خیّام (خیّامی) ، غیاث الدین ابوالفتح عمربن ابراهیم نیشابوری (مشهور به عمر خیّام)

(ت. نیشابور، خراسان [ اکنون در ایران ] ، اول ذیحجه 439/ 3 خرداد 427؛ و. نیشابور، 11 محرم 526 / 19 آذر 510) ، ریاضیّات، نجوم، فلسفه.
چنان که از نام او بر می‌آید، فرزند ابراهیم بوده است؛ کنیه‌ی «خیّامی» نشان می‌دهد که پدر یا نیاکان دیگرش به پیشه‌ی خیمه دوزی اشتغال داشته اند. از نامهای دیگرش، «عمر» نام حقیقی او است، و غیاث الدین لقبی افتخاری است که بعداً در طول زندگی دریافت کرده است، و «نیشابوری» بر زادگاه او دلالت دارد. منابع عربی سده‌های ششم تا نهم هجری (1) از او فقط به ندرت و غالباً هم به صورت ضدّ و نقیض یاد می‌کنند، و حتی درباره‌ی تاریخ تولّد و مرگش اتفّاق نظر ندارند. نخستین تاریخی که برای تولد او داده شده است تقریباً 427 / 1048 است، ولی محتمل ترین تاریخ (ذکر شده در صدر [ مقاله ]) از ابوالحسن بیهقی (485-553) گرفته شده است که شخصاً خیّام را می‌شناخته و سندی از زایچه‌ی او برجای گذاشته است. محتمل ترین تاریخ وفات او تا اندازه ای از گزارش نظامی «عروضی سمرقندی» (489-534) معلوم می‌شود که چهار سال پس از مرگ خیّام در سال 530 هـ. ق (514-515) آرامگاه او را زیارت کرده است. (2) این تاریخ را یار احمد تبریزی، نویسنده‌ی سده‌ی نهم هجری، تأیید کرده است. (3)
در هر حال، خیّام زمانی پا به عرصه‌ی وجود گذاشت که سلجوقیان، خطّه‌ی خراسان را مورد تاخت و تاز خود قرار داده بودند، و به دنبال آن خوارزم، ایران، و آذربایجان را نیز فتح کردند و امپراتوری نظامی عظیم ولی ناپایداری را در آن بنا نهادند بیشتر منابع، از جمله بیهقی، قبول دارند که او از نیشابور برخاسته است و به گفته‌ی رشیدالدین فضل الله، مورّخ سده‌های چهارم و پنجم هجری، در همان جا تحصیل کرده است. از سوی دیگر، تبریزی می‌گوید که خیّام دوران کودکی و نوجوانی خود را در بلخ (در افغانستان کنونی) گذرانیده، و می‌افزاید که در هفده سالگی در همه‌ی زمینه‌های فلسفه تبحّر کافی داشته است.
خیّام، در هر جا که تحصیل کرده باشد، احتمال می‌رود که معلم خصوصی شده باشد. ولی برای دنبال کردن علم، تدریس و تعلیم رفاه کافی برای او فراهم نمی کرده است. تقدیر دانشمند در آن روزگار ثباتی نداشت مگر آن که ثروتمند می‌بود. او فقط زمانی می‌توانست مطالعات منظّمی را دنبال کند که جزء ملازمان دربار یا سلطان یا یکی از اشراف ثروتمند باشد، و بنابراین کار او به وضع منعم، سیاستهای دربار، و غنایم جنگی مربوط می‌شد. خیّام شرح روشنی از مخاطرات این گونه زندگانی را در اول رسالة فی البرامین علی مسائل الجبر و المقابله ذکر می‌کند.
من همواره اشتیاق به تحقیق استدلالی این اصناف [انواع معادلات] و جدا کردن حالات ممکن و ممتنع هر صنف داشتم، چون می‌دانستم که این امر در حل مسائل دشوار شدیداً مورد احتیاج است. لکن تصاریف زمان همواره با پیشامدهائی همراه بود که پرداختن به این امر را به عهده‌ی تعویق می‌انداخت، و برای من فراغتی نمی گذاشت که صرف تدوین این مطلب کنم، و فکر خود را بر آن متمرکز سازم زیرا ما گرفتار روزگاری هستیم که از اهل علم فقط عده‌ی کمی مبتلا به هزاران رنج و محنت باقی مانده اند و پیوسته در اندیشه‌ی آنند که غفلتهای زمان را فرصت جسته به تحقیق در علم و استوار کردن آن بپردازند؛ و بیشتر عالم نمایان زمان حق را جامه‌ی باطل می‌پوشند، و گامی از حدّ خودنمایی و تظاهر به دانایی فراتر می‌نهند، و آنچه را هم می‌دانند جز در راه اغراض مادّی پست بکار نمی برند؛ و اگر ببینند که کسی جستن حقیقت و برگزیدن راستی را وجهه‌ی همّت خود ساخته و در ترک دروغ و خودنمایی و مکر و حیله جهد و سعی دارد، او را خوار می‌شمارند و تمسخر می‌کنند. و در هر حال خدا یاری دهنده و پناه همه است. (4)
مع هذا خیّام، حتی در همین شرایط نامطلوبی که شرح می‌دهد توانسته است رساله‌ی هنوز اصلاح نشده اش، مشکلات الحساب، را در این زمان بنویسد و نخستین رساله‌ی جبری بی عنوان و نیز کار کوتاهش در نظریه‌ی موسیقی، القول علی اجناس التی بالاربعه، را تدوین کند.
در حدود سال 449 خیّام به سمرقند رسید و در آنجا مورد حمایت قاضی القضات ابوطاهر قرار گرفت و با حمایت او رساله‌ی بزرگ جبریش را درباره‌ی معادلات درجه‌ی سوم، که از مدتها قبل طرحش را ریخته بود، نوشت. بر این اثر متمّمی نوشته شده است که یا در دربار شمس الملوک، خاقان بخارا، بوده یا در اصفهان، که خیّام به دعوت سلطان جلال الدین ملک شاه سلجوقی و وزیرش نظام الملک برای سرپرستی رصدخانه‌ی نجومی به آنجا رفته بوده است.
خیّام مدت تقریباً هیجده سال، که احتمالاً آرام ترین دوره‌ی زندگیش بود در اصفهان اقامت کرد. بهترین منجمان آن زمان رصدخانه گرد می‌آمدند، و زیر نظر خیام، زیج ملک شاهی را تألیف می‌کردند. از این اثر فقط یک قطعه‌ی کوچک – جداول مختصات دایرة البروج و قدرهای 100 ستاره از درخشانترین ستاره‌های ثابت – برجا مانده است. یک وظیفه‌ی مهم تر رصدخانه اصلاح تقویم خورشیدی بود که در آن موقع در ایران بکار می‌رفت.
در حدود سال 458، خیّام طرحی برای اصلاح تقویم ریخت. بعداً نوروزنامه را، که تاریخ مفصل اصلاحات قبلی است، به رشته‌ی تحریر درآورد؛ ولی طرح خود او فقط از طریق خلاصه‌ی گزارشهای مندرج در جداول نجومی نصیرالدین طوسی و الغ بیک شناخته شده است. تقویم جدید می‌بایست بر اساس یک دور 33 ساله، به نام «دوران ملکی» یا «دوران جلالی» به افتخار سلطان، تنظیم شود. سالهای 4، 8، 12، 16، 20، 24، 28، و 33 از هر دوره سالهای کبیسه‌ی 366 روزه تعیین شدند، در حالی که طول متوسط سال عبارت بود از 2424 ر 365 روز (یک انحراف 0002 ر 0 روزه از تقویم حقیقی خورشیدی) ، که اختلافی برابر با یک روز در هر 5000 سال می‌شد. (در تقویم گرگوری، سال متوسط 2425ر 365 روز است، که روی هم رفته در هر 3333 سال یک روز اختلاف پدید می‌آید.)
خیّام به عنوان طالع بین نیز در دربار انجام وظیفه می‌کرد، اگر چه به گفته‌ی نظامی سمرقندی، خود او به طالع بینی قضایی عقیده نداشت. از جمله‌ی فعالیتهای کمتر رسمی وی در این دوران، اتمام شرحی بر نظریه‌ی خطوط موازی اقلیدس و نظریه‌ی نسبتها در سال 456 بود؛ این کتاب، همراه با رساله‌ی جبری قبلی وی، مهم ترین خدمت علمی او است. در این سالها رساله‌های فلسفی نیز تألیف کرد، و در 459 رساله‌ی الکون و التکلیف را به رشته‌ی تحریر درآورد که رساله‌ی الجواب عن ثلاث مسائل: ضرورة التضاد فی العالم و الجبر و البقا به آن ضمیمه شده است. در حدود همین ایام رسالة فی الکلیات الوجود را برای یکی از پسران مؤیّدالملک (وزیر در 474-497) نوشت. (بر دو اثر فلسفی دیگرش، رسالة الضیاء العقل فی موضوع العلم الکلّی و رساله فی الوجود، با قطعیت نمی توان تاریخ گذاشت) .
در 471 خیّام مورد بی مهری قرار گرفت، ملک شاه درگذشت و وزیرش نظام الملک به دست یکی از فداییان حسن صبّاح به قتل رسید. پس از مرگ ملک شاه زن دومش، ترکان خاتون، مدت دوسال بر سریر سلطنت نشست، و خیّام وارث خصومتی شد که ملکه نسبت به حامی وی، نظام الملک، نشان داده بود؛ ملکه با نظام الملک درباره‌ی مسأله‌ی جانشینی سلطان اختلاف نظر داشت. کمک مالی رصدخانه قطع و فعالیت آن متوقّف شد؛ اصلاح تقویم ادامه نیافت؛ و مسلمانان متعصّب، که خیّام را به دلیل آزادمنشی مذهبی ای که در رباعیّاتش مشهود بود دوست نمی داشتند، در دربار نفوذ کردند. (بی دینی آشکار خیّام منشأ دشواری او در سراسر زندگیش بود، و به گزارش القفطی [551-618] ، حتی در سالهای آخر عمرش به زیارت مکه رفت تا خود را از اتّهام به الحاد تبرئه کند.)
خیّام، به رغم آن که مورد بی مهری قرار گرفت، در دربار سلجوقی باقی ماند. در تلاش برای وارد کردن جانشینان ملک شاه به تجدید حمایت از رصدخانه و علم به طور کلّی، به کار تبلیغات دست زد، و آن انتشار نوروزنامه بود، که در بالا از آن یاد شد؛ این کتاب گزارشی از اعیاد باستانی سال خورشیدی ایرانی بود. خیّام، در این کتاب، تاریخچه ای از تقویم شمسی را معرفی کرده و جشنهائی را که با جشن نوروزی مربوطند شرح داده است؛ بالاخص، از شهریاران قدیم ایرانی یاد کرده و آنان را فرمانروایان بی تعصّب و بزرگواری تصویر کرده است که خود را وقف فرهنگ و ساختن ابنیه و پشتیبانی از دانشمندان کرده بوده اند.
خیّام در دوران فرمانروایی سلطان سنجر، سومین فرزند ملک شاه، که در 497 به سلطنت رسیده بود، اصفهان را ترک گفت و مدتی در مرو (اکنون ماری، در ترکمنستان) ، پایتخت جدید سلجوقیان زندگی کرد، و احتمالاً میزان الحکم و فی القسطاس المستقیم را در همان جا نوشت؛ شاگردش خازنی (که او نیز در مرو کار می‌کرد) آن را، همراه با کارهای دیگر المظفّر اسفزاری، شاگرد دیگر خیّام، در میزان الحکم خویش گنجانده است. از جمله‌ی مطالبی که در کتاب میزان خیّام آورده شده، راه حلّی است کاملاً جبری برای مسأله‌ی تعیین مقادیر طلا و نقره در آلیاژی که وزن مخصوص هر فلز را با وسیله ای ابتدایی به دست می‌دهد [ راه حلی که به ارشمیدس باز می‌گردد ] . خیّام در فی القسطاس از «قپان» یا از ترازویی صحبت می‌کند که وزنه‌های متحرّک و کفه‌های متغیّر دارد. (5)

