که در آن کامپيوترها يا روبات ها يا ديگر دستگاه هاي خودکار منفرد، هر کدام با هدف هاي انفرادي خودشان مي توانند براي رسيدن به هدفي براي کل سيستم همکاري کنند. ايده ي مسئله، پيدا کردن راهي براي تثبيت روابط بين عامل هاي (10) منفرد بود؛ چنان که رفتار جمعي آن ها در خدمت هدف کلي باشد. او متوجه شباهت هايي در اين کار و مقاله اي درباره ي کامپيوترهايي در ابعاد نانو شد که در مجله ي Physical Review Letters چاپ شده بود. بنابراين يکي از مقالاتش را براي اين مجله فرستاد.
ولپرت گفت: « ويراستار مجله مقاله را برگرداند و گفت کاري که انجام مي دهيد فيريک نيست و اين مرا دلخور کرد ». او درباره ي فيزيک و نظريه ي بازي ها فکر کرد. گروهي از عامل ها با تمايلات خودشان که هنوز به دنبال هدف مشترکي باشند، کاملاً قابل قياس با بازيکن هاي بازي اي هستند که در جست و جوي تعادل نش هستند. او به ياد آورد: « سپس من گفتم، خوب، من سعي مي کنم که از اين ايده استفاده کنم و کاملاً آن را به زبان سيستمي فيزيکي معني کنم » (11).
بازي ها با بازيکنان و فيزيک يا مولکول ها سروکار دارند. بنابراين ولپرت بر روي رياضياتي کار کرد که استراتژي هاي يک بازيکن را شبيه حالت هاي مولکول در حال حرکت نشان مي داد. مخلوط همه ي استراتژي هاي بازيکن ها شبيه مجموعه ي حالت هاي حرکت تمامي مولکول ها بود که معمولاً با فيزيک آماري توصيف مي شد. فرمول هايي که او به آن ها دست يافت اجازه ي محاسبه ي تخمين خوبي از مجموعه ي واقعي استراتژي هاي بازيکن هاي منفرد را با داشتن آگاهي محدود درباره ي آن ها ممکن مي ساخت. سپس مي شد دقيقاً نوع مشابهي از محاسبات را براي استراتژي هاي ترکيبي همه ي بازيکن ها در يک بازي انجام داد. اساساً ولپرت نشان داد که چگونه رياضيات فيزيک آماري شبيه رياضيات بازي هايي است که در آن ها بازيکن ها عقلانيت محدود دارند.
او در مقاله اش نوشت: « اين موضوعات اساساً يکسان و مشابه هستند. اين تشخيص، پتانسيل انتقال بعضي از تکنيک هاي رياضي توانمند را که در فيزيک آماري توسعه يافته است براي تجزيه و تحليل نظريه ي بازي هاي غيرمشارکتي فراهم مي کند » (12).
طرح هاي رياضي ولپرت در ايده ي « آنتروپي حداکثر » ريشه داشت که فيريک آماري استاندارد را به نظريه ي اطلاعات ( رياضياتي که براي کمّي کردن ارسال و دريافت پيام ها طراحي شده بود ) ارتباط مي داد. ايده ي آنتروپي حداکثر ( يا ماکسنت (13) )، را ادوين جينس (14) در مقاله اي در سال 1957 ارائه کرد که شماري از فيزيکدانان آن را پذيرفتند، اما اکثرشان آن را ناديده گرفتند. ولپرت کار جينس را بسيار زيبا و عظيم ديد و فکر کرد اين همان چيزي است که دانشمندان « براي نظريه ي بازي هاي قرن بيست ويکم » به آن نياز دارند.
اصل جينس هم زمان جذاب و نااميدکننده است. اين اصل اساساً ساده به نظر مي رسد، اما با وجود اين ظاهر پيچيده اي دارد. اصل جينس با مفهوم فيزيکي آنتروپي مرتبط است، اما به گونه اي زيرکانه با آن تفاوت دارد. در هر حال توصيف آن به مقدمه ي کوتاهي درباره ي ماهيت نظريه ي احتمالات و نظريه ي اطلاعات نياز دارد که نظريه ي بازي ها و فيزيک آماري را به هم پيوند مي دهد.

احتمال و اطلاعات

براي قرن ها، دانشمندان و رياضيدانان درباره ي معني احتمال بحث کرده اند. حتي امروزه مکاتب جداگانه ي احتمال وجود دارد که عموماً با اصطلاحات « عيني » (15) و « ذهني » (16) نام گذاري مي شوند. اما اين اصطلاحات جزئيات تکنيکي و استدلال هايي را پنهان مي کنند که موجب شده اند نظريه ي احتمال يکي از جدال برانگيزترين و گيج کننده ترين زمينه هاي رياضيات و علوم باشد.
به طريقي که کمي تعجب برانگيز است، از آن جا که نظريه ي احتمال واقعاً در وراي بسياري از شالوده هاي علوم قرار دارد، در فرايند تجزيه و تحليل داده هاي تجربي و سنجش نظريه ها نقش مهمي دارد. فلسفه ها و نگرش هاي مختلفي در علم وجود دارد. حقيقت اين است که علم ( بر خلاف رياضيات ) بر بنيادهاي سخت و استوارِ احکام و قواعدِ تقليل ناپذير ساخته نشده است. علم شبيه دستور زبان است. دستور زبان از قواعدي حاصل مي شود که بدان طريق گوينده ي زباني بومي، کلماتش را شکل مي دهد و آن ها را به دنبال هم مي آورد. متخصص واقعي دستور زبان به مردم نمي گويد که چگونه بايد صحبت کنند، اما سبکي را تدوين مي کند که مردم واقعاً صحبت مي کنند. علم از کتاب آشپزي بيرون نمي آيد که دستور العمل هايي براي آشکارکردن رمزهاي طبيعت فراهم کند، بلکه از مخلوطي از روش هايي نشئت مي گيرد که هر يک به طريقي موفق به ارائه ي تصوير قابل درکي از طبيعت مي شوند. اين دليلي است بر اين که چرا همه ي علم تجربه يا همه ي علم نظريه نيست، بلکه اثر متقابل پيچيده اي از هر دو است.
