نویسنده: کالین ا. رُنان
مترجم: حسن افشار
مترجم: حسن افشار
چینی ها در جبر و طرق نگارش اعداد ذوق فراوان داشتند. نوشتن اعداد مهم تر از آن است که شاید در وهله اول به نظر رسد، زیرا در واقع طریقه نوشتن عملیات ریاضی مثل ضرب یا تقسیم است، بگذریم از نوع پیچیده تر آن که در ریاضیات عالی به کار می رود. فی المثل در اروپای سده هجدهم، گرچه آیزاک نیوتن و ویلهلم لایب نیتس حساب جدید را هر دو مستقل از یکدیگر ابداع کردند، لیکن نه در انگلستان بلکه در فرانسه و آلمان بود که پیشرفت بعدی بلافاصله به دست آمد؛ اساساً از این رو که لایب نیتس عملیات را به مراتب قابل درک تر از نیوتن می نوشت. شیوه نگارش اعداد به اندازه اصل عمل برای پیشرفت ریاضیات مهم است. اگر کسی در این تردید دارد، بکوشد عمل تقسیم CXLIVبه XXIV(1) را از ابتدا تا انتها با استفاده از اعداد رومی انجام دهد، دردسر کار را بی درنگ درخواهد یافت!
شیوه چینی نگارش اعداد البته تدریجاً در طول قرون تکامل یافت، ولی تا قرن سوم پیش از میلاد که عدد نویسی طبق الگوی ارزش برحسب جایگاه انجام شد به سطح بالایی از سادگی رسیده بود. ما چه خود آگاه باشیم چه نه، وقتی می نویسیم، 1، 11، 111 و الخ، یعنی موقعی که جای ارقام را نشانه دهگان و صدگان و غیره می گیریم، بی اراده از الگوی عددنویسی بر حسب جایگاه استفاده می کنیم. این کاملاً بدیهی به نظر می رسد؛ ولی برای همه تمدن ها بدیهی نبود. اما خود ارقام چطور؟
نمایش ارقام به صورت خطوط راست رفته رفته تا قرن سوم پیش از میلاد رایج شد. این ارقام را می توان مجموعه هایی از میل های کوچک فرض کرد. یک میل به جای یک، دو میل به جای دو، و غیره. ضمناً با هر تغییر در توان ده، جهت قرارگیری میل ها عوض می شود. از این قرار، عددی که ما آن را 11236 می نویسیم در چینی به این شکل ظاهر می شد:
قابل توجه است که گرچه چینی از بالا به پایین صفحه نوشته می شود، اعداد چینی مثل اعداد ما افقی نوشته می شد. این اعداد ظاهراً حاصل استفاده از تخته شمارش بود. این وسیله تخته صافی است با خط کشی هایی که میل ها یا قلم های کوچکی رویشان قرار می گیرد. میل ها عدد را ثبت می کنند و بعد، وقتی عملی مثل جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم انجام می گیرد، میل های مقتضی جابجا می گردند یا خارج می شوند و یا میل های دیگری افزوده می شود. تخته شمارش چینی از نظام انعطاف پذیری بهره مند است که در دست چینی ها پیشرفت های قابل ملاحظه ای را امکان پذیر ساخت، نه تنها در حساب بلکه در جبر نیز. تاریخ پیدایش آن روشن نیست، ولی تخته شمارش شاید قریب یک هزار سال پیش از میلاد پدید آمده باشد؛ و ارقام میله ای که در بالا ذکرشان رفت احتمالاً از دو قرن بعد مورد استفاده بوده اند.نشانه ای برای صفر یعنی برای جای خالی در تخته شمارش بعدها پدید آمد. نخستین صورت مکتوب آن از قرن سیزدهم میلادی به دست آمده، ولی به احتمال قوی یکصد سال پیش از آن اختیار شده است. مطرح کرده اند که شاید در قرن نهم از هندوستان اخذ شده باشد؛ ولی مطالعات اخیر نشان می دهد که به این سادگی هم نبوده است. چندی پس از سال 683 میلادی، نخستین کتیبه های دارای رقم صفر به طور همزمان در کامبوج و سوماترا پدید می آید؛ و به دلایل بسیار، بعید نیست که صفر اصلاً نه در هندوستان بلکه در ناحیه مرزی دو فرهنگ هندی و خاوری دور زاده شده باشد. جای خالی در تخته شمارش چینی احتمالاً نقش خاصی در این میان بازی کرده است. مفاهیمی مثل «خلأ» فیلسوفان هندی و «پوچی» مورد بحث در تصوف تائوئیستی نیز احتمالاً هر یک نقشی داشته اند.