حساب و نظریّه‌ی موسیقی:

در مجموعه ای از دستنوشته‌های موجود در کتابخانه‌ی دانشگاه لیدن، 199 cod. Or. در صفحه‌ی عنوانش «مسائل حساب» خیّام به چشم می‌خورد، ولی خود مقاله در داخل آن مجموعه دیده نمی شود. می‌توان حدس زد که این مجموعه جزئی است از مجموعه‌ی اصلی ای که نسخه‌ی خطی لیدن از روی آن استنساخ شده است. این اثر از جهات دیگر نامعلوم است، اگر چه خیّام در کتاب جبرش، رسالة فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابله، در باب آن نوشته است:
پس توجّهی به گفته‌ی کسانی از جبریها که در این باب با ما اختلاف نظر دارند نمی کنیم؛ و هندیان را در استخراج جذر و کعب طریقه ای است مبتنی بر اندک استقرائی و آن شناسایی اعداد نه گانه – یعنی مرّبع 1، 2، 3 [ ... تا 9 ] – و نیز حاصل ضرب بعضی در بعضی است، یعنی حاصل ضرب 2 در 3، و امثال آن. و ما را کتابی است در براهین درستی این راهها و منجر شدن آنها به مطلوب، و ما انواع این طریقه‌ها را افزون کرده ایم، یعنی استخراج مال مال و مال کعب و کعب و هکذا [ یعنی استخراج ریشه‌های چهارم، پنجم، و ششم، و غیره ] را بر آنها افزده ایم؛ و این اضافات تازه است – و این براهین [ که به آنها اشاره شد ] براهینی عددی مبتنی بر قسمتهای مربوط به علم حساب در کتاب اسطقسّات [ اصول اقلیدس در هندسه ] است. (6)
خیّام ممکن است با «روشهای هندی» ای که ذکر می‌کند از راه دو کتاب، فی اصول حساب الهند، اثر کوشیاربن لبّان جیلی (350-408)، و المغنی فی الحساب الهندی، اثر علی بن احمد نسوی (شکوفایی 404) ، قبلاً آشنا بوده است. این مؤلفان، هر دو، روشهائی برای استخراج جذر و کعب اعداد طبیعی بدست داده اند، ولی روش آنها در استخراج ریشه‌ی سوم متفاوت است و با روشی که در نوشتارهای هندی آمده و عملاً به روش قدیم چینی نزدیکتر است انطباق دارد. کتاب اخیر در اوایل سده‌های دوم و اول ق م در «ریاضیات در نه مقاله» تشریح شده و مورد استفاده‌ی ریاضیدانان چینی سده‌های میانی برای استخراج ریشه‌ها با نماهای صحیح دلخواه، و حتی برای حلّ معادله‌های جبری عددی، قرار گرفته است [ کشف مجدد این موضوع در اروپا، در آغاز سده‌ی نوزدهم، به همت روفیّنی و هورنر صورت گرفته است ] . ریاضیدانان اسلامی – لااقل در مورد استخراج کعب – ظاهراً تحت تأثیر مستقیم یا غیر مستقیم چینیان بوده اند. از این رو اصطلاح «حساب هندی» جیلی و نسوی را باید به معنی محدودتر محاسبه در دستگاه اعشاری موضعی با دو عدد تلّقی کنیم.
قدیم ترین گزارش عربی موجود از روش کلّی استخراج ریشه‌های بانمای اعداد صحیح مثبت طبیعی را می‌توان در جامع الحساب بالتخت و التراب، گردآورده‌ی طوسی، پیدا کرد. از آنجا که طوسی مدّعی تقدّم در کشف آن نیست و چون با کار خیّام کاملاً آشنا بوده، احتمالاً چنین به نظر می‌آید که روشی که وی عرضه کرده روش خود خیّام بوده است. لذا، روشی که طوسی داده فقط برای تعریف قسمت صحیح a از ریشه‌ی بکار برده می‌شود، که در آن
برای محاسبه‌ی اصلاح لازم، اگر ریشه تماماً استخراج نشده باشد، طوسی – با الفاظ و نه با نمادها – قاعده‌ی بسط چند جمله ای

 
را بیان کرده و مقدار تقریبی را به صورت بدست می‌دهد، و مخرج ریشه بر طبق فورمول دو جمله ای محاسبه می‌شود. بدین منظور، طوسی جدولی از ضرایب دو جمله ای تا n=12 فراهم آورده و ویژگی دو جمله ای را که امروزه به صورت
بیان می‌شود ذکر کرده است.
خیّام از حساب، و به ویژه نظریه‌ی نسبیتهای اندازه پذیر (متوافق) ، در کتابش القول علی اجناس التی بالاربعه استفاده کرده است. در القول، خیّام به مسأله ای پرداخته است که قبلاً یونانیها، و بالاخص اقلیدس، در «تقسیم درجانت الحان» به آن پرداخته بوده اند، و آن تقسیم ربع به سه فاصله‌ی متناظر با پردگانیهای دوطنینی، دارای نیم گام، و همدانگ است. با فرض این که مربع فاصله ای است با نسبت 3: 4، سه فاصله ای که ربع را می‌توان به آنها تقسیم کرد با نسبتهائی تعریف شده اند که حاصل ضربشان مساوی 3: 4 است. خیّام بیست و دو مثال از تقسیم ربع ذکر کرده است که سه تا از آنها برای او اساسی بوده اند. از بقیه، که برخی از آنها در بیشتر از یک منبع ذکر شده اند، هشت تا از «نظریه‌ی‌هارمونی» بطلمیوس اخذ شده است، سیزده تا از کتاب الموسیقی الکبیر فارابی، و چهارده تا یا از کتاب الشفا یا از دانشنامه‌ی ابن سینا گرفته شده اند. هر مثال بعداً از جنبه‌ی زیبایی شناسی ارزیابی شده است.

نظریه‌ی نسبتها و آموزه‌ی عدد:

چنان که در بررسی نظریه‌ی نسبتها معلوم شده است، مقاله‌های دوم و سوم شروح خیّام بر اقلیدس، یعنی شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس، به مبانی نظریه‌ی حساب می‌پردازد. نظریه‌ی کلی نسبتها و تناسبات، به گونه ای که در مقاله‌ی پنجم اصول شرح داده شده است، یکی از سه جنبه‌ی کار اقلیدس است که ریاضیدانان اسلامی توجه خاصی به آن داشته اند. (دو جنبه‌ی دیگر عبارتند از نظریه‌ی خطوط موازی مندرج در مقاله‌ی اول و آموزه‌ی گنگهای درجه‌ی دوم در مقاله‌ی دهم.) ریاضیدانان اسلامی غالباً سعی می‌کردند کارهای اقلیدس را بهبود بخشند، و بسیاری از دانشمندان بخصوص از نظریه‌ی نسبتها رضایت نداشتند. آنان، در عین حال که در درستی نظریه‌ی چند و چون نمی کردند، در مبنای تعریف اقلیدس درباره‌ی تساوی دو نسبت، a / b= c/ d، تردید داشتند، تعریفی که احتمالاً به ائودوکسوس برمی گشت و از مقایسه‌ی مضارب مساوی همه‌ی جملات یک نسبت داده شده استخراج می‌شد (اصول، مقاله‌ی پنجم، تعریف 5).
انتقادهای مسلمانان از نظریه‌ی نسبتهای اقلیدس – ائودوکسوس به ضعفی بوده است که در بیان مستقیم فرایند اندازه گیری یک طول داده شده (a یا c) با طول دیگر (b یا d) وجود داشته است. این فرایند متکی بود بر تعریف تناسب برای یک حالت خاص از کمیتهای اندازه پذیر a، b، و c، d با استفاده از الگوریتم معروف به اقلیدسی برای تعیین بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد (اصول، مقاله‌ی هفتم) با شروع از ماهانی در سده‌ی سوم هجری، شماری از ریاضیدانان پیشنهاد کردند که به جای تعریف 5، مقاله‌ی پنجم، تعریف دیگری گذاشته شود که، به عقیده‌ی آنها، جوهر تناسب را بهتر برساند. این تعریف را می‌توان بر طبق اصطلاحات جدید، از راه نظریه‌ی کسرهای مسلسل بیان کرد: هرگاه (q1, q2, …, qn, …) = a/b و (q1, q2, …, qn, …) = c/d، آنگاه a / b = c / d به شرطی برقرار می‌شود که به ازای جمیع مقادیر k تا بی نهایت داشته باشیم qˊ k = qk (که برای نسبتهای اندازه پذیر، مقدار k متناهی است) . تعریفهای نامساوی نسبتهای و که نسبتهای اندازه پذیر و اندازه ناپذیر را هم در بر می‌گیرند و ملاکهائی برای مقایسه‌ی کمّی مقادیر گویا و گنگ بدست می‌دهند، نیز به طریق مشابه معرفی می‌شوند. در سده‌های میانی می‌دانستند که این نظریه «نارسای» نسبتها در ریاضیات یونان پیش از ائودوکسوس وجود داشته است؛ و فقط تسویتن و بکر به این نکته پی بردند. بزرگترین خدمت خیّام به نظریه‌ی نسبتها به طور کلّی، اثبات هم ارزی این نظریه با نظریه‌ی مطروحه در اصول بوده است. برهان خیّام متکی بر اثبات هم ارزی تعاریف تساوی و نامساویهای هر دو نظریه بود، و به این ترتیب نیاز به استنتاج مجدد همه‌ی قضایای مقاله‌ی پنجم اصول برطرف شد. خیّام اثبات خود را بر پایه‌ی یک قضیّه‌ی مهم درباره‌ی وجود چهارمین جزء تناسب d با سه طول داده شده‌ی a, b, c نهاد؛ ولی کوشید آن را از راه اصل تقسیم پذیری نامتناهی طولها، که برای منظور او ناکافی بود، اثبات کند. کار وی نشانی بود از نخستین تلاش برای اثبات کلی این قضیّه، زیرا یونانیها با روشی کلّی به آن نپرداخته بودند. این بررسیها در مقاله‌ی دوم شرح ذکر شده اند.
در مقاله‌ی سوم، خیّام به نسبتهای مرکب (نظیر قاعده‌ی سه [ یا قاعده‌ی حاصل ضرب طرفین مساوی است با حاصل ضرب وسطین ] و تعمیمهای آن، که در آن ایّام به نحو بسیار گسترده ای در حساب بکار برده می‌شد) ، هندسه (آموزه‌ی تشابه شکلها) ، نظریه‌ی موسیقی، و مثلثات (با استفاده از نسبتها به جای تساویها) پرداخته است. در دورانی که خیّام و سایر دانشمندان قدیمی و قرون وسطایی کار می‌کردند، نسبت a/ b ترکیبی بود از نسبتهای c / b , a / c – که به اصطلاح امروزی می‌توان گفت که نسبت اوّلی مساوی است با حاصل ضرب دو نسبت اخیر. خیّام، در تحلیل عمل ترکیب نسبتها، ابتدا با استفاده از تعریف نسبت مرکبی که در مقاله‌ی ششم اصول داده شده است، به اثبات این قضیّه (که مؤلّفان اخیر وارد متن کرده اند) که نسبت a/ c ترکیبی است از b/ c , a/ b و نیز قضیه‌ی مشابهی برای c/ d, b/ c, a/ b، و نظیر آن، پرداخته است. در اینجا خیّام، با دور شدن ارسطو، که در عین حال ازمرجعیت او با احترام یاد می‌کرد، با احتیاط به بسط یک مفهوم تازه و گسترده‌ی عدد، از جمله همه‌ی اعداد مثبت گنگ، پرداخت. او به پیروی از یونانیان، دقیقاً عدد را به مثابه‌ی مجموعه ای از واحدهای تقسیم ناپذیر می‌انگاشت. ولی بسط نظریه‌ی خودش – و بسط تمامی محاسبات ریاضی در کاربردهای متعدّدش – او را به وارد کردن اشیای ریاضی «آرمانی» ، تازه از جمله واحد تقسیم پذیر و مفهوم تعمیم یافته‌ی عددی که او آن را از اعداد «مطلق و صحیح» متمایز می‌شمرد (اگر چه بی درنگ آن را عدد نامید) ، هدایت کرد.
در اثبات این قضیه برای نسبتهای مرکّب، خیّام ابتدا یک واحد و سپس یک کمیّت کمکی g را انتخاب کرد، به طوری که نسبت 1/ g همان a/ b باشد. وی در اینجا a , b را طولهای همگن دلخواهی انگاشت که در حالت کلی اندازه ناپذیرند؛ در نتیجه 1/ g نیز اندازه ناپذیر است. سپس اندزه‌ی g را چنین تعریف کرد:
اندازه‌ی g را یک خط، یک سطح، یک حجم، یا زمان نینگاریم؛ بلکه آن را اندازه ای بینگاریم که با واسطه‌ی عقل از همه‌ی اینها منتزع شده و به حیطه‌ی اعداد تعلق دارد اما نه به اعداد مطلق و حقیقی زیرا نسبت a به b ممکن است غالباً عددی نباشد، یعنی غالباً ممکن است نتوان دو عدد پیدا کرد که نسبت آنها با این نسبت مساوی باشد. (7)
خیّام، برخلاف یونانیها، با نوشتن تساوی نسبتهائی که قبلاً از حاصل ضرب آنها بحث کرده بود، زبان حسابی را به نسبتها تسّری داد.
او، پس از بیان این که اندازه‌ی g، با یک واحد اندازه ناپذیر، به حیطه‌ی اعداد متعلّق است، به کار معمولی حسابگرها و مسّاحانی استناد کرد که غالباً عبارتهائی نظیر نصف واحد، ثلث واحد، و امثالهم را به کار می‌بردند یا با ریشه‌های پنج، ده، یا واحدهای بخش پذیر دیگر سر و کار داشتند.
بدین ترتیب خیّام توانست، یا با استفاده از معنی قدیمی این اصطلاح یا با استفاده از معنی جدید کسری یا گنگ، هر نسبتی را به صورت یک عدد بیان کند. لذا ترکیب نسبتها تفاوتی با ضرب اعداد ندارد، و اتّحاد نسبتها مشابه با تساوی اعداد است. پس، نسبتها اصولاً ندارد، و اتّحاد نسبتها مشابه با تساوی اعداد است. پس، نسبتها اصولاً برای اندازه گیری عددی هر کمیّتی مناسبند. ریاضیدانان یونانی نسبتهای ریاضی را بررسی کرده بودند، ولی به این تابع تا این اندازه نپرداخته بودند. خیّام، با قراردادن کمیّات گنگ و اعداد بر یک مقیاس عملی، انقلابی واقعی در آموزه‌ی اعداد پدید آورد. کار او در کشورهای اسلامی به همّت طوسی و پیروانش ادامه یافت، و ریاضیدانان اروپایی سده‌های پانزدهم تا هفدهم همین بررسیها را برای اصلاح نظریّه‌ی کلّی نسبتهای اصول دنبال کردند. مفهوم عدد چنان توسعه یافت که همه‌ی اعداد حقیقی و حتی (لااقل به طور صوری) اعداد موهومی را دربرمی گرفت؛ ولی ارزیابی تأثیر اندیشه‌های خیّام و جانشینان شرقی وی بر ریاضیّات بعدی غرب دشوار است.

جبر:

جبردانان مسلمان مشرق زمین توانسته بودند بر ریاضیّات یونانی و شرق قدیم تسلط یابند و صورتهای جرح و تعدیل شده‌ی دانشهائی را که از هند و، تا اندازه ای کمتر، از چین گرفته بودند بر آن بیفزایند. نخستین رساله به زبان عربی درجبر را در حدود 209 خوارزمی نوشته است، که به معادلات خطّی و معادلات درجه‌ی دوم علاقه داشت و فقط به ریشه‌های مثبت می‌پرداخت، و این کاری بود که جانشینان وی تا مرحله ای دنبال کردند که به معادلاتی که ممکن نبود ریشه‌ی مثبت داشته باشند بی توجه بودند. کمی بعد بررسی معادلات درجه‌ی سوم شروع شد، اول با مسأله‌ی ارشمیدس، که قطع کردن کره با صفحه ای به دو قسمت بود به قسمتی که نسبت حجمهای آنها عدد مفروضی باشد. در نیمه‌ی دوم سده‌ی سوم هجری، ماهانی این مسأله را به صورت معادله ای از نوع
[ که به معادله‌ی ماهانی معروف است ] بیان کرد. (که البته، به جای نماد، آن را با لفظ بیان کرده است) . در حدود یک سده‌ی بعد، ریاضیدانان مسلمان، حلّ هندسی این معادله را کشف کردند، که به موجب آن ریشه‌ها به صورت مختّصات نقاط تلاقی دو قطع مخروطی که متناظراً انتخاب شده بودند – روشی که به یونانیها باز می‌گردد – معیّن می‌شدند. در این صورت برای آنها این امکان پیدا شد که شماری از مسائل، از جمله تثلیث زاویه را، که برای منجمان مهم بود، به حلّ معادلات درجه‌ی سوم بدل کنند. در همان حال ابزارهائی برای جوابهای عددی تقریبی ابداع شدند، و یک نظریه‌ی منظم و اصولی لازم آمد.
ساختن چنین نظریه ای هندسی برای معادلات درجه‌ی سوم به دست خیّام، شاید موفقیت آمیزترین دستاورد یک دانشمند مسلمان بشمار آید.
او، در نخستین مقاله‌ی جبری بی عنوان کوتاهش، یک مسأله‌ی هندسی خاصی را به یک معادله‌ی
تبدیل و آن را از راه تقاطع محیط دایره‌ی (20-x) y2=(x-10) و هذلولی متساوی الساقین حل کرده بود. همچنین متذکر شد که یک جواب عددی تقریبی آن را با خطائی کمتر از یک درصد پیدا کرده است، و اشاره نمود که حل این معادله از راه مقدماتی غیر ممکن است، زیرا احتیاج به استفاده از قطوع مخروطی دارد. احتمالاً این نخستین بیانیه‌ی ریاضی موجود و دایر بر این است که معادلات درجه سوم را نمی توان معمولاً به کمک خطکش و پرگار – یعنی با رادیکالهای درجه‌ی دوم – حل کرد، و خیّام این ادعا را در رساله‌ی بعدی خود تکرار کرد. [در سال 1016 / 1637 دکارت همین فرض را بیان کرد، و پ. وانتسل در 1216/ 1837 آن را به اثبات رسانید.]
خیّام در رساله‌ی جبری اولیه اش صورتهای متعارف معادلات (یعنی فقط معادله‌های دارای ضرایب مثبت) را نیز رده بندی کرد، و فهرست همه‌ی بیست و پنج معادله‌ی درجه‌ی اول و دوم و سومی را که ممکن بود ریشه‌های مثبت داشته باشند بدست داد. او در میان اینها چهارده معادله‌ی درجه‌ی سومی را گنجانید که از طریق تقسیم به x2 یا x قابل تحویل به معادله‌های خطی یا درجه‌ی دوم نبودند، و او آنها را به سه گروه فرعی تقسیم کرد، متشکل از یک معادله‌ی دو جمله ای:
شش معادله‌ی سه جمله ای:

و هفت معادله‌ی چهار جمله ای:
سپس افزود که چهار نوع از اینها قبلاً حل شده اند (یعنی ریشه‌های آنها به طریق هندسی پیدا شده اند) ، ولی «نه از هیچ یک از ده نوع باقیمانده چیزی در دست است و نه از این رده بندی» ، (8) و اظهار امیدواری کرده است که بعداً بتواند گزارش مفصلی از راه حل خود را در مورد همه‌ی این چهارده نوع بدست دهد.
خیّام در رساله اش به این آرزوئی که کرده بوده رسید. در مقدمه‌ی این اثر یکی از اولین تعاریف جبر را عرضه کرد، و درباره‌ی آن گفت که «فن جبر و مقابله فنّی است علمی که موضوع آن عدد مطلق و مقادیر قابل سنجش است از آن جهت که مجهولند ولی مرتبط با چیز معلومی هستند که به کمک آن می‌توان آنها را استخراج کرد؛ و این چیز [ معلوم ] با کمیّتی است و یا نسبتی که بستگی معلوم و مجهول منحصر به آن است و از بررسی و تحلیل مجهولات موضوع مسأله استنباط می‌شود...» . (9) آن «عدد مطلق» که خیّام به آن اشاره می‌کند عدد طبیعی است، و منظور وی از «کمیّتهای اندازه پذیر» خطوط، سطوح، اجسام و زمان هستند؛ موضوع جبر، بنابراین، مطلقی است متشکّل از کمیّات پیوسته و نسبتهای مجرّد آنها. خیّام سپس چنین ادامه می‌دهد: «استخراجهای جبر [ مجهولات به علم ] به وسیله‌ی معادله انجام می‌پذیرد، و آن، بنابر مشهور معادل ساختن برخی از این مراتب * است با بعضی از آنها.» (10) سپس درجه‌ی کمیّت مجهول را در نظر می‌گیرد و اشاره می‌کند که درجه‌های بالاتر از سه را تنها باید به طور مجازی تلقی کنیم، زیرا ممکن نیست به کمیّات حقیقی تعلق داشته باشند.
در اینجا خیّام در رساله اش این فرض قبلی خود را تکرار کرد که معادله‌های درجه‌ی سومی را که به معادله‌های درجه‌ی دوم قابل تحویل نیستند باید با استفاده از قطوع مخروطی حل کرد، و راه حل حسابی آنها هنوز معلوم نیست (و در واقع این راه حلها در رادیکال تا سده‌ی شانزدهم کشف نشدند) . ولی او از پیدا شدن این گونه راه حل عددی مأیوس نشد، و افزود که «شاید افراد دیگری پس از ما بیایند و بتوانند، علاوه بر سه رده‌ی اول، که در آنها توانهای معلوم – یعنی عدد، شیء، و مال – وجود دارند، بقیه‌ی صنفها را نیز از این راه حل کنند.» (11) سپس رده بندی بیست و پنج معادله اش را نیز تکرار کرد، و یک راه ترسیم معادلات درجه‌ی دوم را براساس جبر هندسی یونانیها بر آن افزود. در اینجا مطالب تازه‌ی دیگری که ضمیمه شده اند عبارتند از راه حل عددی متناظر معادلات درجه‌ی دوم و پیدا کردن هر چهارده نوع معادله‌ی درجه‌ی سومی که او قبلاً ذکر کرده بود.
خیّام، هنگامی که ساختمانهای هر یک از چهارده نوع معادله‌ی درجه‌ی سوم را مطرح کرد، تحلیلی از «حالات» آنها نیز بدست داد. با در نظر گرفتن شرایط تقاطع یا تماس قطوع مخروطی مربوطه، توانست آنچه را که اصولاً یک نظریه‌ی هندسی درباره‌ی توزیع ریشه‌های (مثبت) معادله‌های درجه‌ی سوم است بسط دهد. او الزاماً فقط با آن قسمتهائی از قطوع مخروطی کار می‌کرد که در ربع اول قرار دارند، و با استفاده از آنها تعیین کرده که یک مسأله در چه شرایطی ممکن است وجود داشته باشد، و آیا آن نوع داده شده دارای یک «حالت» - یا یک ریشه (از جمله حالت ریشه‌های مضاعف، ولی نه ریشه‌های چندگانه‌ی نامعلوم) – است یا بیش از یک حالت (یعنی یک یا دو ریشه) دارد. خیّام سپس ثابت کرد که برخی از انواع معادلات حالتهای متنوّعی دارند، و لذا ممکن است اصلاً ریشه نداشته باشند، یا یک ریشه داشته باشند، و یا دو ریشه. او حدود ریشه‌ها را نیز بررسی کرد.
تا آنجا که معلوم است، خیّام نخستین دانشمندی بود که ثابت کرد که یک معادله‌ی درجه‌ی سوم ممکن است دو ریشه داشته باشد. ولی نتوانست پی ببرد که معادله ای از نوع در بعضی شرایط ممکن است سه ریشه (البتّه مثبت) داشته باشد؛ این مطلب نقص فاحشی در کار او بشمار می‌آید. چنان که ف. ووپکه، نخستین ویراستار رساله، نشان داده است، خیّام در انتخاب خمهائی که پیدا کردن ریشه‌های هر چهارده نوع معادله‌ی درجه سوم را بر پایه‌ی آنها گذارده بود از دستگاه مشخصی پیروی می‌کرد؛ قطوع مخروطی مرجّح وی دوایر و هذلولیهای متساوی الساقینی هستند که در آنها محورها، یا مجانبها، با یکی از محورهای مختصات موازیند؛ و سهمیهائی که محورشان موازی با یکی از محورهای مختصّات است. نظریه‌ی کلی هندسی درباره‌ی توزیع ریشه‌ها، چنان که از متمم رساله پیدا است، در تحلیل معادلات با ضرایب عددی نیز به کار رفته است. در این متمّم، خیّام خطای ابوالجود محمّدبن لیث، جبردانی را که قبل از او می‌زیست و اثرش را خیّام چند سالی پس از نوشتن متن اصلی رساله اش مطالعه کرد، تحلیل کرده است.
مطالعات خیّام در نظریه‌ی هندسی معادلات درجه‌ی سوم موفقیّت آمیزترین کار او را نشان می‌دهند. اگر چه این مطالعات در کشورهای مسلمان مشرق زمین ادامه یافت و کشورهای عرب مغربی از آن باخبر بودند، اروپائیان تنها زمانی مطالعه‌ی آناه را شروع کردند که دکارت و جانشینان وی مستقّلاً به روش پیدا کردن هندسی ریشه‌ها و آموزه‌ی مربوط به توزیع آنها دست یافتند. خیّام بعداً تحقیقات خود را به معادلاتی شامل درجه‌هائی از عکس کمیّت مجهول («جزء شیء» ، «جزء مال» و مانند آن) ، از جمله مثلاً معادلاتی از قبیل ، متوجه ساخت، و با قراردادن x=1/z آنها را به معادلاتی که قبلاً حل کرده بود بدل ساخت. او حالاتی نظیر x2+2x=2+2/x2 را، که به معادلات درجه‌ی چهارم منجر شدند، نیز بررسی کرد، و در اینجا به بالاترین حدّ موفقیّت خود پی برد و نوشت: «اگر آن [ مجموعه توانهای متوالی ] تا مرتبه‌های پنج یا شش یا هفت بسط داده شود نمی توان آن را به هیچ روشی حل کرد» . (12)

نظریّه‌ی توازیها:

شارحان اسلامی اصول در اوایل سده‌ی سوم هجری مطالعه‌ی نظریّه‌ی توازیها را شروع و سعی کردند که آن را بر اساسی متفاوت با آنچه اقلیدس که در پنچمین اصل موضوع خود مطرح کرده بود اثبات کنند. ثابت قرّه و ابن هیثم مجذوب این مسأله شده بودند، ولی خیّام نخستین مقاله‌ی شروح خود را به شرح بر آن تخصیص داد. خیّام برای نقطه‌ی شروع بر نظریّه‌ی توازیهایش، اصلی را اختیار کرد که به گفته‌ی وی، از «حکیم» ، یعنی از ارسطو، اخذ شده بود، و آن این بود که «دو خط مستقیم متقارب یکدیگر را می‌برند و غیر ممکن است که دو خط مستقیم متقارب در امتداد تقارب متباعد باشند.» (13) چنین اصلی متشکل از دو حکم است، و هر یک هم ارز با اصل موضوع پنجم اقلیدس. (باید یادآور شویم که هیچ چیزی شبیه به اصل خیّام در هیچ یک از نوشتارهائی که از ارسطو در دست است یافت نمی شود) .
خیّام ابتدا ثابت کرد که دو خطّ عمود بر یک خط نمی توانند متقاطع باشند، زیرا باید در دو نقطه‌ی متقارن در دو طرف این خط مستقیم یکدیگر را قطع کنند؛ بنابراین نمی توانند متقارب باشند. از حکم دوم این اصل نتیجه می‌شود که دو خط عمود بر یک خطّ مستقیم نمی توانند متباعد باشند، زیرا، اگر چنین باشند، باید در دو طرف این خط مستقیم متباعد باشند. بنابراین، دو خط عمود بر یک خط مستقیم، نه متقاربند و نه متباعد، و در واقع از یکدیگر متساوی الفاصله اند.
خیّام سپس به اثبات هشت قضیه ای پرداخت که به عقیده او، به جای قضیّه‌ی 29، که اقلیدس نظریّه‌ی خطوط موازی خود را بر اساس اصل موضوع پنجم مقاله‌ی یکم با آن آغاز کرده است، باید به مقاله‌ی یکم اصول افزوده شود (بیست و هشت قضیّه‌ی قبل براساس پنجمین اصل موضوع بنا نشده اند) . او با رسم دو پاره خط عمود متساوی الطول بر دو سر یک پاره خطّ داده شده‌ی AB یک چهارضلعی ساخت. اگر این پاره خطهای عمود را AC و BD بنامیم، آن شکل به پاره خطهای AB، AC، CD، و BD محدود می‌شود – یک چهارضلعی با دو زاویه‌ی قائمه که غالباً به احترام ساکّری، هندسه دان سده‌ی هیجدهم، که آن را در نظریّه‌ی توازیهای خود بکار برده است، «چهارضلعی ساکّری» نامیده می‌شود.
خیّام، در سه قضیه‌ی اول خود، ثابت کرد که زاویه‌های فوقانی C و Dی این چهارضلعی زاویه‌های قائمه اند. برای اثبات این قضیّه، وی سه فرض را در نظر گرفت (همان کاری را که ساکّری پس از او کرد) ؛ به موجب آن فرضها، این زاویه‌ها ممکن است قائمه، حادّه، یا منفرجه باشند؛ اگر حاده باشند، ضلع فوقانی CD باید کوتاهتر از AB باشد – یعنی امتدادهای اضلاع AC و BD در هر دو طرف AB متباعد یا متقارب باشند. لذا ثابت می‌شود که فرض حادّه یا منفرجه بودن زاویه‌ها متناقض با هم فاصله بودن دو عمود بر یک خطّ راست است، و ثابت می‌شود که شکل مستطیل است.
در قضیّه‌ی چهارم، خیّام ثابت کرد که اضلاع مقابل مستطیل دارای طول مساویند، و در پنجمین قضیّه ثابت کرد که ویژگی هر دو خط عمود بر یک خط این است که هرگاه خط بر یکی از آنها عمود باشد، بر دیگری نیز عمود است. در قضیّه‌ی ششم بیان می‌کند که اگر دو خط مستقیم به معنی اقلیدس، موازی باشند – یعنی اگر متقاطع نباشند – هر دو بر یک خط راست عمودند. در قضیّه‌ی هفتم می‌افزاید که اگر دو خط مستقیم موازی را خط مستقیم ثالثی ببرد، زاویه‌های متبادله و نیز زاویه‌های متناظر بیرونی و درونی آنها با هم مساویند و [ مجموع ] زاویه‌های داخلی یک طرف [ قاطع ] دو قائمه اند؛ این قضیه با قضیّه‌ی 29 مقاله‌ی یکم اقلیدس یکی است، ولی روشهائی که خیّام به آنها رسیده است با روشهای اقلیدس یکی نیستند.
در قضیه‌ی هشتم، خیّام پنجمین اصل موضوع اقلیدس در مقاله‌ی یکم را ثابت می‌کند: دو خط مستقیم متقاطعند اگر موّربی آنها را به زاویه‌هائی ببرد که مجموعشان کمتر از دو قائمه باشد. او این دو خط را امتداد می‌دهد و خطّی مستقیم، که موازی با یکی از آنها است، از یکی از دو نقطه‌ی تقاطع موّرب می‌گذراند. به موجب قضیّه‌ی ششم، این دو خطّ مستقیم – که یکی از آنها یکی از دو خط اصلی و دیگری خطی است که به موازات آن رسم شده است – هم فاصله اند، و در نتیجه دو خطّ اولیه باید به هم نزدیک شوند. به موجب اصل کلّی خیّام، این گونه خطوط اجباراً متقاطعند.
اثبات پنجمین اصل موضوع اقلیدس به همّت خیّام با اثبات پیشینیان مسلمان او متفاوت است. زیرا او از اشتباه منطقی «مصادره» بر مطلوب آغازی» (petitio principi) دوری می‌جوید و پنجمین اصل موضوع را از اصل خودش که به روشنی بیان کرده است نتیجه می‌گیرد. برخی از نتیجه‌های مستخرج از فرضهای زاویه‌های حادّه و منفرجه، اساساً مثل نخستین قضایای هندسه‌های نااقلیدسی لباچفسکی و ریمان هستند. نظریه‌ی توازیهای خیّام، مانند نظریه‌ی نسبتهایش، بر کار دانشمندان اسلامی بعدی تا حدّ زیاد و قابل ملاحظه ای اثر گذاشت. یکی از آثاری که غالباً به هوادار او، طوسی، نسبت داده می‌شود بر بسط نظریّه‌ی توازیها در اروپای سده‌های هفدهم و هیجدهم، که بالاخص در کار والیس و ساکری منعکس است، تأثیر نهاد.

نوشته‌های فلسفی و شاعرانه :