به هر حال در نهايت اگر تصوير علمي طبيعت، بامعني و مفيد است، بايد تجربه و نظريه با هم سازگار باشند و در اکثر زمينه هاي علمي براي سنجش اين سازگاري به رياضيات نياز است. ابزاري براي انجام اين سنجش نظريه ي احتمال است ( در هر حال ايده هاي متفاوت درباره ي چگونگي انجام اين سنجش، منجر به درک هاي متفاوتي از احتمال مي شود ).
قبل از مَکسوِل، نظريه ي احتمال در علم، غالباً محدود به کمّي کردن چيزهايي مثل خطاي اندازه گيري مي شد. لاپلاس و ديگران راهي را براي تخمين ميزان دوربودن اندازه گيري از مقدار واقعي با درجه اي از اطمينان نشان دادند. لاپلاس اين نگرش را براي اندازه گيري جرم سياره ي زحل به کار برد. او نتيجه گرفت که به احتمال يک در يازده هزار، جرم زحل بيش از يک درصد از مقدار اندازه گيري شده انحراف دارد ( همان طور که مشخص شده در واقع بهترين اندازه گيري امروزه فقط 0/6 درصد با زمان لاپلاس اختلاف دارد ). نظريه ي احتمال به راه دقيقي براي چنين تخمين هايي توسعه يافته است.
اما واقعاً خود احتمال چه معني مي دهد؟ اگر شما از افرادي سؤال کنيد که بايد پاسخ آن را بدانند، جواب هاي متفاوتي خواهيد شنيد. مکتب « عيني » اصرار دارد که احتمال هر رويدادي، ويژگي آن رويداد است. شما مشاهده مي کنيد که آن رويداد در چه کسري از همه ي حالت ها اتفاق مي افتد و بدين وسيله احتمال عيني آن را اندازه مي گيريد. از طرف ديگر، ديدگاه « ذهني » استدلال مي کند که احتمال، باور به اين موضوع است که چه قدر محتمل است بعضي چيزها اتفاق بيفتند. ذهني گرايان ادعا مي کنند که اندازه گيري وقوعِ بعضي چيزها به شما فراواني نسبي مي دهد و نه يک احتمال.
در اين جا قصد ندارم تا درباره ي بحث مزيت نسبي هر کدام از اين دو ديدگاه کنکاش کنم. ده ها کتاب به اين مباحثات پرداخته اند که عمدتاً ارتباطي به نظريه ي بازي ها ندارند. واقعيت اين است که امروزه ديدگاه غالب، حداقل بين فيزيکدانان، نگرش ذهني است که محتوي عناصري است که براي تشخيص درست داده هاي علمي ضروري است.
آمار ذهني غالباً آمار بيزي (17) ناميده مي شود ( به نام تامس بيز (18) کشيش انگليسي ). وي در مقاله اي که در سال 1763، دو سال پس از مرگش، انتشار يافت راجع به آن بحث کرده بود. امروزه فرمولي، که به نام قضيه ي بيز شناخته شده، هسته ي اصلي کاربرد نگرش آمار ذهني است ( هرچند که قضيه ي دقيق آن را لاپلاس بيان کرد ). در هر حال، امروزه ديدگاه بيزي به گونه اي متنوع بيان مي شود و توافق زيادي در اين باره وجود ندارد که چگونه بايد تفسير و به کار برده شود ( شايد چون اين آمار ذهني است ).
از نقطه نظر کاربردي، رياضيات نظريه ي احتمال عيني و ذهني در بنياد با هم تفاوتي ندارند. همان گونه که جينس نيم قرن پيش ذکر کرده بود، به نظر مي رسد فقط در بعضي حالات، کاربرد يکي از ديگري راحت تر يا مناسب تر است.
$ اطلاعات و جهل (19)
جينس در مقاله ي سال 1957، از وجه ذهني بودن بحث احتمال دفاع کرد (20). او ذکر کرد که به هر دو ديدگاه، ذهني گرايانه و عيني گرايانه، در فيزيک نياز است، اما براي بعضي مسائل فقط بايد نگرش ذهني به کار برده شود.
او ادعا کرد که نگرش ذهني مي تواند مفيد باشد؛ حتي وقتي که شما درباره ي سيستمي که علاقه مند به مطالعه ي آن هستيد چيزي نمي دانيد اگر به شما جعبه اي پر از ذراتي بدهند که هيچ چيزي راجع به آن نمي دانيد ( نه جرم آن ها، نه ترکيب آن ها، و نه ساختار داخلي آن ها )، نمي توانيد چيزي درباره ي رفتار آن ها بگوييد. شما قوانين فيزيک را مي دانيد، اما هيچ دانشي درباره ي سيستم نداريد تا اين قوانين را در خصوص آن به کار بنديد. به عبارت ديگر، جهل شما درباره ي رفتار ذرات، حداکثر ممکن است.
پيشگامان اوليه ي نظريه ي احتمال، مثل جيکب برنولي (21) و لاپلاس، مي گفتند که در چنين شرايطي تا وقتي دليلي براي فرض ديگري نداريد بايد به سادگي فرض کنيد که همه ي ذرات هم شانس هستند. اين موضوع شايد در انجام محاسبات کمک کند، اما هيچ اساس واقعي براي اين فرض وجود ندارد که احتمالات يکسان هستند. جينس گفت به استثناي مواردي که تقارن به طور طبيعي نقش دارد ( مثلاً سکه ي دو وجهي کاملاً سالم )، فرض هاي زياد ديگري ممکن است به همين ميزان محق باشند ( يا به تعبيري که او به کار برد، هر فرض ديگري مي تواند به همان اندازه اختياري باشد ) (22).