انواع عدد
در بیشتر تمدن های اولیه سعی می شده تا حد امکان از کسرها پرهیز شود، ولی در چین چنین نبود. چینی ها تا دوره هان در کار با کسرها استاد شده بودند. آن ها با یک دستگاه اعشاری نیز آشنا بودند که ظاهراً از مدت ها قبل مورد استفاده بود؛ زیرا مبادی آن در مکتوبات موئیستی قرن چهارم پیش از میلاد یافت شده است. به علاوه حتی پیش از آن، در زمان استفاده از استخوان های پیشگویی در دوره شانگ، چینی ها از عهده بیان اعداد بسیار بزرگ بر می آمدند ـ این افتخار نصیب کم تر تمدن اولیه ای شده است ـ و تا قرن دوم میلادی، استفاده از آنچه را که ما اینک باید «توان ده» بنامیم آغاز کرده بودند 100 برابر است با
برابر است با
برابر است با
و الخ. عدد کوچک یا «نما» تعداد صفرها را نشان می دهد، یعنی تعداد دفعاتی را که ده در خود ضرب می شود. البته چینی ها
را درست به همین شکل نمی نوشتند، ولی علاماتی داشتند که همین مفهوم را می رسانید.درغرب، همیشه وقتی پای اعداد اصم (2) به میان می آمد، مصیبتی بود. اعداد اصم یا گنگ اعدادی مثل ریشه دوم 2 بود که به صورت نسبت دو عدد صحیح ـ یعنی به صورت کسرهایی مانند
قابل بیان نیست. ریشه دوم 2 به صورت اعشاری برابر 4142136000 /1 است؛ ولی ظاهراً این بی تناسبی برای چینی ها مسئله ای نبوده است؛ حال آن که برای یونانیان اساساً نامعقول به نظر می رسید، چون نسبت سر راستی از آن در نمی آمد. باز وقتی که نوبت به اعداد منفی رسید، چینی ها مشکلی نداشتند. در تخته شمارش آن ها، میل های قرمز نماینده اعداد مثبت بود و میل های سیاه نماینده اعداد منفی؛ و این دستکم در قرن دوم میلادی بود. اعداد منفی در هندوستان تا قرن هفتم در اروپا تا قرن شانزدهم پدید نیامد.حساب
علاوه بر انجام عمل های اصلی حساب و مطالعه مربعات و مکعبات و ریشه ها، چینی ها شیفته مناسبات خود اعداد بودند. در این مورد آن ها پا جای پای بسیاری از تمدن های اولیه گذاشتند. در مرحله ای بسیار آغازین از تاریخ چین، اعداد فرد را بدیمن می دانستند و اعداد زوج را خوش یمن. همچنان که فیثاغورث و پیروان او در یونان انجام داده بودند؛ الگوهای نقطه ای برای به دست آوردن سری ها مورد مطالعه قرار گرفت. چینی ها، میان اعداد، مناسباتی کشف کردند که برای یونانیان ناشناخته بود. فی المثل چینی ها می دانستند که جمع سری اعداد فرد همیشه مربع است.چینی ها به «تحلیل ترکیبی»نیز علاقه مند بودند و این علاقه خود را در توجه آنان به«مربعات جادویی» نشان می داد. این مربع ها خانه هایی داشتند که در هر کدام یک عدد وجود داشت. حاصل جمع این اعداد، چه در ردیف های افقی، چه در ستون های عمودی و چه حتی در قطرها، همیشه یکی بود. مربع جادویی می توانست از این هم پیچیده تر باشد ـ حتی در مربعات سه بعدی نیز اندیشیده شد ـ ولی ساده ترین نوع آن ظاهراً به حدود سال 100 پیش از میلاد یا حتی قبل از آن بر می گردد. تکامل واقعی آن، بعد از این تاریخ، قریب هزار و چهارصد سال به درازا کشید.