اگر چه خیّام پنج مقاله‌ی اختصاصاً فلسفی نوشته، و هر چند که قسمت اعظم اشعارش ماهیّت فلسفی دارد، ولی مشخص کردن جهان بینی او دشوار است. بسیاری از محقّقان به این مسأله پرداخته اند و به نتایج کاملاً متفاوتی رسیده اند، که بخش اعظم آنها به دیدگاههای خودشان بستگی دارد. پیچیدگی این مسأله از این جهت است که رساله‌های فلسفی و مذهبی با رباعیّات تفاوت دارند، و در عین حال تحلیل خود رباعیّات به دلیل مسأله‌ی اصالت تک تک آنها پیچیده است. این امکان هم وجود ندارد که مطمئن باشیم که مقاله‌های فلسفی او واقعاً منعکس کننده‌ی تفکر خود او هستند، زیرا این مقالات بر اثر تشویقها و توصیه‌های اداری و رسمی نوشته شده اند.
نخستین رساله‌ی خیّام، رساله‌ی الکون و التکلیف، در سال 459 در پاسخ به نامه ای از یک مقام رسمی نوشته شد که در آن خواسته شده بود که خیّام دیدگاههای خود را درباره‌ی «حکمت الهی در آفرینش جهان و بالاخص آفرینش انسان و تکلیف انسان در نیایش به درگاه خدا» بیان کند. (14) در رساله‌ی دوم، الجواب عن ثلاث مسائل، دقیقاً از طرحی که دراولین رساله اش پی نهاده است پیروی می‌کند. رساله‌ی فی الکلّیات الوجود را به تقاضای مؤیدالملک نوشت ولی تعیین تاریخ و شرایطی که دو اثر دیگرش، رساله الضیاء العقل فی موضوع العلم الکلی و رساله فی الوجود، نوشته شده اند ممکن نیست؛ بعید به نظر نمی آید که آنها نیز به توصیه‌ی کسی نوشته شده باشند. لذا مطالب مندرج در رساله‌های مذهبی ممکن است رنگ سیاسی داشته باشند، و ضمناً باید اشاره کنیم که این متنها گه گاه لحنی احتیاط آمیز و غیر شخصی پیدا می‌کنند، و معرّف معتقدات عدّه ای از مؤلفان دیگرند، بدون انتقاد یا ارزیابی.
همچنین می‌توان حدس زد که خیّام آثار مذهبی و فلسفی رسمی خود را برای تبرئه‌ی خویش از اتّهام به آزاداندیشی نوشته است. تردیدی نیست که ستیزه جویی بین فرقه‌های مذهبی و نفرت مشترک آنان از لاادری گری، جزئی از اوضاع زمانه بود، و این امکان هست که بنیادگرایان مذهبی رباعیّات خیّام را در چنین شرایطی شناخته و بدگمانی درباره‌ی وی را دامن زده باشند (رباعیاتی که اکنون به نام او منسوبند طیف بسیار وسیعی از اندیشه‌ها، از عرفان مذهبی گرفته تا مادّی گری و تقریباً تا الحاد، را در بر می‌گیرند؛ تردیدی نیست که نویسندگان سده‌ی هفتم او را «ماری زهرآگین برای شریعت» می‌شمرد، و ابوبکر نجم الدین رازی، عالم الهیّات، شاعر را «فیلسوفی ناراضی، مادی گرا و طبیعت گرا» معرّفی می‌کرد. (15)
تا جائی که می‌توان تعمیم داد، خیّام در آثار فلسفی خود طرفدار نوعی ارسطوگرایی شرقی است که ابن سینا مبلّغ آن بود – یعنی آن نوع ارسطوگرایی که تا حدّ زیادی متضمن آیین افلاطون است، و چنان تعدیل شده است که در خور تعالیم مذهبی اسلام باشد. بیهقی خیّام را «پیرو ابوعلی سینا در زمینه‌های مختلف علوم فلسفی» می‌نامید، (16) اما از دیدگاه عقاید سنتی چنین رویکرد خردگرایانه ای به اصول جزمی ایمان، نوعی بدعت بود. در هر حال، فلسفه‌ی خیّام چندان اصیل نیست، و جالبترین آثار او آنهایی هستند که به تحلیل مسأله‌ی وجود مفاهیم کلی می‌پردازند. در اینجا خیّام – برخلاف ابن سینا، که دیدگاههایش به واقع گرایی افلاطون نزدیک بود – دیدگاهی پدید آورد، مشابه به طرز فکری که در همان زمان در اروپا به همت آبلار بوجود آمده بود، و بعداً مفهوم گرایی (conceptualism) نامیده شد.
اما درباره‌ی آثار منظور خیّام، بیش از 1000 رباعی به فارسی نوشته شده که اکنون به نام خیّام چاپ شده اند (گوویندا تعداد آنها را 1069 رباعی می‌داند) . این اشعار مدتها در خاطره‌ها حفظ و سینه به سینه منتقل شده اند، به طوری که اکنون بسیاری از آنها به صورتهای متفاوتی نقل می‌شوند. و. آ. ژوکوسکی، محقق روسی این اشعار، در 1276 درباره‌ی خیّام چنین نوشت:
به وی به دیده‌های متفاوت نگریسته اند: آزاداندیش؛ دگراندیش ایمان برانداز؛ خدانشناس و مادّه گرا؛ دهری و ریشخند کننده‌ی عرفان؛ مسلمان فربودکیش؛ فیلسوف واقعی؛ راصد دقیق، و اهل کمال؛ زنده دل، بی بند و بار، متظاهر، و ریاکار؛ کفرگو – نه، بلکه مظهر و منافی مذهب تحصلّی و همه‌ی معتقدات اخلاقی؛ دارای طبیعتی آرام، که بیشتر به تأمل در امور ملکوتی می‌پردازد تا به لذایذ دنیوی؛ شک گرای اپیکوری؛ ابوالعلا، وولتر، و‌هانیه‌ی ایرانی. شخص از خود می‌پرسد که آیا ممکن است فیلسوفی را – نه، بلکه فقط مردی هوشمند را (به شرطی که انحرافی اخلاقی نداشته باشد) تصوّر کرد که این همه تضّاد عقیده، تمایلات و گرایشهای ضدّ و نقیض، شهامت اخلاقی عالی و هوا و هوسهای نفسانی، تردید و دودلیهای آزار دهنده در وجودش عجین شده و تجسّم یافته باشد؟ (17)
ناسازگاریها و تناقضهائی که ژوکوفسکی به آنها اشاره کرده است قطعاً در مجموعه‌ی اشعاری که اکنون به خیّام نسبت داده می‌شود وجود دارند، و در اینجا، دوباره مسأله‌ی اصالت آنها مطرح می‌شود. مثلاً آ. کریستنسن گمان می‌کرد که از این همه رباعی تنها ده – دوازده را می‌توان با قاطعیّت اصیل قلمداد کرد، ولی بعداً تعداد آنها را به 121 رسانید. در هر حال، اشعاری که کلاً به رباعیّات خیّام معروف شده اند، در اوج شعر فلسفی قرار دارند و نشانه‌هائی از آزاداندیشی غیر دهری و عشق به آزادی، بشر دوستی و شور و شوق برای عدالت، طنز و شکّاکیّت، و بالاتر از همه یک روح اپیکوری آمیخته به لذّت جویی را اشکار می‌سازند.
نبوغ شعری خیّام همواره در شرق عربی معروف بوده است، ولی آغاز شهرتش در کشورهای اروپایی نسبتاً تازه است. در 1238/ 1859، چند سال پس از آن که ووپکه جبر خیّام را – که قبلاً تقریباً ناشناخته بود – منتشر کرد، این اشعار در دسترس دانشمندان غربی قرار گرفت و ادورد فیتس جرالد، شاعر انگلیسی، ترجمه‌هائی از هفتاد و پنج رباعی خیّام را به چاپ رسانید، چاپی که هنوز هم از اقبال عموم مردم برخوردار است. از آن به بعد تعداد زیادتری از اشعارش به شماری از زبانهای اروپایی منتشر شده است.
این اشعار – و خود شاعر – قدرت جاذبه‌ی خود را هنوز حفظ کرده اند. در 1313، به همّت شماری از کشورها، آرامگاهی برای خیّام در مزارش در نیشابور برپا شد.

پی‌نوشت‌ها:

1. Omar Khayyam I « stranstvuyushchie» chetverostishia ( عمر خیام و رباعیات پراکنده) از و . آ. ژوکوفسکی؛ The Nectar of Grace ( شهد رحمت) از سوئامی گووینداتیته؛ و مجمع النوادر یا چهار مقاله، از نظامی عروضی سمرقندی.
2. سمر قندی اثر یاد شده، ص 97؛ در ترجمه ی براون، ص 806، براساس آخرین نسخه های خطی «چهارسال» به صورت «چند سال» آمده است.
3. گویندا، اثر یاد شده ص 70-71.
4. رساله فی البراهین علی مسائل الجبروالمقابل، ترجمه ی انگلیسی از وینتر عرفات، ص 29-30 ] حکیم عمر خیام به عنوان عالم جبر، غلامحسین مصاحب، چاپ بهمن 1339، ص 160[
5. نظریه ی اوزان در رساله عمر خیامو شاگردش ابوحاتم مظفرین اسماعیل اسفزاری» از ا. س. لوینووا.
6. رساله، ترجمه ی وینتر- عرفات، ص 34 (با اصلاح) 71 (نقل از حکیم عمر خیام به عنوان عالم جبر غلامحسین مصاحب، چاپ بهمن 1339، ص 170)
7. Omar Khayyam, Traktaty ص 71، 145.
8. نخستین رساله ی جبری، ترجمه ی کراسنووا و روزنفلت، ص 455؛ از ترجمه ی امیر معز حذف شده است.
9. رساله، ترجمه ی وینتر- عرفات، ص 30 (با اصلاح)
10. همان، ص 31.
11. همان، ص 32 (با اصلاح)
12. همان، ص 70.
13. Omar Khayyam, Traktaty ، ص 120-122؛ حذف شده از شرح مااشکل من مصادرات کتاب اقلیدس، ترجمه ی امیر معز.
14. Omar Khayyam, Traktaty ، ص 152.
15. اثر یاد شده ی ژوکوفسکی، ص 334، 342.
16. اثر یاد شده ی کوویندا، ص 32-33.
17. اثر یاد شده ی ژوکوفسکی، ص 325.

