مطالعه‌ی مقاطع مخروطی در دوره‌ی اسلامی

هندسه در ریاضیات دوره‌ی اسلامی از سه منظر متفاوت مطالعه شده است (3): برای کاربردهای عملی، برای کاربردهای نظری در علوم دیگر مثل نجوم، احکام نجوم و نورشناخت، و از منظر ریاضیات محض. درباره‌ی کاربرد عملی هندسه در دوره‌ی اسلامی مثلاً درباره‌ی کاشیکاری یا کاربرد آن در معماری چیزهای اندکی می‌‌دانیم. ظاهراً مطالعه‌ی مقاطع مخروطی برای صنعتگران اهمیت نداشته است. واقعیت دارد که دانشمندان دوره‌ی اسلامی رابطه‌ی میان مقاطع مخروطی و ساعت‌های آفتابی را مطالعه کرده‌اند. اما صنعتگران، ساعت‌های آفتابی را براساس جدول‌هایی می‌ساختند که موقعیت سایه‌ی شاخص را برای مکانی معین و تمام اوقات روز و تمام موقعیت‌های خورشید به دست می‌داد. البته این جدول‌ها بدون علم به مقاطع مخروطی محاسبه شده بودند. همچنین واقعیت دارد که مسائلی در هندسه‌ی عملی وجود داشته که به وسیله‌ی مقاطع مخروطی حل شده است. اما همانطور که خواهیم دید این راه‌حل‌ها ارزش عملی نداشتند. در دوره‌ی اسلامی مدار بیضوی سیاره‌ها هنوز شناخته نشده بود. بنابراین هیچ کاربردی از مقاطع مخروطی در نجوم نمی‌توان یافت. برخی از منجمان قرن‌های چهارم و پنجم هجری، چون صاغانی و بیرونی، به کمک مقاطع مخروطی درباره‌ی انواع مختلف اسطرلاب بحث کرده‌اند. ساخت و کاربرد این نوع اسطرلاب‌ها بسیار دشوارتر از اسطرلاب معمولی است که در آن فقط خط مستقیم و دایره به کار رفته است. (4)
کاربرد مقاطع مخروطی در نورشناخت مهم‌تر است. در دوره‌ی باستان، هندسه‌دانان آینه‌های سوزان سهمی‌گون را مطالعه کردند، و هندسه‌دانان دوره‌ی اسلامی پژوهش درباره‌ی آینه‌های سوزان را ادامه دادند. (5)
ابن هیثم یک مسئله‌ی معروف نورشناخت را با تقاطع دایره و هذلولی حل کرد. اما هندسه دانان دوره‌ی اسلامی مقاطع مخروطی را بیشتر بر پایه‌ی علاقه‌شان به ریاضیات محض مطالعه کرده‌‌اند.
حال برخی از جنبه‌های پیشرفت این نظریه در دوره‌ی اسلامی را از طریق مثال ملموسی بیان می‌کنیم. برای درک این مثال ابتدا لازم است برخی مقدمات نظریه‌ی باستانی مقاطع مخروطی و انتقال آن به دوره‌ی اسلامی به اجمال بیان شود.
کتاب پایه در مورد نظریه‌ی باستانی مقاطع مخلوطی، مخروطات آپولونیوس (در حدود 200 قبل از میلاد) است. (6) این کتاب از هشت مقاله تشکیل شده که هفت مقاله‌ی نخست آن در قرن سوم هجری زیر نظر برادران بنوموسی به عربی ترجمه شده است. (7) انجام این ترجمه آسان نبود، اولاً به این دلیل که بنوموسی تنها یک نسخه‌ی خطی یونانی و آن هم نامطلوب از کتاب در اختیار داشتند؛ دیگر این که در دوره‌ی بنوموسی مقاطع مخروطی موضوعی کاملاً فراموش شده بود. در نتیجه کسی نبود که بتواند نظریه را برایشان توضیح دهد. بنوموسی در خواندن نسخه‌ی خطی یونانی مشکل داشتند. اما مدتی بعد یکی از سه برادر، حسن‌بن موسی، خودش نظریه‌ی مقاطع استوانه به کمک یک صفحه را ابداع کرد. نظر او (که