چینی ها در طراحی ابزارهای محاسبه همیشه استاد بودند. آنان نیز مانند دیگر تمدن ها اولیه در آغاز با انگشتان خود می شمردند؛ ولی بعد، کار را پیچیده تر ساختند و تخصیص عدد را علاوه بر خود انگشت ها شامل بندهای انگشتان نیز کردند. همچنین نخی با تعدادی گره را که بی شباهت به کیپو پرویی نبود مورد استفاده قرار دادند؛ گرچه این احتمالاً بیشتر برای ثبت کردن بود تا انجام محاسبه. کاراترین ابزار محاسباتی آنان میل شمارش بود. این میل که ظاهراً از خیلی زود مورد استفاده بوده، ابزاری عالی برای محاسبات نیمه مکانیکی است. درباره سرعت انجام محاسبات با آن، به شرطی که شخصی با آن کار کرده باشد، داستان ها وجود دارد، می گویند وی پو(3)اخترشناس قرن یازدهم چنان سریع با میل شمارش کار می کرده که میل در حال پرواز به نظر می آمده است. با این همه بعد از آخرین سلطان مینگ دیگر چندان چیزی از این میل به گوش نمی رسد، زیرا جای خود را به چرتکه کارامدتر داده بود.
چرتکه چینی، هم سوان پان(«صفحه محاسبه») خوانده می شود هم چوسوان پان(«صفحه گوی دار»). این وسیله با قاب مستطیلی خود و سیم های عمودیش که در هر کدام هفت گوی اندکی پخ شده وجود دارد احتمالاً برای بیشتر خوانندگان آشناست. توصیفی از آن به هر صورت جدید از پیش از سال 1593 میلادی در دست نیست؛ از این رو گاه تصور شده است که تا قرن شانزدهم در چین ناشناخته بوده است. ولی متن های دیگری دردست است که نشان می دهد توصیف مربوط به سال 1593 بسیار دیر است. البته در آن ها از چرتکه نامی به میان نیامده، ولی چیزی موسوم به «حساب مهره ای» تشریح شده. این نوعی محاسبه است است که با یک تغار چوبی انجام می گرفت. در تغار، سیم هایی کشیده شده بود که مهره ها روی آن ها حرکت می کرد. این در کتابی آمده که متعلق به قرن ششم میلادی است؛ و اطلاعاتی که در آن آمده، گفته می شود که از اواخر قرن دوم میلادی وجود داشته است. از آن جا که اشارات دیگری هم به طرق محاسباتی از این قبیل وجود دارد، به نظر می رسد که قدمت چرکه در چین دست کم به قرن ششم و حتی قرن دوم بر می گردد. در دیگر تمدن های اولیه ادواتی وجود دارد که در آن ها دانه های ریگ در شیارهایی جابجا می شوند، ولی مهره و سیمی در کار نیست. احتمالش زیاد است که روش سنگریزه ای در قرون سوم یا چهارم میلادی از هندوستان آمده باشد؛ گرچه سینی شن یا خاک از دیر باز در میان اقوام مدیترانه برای انجام محاسبات به کار می رفت. این ها را یونانیان، مصری و حتی بابلی ها نیز به خوبی می شناختند.