کتابنامه :
یکم. کارهای اصلی :
آنچه در زیر می‌آید نوشته‌های عمده‌ی خیّام است:
1. چاپ اصلی آثار او کتابی است با عنوان Omar Khayyam, Traktaty، ترجمه‌ی ب. آ. روزنفلت؛ ویراسته‌ی و. س. سگال و آ. پ. پوسچکویچ؛ مقدمه و پانوشتها از ب. آ. روزنفلت و آ. پ. یوسچکویچ (مسکو، 1961) ، با صفحاتی از نسخه‌های خطی. این کتاب حاوی ترجمه‌ی روسی همه‌ی نوشته‌های علمی و فلسفی خیّام است جز رساله‌ی اول جبر به نام القول علی اجناس اللاتی بالاربعه و فی القسطاس المستقیم.
2. اولین رساله‌ی جبر. نسخه‌ی خطی: تهران، کتابخانه‌ی مرکزی دانشگاه، هفتم، 2/ 1751 . ویرایشها: متن عربی و ترجمه‌ی فارسی به قلم غلامحسین مصاحب (پایین) ، ص 59-74، 251-291؛ ترجمه‌ی انگلیسی، از ع. ر. امیرمعز، در SM، 26، شماره‌ی 4 (1961)، 323-337؛ ترجمه‌ی روسی همراه با یادداشتهائی به قلم س. آ. کراسنوا و ب. آ. روزنفلت، در IMI، 15 (1963)، 445-472.
3.رسالة فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابله. نسخه‌های خطی: پاریس، کتابخانه‌ی ملی، شماره‌های 2461، Ar، 7/2358؛ کتابخانه‌ی دانشگاه لیدن، 2/ 14 Or. ؛ لندن، کتابخانه‌ی دفتر هند، 10/ 734؛ رم، کتابخانه‌ی واتیکان، 2/ 96 Barb. ؛ نیویورک، د. ا. اسمیث.
ویرایشها: L’algèbre d’Omar Alkhayy m،آ از ف. ووپکه (پاریس، 1851) ، متن متشکل از نسخه‌های پاریس و نسخه‌ی لیدن، ترجمه‌ی فرانسوی و یادداشتهای ویراستار – تجدید چاپ به همت مصاحب (پایین) ، ص 7-52، با ترجمه‌ی فارسی (ص 250159 -) ، که قبلاً به توسط همین ویراستار در کتاب جبر و مقابله‌ی خیّام چاپ شده بود (تهران، 1938) ؛ ترجمه‌ی به انگلیسی از د. کسیر، با عنوان The Algebra of Omar Khayyam (نیویورک، 1931) ، ترجمه از روی نسخه‌ی اسمیث، که بسیار شبیه به نسخه‌ی شماره‌ی 2461 پاریس است، و به قلم هـ. ج. وینتر و و. عرفات، با عنوان «The Algebra of Umar Khayyam»، در JRAS، 16 (1950)، 27-70، ترجمه از روی نسخه‌ی لندن؛ و ترجمه‌ی روسی همراه با تصویر متن نسخه‌ی 2461 پاریس در Omar Khayyam, Traktaty، ص 69-112؛ اولین چاپ روسی مندرج است در IMI، 6 (1953)، 15-66.
4. شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس. نخسه‌ها: پاریس، کتابخانه‌ی ملی، 4/ 4946 Ar. ؛ کتابخانه‌ی دانشگاه لیدن، 8/ 199 Or.
ویرایشها: Discussion of Diffculties of Euclid by Omar Khayyam،ا ز ت. ارانی (تهران، 1936) ف نسخه‌ی لیدن، تجدید چاپ به همت ج. همایی (پایین) ، 177-222، با ترجمه‌ی فارسی (ص225-280) ؛ Omar , Khayyam, Explanation of the Difficulties in Euclid’s Postulates ، چاپ ع. صبره (اسکندریه، 1961) ، نسخه‌ی لیدن و صورتهای مختلف متن نسخه‌ی پاریس؛ یک ترجمه‌ی ناقص انگلیسی، از ع. امیر معز، در SM، 24، شماره‌ی 4 (1959) ، 275-303؛ و ترجمه‌ی روسی همراه با تصویر متن نسخه‌ی لیدن در Omar Khayyam, Traktaty، 113-146؛ اولین ترجمه‌ی روسی مندرج است در IMI، 6 (1953)، 67-107.
5. القول علی اجناس اللاتی بالاربعه. نسخه‌ها: تهران، کتابخانه‌ی مرکزی دانشگاه، 509، برگهای 97-99.
ویرایش: ج. همایی (پایین) ، ص 341-344.
6. میزان الحکمه یا فی احتیال معرفة مقداری الذهب و الفضّه فی جسم مرکب منهما. کامل آن را در کتاب میزان الحکمه‌ی عبدالرحمان خازنی می‌توان یافت. نسخه‌ها: لنینگراد، کتابخانه‌ی دولتی، مجموعه‌ی خانیکوف، 117، 57 ب – 60 ب؛ نیز در بمبئی و حیدرآباد. نسخه‌ی ناقص؛ گوتا، کتابخانه‌ی دولتی، 1158، 39 ب – 40 آ.
ویرایشهای نسخه‌های بمبئی و حیدرآباد: کتاب میزان الحکمة عبدالرحمان خازنی (حیدرآباد، 1940) ، 87-92؛ س. ندوی (پایین) ، 427-432. ترجمه‌ی آلمانی به قلم آ. ویدمان در SPMSE، 49 (1908)، 105-132؛ ترجمه‌ی روسی همراه با تصویر متن نسخه‌ی لنینگراد در Omar Khayyam, Traktaty، 147-151؛ اولین چاپ روسی مندرج است در IMI، 6 (1953)، 108-112.
ویرایشهای نسخه‌ی گوتا: متن عربی در ویرایش روزن از رباعیات (پایین) ، 202-204، در ویرایش ارانی از شرح (پایین) ، در اثر م. عباسی (پایین) ، 419-428؛ ترجمه‌ی آلمانی به قلم ف. روزن در ZDMG، 4 (79) (1925)، 133-135؛ و به قلم آ. ویدمان در SPMSE، 38 (1906)، 170-173.
7. فی القسطاس المستقیم، در میزان خازنی (پایین) ، ص 151-153.
8. زیج ملکشاهی. فقط فهرستنامه ای از 100 ستاره‌ی ثابت برای یک سال از دوران ملکی، بدون نام مؤلف، در کتابخانه‌ی ملی، با شماره‌ی 5968. Ar موجود است.
ویرایشها: ترجمه‌ی روسی و چاپ تصویر نسخه‌ی مندرج در Omar Khayyam, Traktaty، ص 225-235؛ همین ترجمه با شرحهای کامل تر مندرج است در IMI، 8 (1963)، 159-190.
9-11. رسالة الکون و التکلیف، الجواب عن ثلاث مسائل: ضرورت التضادّ فی العالم و الجبر و البقا، رسالة الضیاء العقلی فی موضوع العلم الکلّی. نسخه‌های خطی متعلق به نورالدین مصطفی (قاهره) گم شده اند.
متن عربی مندرج در جامع البدایع (قاهره، 1917) ، 165-193؛ متن دو رساله‌ی اولی که س. ندوی چاپ کرده است (پایین)، 373-398؛ و س. گوویندا (پایین) ، 45-46، 83-110، با ترجمه‌ی انگلیسی؛ ترجمه‌ی فارسی، از ح. شجره (پایین)، 299-337؛ ترجمه‌ی روسی این هر سه رساله مندرج از ح. شجره (پایین) ، 299-337؛ ترجمه‌ی روسی این هر سه رساله مندرج است در Omar Khayyam, Traktaty، 152-171؛ اولین چاپ روسی مندرج است در اثری از س. ب. ماروچنیک و ب. آ. روزنفلت (پایین) ، 163-188.
12. رساله‌ی فی الوجود، یا الاوصاف و الموصوفات. نسخه‌ها: برلین، کتابخانه‌ی دولتی سابق پروس، نسخه‌ی پترمان، 466 B. تهران، مجلس شورای ملی، 9014؛ و پونه، مجموعه‌ی شیخ عبدالقادر سرفراز.
نسخه‌ی تهران به همت سعید نفیسی در مجله‌ی شرق (1931) و به همت گوویندا (پایین) ، 110-116، به چاپ رسید. ترجمه‌ی روسی مندرج است در Omar Khayyam, Traktaty، 172-179؛ اولین چاپ روسی مندرج است در اثری از س. ب. ماروچنیک و ب. آ. روزنفلت (پایین) ، 189-199.
13. رسالة فی کلیه‌ی الوجود، یا رسالة السلسلة الترتیب، یا درخواستنامه. نسخه‌ها: لندن، موزه‌ی بریتانیا، 6572 Or. ؛ پاریس، کتابخانه‌ی ملی، ضمیمه‌ی فارسی، 7/ 139؛ تهران، مجلس شورای ملی، 9072؛ و کتابخانه‌ی ملی، ضمیمه‌ی فارسی، 7/ 139؛ تهران، مجلس شورای ملی، 9072؛ و کتابخانه‌ی خیّام. نسخه‌ی لندن در کتاب ب. آ. روزنفلت و آ. پ. یوسچکویچ (پایین) ، 140-141، تجدید چاپ شده است؛ نسخه‌ی پاریس در Omar Khayyam, Traktaty تجدید چاپ شده است؛ متن این نسخه‌ها در اثر س. ندوی (پایین) ، 412-423، انتشار یافته است؛ نسخه‌ی مجلس شورای ملی مندرج است در مجله‌ی شرق نفیسی (پایین) و در کتاب عبسی (پایین) ، 393-405؛ نسخه‌ی کتابخانه‌ی خیّام مندرج است در عمر خیّام، درخواستنامه، ویراسته‌ی محمدعلی ترقی (تهران، 1936). متنهای نسخه‌ی لندن و اولین نسخه‌ی تهران به همت گوویندا با ترجمه‌ی انگلیسی (پایین) ، 47-48، 117-129، به چاپ رسیده اند؛ ترجمه‌ی فرانسوی نسخه‌ی پاریس مندرج است در Le monde oriental، از آ. کریستنسن، یکم (1908)، 1-16؛ ترجمه‌ی روسی از نسخه‌های لندن و پاریس، همراه با تجدید چاپ نسخه‌ی پاریس مندرج است در Omar Khayyam, Traktaty، 180-186- اولین چاپ روسی مندرج است در اثر س. ب. ماروچنیک و ب. آ. روزنفلت (پایین) ، 200-208.
14. نوروزنامه. نسخه‌ها: برلین، کتابخانه‌ی دولتی سابق پروس، 2450 Or. ؛ لندن، موزه‌ی بریتانیا، 23568 Add. .
ویرایشهای نسخه‌ی برلین: نوروزنامه، ویراسته‌ی مجتبی مینوی (تهران، 1933) ؛ ویراسته‌ی م. عباسی (پایین) ، 303-391؛ ترجمه‌ی روسی همراه با تجدید چاپ نسخه‌ی برلین مندرج است در Omar Khayyam, Traktaty، 187-224.
15. رباعیات. چاپهای نسخه: رباعیات حکیم خیّام، ویراسته‌ی سنجر میرزا (تهران، 1861) ، متن فارسی 464 رباعی؛ ویراسته‌ی محمد صدیق علی لکنوی (لکهنو، 1878، 1894، 1909) ، 762 (ویرایش اول) و 770 (ویرایشهای دوم و سوم) رباعی؛ ویراسته‌ی محمد رحیم اردبیلی (بمبئی، 1922) ، ویراسته‌ی حسین دانش (استانبول، 1922، 1927) ، شامل 396 رباعی با ترجمه‌ی ترکی؛ ویراسته‌ی جلال الدین احمد جعفری (دمشق، 1931؛ بیروت، 1950) ، شامل 352 رباعی با ترجمه‌ی عربی؛ ویراسته‌ی سعید نفیسی (تهران، 1933) ، شامل 443 رباعی؛ ویراسته‌ی ب. شیلیک، با عنوان Les manuscrits mineurs des Rubaiyat d’Omar-i-Khayyam dans la Bibliothèque National (پاریس – سگد، 1933-1934) – نسخه‌های 1933 مشتملند بر 95، 87، 60، 34، 28، 8، و 6 رباعی و نسخه‌های 1934 مشتملند بر 268، 213، و 349 رباعی؛ ویراسته‌ی محفوظ الحق (کلکته، 1939) ، نسخه‌ی تجدید چاپ شده شامل 206 رباعی همراه با مینیاتور است؛ ویراسته‌ی محمدعلی فروغی (تهران، 1942، 1956، 1960) ، منتخب 178 رباعی با تصاویر؛ ویراسته‌ی ر.م. علیوف، م. ن. عثمانوف، و ا. ا. برتلس (مسکو، 1959)، چاپ عکسی نسخه مشتمل است بر 252 رباعی و ترجمه‌ی 293 رباعی منتخب به نثر روسی.