درست هم بود) این بود که این نظریه کمی آسان‌تر از نظریه‌ی مقاطع مخروطی و نیز مقدمه‌ای برای آن است. پس از درگذشت حسن، برادر دیگر به نام احمد در سوریه نسخه‌ی یونانی دیگری از چهار مقاله‌ی اول با شرح اتوکیوس [عسقلانی] (8) پیدا کرد. به کمک این دو نسخه‌ی خطی و نظریه‌ی مقاطع استوانه از برادر درگذشته، دو برادر دیگر، احمد و محمد، سرانجام توانستند متن یونانی مخروطات را بفهمند. آن گاه ترجمه‌ی چهار مقاله‌ی اول را به هلال بن ابی هلال حصص و مقاله‌های پنجم تا هفتم را به ثابت بن قره سپردند و دو برادر بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند.
متن یونانی چهارمقاله‌ی نخست مخروطات در یک نسخه‌ی خطی بیزانسی به جا مانده اما مقاله‌های پنجم تا هفتم تنها در نسخه‌ی عربی مخروطات و به کوشش بنوموسی باقی است. گفتنی است که مقاله‌ی پنجم مخروطات یکی از درخشان‌ترین (و نیز دشوارترین) آثار ریاضیات یونانی است.
برای درک ترسیمی از دوره‌ی اسلامی که در پی می‌آید باید موارد زیر از نظریه‌ی آپولونیوس درباره‌ی هذلولی را دانست. اگر مخروطی مطابق شکل 1 به صورت یک هذلولی قطع شود (بیان امروزی)، آپولونیوس هر شاخه‌ی مقطع را یک هذلولی و هر دو شاخه‌ی آن را «دو مقطع متقابل» می‌نامد، او در مقاله‌ی اول مخروطات خاصیت زیر را ثابت می‌کند:
1-هر مقطع مخروطی قطری دارد، یعنی خطی مستقیم که تمام پاره‌خط‌های مستقیم بین دو نقطه از مخروط را که راستای ثابتی دارند و به دو پاره‌ی مساوی تقسیم می‌کند (مخروطات، مقاله‌ی اول، قضیه‌ی 7، شکل 2). او این نیمه پاره‌خط‌ها را خطوط ترتیب مربوط به آن قطر می‌نامد. در شکل 2، BG قطری است که یک هذلولی را در B و مقطع مقابل (شاخه‌ی دیگر) را در G قطع می‌کند.
اگر M وسط BG باشد، آپولونیوس با روش‌های مبتنی بر مساحات نشان می‌دهد که:
2-هذلولی یک مماس در نقطه‌ی B دارد و این مماس با خطوط ترتیب قطر GB موازی است (مخلوطات، مقاله‌ی اول، قضیه‌ی 17 و 32).
3-هر خط مستقیم که از M عبور کند یک قطر هذلولی است و خطوط ترتیب قطر دلخواه (شکل 3) همواره موازی با مماس گذرنده ازB_1 است (مخروطات، مقاله‌ی اول، قضیه‌ی 47).
اکنون یک هذلولی به قطر BG در نظر می‌گیریم که مطابق شکل 4 هذلولی را در B و مقطع مقابل را در G قطع کند. اگر AD یک خط ترتیب دلخواه باشد، آپولونیوس نشان می‌دهد که مستقل از خط ترتیب AD پاره‌خط ثابت BE عمود بر BG وجود داد چنان که برای تمام خطوط ترتیب AD، مربع AD همان مساحتی را دارد که چهارضلعی BDPQ که به شکل زیر تعریف می‌شود: GE و عمود بر GB در نقطه‌ی D را رسم می‌کنیم. اگر P نقطه‌ی تقاطع این دو خط و نقطه‌ی Q روی BE چنان باشد که PQ||DB ، آپولونیوس برای قطر اصلی BG در شکل 2 (مخروطات، مقاله‌ی اول، قضیه‌ی 12) و همچنین برای قطرهای دیگر از شکل 3 (مخروطات، مقاله‌ی اول، قضیه‌‌ی 50) نشان می‌دهد که 〖AD〗^2=BDPQ..
اگر قرار دهیم: آنگاه یک چهارضلعی داریم که در آن:

در نتیجه:

چنان که خواهیم داشت:
4-
این عبارت شبیه معادله‌ی دکارتی هذلولی است اما توجه کنید که دستگاه مختصات عموماً متعامد نیست زیرا AD همواره بر BD عمود نیست. تساوی 4، وجه تسمیه‌ی واژه‌ی عربی «قطع زائد» برای هذلولی را بیان می‌کند: آپولونیوس چهارضلعی BDPQ را چنین توصیف می‌کند:
چهارضلعی ساخته شده بر BE به طول BD و با افزودن چهارضلعی EPRQ که مشابه چهارضلعی ثابت GBEH است.
در رابطه‌ی 4، px چهارضلعی ساخته شده بر p(=BE) و به طول x(=BD) و افزوده (در عربی: «زائد») است. آپولونیوس معادل رابطه‌ی را برای بیضی به دست می‌دهد که بیانگر وجه تسمیه‌ی «قطع ناقص» در عربی برای آن است (در بیضی کاسته می‌شود). برای سهمی نیز داریم y^2=px که در آن نه بخش ناقص و نه بخش زائد داریم. در نتیجه سهمی به عربی قطع «مکافی» یعنی برابر نامیده می‌شود. می‌بینیم که مترجمان عرب اصطلاحاتی را برای واژه‌های یونانی الپسیس (9)، پارابوله (10) و هیپربوله (11) در نظر گرفته‌اند که معنای آن‌ها را نیز حفظ می‌کند و برخلاف مترجمان لاتینی تنها به آوانویسی اصطلاح‌ها اکتفا نکرده‌اند.
برای درک ترسیم زیر از کوهی (12) باید ابتدا این سه اصطلاح را تعریف کرد (شکل 4):
الف – قطعه‌ی BG «ضلع مجانب» یا «قطر مجانب» نامیده می‌شود.
ب – قطعه‌ی BE «ضلع قائم» نامیده می‌شود.
ج- اگر W نقطه‌ی حاصل از امتداد مستقیم خط BD باشد، زاویه‌ی ADW «زاویه‌ی ترتیب» نامیده می‌شود.
اگر این زاویه قائمه باشد، قطر «محور» نامیده می‌شود.
آپولونیوس همچنین نشان می‌دهد که برای هر دو پاره‌خط متعامد BG و BE و برای هر زاویه‌ی a، یک هذلولی وجود دارد که BG قطر مجانب، BE ضلع قائم و a زاویه‌ی ترتیب آن باشد. به عبارت دیگر، او قاعده‌ی مدور و رأس مخروطی را می‌سازد که صفحه را به شکل هذلولی مورد نظر قطع می‌کند (مخروطات، مقاله‌ی اول، قضیه‌ی 54 و 55).
هندسه دانان دوره‌ی اسلامی، نظریه‌ی مقاطع مخروطی آپولونیوس را در حل بسیاری از مسائل هندسی به کار می‌بستند. پیش از نیمه‌ی قرن چهارم هجری هندسه‌دانان آثاری حاوی چنین اثبات‌هایی نوشته بودند، گرچه همه‌ی این اثبات‌ها ریشه‌ی باستانی داشتند. از نیمه‌ی قرن چهارم هندسه دانان ایران و عراق شروع به کشف راه‌حل‌های تازه کردند. نخست مسئله‌ی ترسیم هفت ضلعی منتظم بود که به نظر می‌رسد نقش مهمی داشت. هندسه دانان دوره‌ی اسلامی متن منسوب را به ارشمیدس را می‌شناختند که در آن ترسیم یک هفت ضلعی به این مسئله تقلیل داده شده است که مطابق شکل 5 در مربع معلوم ABGD خط راست AEZH را چنان رسم کنید که مساحت مثلث‌های AEB و GZH برابر باشد. متن هیچ اشاره‌ای به روشن کشیدن این خط نمی‌کند، از طرف دیگر این کار با خط‌کش و پرگار ممکن نیست. در نتیجه هندسه‌‌دانان دوره‌ی اسلامی راه‌حل منسوب به ارشمیدس را ناقص دانستند.
کمی پیش از 357 ق، هندسه‌دان جوان ابوالجود اعلام کرد که راه حلی برای این مسئله با خط‌کش و پرگار یافته است (البته این کار ناممکن است). سجزی متوجه اشتباه او در این راه حل شد و علاء بن سهل بن کمک مقاطع مخروطی آن را تصحیح کرد. تاریخ این راه‌حل بسیار جذاب است زیرا ظاهراً سجزی اطلاعات ناقصی در مورد راه حل ابوالجود به علاء بن سهل داده بود چنان که علاءبن سهل نمی‌دانست که این راه حل در مورد هفت‌ضلعی است. سپس ابوالجود، سجزی را به سرقت علمی متهم کرد. در این باره در نسخه‌های خطی این دوره ادعاهای جالبی می‌توان یافت. هندسه‌دانان متعددی از جمله صاغانی راه حلی برای رسم‌الخط AEZH ابداع کرده‌اند. در هر حال تاریخ هفت ضلعی منتظم به هندسه‌دانان قرن چهارم نشان داد که می‌توان مسائلی را حل کرد که حتی پیشینیان نتوانستند حل کنند. این اندیشه‌ی پیشبرد هندسه، انگیزه‌ای برای تحقیق در مسائل دیگر شد. مسئله‌ی کوتاه و زیبای دیگری را که می‌شناسم برایتان مطرح می‌کنم: این مسئله درباره‌ی تثلیث زاویه است که ابوسهل کوهی در حدود 357 ق آن را کشف کرده (و بعداً سجزی آن را به عنوان یافته‌ی خود آورده) است. متن اصلی کوهی را که بسیار طولانی است عرضه نمی‌کنم اما خلاصه‌ی آن را از نسخه‌ی مانیسا (ترکیه) می‌آورم. این خلاصه پیوستی بر بازسازی ابن هیثم (354 – 432 ق) از مقاله‌ی هشتم مخروطات است که از میان رفته است. متن عربی تصحیح شده و ترجمه‌ی فارسی آن در پایان این مقاله آمده است.
مسئله‌ی تثلیث زاویه قبلاً در یونان باستان مطالعه و معروف شده بود زیرا نمی‌توان تثلیث زاویه را به کمک خط‌کش و پرگار حل کرد. هندسه‌دانان یونانی راه‌حل‌های متعددی برای آن به کمک وسائل پیچیده‌تر از پرگار یافته بودند، یک راه حل قدیمی با استفاده از مقاطع مخروطی را احمدبن موسی به عربی ترجمه کرد و همان راه حل (یا ترجمه‌ی متنی دیگر) توسط ثابت بن قره اصلاح شد. این راه‌حل از راه‌حل کوهی که اکنون می‌آورم پیچیده‌تر است.
فرض می‌کنیم زاویه‌ی داده شده ∠ADW=a است. کوهی ابتدا قطعه‌ی دلخواه GB را انتخاب می‌کند (شکل 6، مطابق نسخه‌ی خطی). سپس هذلولی گذرنده از B را چنان می‌کشد که قطر مجانبش GB و ضلع قائمش پاره‌خطی مساوی با GB) (BE در شکل 7) و زاویه‌ی ترتیبش زاویه‌ی a باشد. آپولونیوس وجود چنین هذلولی‌ای را اثبات کرده است. سپس نقطه‌ی A را روی هذلولی به شکلی تعیین می‌کند که AB=BG (A را می‌توان به عنوان نقطه‌ی تقاطع هذلولی و دایره‌ای به مرکز B و شعاع BG یافت). بنابراین او خط ترتیب AD را رسم و نقطه‌ی A را به G و B وصل و ادعا می‌کند که ∠DAB=a/3 . اثبات او به صورت زیر است:
او ابتدا می‌گوید: که قطر مجانب و ضلع قائم است. این رابطه نتیجه‌ی این واقعیت است که چهار ضلعی BDPQ. پس