هندسه
گرچه چینی ها هندسه دان نبودند و هرگز نتوانستند مانند یونانی ها به هندسه ای تحلیلی برسند، با این حال به پاره مسائل هندسی توجه نشان دادند. در واقع قرن چهارم پیش از میلاد، موئیست ها بدان جا پیش رفتند که تعاریفی هندسی از نقاط، خطوط، و بعضی اشکال هندسی ارائه دادند. این مقارن با زمانی بود که اقلیدس در اسکندریه سرگرم تألیف اصول خود بود. اما کار موئیست ها موردی استثنایی بود. چینی ها هرگز آن را ادامه ندادند، گرچه توانستند راه اثباتی متفاوت از راه فیثاغورث در ارتباط با اضلاع مثلث قائم الزاویه پیدا کنند آن ها تا قرن دوم میلادی نیز توانستند مساحت انواع اشکال و حجم بسیاری از اجسام را احتمالاً با استفاده از مدل های واقعی به دست آورند، کاری که یونانی ها با ذهن فلسفیشان هرگز نمی توانستند خود را به انجام آن راضی کنند.یک مسئله هندسی اساسی برای همه تمدن های اولیه یافتن مساحت دایره بود، زیرا این کمیتی است که در حل بسیاری دیگر دخالت دارد، صورت ساده شده مسئله عبارت از تعیین دفعاتی است که محیط دایره شامل قطرش می شود. این نسبت، عددی است که امروزه با حرف یونانی پی
به نمایش در می آید. مقدار حقیقی
برابر 1415926536000/3 است. نه مصری ها توانستند مقدار دقیق آن را پیدا کنند نه بابلیان. یونانیان آن را بین 1408 / 3و 1429 /3 یافتند؛ اما چینی ها به نتیجه بهتری رسیدند. اینان در قرن اول میلادی تلاش خود را برای یافتن مقدار دقیق آغاز کردند؛ و کوشیدند مساحت بزرگ ترین و کوچک ترین کثیر الاضلاع منتظمی را که می توانستند به ترتیب در دایره محاط و بر آن محیط کنند به دست آورند. تعداد اضلاع شکل هر چه بیشتر در نظر گرفته می شد، مساحت دو کثیرالاضلاع به یکدیگر نزدیک تر در می آمد و فاصله با مقدار حقیقی عدد π کم تر می شد. در قرن پنجم میلادی، جهش بزرگی با محاسبات زوچونگ ژی و پسرش زوگنگ ژی(4) صورت گرفت که سرانجام مقداری بین 1415926/3 و 1415927 /3 به دست آوردند. صحت و سقم این مقدار را نه قرن بعد ژائو یوچین بررسی کرد. او برای این که ناچار شد از کثیرالاضلاع هایی استفاده کند که تا 382/ 16ضلع داشتند. این مقدار در غرب تا قرن هفدهم به دست نیامد.پیش از دست کشیدن از مبحث هندسه، شایان ذکر است که چینی ها بودند که نخستین گام ها را در راستای فرارویاندن هندسه متکی بر دستگاه مختصات برداشتند. در این نوع هندسه، خط ها و منحنی ها با فرمول های جبری بیان می شود. چینی ها مخترع مختصات اولیه هستند که احتمالاً حاصل کار آن ها بر حسب مختصاتشان، مانند مختصات در نقشه، داده می شد. آنان همچنین پی بردند که روابط هندسی را می توان با فرمول های جبری به شکلی منحصر به فرد بیان کرد؛ و ارزش آن را از این رو دریافتند که خود اغلب این چنین با مسائل هندسی گلاویز می شدند. این توفیق را چینی ها در قرن دوم میلادی به دست آوردند؛ ولی تازه در قرن هفدهم بود که این هندسه متکی بر دستگاه مختصات در غرب پدید آمد، گرچه این بار فراتر از آن رفت که در چین رفته بود.
جبر
امروزه وقتی ما به جبر فکر می کنیم؛ استفاده از ترکیبات حرف و عدد و معادلاتی مثل
به ذهنمان خطور می کند. چینی ها از قدیم الایام با جبر سروکار داشتند، ولی محاسبات را کاملاً به صورت لغوی می نوشتند؛ گرچه لغاتی که به کار می بردند در متن ریاضی خود معنای خاصی می یافتند. مدت ها بعد بود که از علامات ریاضی ـ آن هم به ندرت ـ استفاده کردند. آن ها تخته شمارش را برای جبر نیز به کار بردند؛ و با استفاده از آن، در دوره سونگ، روش عدد نویسی خاصی پدید آمد که چنان کامل بود که از پس معادلاتی از درجات بسیار بالا نیز بر می آمد ـ حتی معادلات شامل x^9 نیز در حیطه قدرتش بود. اما گرچه این همه بسیار عالی بود ـ و شک نیست که این بلندترین قله جبر چین بود ـ لیکن از آن پس دیگر پیشرفتی حاصل نشد؛ زیرا چینی ها، برای پیش تر بردن معادلات، هیچ نظریه عمومی از نوعی که در جهان غرب پدید آمد نداشتند.با این حال، فقدان نظریه در جبر مانع قدرت نمایی چینی ها در مصاف با لشکری انبوه از مسائل با استفاده از خود جبر نشد. آنان به حدی از توانایی رسیدند که در روزگار هان توانستند معادلات خطی چند مجهوله(معادلاتی با دو یا سه یا چند مقدار نامعلوم) و دیرتر، در قرن چهارم میلادی، حتی معادلات مبهم( صورتی که تعداد مجهول ها بیشتر از تعداد معادلاتی است که بتواند آن ها را مستقیماً حل کند) را حل کنند. معادلات درجه دوم(معادلات دارایx^2)نیز از خیلی پیش قابل حل بود. چینی ها از چیزی آگاه بودند که ما امروزه آن را روش تفاضل محدود می نامیم. این روش را، همچنان که در چین قرن هفتم به کار می رفت، می توان برای حل مسائل مربوط به حرکت ظاهری خورشید در آسمان مورد استفاده قرار داد. چینی ها آن را تا قرن چهاردهم به چنان سطحی ارتقا دادند که تا سه قرن بعد در اروپا دور از دسترس بود.
جبردانان چینی، سری های ریاضی( سری اعداد مرتبط با یکدیگر به طریقی خاص) را مطالعه کردند و همچنین در راه های ریاضی بیان دسته بندی ها و ترکیبات (5) ممکن چیزها دقیق شدند. افزون بر این، آن ها در حل معادلات درجه بالا از چیزی استفاده کردند که ما امروزه آن را قضیه دو جمله ای ها می خوانیم. این در ارتباط با عبارات جبری دو جمله ای مانند
است که اگر درهم ضرب شوند سری جملاتی را نتیجه می دهند. موضوع با یکی دو مثال روشن است.
پیداست که هر چه تعداد دفعات ضرب بیشتر باشد (درجه بالاتر باشد)، تعداد جملات در سری نیز بیشتر خواهد شد. ولی اگر به اعداد پیش از X ها(یعنی ضرایب) نگاه کنیم، می بینیم بین آن ها طرح خاصی وجود دارد. این اعداد در عبارت درجه اول[یعنی در
]عبارت از 1و 1 است. در عبارت درجه دوم [یعنی در
و 2 و 1 است. در عبارت درجه سوم [یعنی در
و 3و 3 و 1 است. و الی آخر. برای این اعداد می توان جدولی تنظیم کرد به این شکل :درجه اول 1 1
درجه دوم 1 2 1
درجه سوم 1 3 3 1
درجه چهارم 1 4 6 4 1
درجه پنجم 1 5 10 10 5 1
الخ.
از قرن هفدهم میلادی، این آرایش اعداد به «مثلث پاسکال» معروف شده، چرا که آن را بلزپاسکال مطرح کرده است؛ گرچه یک قرن پیش تر در کتابی از پترآپیان(6) آمده بود. این مثلث در حساب احتمالات کاربرد دارد. فی المثل ردیف دوم (درجه2) می تواند نمودار تعداد کل صورت ها یا ترکیبات رخ نمودن 2 سکه در شیر یا خط باشد(یک صورت، 2 شیر با هم است؛ دو صورت، یک شیر و یک خط است، و یک صورت، 2 خط با هم است). ردیف سوم (درجه3) نموار تعداد صورت های محتمل برای 3 سکه است. و همین طور الی آخر. با این همه، نکته جالب برای ما در حال حاضر این است که چینی ها این را دست کم از پنج قرن پیش از پاسکال می دانسته اند، زیرا شرح آن را جیاشین(7) ریاضیدان دوره سونگ در سال 1100 میلادی داده است، پس احتمالاً اندکی پیش از آن دریافته شده است. اما در چین، مثلث اعداد متکی بر ضلع جانبیش ایستاده و این به تاریخ نگاران نشان می دهد که روش های جبری پیشرفته روزگار سونگ در واقع نتیجه استفاده از میل های شمارش بر روی تخته شمارش بوده است.
پس چه جمع بندی می توانیم از ریاضیات چین ارائه دهیم؟ اولاً به قدر کافی روشن است که چینی ها هرگز راه های اثبات محکمی از آن نوع که اقلیدس در اصول خود آورده است پیدا نکردند، شاید به این دلیل که منطقی صوری با قوانین اکید از نوعی که ارسطو در یونان پدید آورد نداشتند. مغز چینی ها ظاهراً در آن جهت سیر نمی کرده است. ریاضیات در چین به دنبال حل مسائل خاص بود ـ سودمندی گرا(8)بود. چینیان هرگز ریاضیات را به خاطر خود آن دنبال نکردند؛ اما نه به این معنی که هیچ دستاوردی در ریاضیات نداشتند؛ یقیناً صاحب دستاوردهایی بودند. می توانستند ریشه دوم و سوم را استخراج کنند. می توانستند با اعداد منفی ونیز کسرها کار کنند (کسرها را مثل ما به طور عمودی می نوشتند). چینی ها رابطه اضلاع مثلث قائم الزاویه با یکدیگر را به اثبات رساندند و مساحت و حجم بسیاری از اشکال و اجسام هندسی را به دست آوردند. «قاعده سه تایی»(9) را برای یافتن نسبت ها و «قاعده موضع کاذب»(10)را برای حل معادلات اندیشیدند. معادلات مبهم را تحلیل کردند، تفاضل محدود را محاسبه کردند، و از مثلث پاسکال آگاهی یافتند.
پی نوشت ها :
1. 24 :144
2. surd. نویسنده در داخل پرانتز توضیح می دهد که واژه مذکور مشتق از معادل لاتین واژه stupid به معنی «کودن» است. پس تا این جا سه واژه ـ surd , stupid , irrational ـ در کتاب آمده است که مراد از همه همان اعداد اصم یا گنگ است.
3. wei p,o (po)
4. zu Geng - zhi , zu chong - zhi
5. permutation , combination
6. peter Apian نام کامل ترش پتروس آپیانوس و نام واقعیش پتربنویتس (Bienewitz Bennewitz)بود. او ریاضیدان، جغرافیدان و اخترشناسی آلمانی بود که در نیمه اول قرن شانزدهم می زیست.
7.(chia Hsien (jia xein
8. utilitarian
9. قاعده به دست آوردن عضو چهارم در تناسب ساده c/x = a/b که در آن حاصل ضرب دو میان برابر حاصل ضرب دو کران است.
10. روشی برای حل معادله f(x)=0 که متفاوت از روش امروزی نیوتن است.