ترجمه‌های انگلیسی: ادورد فیتس جرالد (لندن، 1859، 1868، 1872، 1879) ، ترجمه‌ی شاعرانه‌ی 75 (چاپ اول) تا 101 (چاپ چهارم) رباعی، که غالباً تجدید چاپ شده اند (بهترین چاپ، 1900)، ا. هـ. وینفیلد (لندن، 1882 ، 1883، 1893)، ترجمه‌ی شاعرانه‌ی 253 (چاپ اول) ، 500 (چاپ دوم)، 267 (چاپ سوم) رباعی از نسخه‌ی چاپ لکنوی، در ویرایش دوم همراه با متن فارسی؛ ا. هرون آلن (لندن، 1898)، ترجمه ای است به نثر و تجدید چاپ نسخه شامل 158 رباعی است؛ س. گوویندا (پایین) ، ص 1-30، ترجمه ای است شاعرانه همراه با متن 1069 رباعی؛ ا. ج. آربری (لندن، 1949)، ترجمه ای است به نثر و متن فارسی نسخه حاوی 172 رباعی است که با ترجمه‌های شاعرانه‌ی فیتس جرالد و وینفیلد همراه است؛ چاپ 1952 ترجمه‌ی شاعرانه ای است از 252 رباعی از روی نسخه ای که در 1959 در مسکو به چاپ رسیده است. ترجمه‌ی فرانسوی: ژ. ب. نیکولا (پاریس، 1867) ، ترجمه ای است به نثر همراه با 464 رباعی از روی نسخه‌ی چاپ 1861 تهران. ترجمه‌ی آلمانی: ک. هـ. رِ مپیس (توبینگن، 1936) ، ترجمه‌ی شاعرانه‌ی 255 رباعی. ترجمه‌های روسی: ا. رومر (مسکو، 1938) ، ترجمه‌ی شاعرانه‌ی 300 رباعی؛ و درژاوین (دوشنبه، 1955) ، ترجمه‌ی 488 رباعی به شعر؛ و گ. پیلستسکی (مسکو، 1972) ، ترجمه‌ی 450 رباعی به شعر، همراه با شرحهائی به قلم م. ن. عثمانوف.
دوم . خواندنیهای فرعی :
آثاری که فهرستشان در زیر ذکر شده است اطلاعاتی درباره‌ی زندگی و آثار خیّام بدست می‌دهند.
1. کلیات آثار فارسی حکیم عمر خیّام، از مسجد عباسی (تهران، 1939) ، تحقیقی در مورد زندگی و آثار خیّام. این کتاب حاوی متنها و ترجمه‌هائی است از میزان الحکمه، رسالة الکون و التکلیف، الجواب عن ثلاث مسائل، رسالة الضیاء ...، رسالة فی وجود، و رسالة فی کلّیة الوجود، و رباعیات.
2. Geschichte der arabischen Literatur، از ک. بروکلمان، یکم (وایمار، 1898) ، 471؛ ضمیمه (لیدن، 1936) ، 855-856؛ سوم (لیدن، چاپهائی از آنها که برای دانشمندان اروپایی شناخته شده بودند؛ در جلدهای ضمیمه از نسخه‌های خطی و چاپهائی نام برده شده است که پس از چاپ اثر کامل بروکلمان انتشار یافته اند.
3. Recherches sur les Rubâiyât de Omar Hayyâm، از آ. کریستنسن (هایدلبرک، 1904) ، یکی از نخستین آثاری است که در آن مؤلف نتیجه می‌گیرد که چون هیچ ملاک و ضابطه ای برای تعیین اصالت تألیف وجود ندارد، فقط دوازده رباعی را می‌توان نسبتاً اصیل و معتبر انگاشت.
4. Critical Studies in the Rubaiyat of Umar-i-Khayyám، از آ. کریستنسن (کوپنهاگن، 1927) ، محصول تحقیقی طولانی که در آن روشی برای تعیین اصالت تألیف رباعیات خیّام پیشنهاد شده است؛ 121 رباعی منتخب عرضه شده است.
5. The Mathematics of Great Amateurs، از ج. ل. کولیج (آکسفرد، 1949؛ نیویورک، 1963) ، 19-29.
6. Büyük matematikci Omar Hayy m، از‌هامت دیلگان (استانبول، 1959) .
7. Hamdbuch der mathematischen und technischen Chronologie، از ف. ک. گینتسل، یکم (لایپ تسیش، 1906) ، 300-305، که حاوی اطلاعاتی است درباره‌ی اصلاح تقویم خیّام.
8. The Nectar of Grace, Omar Khayyām’s Life and Works، از سوامی گوویندا (الله آباد، 1941) ، حاوی متنها و ترجمه‌های رسالات فلسفی و رباعیات و تجدید چاپ نسخه‌های خطی بیهقی و تبریزی است که اطلاعات زندگینامگی درباره‌ی خیّام بدست می‌دهند.
9. خیّام نامه، از جلال الدین همایی، یکم (تهران، 1967) ، حاوی تحقیقی درباره‌ی شرح خیّام بر اقلیدس؛ متن و ترجمه‌ی فارسی شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس و متن القول علی اجناس اللایی بالاربعه در ضمیمه مندرجند.
10. «Zu Omer-i-Chajjam»، از ا. یاکوپ و آ. ویدمان، در Der Islam، 3 (1912)، 42-62، که بررسی منتقدانه ای است از اطلاعات زندگینامگی درباره‌ی خیّام و ترجمه‌ای آلمانی از مقدمه‌ی خیّام بر شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس.
11. Teoria veso v traktatakh Omar a Khayyama I ego uchenika Abu Hatima al-Muzaffar ibn Ismail al-Asfizari ، از ا. س. لِوینووا، در Trudy XV Nauchnoy Konferencii.. instiuta istorii estestvoznaniya I tekhniki, sekoiya istorii matematiki I mekhaniki (مسکو، 1972) ، 90-93.
12. «Omar Khayyām»، از و. مینو رسکی، در Enzyklopädie der Islam، سوم (لیدن- لایپ تسیش، 1935) ، 985-989.
13. Filosofshi vzglyady Omara Khayyama («عقاید فلسفی عمر خیّام») ، از س. ب. ماروچنیک (دوشنبه، 1952) .
14. Omar Khayyam-Poet, myslitel, uchenyi، از س . ب. ماروچنیک و ب. آ. روزنفلت (دوشنبه، 1957) .
15. حکیم عمر خیّام جبردان، از غلامحسین مصاحب (تهران، 1960) ، تحقیقی درباره‌ی جبر خیّام؛ متن و ترجمه‌ی اولین رساله‌ی جبر و رساله‌ی فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابله در ضمیمه مندرجند.
16. عمر خیّام، از سیّد سلیمان ندوی (از مگره، 1932) ، تحقیقی درباره‌ی زندگی و آثار خیّام، همراه با متنهای میزان الحکمه، رسائل الکون و التکلیف، الجواب عن ثلاث مسائل، رسالة الضیاء...، رسالة فی الوجود، و رسالة فی کلیة الوجود در ضمیمه.
17. Omar Khayyam، از ب. آ. روزنفلت و آ. پ. یوسچکویچ (مسکو، 1965) ، متشکل از رساله ای زندگینامگی، تحلیل آثار علمی (بخصوص ریاضی) ، و کتابشناسی مفصّل.
18. Sobranie redkostei ili chetyre besedy («جامع البدایع یا چهار مقاله») ، که ترجمه‌ی روسی کتاب نظامی عروضی سمرقندی است به قلم س. ا. بایفسکی و ز. ن. وراشیکینا، ویراسته‌ی آ. ن. بولدیرف (مسکو، 1963) ، 97-98؛ و «چهار مقاله» ، با ترجمه‌ی انگلیسی به قلم ا. ج. براون، در JRAS، 31 (1899)، 613-663، 757-845، 806-808، حاوی خاطرات یکی از معاصران خیّام که دو بخش آن به زندگی خیّام مربوط می‌شود.
19. Introduction to the History of Science، از ج. سارتن، یکم (بالتیمور، 1927) ، 759-761.
20. تحقیقی در رباعیات و زندگی خیّام، از حسین شجره (تهران، 1941) ، که حاوی پژوهشی است درباره‌ی زندگی و کار خیّام؛ ترجمه‌ی فارسی رسالة الکون و التکلیف و الجواب عن ثلاث مسائل در ضمیمه مندرجند.
21. «and Saccheri Omar Khayyam, Euclid»، از د.ا. اسمیث، در SM،3، شماره‌ی (1953)، 10-15، نخستین پژوهش نقادانه درباره‌ی نظریه توازیهای خیام در مقایسه با ساکری.
22. «Omar Khayyam, Mathematician»، از د. ج. استروک، در MTe، شماره‌ی 4 (1958)، 280-285.
23. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke، از هـ. زوتر (لایپ تسیش، 1900) ، 112-113.
24. «Omar Khayyam I ego Algebra»، از آ. پ. یوسچکویچ، در TLET، 2 (1948)، 499-534.
25. Geschichte der Mathematik im Mittelalter، از آ. پ. یوسچکویچ (لایپ تسیش، 1964) ، 251-254، 259-269، 283-287.
26. «Die Mathematik der Lander des Osten im Mittelater»، از آ. پ. یوسچکویچ و ب. آ. روزنفلت، در Siwjetischer Beitrage zur Geschite der Naturwissenschaften، ویراسته‌ی گ.‌هاریش (برلین، 1960) ، 119-121.
27. «Omar Khayyam I ‘stranstvuyuschie’ chetverostishiya»، («عمر خیّام و رباعیات، سرگردان») ، از و. آ. ژوکوفسکی، در المظفریه (سن پترزبورگ، 1897) ، 325-363؛ ترجمه به انگلیسی به قلم ا. د. راس، در JRAS، 30 (1989)، 349-366. این مقاله همه‌ی منابع اصلی اطلاعات درباره‌ی زندگی خیّام را به دست می‌دهد و مسأله‌ی رباعیات «سرگردان» ، یعنی رباعیاتی که هم به خیّام و هم به شاعران دیگر نسبت داده شده است، را مطرح می‌سازد.
منبع مقاله :
گیلیپسی، چارلز کولستون؛ (1387)، زندگینامه علمی دانشوران، ترجمه‌ی: احمد آرام ..]و دیگران[، زیر نظر احمد بیرشک، تهران: شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول