احتمالات و هندسه‌ی مربوط به آن

احتمال گذار هندسی را مدتی پیش، مایكل بری، استاد دانشگاه بریستول انگلستان كشف كرد اخیراً تزوانزیگر، راكر، و چینگاس، با استفاده از روش زیر كانه‌ای كه بر تشدید مغناطیسی هسته‌ای (NMR) مبتنی است، این احتمال هندسی را در آزمایشگاه تشخیص داده‌اند.
در هشت سال گذشته بری مشغول مطالعه خواصی از سیستم‌های كوانتومی‌ای بوده است كه تحت اثر نیروهایی با تغییرات كند، تحول پیدا می‌كنند. این قبیل فرایندها را فیزیك‌دان‌ها و شیمیدان‌ها بی‌دررو می‌نامند. بسیاری از فرایندهای مهم یا بیدرو‌اند یا تقریباً بی‌دررو. مثلاً حركات سریع الكترون‌ها را در مولكول در نظر بگیرید. الكترون‌های سریع با هسته‌های كند بر هم‌كنش می‌كنند (این مسئله با تقریب معروف بورن – اوپنهایمر بررسی می‌شود)؛ مثال دیگر نوسان‌های امواج نوری است كه در یك تار نوری یا پیچشی ملایم منتشر می‌شوند. از همان اوایل مكانیك كوانتومی معلوم شده بود كه فرایندهای بی‌دررو را معمولاً می‌توان به روشی بسیار ساده بررسی كرد. مخصوصاً، اگر انرژی یك سیستم كوانتومی در زمان صفر Ea(0) باشد. در هر زمان بعدی t، برابر Ea(t) خواهد بود، مشروط به آنكه نیروهای وارد بر سیستم خیلی كند تغییر كنند. احتمال گذار به تراز انرژی Eh(t) در حد بی‌دررو صفر می‌شود.
كار اولیه بری در نیروهای تناوبی در حد بی‌دررو مربوط می‌شد. اگر نیروها تناوبی باشند، پس از یك دوره تناوب τ خواهیم داشت) Ea(0)=Ea(τ یعنی انرژی سیستم به مقدار اولیه‌اش باز می‌گردد. پس ممكن است تصور شود كه سیستم از هر لحاظ به وضعیت اولیه‌اش باز می‌گردد به طوری كه تمام كمیت‌های مشاهده پذیر آن مقدارهای اولیه‌شان را اختیار می‌كنند.
بری نشان داد كه این تصور درست نیست. در واقع، سیستم در این جریان، فاز غیر صفری به دست می‌آورد كه فاز هندسی (یا فاز بری) نامیده می‌شود و می‌تواند سبب شود كه بعضی از مشاهده‌پذیرها – نظیر بسامد ظاهری تابشی كه از یك مولكول گسیل می‌شود یا جهت قطبش یك موج نور – تغییر كنند. این فاز را هندسی می‌گویند زیرا فقط به مسیری كه نیروهای اعمال شده بر سیستم طی می‌كنند بستگی دارد و نه به مقدار آن نیروها یا زمان لازم برای طی مسیر. این نتیجه شگفت، بری را به جانب تحقیق در كمیت‌های هندسی دیگری سوق داد كه به فرایندهای تقریباً (ولی نه كاملاً) بی‌دررو وابسته‌اند، اگر فرایندی كاملاً بی‌دررو نباشد احتمال آن هست كه سیستمی با انرژی اولیه Ea(0) پس از زمان t به تراز انرژی Eb(t) گذر كند. بری پی‌برد كه احتمال وقوع چنین گذاری هم با كمیتی هندسی متناسب است.
ساده‌ترین كاربرد احتمال گذار هندسی بری، در حركت یك مغناطیس كوچك است كه در میدان مغناطیسی نیرومندی حركت می‌كند. در حالی كه جهت میدان اعمال شده به آرامی عوض می‌شود. اگر مغناطیس در لحظه 0 به موازات میدان باشد، در تمام لحظات بعدی نیز موازی میدان خواهد بود به شرط آنكه امتداد میدان فوق العاده كند تغییر كند، یعنی تغییر بی‌دررو باشد. اما اگر جهت میدان از قدری سریعتر عوض شود، بررسی كوانتومی نشان می‌دهد كه احتمال دارد در لحظات بعدی مغناطیس تغییر جهت بدهد و در امتداد خلاف میدان قرار بگیرد. نتیجه بری دال بر آن است كه این احتمال گذار به مسیری كه جهت میدان اعمال شده طی می‌كند، بستگی دارد.
تزوانزیگر، راكر، و چینگاس برای آزمودن نتیجه بری آزمایش‌هایی ترتیب دادند. در این آزمایش‌ها به مشاهده مغناطیس‌های كوچكی پرداختند كه بر اثر میدان‌های مغناطیسی اعمال شده حركت می‌كردند؛ امتداد این میدان‌های مغناطیسی مسیرهای مارپیچی پیچیده‌ای را با آهنگی متغیر طی می‌كرد. مغناطیس‌های این آزمایش‌ها، گشتاورهای مغناطیسی هسته‌های C13 در كربن دی‌سولفید مایع بودند.
روش ایجاد یك میدان مغناطیسی كه امتدادش به نحو دقیقاً كنترل شده‌ای تابع زمان باشد. كار بسیار ظریفی است. آزمایشگران به جای استفاده از میدان‌های dc با جهت‌های متغیر در چارچوب مرجع آزمایشگاه، از چارچوب دوار استفاده كردند كه در نظریه طیف نگاری NMR مفهومی اساسی است. در یك آزمایش نوعی NMR، تپ‌های رادیو فركانس ضعیف (در حدود 001ر0 تسلا)، با فركانس (ν) نزدیك به فركانس تشدید هسته‌های مورد نظر (0ν) به داخل یك میدان dc بسیار قوی (در حدود 10 تسلا) در جهت وحور z آزمایشگاه، ارسال می‌شود. سپس تابش رادیو فركانسی را كه هسته‌ها در حالت تشدید گسیل داشته‌اند بررسی كرد. اگر این وضعیت را در چارچوب مرجعی بررسی كنیم كه حول محور z با فركانس ν دوران می‌كند چنین به نظر می‌رسد كه هسته‌ها در میدان مغناطیسی‌ای كه مؤلفه ‌z آن متناسب با ν-ν0 است و مؤلفه‌های x و y آن به دامنه و فاز تابش اعمال شده بستگی دارد، حركت می‌كنند. پس با تغییر فاز، دامنه و فركانس تابش اعمال شده می‌توان در چارچوب مرجع دوار، میدان‌هایی ساخت كه مسیرهای دلبخواهی را طی كنند. تزوانزیگر و همكارانش با ضبط سیگنال‌های هسته C13 موفق شدند حركت هسته را در چارچوب دوار دنبال كنند. توافق نتایج آزمایش را با پیش بینی‌های بری در حد تقریباً بی‌دررو، بسیار خوب بود.
با توجه به اینكه فرایندهای واقعی هرگز كاملاً بی‌دررو نیستند مفهوم احتمال گذار هندسی كه میزان انحراف از بی‌دررو بودن است، جای مهمی در آزمایش‌های آتی فیزیك و شیمی خواهد داشت. ظاهراً آزمایش‌های تزوانزیگر، راكر، و چینگاس، به دلیل دقت كنترل میدان‌های اعمال شده در طیف نگاری NMR و به دلیل ساده بودن برهم‌كنش گشتاورهای مغناطیسی هسته با میدان‌های اعمال شده، آزمون‌های قطعی احتمال گذار هندسی به شمار خواهند آمد.