چنان که آپولونیوس در مخروطات ثابت کرده است. چون d=p=BG، پس .
کوهی می‌گوید که مثلث‌هایADB و GDA متشابهند زیرا

چون که مثلث‌ها مشابهند، زیرا:
.
چون AB = BG
داریم
بنابراین (زاویه‌ی خارجی)
پس
در نهایت اگر w در امتداد BD باشد، داریم:
= (زاویه‌ی خارجی) . پس
حال این سؤال مطرح می‌شود که چگونه می‌توان این هذلولی را رسم کرد. کوهی رساله‌ای در باب ترسیم مقاطع مخروطی به کمک پرگار تام نوشته است. (13) این پرگار مانند پرگار عادی از دو شاخه تشکیل شده است اما با آن دو تفاوت دارد (شکل 8). نخست آن که شاخه‌ی اول پرگار تام را می‌توان با زاویه‌ی دلخواه b=β به صفحه‌ی کاغذ ثابت کرد. تفاوت دیگر آن است که شاخه‌ی دوم از یک لوله‌ی مستقیم و یک قلم تشکیل شده که قلم می‌تواند درون لوله بلغزد به شکلی که انتهای قلم همیشه بر کاغذ باشد. شاخه‌ی اول پرگار به محور مخروط مربوط می‌شود و کوهی آن را محور پرگار می‌نامد. شاخه‌ی دوم می‌تواند نسبت به محور با زاویه‌ی دلخواه g=γ ثابت شود. حال اگر شاخه‌ی دوم حول محور بچرخد، سطح یک مخروط را ترسیم می‌کند. در نتیجه قلم روی صفحه یک مقطع مخروطی ترسیم می‌کند.
کوهی در رساله‌اش درباره‌ی پرگار تام اطلاعات دقیق در مورد رسم هذلولی به کمک این پرگار می‌دهد. (14) پس می‌دانیم که او چه پاسخی به پرسش طرح شده داده است: چگونه می‌توان هذلولی لازم برای تثلیث زاویه را رسم کرد؟ ابتدا باید محور و رأس هذلولی را یافت (شکل 9).
M وسط BG است و نیم دایره‌ای به قاعده‌ی MB رسم می‌کنیم. سپس مماس دایره، PQ، را که با GB زاویه‌ی a می‌سازد می‌کشیم. خط MQ را رسم می‌کنیم و خطی موازی PQ از B عبور می‌دهیم تا MQ را در T قطع کند. در نهایت S را میان T و Q چنان مشخص می‌کنیم که . کوهی نشان می‌دهد که S رأس هذلولی و MS محور آن خواهد بود. او می‌افزاید که این روش ترسیم از نقطه‌ی S را آپولونیوس پیش‌تر عرضه کرده است (مخروطات، مقاله‌ی او، قضیه‌ی 55).
اکنون باید یک هذلولی به مرکز M و رأس S و محور MS و قطر (یا ضلع) مجانب MS2 و ضلع قائم مساوی با قطر مورب رسم کرد (می توان نشان داد که همه‌ی اضلاع قائم این هذلولی با ضلع مجانب آن مساوی هستند؛ به همین دلیل این هذلولی متساوی الساقین نامیده می‌شود). ترسیم این هذلولی به قدر کافی پیچیده است. کوهی ابتدا زوایای β و γ در پرگار را در در شکلی مقدماتی ترسیم می‌کند (شکل 10).
اگر a طول محور پرگار باشد قرار می‌‌دهیم ZY=YV؛ حالا باید X را روی امتداد ZY به قسمی مشخص کنیم که . برای تعیین x کوهی به رساله‌اش به نام قسمة الخطوط علی نسب السطوح ارجاع می‌دهد که امروزه گم شده است. (15) سپس نیم دایره‌ی XLY و عمود LZ و XY را می‌کشد و خط مستقیم UVN را بر KYV عمود می‌کند چنان که XLU و LYN بر هم عمود باشند، در نیم دایره‌ی ULN، اگر J نقطه‌ی مشترک دایره و XV باشد، کوهی و را اختیار می‌کند. حال (شکل 11) پرگار را به شکلی قرار می‌دهد که محور KO در صفحه‌ی عمود بر صفحه‌ی کاغذ از MS بگذرد و KO با صفحه‌ی کاغذ زاویه‌ی β بسازد؛ شاخه‌ی دوم پرگار با KO زاویه‌ی γ می‌سازد. اگر S نقطه‌ی برخورد این شاخه با صفحه‌ی کاغذ باشد گردش پرگار باعث می‌شود قلم همانطور که کوهی نشان داده است هذلولی مورد نظر را رسم می‌کند.