جينس به کمک نظريه ي جديد اطلاعات، که کلود شنون (23) در آزمايشگاه هاي بل (24) ابداع کرده بود، راهي براي غلبه بر اين وضعيت پيدا کرد. شنون به کمّي کردن ارتباطات، انتقال پيام، علاقه مند بود تا به طريقي به مهندسان کمک کند که راهي براي ارتباط کار آمرتر پيدا کنند ( به هر حال او براي شرکت تلفن کار مي کرد ). شنون رياضياتي را يافت که اگر شما ارتباطات را کاهش عدم قطعيت فرض مي کرديد، مي توانست اطلاعات را به خوبي کمّي کند. قبل از آن که ارتباط برقرار شود، همه ي پيغام ها ممکن هستند؛ بنابراين عدم قطعيت زياد است و وقتي که پيغام مي رسد، عدم قطعيت کاهش مي يابد.
رياضيات شنون به طور کلي براي هر سيستم انتقال سيگنالي، از رمزهاي مورس گرفته تا انتقال علائم به کمک دود، به کار برده مي شود؛ مثلاً، فرض کنيد که مي خواهيد فقط يک کلمه ي انگليسي ( از بين همه ي کلمات لغت نامه اي استاندارد که شامل نيم ميليون کلمه است ) بفرستيد. اگر شما به گيرنده ي پيغام بگوييد که اين کلمه در نيمه ي اول لغت نامه است، تعداد حالت هاي ممکن را از 500.000 به 250.000 کاهش داده ايد. به عبارت ديگر، شما عدم قطعيت را به نصف کاهش داده ايد ( اتفاقي که افتاده برابر يک بيت اطلاعات است ).
توضيحات دقيق شنون درباره ي اين ايده نشان مي دهد که چگونه همه ي ارتباطات را مي توان بر اساس اين ايده که پيغام ها عدم قطعيت را کاهش مي دهند کمّي کرد. او فرمولي را براي کمّي کردن پيدا کرد که عدم قطعيت را دقيقاً اندازه مي گرفت و هرچه مقدار عدم قطعيت بيش تر بود، حاصل آن بيش تر مي شد. شنون اين مقدار را آنتروپي ناميد که با اصطلاح آنتروپي مورد استفاده ي فيزيکدانان در مکانيک آماري و ترموديناميک قياس پذير است.
آنتروپي فيزيکدانان مقياسي از بي نظمي در سيستم فيزيکي است. فرض کنيد ظرفي داريد که از دو بخش مجزا تشکيل شده است و يک ميليارد مولکول اکسيژن را در بخش سمت چپ و چهار ميليارد مولکول نيتروژن را در بخش سمت راست قرار داده ايد. سپس ديواره ي بين دو بخش را برمي داريد. مولکول ها به سرعت و بسيار نامنظم با هم مخلوط مي شوند، بنابراين آنتروپي سيستم افزايش مي يابد. اما اتفاق ديگري نيز مي افتد. شما نمي دانيد که مولکول ها کجا هستند. جهل شما درباره ي مکان مولکول ها با افزايش آنتروپي، افزايش مي يابد. شنون نشان داد که فرمول او براي آنتروپي در ارتباطات، به عنوان مقياسي براي جهل يا عدم قطعيت، دقيقاً شبيه معادله اي است که در مکانيک آماري براي توصيف افزايش آنتروپي مجموعه اي از ذرات استفاده مي شود.
به عبارت ديگر، آنتروپي چيزي معادل جهل است. آنتروپي مترادف با عدم قطعيت است. از اين رو، نظريه ي اطلاعات راه جديد و دقيقي براي اندازه گيري عدم قطعيت در يک توزيع احتمال فراهم مي کند.
بنابراين يک راهنما براي وقتي داريد که درباره ي احتمالاتِ سيستمي که مي خواهيد مطالمه کنيد چيزي وجود ندارد. يک توزيع احتمال انتخاب کنيد تا آنتروپي را حداکثر کند! آنتروپي حداکثر به معناي جهل حداکثر است و اگر هيچ چيز نمي دانيد، بنا به تعريف، جهل در حداکثر است. پس در نظر گرفتن حداکثر آنتروپي / جهل، يک فرض نيست، بلکه توضيحي واقعي درباره ي وضعيت است.
جينس پيشنهاد کرد که مفهوم جهلِ حداکثر بايد اصلي پايه اي باشد که براي توصيف علمي همه چيز به کار رود. در اين ديدگاه خود مکانيک آماري فقط شامل مجموعه اي از استنتاجات آماري درباره ي يک سيستم مي شود. با در نظرگرفتن نگرش آنتروپي حداکثر، شما همه ي قواعد محاسباتي را که مکانيک آماري فراهم کرده در اختيار داريد بي آن که به هيچ فرضي درباره ي فيزيک ماوراي آن نياز داشته باشيد.
به ويژه حالا شما مي توانيد اين مفهوم را توجيه کنيد که همه ي احتمالات به صورت مساوي ممکن هستند. ايده ي کلي اين است که هيچ احتمالي ( که برساس قوانين فيزيک مجاز است ) کنار گذاشته نشود. هر چيزي را که نتوان به واسطه ي اطلاعاتي که داريد کنار گذاشت، بايد چيزي در نظر گرفت که احتمال وقوع دارد ( در مکانيک آماري استاندارد، اين ويژگي به سادگي و بدون هيچ دليلي در نظر گرفته شد. توزيع احتمال بر اساس اين ايده قرار داشت که مولکول ها همه ي رفتارهاي ممکن را نشان مي دهند ). اگر شما هيچ چيز نمي دانيد، نمي توانيد بگوييد که يک امکان از تمامي امکان هاي ديگر محتمل تر است و اين خود، دانش است.
البته اگر شما چيزي درباره ي بعضي احتمالات بدانيد، مي توانيد آن را از توزيع احتمالي که براي پيش گويي درباره ي آن چه رخ مي دهد به کار مي بريد، کنار بگذاريد. اما اگر هيچ چيز نمي دانيد، فقط يک توزيع احتمال وجود دارد که مي توانيد تشخيص دهيد: توزيع احتمالي که آنتروپي حداکثر، عدم قطعيت حداکثر، و جهل حداکثر را دارد. اين معني دار به نظر مي رسد؛ چرا که در حقيقت ندانستن هيچ چيز به معناي حداکثر ناداني است.
اين همان جادويي است که پيش بيني را ممکن مي سازد حتي وقتي که هيچ چيز درباره ي ذرات يا آدم هايي که قصد داريد درباره ي آن ها پيش بيني کنيد نمي دانيد. البته پيش بيني شما ممکن است نتيجه ي درستي ندهد. اما اين هنوز بهترين پيش بيني ممکن است که مي توانيد انجام دهيد و محتمل ترين جوابي است که مي توانيد تشخيص دهيد وقتي چيزي براي شروع نمي دانيد.
جينس نوشت: « واقعيت اين است که توزيع احتمال حداکثر کننده ي آنتروپي با قيدهاي معين، واقعيتي اساسي براي توجيه استفاده از اين توزيع در استنتاج است. فارغ از اين که نتايج با آزمايش ها توافق داشته باشد، اين توزيع نشان دهنده ي بهترين تخميني است که مي تواند بر اساس اطلاعات در دسترس ساخته شود » (25).
اما « آنتروپي حداکثر » در واقع به چه معناست. به طور ساده اين عبارت به معناي انتخاب توزيع احتمالي است که از اضافه کردن همه ي وضعيت هاي ممکن به دست مي آيد که قوانين طبيعت اجازه مي دهند ( از آن جا که هيچ چيز نمي دانيد، نمي تواني هيچ امکاني را ناديده بگيريد )؛ مثالي ساده بزنم، فرض کنيد که مي خواهيد نمره ي ميانگين کلاسي با صد دانش آموز را پيش بيني کنيد. همه ي آن چه مي دانيد اين است که هر کسي نمره اي دارد و نمره بايد A ،D ،B ،C، يا F باشد. شما چيزي راجع به استعداد دانش آموزان يا سخت و آسان بودن درس نمي دانيد. بهترين پيش بيني شما از نمره ي ميانگين دانش آموزان در کلاس چيست؟ به عبارت ديگر، چگونه مي توانيد توزيع احتمالي براي نمرات پيدا کنيد که به شما بگويد محتمل ترين نمره ي ميانگين چيست؟
با به کاربردن اصل آنتروپي حداکثر يا جهل حداکثر، به سادگي مي توانيد فرض کنيد که نمرات به همه ي طرق ممکن توزيع شده اند و تمامي ترکيبات ممکن، احتمالي مساوي دارند. مثلاً يک توزيع ممکن اين است که هر صد نفر نمره ي F گرفته باشند يا مثلاً هر بيست نفر يکي از نمرات را گرفته باشند. مي توانيد فرض کنيد 50 نفر نمره ي c، 20 نفر نمره ي B، 20 نفر نمره ي D، 5 نفر نمره ي A و 5 نفر نمره ي F گرفته اند. مجموع تمامي ترکيبات ممکن، توزيع احتمالي متناظر با عدم شناخت ( جهل حداکثر ) نسبت به کلاس، دانش آموزان، و نمره هايشان مي دهد.
در فيزيک آماري چنين چيزي را « مجموعه ي کانوني » (26) مي نامند که مجموعه اي از حالت هاي ممکن براي مولکول ها در يک سيستم است. هر ترکيب ممکن، يک « حالت کوچک » (27) است. تعداد زيادي از « حالت هاي کوچک » ممکن متفاوت، ( مثل توزيع نمرات ) مي توانند به ميانگين يکساني ( حالت بزرگ (28) ) منجر شوند.
سعي نکنيد همه ي ترکيبات ممکن را رديف کنيد. اين کار وقت خيلي زيادي مي گيرد ( درباره ي چيزي در حدود 10 به توان 70 صحبت مي کنيد )، اما مي توانيد محاسبه کنيد ( يا به طور شهودي ببينيد ) که محتمل ترين نمره ي ميانگين c خواهد بود. از همه ي ترکيبات وضعيت هاي ممکن، بسياري از آن ها به ميانگين C ختم مي شوند. مثلاً فقط يک راه براي به دست آوردن ميانگين A وجود دارد و آن اين که همه ي دانش آموزان نمره ي A بگيرند. اما مي توانيد ميانگين C را به طرق مختلف به دست آوريد. مثلاً 100 نمره ي C، 50 نمره ي A، و 50 نمره ي F يا 20 دانش آموز هر کدام با يکي از نمرات و نظاير اين ها (29).
$ بازگشت به بازي ها
در نظريه ي بازي ها نيز استراتژي مخلوط يک بازيکن، توزيعي احتمالي و بسيار شبيه نمرات دانش آموزان است. تمامي نظريه ي بازي ها درباره ي اين مسئله است که چگونه مي توان بهترين استراتژي مخلوط هر بازيکني را براي به دست آوردن منفعت حداکثر در بازي تعيين کرد. در بازي با چندين بازيکن، حداقل يک استراتژي مخلوط براي همه ي بازيکن ها وجود دارد که در آن هيچ بازيکني نمي تواند با تغيير استراتژي ها منفعت بيش تري کسب کند؛ همان تعادل نش که مهم ترين اصل بنيادي است.
اما اصل بنيادي نش در نظريه ي بازي هاي جديد مشکلات خودش را دارد. هر چند درست است ( و نش نشان داد ) که همه ي بازي ها ( با شرايط معين ) حداقل يک تعادل نش دارند، بسياري از بازي ها مي توانند بيش تر از يک تعادل داشته باشند. در اين حالات، نظريه ي بازي ها نمي تواند پيش بيني کند که کدام نقطه ي تعادل به دست مي آيد. به عبارت ديگر، نمي توانيد بگوييد که بازيکن ها کدام مجموعه از استراتژي هاي مخلوط را در جهاني واقعي اتخاذ مي کنند. حتي اگر فقط يک تعادل نش در بازي پيچيده اي وجود داشته باشد، محاسبه ي استراتژي هاي مخلوط همه ي بازيکن ها فراتر از توانايي هاي مجموعه اي از سوپر کامپيوترهاست.
اين مشکل با نقص ديگري تشديد مي شود که در نظريه ي بازي هاي سنتي وجود دارد و آن اين که فرض مي شود همه ي بازيکن ها با دسترسي به تمامي اطلاعاتِ لازم براي محاسبه ي منفعتشان، به دنبال حداکثر کردن آن هستند. در جهاني که اکثر مردم نمي توانند ماليات فروش همبرگر را محاسبه کنند، اين توقع بي جايي است. در زندگي واقعي، مردم افرادي « کاملاً عاقل » نيستند تا قادر به محاسبه ي بهترين استراتژي حداکثرکننده ي پولشان براي هر ترکيب استراتژي باشند که از جانب ديگر رقبا به کار گرفته مي شود. بنابراين، به نظر مي رسد نظريه ي بازي ها انتظار دارد هر بازيکني بتواند کاري را انجام دهد که سوپر کامپيوترها نمي توانند. در واقع تقريباً هر کسي تشخيص مي دهد که چنين عقلانيت کاملي دست يافتني نيست. بدين دليل، نگرش هاي جديد به نظريه ي بازي ها، اغلب فرض مي کنند که اين عقلانيت محدود يا « کران دار » (30) است.
نظريه پردازان بازي ها، راه هاي مختلفي را براي برخورد با اين محدوديت در رياضيات اوليه ي نش طراحي کرده اند. تحقيقات بسيار زيادي براي اصلاح فرمول بندي اوليه و رفع عيوب نظريه ي بازي ها انجام شده است؛ مثلاً، بسياري از کارها با درک محدوديت عقلانيت انجام شده است. با وجود اين غالباً بسياري از نظريه پردازان بازي ها به اين ايده چسبيده اند که حل بازي به معناي پيدا کردن تعادل يا نتيجه اي است که در آن همه ي بازيکن ها حداکثر منفعت را به دست مي آورند. نظريه پردازان بازي ها به جاي اين که فکر کنند وقتي بازيکن ها در عالم واقعي بازي مي کنند چه اتفاقي مي افتد، مي پرسند که هر بازيکن چه بايد بکند تا منفعتش را حداکثر کند.
وقتي يک سال بعد از گفت و گويمان در بوستون، ولپرت را در ناسا ملاقات کردم او به جست و جو براي مقادير تعادل با نگاه کردن به بازي از درون، از ديدگاه بازيکني مشارکت کننده در بازي، و نه نگاهي از بيرون از ديد دانشمندي در حال سنجش کل سيستم، اشاره کرد. از درون بازي ممکن است راه حل بهينه اي وجود داشته باشد، اما دانشمندي که از بيرون نگاه مي کند بايد فقط پيش بيني کند که چه اتفاق مي افتد ( سعي نمي کند که برنده ي بازي باشد ). اگر شما بدين طريق به بازي نگاه کنيد، مي دانيد که هرگز نمي توانيد مطمئن باشيد که چگونه بازي به آخر خواهد رسيد. بنابراين علم نظريه ي بازي ها نبايد فقط در جست و جوي يک پاسخ باشد، بلکه يک توزيع احتمالي پاسخ ها را جست و جو مي کند و بهترين پيش گويي ممکن از نتايج بازي به دست مي آيد. ولپرت تأکيد مي کند: « هر وقت به شما اطلاعات جزئي درباره ي سيستم داده شود، چيزي که بايد در جست و جوي آن باشيد يک توزيع احتمال است و نه يک پاسخ » (31).
به عبارت ديگر، در گذشته دانشمندان حداقل درباره ي بازيکن هاي بازي به شکل مجموعه ي ذرات فکر نمي کردند. اگر بدين طريق فکر کنيد، در مي يابيد که هيچ فيزيکداني که خواص ترموديناميکي گاز را محاسبه مي کند نگران نيست که هر مولکولي چه مي کند. ايده ي کار، مشخص کردن ويژگي هاي توده اي مجموعه ي مولکول هاست. شما نمي توانيد بفهميد کدام مولکول چه مي کند، اما مي توانيد از طريق آماري رفتار ماکروسکوپي همه ي ترکيبات مولکول ها را محاسبه کنيد. تناظر بين بازي ها و گازها بايد روشن شود. فيزيکدانان آماري که گازها را مطالعه مي کنند، نمي دانند که هر مولکولي چه مي کند و نظريه پردازان بازي ها نمي دانند که هر بازيکني به چه فکر مي کند. اما فيزيکدانان مي دانند که مجموعه ي مولکول ها احتمالاً چگونه رفتار مي کنند و مي توانند پيش بيني خوبي راجع به خواص توده اي گازها داشته باشند. به همين ترتيب، نظريه پردازان بازي ها بايد قادر به پيش بيني آماري درباره ي آن چه در بازي رخ مي دهد باشند.
ولپرت مکرراً تأکيد مي کند که اين راهي است که علم معمولاً به کار مي برد. دانشمندان اطلاعات محدودي درباره ي سيستم تحت مطالعه دارند و تلاش مي کنند تا بهترين پيش بيني ممکن را با اطلاعاتي انجام دهند که دارند. همان گونه که بازيکنِ بازي، اطلاعات ناکاملي درباره ي ترکيبات استراتژي ممکن بازي دارد، دانشمندي که بازي را مطالعه مي کند نيز اطلاعات ناکاملي در اين باره دارد که بازيکن ها چه مي دانند و چگونه فکر مي کنند ( به ياد بياوريد که افراد مختلف به طرق مختلفي بازي مي کنند ). ولپرت ذکر مي کند که همه ي علوم با اين نوع مسائل مواجه هستند که بخشي از سيستم را مي شناسند و براساس اين دانش محدود، سعي مي کنند تا پيش بيني کنند چه اتفاقي مي افتد. او مي گويد: « بنابراين علم چگونه بايد به پرسش ها پاسخ دهد؟ در هر زمينه ي علمي، نتيجه ي چنين کاري يک توزيع احتمال است » (32).
از اين نقطه نظر، نوع ديگري از استراتژي هاي مخلوط وارد نظريه ي بازي ها مي شود. موضوع فقط اين نيست که هر بازيکني استراتژي مخلوط دارد ( يک توزيع احتمال از حرکت هاي ممکن که از ميان آن ها انتخاب مي کند )، دانشمندان توصيف کننده ي بازي ها نيز نوعي « استراتژي مخلوط » از پيش بيني هاي ممکن درباره ي نتيجه ي بازي دارند.
ولپرت گفت: « وقتي شما در اين باره فکر کنيد به نظر بديهي مي رسد. اگر من به شما بازي اي يا انسان هاي واقعي بدهم، هميشه نتيجه ي يکساني نخواهيد داشت. شما بيش از يک نتيجه ي ممکن داريد. اين همان چيزي نيست که هميشه با مجموعه هاي دقيقاً يکسان از استراتژي هاي مخلوط به دست مي آيد. در اين جا مثل بقيه ي سناريوهاي علمي، توزيعي پيرامون استراتژي هاي مخلوط وجود دارد ».
اين موضوع به وضوح نظريه ي بازي ها را به سطح ديگري مي برد. درحالي که همه ي بازيکن ها استراتژي مخلوط يا يک توزيع احتمال از استراتژي هاي محض دارند، دانشمند توصيف کننده ي بازي نيز بايد توزيع احتمال همه ي استراتژي هاي مخلوط بازيکن ها را محاسبه کند. چگونه مي توانيد اين توزيع احتمال استراتژي هاي مخلوط را پيدا کنيد؟ البته با حداکثر کردن جهلتان! اگر مي خواهيد با نظريه ي بازي ها به گونه اي عمل کنيد که مردم مثل ذرات در نظر گرفته شوند، بهترين نگرش اين است که يک توزيع احتمال براي استراتژي هاي آن ها فرض کنيد که عدم قطعيت، يا به اصطلاح نظريه ي اطلاعات آنتروپي، را حداکثر کند. با استفاده از اين نگرش به اين فرض که بازيکن هاي بازي عقلانيت محدودي دارند، نيازي نداريد. چنين محدوديتي طبيعتاً در فرمول هايي ظاهر مي شود که نظريه ي اطلاعات فراهم کرده است. سپس با داشتن توزيع احتمال نتيجه هاي ممکن براي بازي مي توانيد، با استفاده از اصول نظريه ي تصميم، انتخاب کنيد که کدام نتيجه به دست مي آيد.
ولپرت گفت: « وقتي به پيش بيني نياز داريد، توزيع احتمال آن را انجام نمي دهد شما بايد تصميم بگيريد که موشک را شليک کنيد يا نکنيد، به چپ برويد يا به راست ». لئونارد سويج (33) در دهه ي 1950، به اصول موضوعه ي مباني رياضياتي چنين تصميم گيري هايي دست يافت (34). اگر شما توزيع احتمال نتايج ممکن را داشته باشيد، به اندازه اي مي دانيد که فقط يک پيش بيني انجام دهيد؛ از اين رو، نياز داريد در نظر بگيريد که اگر تصميم شما غلط ( يا صحيح ) باشد، چه مقدار از دست مي دهيد ( يا به دست مي آوريد ).
ولپرت شرح مي دهد: « اگر شما X را پيش بيني کنيد، اما Y صحيح باشد، چه مقدار آسيب مي بينيد؟ يا برعکس چه مقدار منفعت مي بريد؟ انواع مشخصي از پيش بيني هاي غلط، بسته به اين که حقيقت چه باشد به شما آسيب چنداني نمي زنند، اما در نمونه هاي ديگر، پيش بيني شما درباره ي حقيقت ممکن است منجر به هر نوع شوکي بشود و مثلاً جنگ جهاني سوم را به راه اندازد ».
نظريه ي تصميم ديکته مي کند شما بايد به گونه اي پيش بيني کنيد که ضرر مورد انتظارتان را حداقل کند ( مورد انتظار بر اين دلالت دارد که احتمالات انتخاب ها در نظر گرته شده و شما مقدار اين ضرر را بر روي همه ي امکان ها ميانگين گيري کنيد ). متعاقباً، ولپرت ذکر مي کند که مشاهده کنندگان منفرد متفاوت، پيش بيني هاي متفاوتي درباره ي نتيجه ي بازي انجام مي دهند حتي اگر توزيع احتمال نتايج ممکن مشابه باشد؛ چرا که بعضي از مردم براي پيش بيني کاملاً نادرست، بيش تر از ديگران ضرر مي کنند.
ولپرت مي گويد: « به عبارت ديگر، در بازي کاملاً مشابهي، تصميم شما به عنوان شخصي خارجي که پيش بيني مي کند، بسته به تابع ضرر شما ممکن است فرق داشته باشد ». اين بدان معني است که بهترين پيش بيني درباره ي نتيجه ي بعضي نقاط تعادلي که در بازي برقرار شده نيست، بلکه بيش تر به « شخصي در بيرون بازي بستگي دارد که نتيجه ي بازي را پيش بيني مي کند ». بنابراين، بعضي اوقات محتمل ترين نتيجه ي بازي يک تعادل نش نخواهد بود.
اما اگر تعادل نش نتيجه ي پايداري را نشان مي دهد که در آن هيچ کس انگيزه اي براي تغيير ندارد، چرا نتيجه به دست نمي آيد. اين شبيه مردمي به نظر مي رسد که استراتژي شان را وقتي تغيير مي دهند که ديگر انگيزه اي نداشته باشند. اما وقتي نظريه ي بازي ها در قالب معادلات آنتروپي حداکثر نظريه ي اطلاعات در مي آيد، پاسخ روشن مي شود. يک جمله در معادلات، هزينه ي محاسبه ي بهترين استراتژي را بيان مي کند؛ در بازي هاي پيچيده، اين هزينه احتمالاً خيلي زياد خواهد بود. به عبارت ديگر، بازيکني که تلاش مي کند منفت حداکثر را به دست آورد بايد هزينه ي محاسبه اي را در نظر بگيرد که براي به دست آوردن آن منفعت انجام مي دهد. منغعت بازيکن فقط درآمد مورد انتظار نيست، بلکه درآمد مورد انتظار منهاي هزينه ي محاسبه ي آن است.
گذشته از اين، تفاوت هاي فردي مي تواند بر اين محاسبه تأثير بگذارد. رياضيات جهل حداکثر ( که حداکثر کردن عدم قطعيت است ) شامل جمله ي ديگري نيز هست که مي توان آن را به عنوان دماي بازيکن تعبير کرد. دما، جهل ( يا عدم قطعيت ) را به هزينه ي محاسبه ي استراتژي ارتباط مي دهد. عدم قطعيتِ بيش تر درباره ي آن چه انجام مي دهيد به معناي هزينه ي بيش تر براي حل کردن چيزي است که انجام مي دهيد. دماي پايين به معناي اين است که بازيکن براي پيدا کردن بهترين استراتژي، بدون توجه به هزينه ي محاسبه ي آن، تمرکز کرده است و بازيکني با دماي بالاتر، بيش تر استراتژي هاي ممکن را جست و جو مي کند.
ولپرت شرح مي دهد: « اين يعني افرادي که کاملاً عاقل هستند ( کساني که غالباً بهترين کار ممکن را انجام مي دهند ) سرد هستند. آن ها يخ زده هستند. در حالي که کساني که همه نوع کاري ( بيش تر از حد مرسوم ) انجام مي دهند و در جست و جوي تمام امکانات هستند گرم هستند. اين اتفاق از حوزه ي رياضي بيرون است. استعاره نيست؛ چيزي است که واقعاً صحت دارد » (35).
به عبارت ديگر، دما کميتي از غيرعقلاني بودن را نشان مي دهد. در گاز، دماي بالاتر به معناي آن است که احتمال بيش تري وجود دارد که مولکول ها در آرايشي نباشند که انرژي آن ها را حداقل مي کند. براي بازيکن هاي بازي، دماي بالاتر به معناي احتمال بيش تر براي آن است که منفعتشان را حداکثر نکنند.
ولپرت گفت: « قياس اين است که شما اين احتمال را پيش رو داريد که در حالتي کاملاً منطقي نباشيد. اين دقيقاً همان چيز است. انرژي کم، منفعت را افزايش مي دهد ». شما هنوز دوست داريد آن استراتژي را دنبال کنيد که منفعتتان را افزايش دهد، اما چگونگي آن بيش تر به دماي شما بستگي دارد (36).
رياضيات آنتروپي حداکثر مي گويد که بازيکن هاي بازي، عقلانيت محدودي دارند. اين چيزي نيست که شما بايد فرض کنيد، بلکه طبيعتاً از نقطه نظر کساني ناشي مي شود که به جاي نگاه از داخل، از خارج به بازي نگاه مي کنند.
ولپرت تأکيد مي کند: « مسئله ي بسيار مهمي است؛ از آن جا که مردم استراتژي هاي مخلوط را دنبال مي کنند، نظريه ي بازي ها غالباً نظريه ي اطلاعات را در داخل خود دارد، اما هيچ گاه واقعاً نظريه ي احتمال را به عنوان يک کليت در بازي ها به کار نبرده است. اين خلأ بزرگي در نظريه ي بازي هاي قراردادي است ».
نهايتاً، ايده ي دماي بازيکن بايد اجازه دهد که پيش بيني هاي بهتري انجام شود که در بازي واقعي بازيکن هاي واقعي چگونه بازي خواهند کرد. در توزيع احتمال نمرات کلاسي، نگرش آنتروپي حداکثر مي گويد که همه ي توزيع نمرات ممکن هستند. اما اگر شما چيزي راجع به دانش آموزان بدانيد ( شايد همه ي آن ها دانش آموزان ممتازي هستند که هرگز نمره ي زير B نمي گيرند )، مي توانيد توزيع احتمال را با اضافه کردن اطلاعات به معادلات تنظيم کنيد اگر چيزي راجع به دماي بازيکني بدانيد ( تمايل به جست و جوي استراتژي هاي ممکن مختلف )، مي توانيد آن اطلاعات را براي بهبود توزيع احتمال به معادلات اضافه کنيد. ولپرت با کمک همکارانش در برکلي و پوردو شروع به سنجش اين ايده بر روي مردم واقعي، يا حداقل دانشجويان دانشگاه، کرده است.
او گفت: « ما بعضي آزمايش ها را در مجموعه اي از بازي هاي تکراري ( مثل بازي رأي گيري ) بر روي دانشجويان اجرا کرده ايم و در حال بررسي چيزي مثل چگونگي تغيير دماي آن ها با زمان هستيم. آيا آن ها عقلانيت کم تر يا بيش تري دارند؟ هم بستگي بين دماهاي افراد متفاوت چيست؟ »
مثلاً اگر بازيکني هميشه حرکت يکساني را انجام دهد، براي حريفش آسان خواهد بود که ياد بگيرد منتظر چه چيزي باشد. ولپرت گفت: « اين موضوع به طور شهودي پيشنهاد مي کند که اگر شما دمايتان را کاهش دهيد، دماي من بالا مي رود. بنابراين در اين آزمايش ها قصد ما جست و جوي اين نوع آثار است ».
$ ديد روان تاريخ
به نظر من، چنين آزمايش هايي بايد با دانشي جمع شود نظريه پردازان بازي هاي رفتاري و اقتصاددانان تجربي درباره ي رفتار انسان اندوخته اند. کساني مثل ولپرت مي گويند که همه ي اين دانش بايد با فرمول هاي توزيع احتمال پرورانده شود تا قدرت پيش گويي نظريه ي بازي ها بهبود يابد. اما قبل از اين که درباره ي آن چه سؤال کنم که در فکر من مي گذرد، ولپرت به جزئياتي پرداخت که مرا دقيقاً به همان جايي برد که مي خواستم.
او گفت: « اجازه دهيد فرض کنم که شما چيزي هايي از روان شناسي مي دانيد و نتايجي از آزمايش ها کسب کرده ايد. علاوه بر اين دانش که همه ي انسان ها دمايي دارند، همچنين چيزهايي راجع به ميزان خطرپذيريِ اين يا آن چيز ديگر مي دانيد. شما فقط دما نيستيد، جنبه هاي ديگري در شما وجود دارد ».
اضافه کردن چنين دانشي درباره ي مردم واقعي به معادلات، جهلي را که در توزيع احتمال اوليه بود کاهش مي دهد. بنابراين، به جاي پيش بيني بر اساس همه ي استراتژي هاي مخلوط ممکن، پيش بيني هايي خواهيد داشت که انعکاس بهتري از مردم واقعي هستند. ولپرت گفت « اين راهي واقعي براي تجميع نظريه ي بازي ها و روان شناسي است. شما اندازه گيري کمّي از رفتار انسان هاي منفرد را همراه با ساختاري رياضي خواهيد داشت که به انگيزه ها و توزيع سود و منفعت مي پردازد ».
ولپرت شروع به صحبت درباره ي توزيع احتمال وضعيت آينده ي بازار سهام کرد و سپس ديدگاه عالي تري را آشکار کرد: « اين واقعاً تلاشي براي داشتن رياضيات روان تاريخ آيزاک آسيموف است ». ولپرت گفت: « به عبارت ديگر، اين بالقوه فيزيک رفتار انسان است » (37).
همان گونه که گمان مي کردم در حقيقت، شباهت هاي وسوسه انگيزي که بين روان تاريخ آسيموف و علم رفتار شناسي نظريه ي بازي هاست انعکاسي از رياضيات مشترک ميان آن هاست. اين رياضياتي است که نظريه ي بازي ها را با فيزيک آماري ترکيب مي کند. بنابراين با تعمق در آن چه ولپرت گفت، به فکرم خطور کرد که نام بهتري از روان تاريخ يا فيزيک اجتماعي يا رمز طبيعت براي نام گذاري علم رفتار انسان وجود دارد که مي توان آن را « فيزيک بازي ها » (38) ناميد.
حيف! اصطلاح « فيزيک بازي ها » قبلاً به کار رفته است. اين اصطلاحي است که برنامه نويسان کامپيوتر براي توصيف چگونگي حرکت اشيا در بازي ويدئويي کامپيوتري استفاده مي کنند. اما اين اصطلاح ايده ي روان تاريخ و فيزيک اجتماعي را به خوبي دربر مي گيرد. نظريه ي بازي هاي ترکيب شده با فيزيک آماري، فيزيک بازي ها، علم جامعه است.

پي‌نوشت‌ها:

1- Bertrand Russell.
2- Pensees.
3- E.T.Bell.
4- E.T. Bell, Men of Mathematics, Simon & Schuster, New York, 1937, p. 73.
5- Blaise Pascal, Pensiles. Trans. W.F. Trotter, Section III. Available online at http://textfiles.com/etext/NONFICTION/pascal-pensees-569.txt.
6- Laplace, a later pioneer of probability theory, did not find Pascal’s argument very
convincing. Mathematically it reduces to the suggestion that faith in a God that
exists promises an infinite number of happy lives. However small the probability that God exists, multiplying it by infinity gives an infinite ansver. Laplace asserts that the promise of infinite happiness is an exagersation, liferally “beyond all limits.” “This exaggeration itself enfeebles the probability of their textimony to the point of rendering it infinitely small or zero,” Laplace comments. Working out the math, he finds that multiplying the infinite happiness by the infinitely small probability cancels out the infinite happiness, “which destroys the argument of Pascal.” See Laplace, Philosophical Essay, pp. 121-122.
7- Decision Theory.
8- Complexity Theory.
9- David H. Wolpert, “Information Theory-The Bridge Connecting Bounded Rational
Game Theory and Statistical Physics,” http:/larxiv.orglabs/cond-matl0402508, February 19, 2004.
10- Agents.
11- David Wolpert, interview in Quincy, Mass., May 18, 2004.
12- Wolpert, “Information Theory,” pp. 1, 2.
13- Maxent.
14- Edwin Jaynes.
15- Objective.
16- Subjective.
17- Bayesian Statistics.
18- Thomas Bayes.
19- Ignorance.
20- E.T. Jaynes, “Information Theory and Statistical Mechanics,” Physical Review, 106
(May 15, 1957): 620-630.
21- Jacob Bernolli.
22- If you’re flipping a coin, of course, the two possibilities (heads and tails) would
appear to be equally probable (although you might want to examine the coin to make sure it wasn’t weighted in some odd way). In that case, the equal probability assumption seems warranted. But it’s not so obviously a good assumption in other cases. I remember a situation many years ago when a media furor was created over a shadow on Mars that looked a little bit like a face. Some scientists actually managed to get a paper published contending that the shadow’s features were not random but actually appeared to have been constructed to look like a face! I argued against putting the picture on the front page of the paper, insisting that the probability of its being a real face (or a representation of a face) was minuscule. But a deputy managing editor replied that either it was or it wasn’t, so the odds were 50-50! I hoped he was kidding, but decided it would be wiser not to ask.
23- Claude Shannon.
24- Bell Labs.
25- Jaynes, “Information Theory,” pp. 620-621.
26- Canonical Ensemble.
27- Microstate.
28- Macrostate.
29- This is, of course, the basis for teachers grading on a “curve,” the bellshaped curve or Gaussian distribution that represents equal probability of all the microstates.
30- Bounded.
31- David Wolpert, interview at NASA Ames Research Center, July 18, 2005.
32- Ibid.
33- Leonard Savage.
34- Another decision-theory system was worked out by the statistician Abraham Wald, but the story of the similarities and differences between Wald’s and Savage’s approcaches goes far beyond the scope of this discussion. If you’re interested, you might want to consult a paper exploring some of these issues: Nicola Giocoli, “Savage vs. Wald: Was Bayesian Decision Theory the Only Available Alternative for Postwar Economics?” Available online at
http://www. unipa. itlaispe/papers/GiocolL doc.
35- David Wolpert, interview at NASA Ames Research Center, July 18, 2005.
36- Strictly speaking, it’s not the temperature of an individual, it’s the temperature that the external scientist assigns to the individual, Wolpert points out. Just like in statistical physics, the teperature is a measure of what the external scientists infer concerning the molecules in a room (since a single molecule doesn’t have any particular temperature-temperature is a property of the distribution of velocities of a set of molecules).
37- Wolpert, interview at NASA Ames, July 18, 2005.
38- Game Physics.