این ترسیم به قدر کافی پیچیده است. محتمل است که کوهی هرگز زاویه‌ای را به روشی که می‌گوید به کمک پرگار تام به سه قسمت تقسیم کرده نباشد. او مثل بسیاری از دیگر هندسه‌دانان دوره‌ی اسلامی فقط به هندسه‌ی محض به عنوان دانش حقایق ابدی، که به اشکال تغییر ناپذیر و قابل درک با قوه‌ی خیال و نه به اشکال ترسیم شده روی کاغذ تعلق دارد، علاقمند است. می‌توان متذکر شد که در شکل‌های ترسیم شده در نسخه‌های خطی عربی، مقاطع مخروطی همواره با کمان‌هایی از دایره نشان داده می‌شوند. نسخه‌ی مخروطات آپولونیوس، که ابن‌هیثم آن را استنساخ کرده و در حال حاضر در استانبول است، نیز همین وضع را دارد.
اغلب راه‌حل‌های مسائل هندسی در دوره‌ی اسلامی را که به کمک مقاطع مخروطی انجام می‌شوند می‌توان کاربرد و بسط نظریه‌ی آپولونیوس دانست. اما استثنائات خوبی هم مثل محاط کردن پنج ضلعی منتظم در یک مربع از کوهی وجود دارد. اثبات او را به سادگی و به کمک اطلاعات زیر می‌توان فهمید. اگر مطابق شکل 12، PQRST پنج ضلعی منتظم محاط در مربع ABCD باشد و اگر نقطه‌ی P وسط AB و M وسط RS و DC باشد آنگاه نقاط P و M معلوم هستند. کوهی متوازی الاضلاع UMPQ و نقطه‌ی U را در نظر می‌گیرد، داریم:
PQ=QR=RS=ST=TP=2RM=2QU=UM
چون QU2 = UM، پس U روی هذلولی به کانون M به هادی AD و خروج از مرکزی مساوی 2 است. از آن جا که این مفاهیم در مخروطات آپولونیوس توضیح داده نشده است، کوهی باید رأس، محور و ضلع قائم این هذلولی را معلوم کند. چون پس U روی هذلولی دیگری هم واقع است چنان که u را می‌توان به عنوان نقطه‌ی تقاطع دو هذلولی معلوم کرد.
هندسه‌دانان دوره‌ی اسلامی مقاطع مخروطی را برای حل معادلات درجه‌ی سوم نیز به کار بسته‌اند. (16) ماهانی که در حدود 246 ق زندگی می‌کرد نخستین کسی است که مسئله‌ای هندسی را به معادله‌ی جبری درجه‌ی سوم تحویل کرده است که در واقع قضیه‌ی کمکی قضیه‌ی چهارم از مقاله‌ی دوم کتاب کره و استوانه‌ی ارشمیدس است. در حوالی سال 328 ق ابوجعفر خازن ماهانی را به کمک مقاطع مخروطی حل کرد. ممکن است راه حل ابوجعفر خازن متأثر از شرح اتوکیوس باشد که راه حلی برای مسئله‌ی ارشمیدس به کمک مقاطع مخروطی عرضه کرده است، زیرا می‌دانیم که ابوجعفرخازن این شرح را می‌شناخته است. پس از ابوجعفر خازن اغلب ریاضی دانان دوره‌ی اسلامی معادله‌های درجه‌ی سوم را به کمک مقاطع مخروطی حل کردند. این راه‌حل‌ها بر خواص ساده‌ی مقاطع مخروطی تکیه داشتند. برخی هندسه‌دانان دوره‌ی اسلامی، به ویژه کوهی و ابن هیثم، مساحت مقاطع مخروطی و نیز حجم و مرکز ثقل برخی اجسام حاصل از دوران مقاطع مخروطی را مطالعه کرده‌اند. سجزی نیز تحقیقاتی درباره‌ی تقاطع اجسام حاصل از دوران مقاطع مخروطی با صفحه انجام داده است. متن آثار سجزی درباره‌ی اجسام حاصل از دوران و برخی رساله‌های عربی دیگر درباره‌ی مقاطع مخروطی هنوز مورد تحقیق قرار نگرفته‌اند. در نتیجه، دانش تاریخی ما در این موضوع هنوز کامل نیست.
تعداد قابل توجهی از رساله‌های مشخصاً دشوارتر هنوز پیدا نشده است. برای نمونه به گفته‌ی مؤلف ناشناس یک نسخه‌ی خطی فارسی متعلق به قرن هفتم هجری (17)، ابن هیثم رساله‌ای دارد درباره‌ی ترسیم یک مثلث قائم‌الزاویه، با استفاده از یک سهمی و یک هذلولی، که مجموع ارتفاع و کوچکترین ضلع آن با وترش برابر باشد (شکل 13). هیچ نسخه‌ای از این رساله در دست نیست. (18) مؤلف ناشناس اضافه می‌کند که ابن هیثم متأثر از هندسه‌ی عملی بوده زیرا چنین مثلثی برای ترسیم دقیق یک طرح کاشیکاری لازم است (شکل 14) (راه ترسیم این کاشیکاری را با تقریبی عالی به وسیله‌ی خط‌کش و پرگار می‌دانیم). این رساله‌ی ابن هیثم تنها نمونه از این نوع نیست. هنوز موارد فراوانی برای کشف وجود دارد زیرا سنت مقاطع مخروطی در دوره‌ی اسلامی بسیار غنی بوده است.

متن روش کوهی

إذا أردنا أن تأخذ من زاویة معلومة ثُلثها وضعنا قطعاً زائداً ضلعه القائم مثل قطره المجانب و زاویة ترتیبه مثل الزاویة المعلومة. و لیکن قطع پاره خط ا ب و قطره المجانب پاره خط ب جـ و نخطُ فی القطع خطاً مثل خط پاره‌خط ب جـ و هو خطُ پاره‌خط ب ا و نخرج خط پاره‌خط ا د علی الترتیب، فأقول. إن زاویة داب الزاویة المطلوبة. (19)

برهانه:

إن نسبتة ضرب پاره‌خط جدد فی پاره‌خط دب إلی مربع خط پاره خط ا د کنسبة المجانب إلی القائم و المجانب فرضناه مثل القائم فضرب پاره‌خط جـ د فی پاره‌خط د ب مثل مربع پاره‌خط ا د فیلکون لذلک مثلث پاره‌خط ادب شبیها بمثلث پاره‌خط ا د جـ فزاویة پاره‌خط داب مساویة لزاویة پاره‌خط جـ و زاویة پاره‌خط ا ب د مثلا زاویة پاره‌خط جـ لأن پاره‌خط اب مثل پاره خط ب ج فزاویة پاره‌خط ا ب د مثلا زاویة پاره‌خط داب. و لأن الزاویة الخارجة من (20) کل مثلث مثل الداخلتین المتقابلتین (21) لها تکون لذلک زاویة پاره‌خط داب ثلث الزاویة المفروضة. و ذلک ما أردنا أن نبین.

ترجمه

اگر یک سوم زاویه‌ی معلومی را بخواهیم، هذلولی‌ای می‌کشیم که ضلع قائمش با قطر مجانبش و زاویه‌ی ترتیبش با آن زاویه‌ی معلوم برابر باشد (شکل 15). آن قطع مخروطی AB و قطر مجانبش BC است. در این مقطع مخروطی خطی برابر با خط BG رسم می‌کنیم. که خط BA باشد و خط ترتیب AD را می‌کشیم. می‌گوییم که زاویه‌ی DAB همان زاویه‌ی مطلوب است.

اثبات:

نسبت حاصل ضرب GD در DB به مربع خط AD با نسبت ضلع مجانب به ضلع قائم برابر است. اما ضلع مجانب را مساوی با ضلع قائم فرض کردیم. پس حاصل ضرب GD در DB با مربع AD برابر است. براین اساس، مثلث ADB با مثلث ADG متشابه است. پس زاویه‌ی DAB مساوی با زاویه‌ی G و زاویه‌ی ABD دو برابر زاویه‌ی G است، زیرا AB با BG برابر است. پس زاویه‌ی ABC دو برابر زاویه‌ی DAB است. از آن جا که زاویه‌ی خارجی هر مثلث با (مجموع) زاویه‌های داخلی مقابل به آن برابر است، بنابراین زاویه‌ی DAB یک سوم زاویه‌ی معلوم است. این همان بود که می‌خواستیم نشان دهیم.
پیوست
متن عربی مقاله‌های اول تا چهارم مخروطات (که به یونانی نیز باقی مانده) اخیراً در مجموعه‌ی زیر چاپ شده است:
R.Rashed, ed., Apollonius de Perge, Coniques, Berlin-New York, Walter de Gruyter and Co., 2008 – 2010, 7 vols.
کلیه‌ی متون اسلامی درباره‌ی هفت ضلعی منتظم در کتاب زیر چاپ شده است:
R. Rashed, ed., Les Mathématiques Infinitésimales, vol. 3, Ibn al-Haytham, Théorie des Coniques, Constructions Géométriques et Géométrie Pratique, London, Al-Furqān Islamic Heritage Foundation, 1421/2000,pp.647-898.
خاصیت نظری هذلولی که می‌تواند به صورت «قانون اسنل» در شکست نور تعبیر شود در متنی درباره‌ی ابزارهای سوزان (محرقات) از ابن سهل بحث شده است، برای متن عربی و ترجمه‌ی فرانسوی بنگرید به:
R. Rashed, ed., Géométrie et Dioptrique au Xe Siécle, Paris: Les Belles Lettres, 1993, pp. 1-5:
برای متن عربی و ترجمه‌ی انگلیسی بنگرید به:
R. Rashed, Geometry and Dioptrics in Classical Islam, London, Al-Furqān Islamic Heritage Foundation, 1426/2005, pp. 76-143:
بحث جالبی درباره‌ی مماس مقاطع مخروطی در منبع زیر آمده است:
J. L. Berggren, “Al-Kūhī’s ‘Filling a Lacuna in Book II of Archimedes’ On the Sphere and Cylinder in the Version of Naṣīr-al-Dīn al-Ṭūsī, Centaurus, 38 (1996), 140-207;
برخی از متون جالب درباره‌ی سنت اسلامی مقاطع مخروطی که پس از انتشار مقاله در سال 1998 به چاپ رسیده‌‌اند:
ابوسهل کوهی، کتاب مرکز الدوائر المتماسّة علی الخطوط بطریق التحلیل، در
Abū Sahl Kūhī, “The Book on Centers of Tangent Circles on Lines by Way of Analysis (kitāb marākiz al-dawā’ir al-mutamāssa ‘alā al-khuțūț bi-țarīq al-tahlīl)”, in A. Abgrall, Le développement de la géométrie aus IXe –Xie siècles: Abū Sahl al-Qūhī, Paris 2004, pp. 196-217;
ابوسعید سجزی، فی خواصّ القبّة الزائدة و المکافیة، در
Abū Sa īd al-Sijzī, “On the properties of the hyperbolic dome and the parabolic dome (fīkhawāṣṣ al –qubbla al-zā’ida wa’l-mukāfiya)” in R. Rashed, Geometry and Dioptrics in Classical Islam, London, Al-Furgān Islamic Heritage Foundation, 1426/2005, pp.592-609;
ابوسعید سجزی، فی خواصّ المجسمّ الناقص و الزائد و المکافی؛ همان، ص 610-627.

پی‌نوشت‌ها:

Hogendijk, J.P.,J.P. Hogendijk@un.nl
استاد ریاضیات . پژوهشگر تاریخ ریاضیات و نجوم دوره‌ی اسلامی در دانشگاه اوترخت (هلند)
2. دانشجوی دکتری رشته‌ی فلسفه‌ی علم، مؤسسه‌ی و پژوهشی حکمت و فلسفه‌ی ایران، Ehsan_am@yahoo.com
.3“L’etude des sections coniques dans la tradition Arabe”, in: Actes de 3ème colloque Maghrébin sur les Mathématiques Arabes, Tipaza. Alger: Ecole Normale Superieure, 1998, pp. 147-158.
4.بنگرید به مقاله‌ی «اسطرلاب» در دائرة المعارف بزرگ اسلامی، ج 8، تهران، 1377، ص 297-305 نوشته‌ی محمدعلی مولوی و مقاله‌ی «صاغانی» در ابوالقاسم قربانی، زندگینامه‌ی ریاضیدانان دوره‌ی اسلامی، تهران، 1375، ص 292، 295.
5. برای مطالعه‌ی بیشتر بنگرید به: حسین معصومی همدانی، «آئینه‌ی سوزان افلاطون»، نشر دانش، سال هفدهم، ش 95، بهار 1379، ص 3-15.
6. بنگرید به مقاله‌ی «آپولونیوس پرگایی» در دائرة المعارف بزرگ اسلامی، ج 1، تهران، 1374، ص 84، نوشته‌ی محمدعلی مولوی.
7. تصحیح متن عربی به همراه ترجمه‌ی انگلیسی:
Toomer, G. J., Apollonius’ Conics Books V to VII, The Arabic translation of the lost Greed original in the version of the Banu Musa, New Yourk, etc. 1990, 2 vols.
نیز بنگرید به مقاله‌ی «بنو موسی» در دانشنامه‌ی جهان اسلام، ص 4، تهران 1377، ص 403 – 405، نوشته‌ی محمد جواد ناطق.
8. Eutocius بنگرید به مقاله‌ی «اوتوکیوس» در دائرة المعارف بزرگ اسلامی، ج 10، تهران، 1380، ص 412، نوشته‌ی محمدعلی مولوی.
9. elleipsis
10. parabolè
11. hyperbolè
12. ابوسهل بیژن بن‌رستم کوهی (د. حدود 405 ق). درباره‌ی او بنگرید به ابوالقاسم قربانی، زندگینامه‌ی ریاضیدان دوره‌ی اسلامی، تهران، 1375، ص 421- 430.
13. تصحیح متن عربی و ترجمه‌ی فرانسوی
F. Woepcke, “Trois traités arabes sur le compas parfait”, Notices et Extraits des Manuscrits de la Bibliothèque Impériale et autres Bibtiothèques, 22 (1874), pp. 1-175.
چاپ دوباره در
F. Woepcke, Etudes sur les mathématiques arabo-islamiques, Frankfurt am Main, 1986 (Institut für Geschichte der arabisch-islamischen Wissenschaften), vol. 2, pp. 560-734.
14. بنگرید به:
F. Woepcke, “Trois traités arabes…” (note 15), pp. 90-99, 129-137 (Etudes…, vol. 2, pp.649, 668, 658-696).
15. بنگرید به: ابوالقاسم قربانی، زندگینامه‌ی‌ ریاضیدانان دوره‌ی اسلامی، تهران، 1375، ص 423-424.- م.
16. غلامحسین مصاحب، حکیم عمرخیام به عنوان عالم جبر، تهران، 1339، ص 125.
17. این نسخه با عنوان فی تداخل الأشکال المتشابهة أو المتوافقة در کتابخانه‌ی ملی پاریس نگهداری می‌شود و محتوای آن در کتاب هندسه‌ی ایرانی نوشته‌ی مهندس علیرضا جذبی (انتشارات سروش، چاپ سوم، 1384) عرضه شده است (بنگرید به شکل پایان این مقاله).
18. نسخه‌ی خطی رساله‌ی عربی کوتاهی از عمر خیام در کتابخانه‌ی مرکزی دانشگاه تهران (به شماره‌ی 1751/2) موجود است که حل همین مسئله‌ی هندسی در آن به حل معادله‌ی درجه‌ی سومی تحویل شده و خیام آن معادله را به کمک مقاطع مخروطی حل کرده است. تصویر این نسخه‌ی خطی و متن ویراسته‌ و ترجمه‌ی فارسی آن را غلامحسین مصاحب در کتاب حکیم عمر خیام به عنوان عالم جبر (ص 252 – 261) آورده است. مرحوم آلپای ازدورال، پژوهشگر اهل ترکیه، رابطه‌ی طرح کاشیکاری فوق در نسخه‌ی پاریس با رساله‌ی کوتاه عمر خیام را در مقاله‌ی زیر بیان کرده است:
Alpay Özdural, “On Interlocking Similar or Corresponding Figures and Ornamental Paterns of Cubic Equations”, Muqarnas, vol. XIII: An Annual on the Visual Culture of the Islamic World, ed. Gülru Necipoglu, Leiden: E. J. Brill, 1996, pp.191-211.
نیز بنگرید به: یان پ. هوخندایک، «پژوهش‌های اخیر پیرامون تاریخ ریاضیات و نجوم در تمدن اسلامی (قرن‌های دوم تا نهم هجری)»، ترجمه‌ی محمد باقری، نشر ریاضی، سال 9، شماره‌ی 2، شهریور 1377، ص 43 – 52.
19.در نسخه: المعلومة
20. در نسخه: الخارجتین
21. در نسخه: مثلا الداخلین المقابلین

منبع مقاله :
میراث علمی اسلام و ایران، سال دوم، شماره‌ی اول (پیاپی 3)، بهار و تابستان 1392.