سلطان ریاضی دوستان

نگاهی به زندگی و نوآوری های پیر دوفرما

پیر دو فرما در آگست 1601 در بومون دولوماین (2) فرانسه به دنیا آمد. پدرش دومینیک (3) تاجر چرم بود و مادرش کِلِر دولونگ (4) به خانواده ای از حقوقدانان پارلمانی تعلق داشت. دوره های تحصیلی را در زادگاهش و در دانشگاه تولوز (5) واقع در جنوب فرانسه گذراند. مدت سی و چهار سال در خدمت دولت بود. در 14 می 1631 مأمور رسیدگی به دادواست ها در تولوز شد و در 1648 به نمالیندگی شاه در مجلس محلی تولوز منصوب شد و مدت هفده سال در این سمت باقی بود تا مرگش فرا رسید. در 12 ژانویه ی 1665، دو روز پس از آن که رسیدگی به دادخواستی در شهر کاستر (6) را پایان داد در همان جا در گذشت.
زندگی شخصی فرما، بنابر اندک آگاهی هایی که در دست است، به میانه روی و به آرامی می گذشته است و او به اندازه ی کافی وقت آزاد داشته و عمده ی آن را به مطالعه ی ریاضیات می گذرانده است. او در روز یکم ژوئن 1631 با لوئیز دولونگ، (7) دختر خاله ی مادرش، ازدواج کرد و از او صاحب پنج فرزند، سه پسر و دو دختر شد.
اگرچه پرداختن به ریاضیات برای فرما سرگرمی به شمار می آمده، او یکی از ریاضیدانان به حقیقت بزرگ همه ی دوران بوده است. اریک تمپل بل (8) او را «سلطان ریاضی دوستان» می نامد. آرتر روزنتال به صراحت درباره ی او می گوید «نه تنها در ریاضیات عمومی، بلکه به ویژه در زمینه ی حسابان، بزرگ ترین ریاضیدان بخش اول سده ی هفدهم به شمار می آید.» این گفته عجیب به نظر می رسد، زیرا به اعتبار عمومی، نیوتن و لایب نیتس پدید آورندگان حسابان هستند و کارهای اینان در این زمینه تنها آن گاه منتشر شد که دست کم بیست سال از زمان مرگ فرما گذشته بود؛ آنچه از حسابان که آن را کارفرما پذیرفته اند و پیش از 1629 پاگرفته روشی است برای حل مسئله ی به دست آوردن ماکسیمم و مینیمم تابع. در این روش، فرما با پیروی از ویت که مقدارهای مجهول را با حرف های صدادار و مقدارهای ثابت و یا معلوم را با حرف های بی صدا نشان می داد، عبارت f(A) با مجهول A را در نظر می گیرد و در آن A را با A+E جانشین می کند (E مجهولی فرض می شود که در مقایسه ی با مجهول A مقدارش ناچیز است.) اکنون دو مقدار f(A) و f(A+E) را به تقریب برابر با هم می پذیرد، یعنی آن ها را برابر با هم قرار می دهد (فرما این نکته را که این عمل درست نیست نادیده می گیرد – هدف، وسیله را توجیه می کند!) و معادله را به ساده ترین صورت تبدیل می کند. آن گاه دو طرف معادله را بر E تقسیم و پس از آن همه ی جمله های دربردارنده ی E را حذف می کند. با توجه به نمادهای امروزی واین که دو معادله ی هم ارزند نتیجه خواهد شد. و این همان مفهومی را می رساند که دانش آموختگان حسابان با آن آشنا هستند: شرط لازم برای آن که یک تابعِ مشتق پذیر در یک بازه ی باز ماکسیمم و مینیمم باشد آن است که مشتق آن تابع در نقطه ای از آن بازه برابر با صفر شود.
فرما برای نمونه این مسئله را در نظر می گیرد: دو عدد چنان به دست آیند که مجموع آن ها عدد داده شده ی معلوم و حاصل ضرب آن ها ماکسیمم باشد. فرما یکی از دو عدد را مجهول می گیرد و آن را با A نشان می دهد و حاصل جمع معلوم آن ها را B می گیرد و تابع f(A) را چنین تعریف می کند: که باید ماکسیمم آن به دست آید. فرما با تبدیل A به A+E به ترتیب به دست می آورد: برابر با صفر قرار دادن این عبارت نتیجه می دهد که یعنی تابع f(A) آن گاه ماکسیمم است که دو عدد با هم برابر و هر کدام برابر با نصف B باشد و مقدار ماکسیمم تابع  است.
این نکته باید گوشزد شود اثباتی که در فرایند بالا برای ماکسیمم بودن f(A) به کار رفته نارساست. همان گونه که دانش آموختگان حسابان هم می دانند، برای اثبات این که مقدار ماکسیمم تابع است شرط یا شرط هایی دیگر هم لازم است. در فرایند بالا تنها عملی که انجام گرفته یافتن مقداری از A است که مشتق تابع را صفر می کند. از فرایندی که فرما به کار برده نیز بر می آید که او به نقطه ضعف استدلال خود مبنی بر تشخیص ندادن ماکسیمم و مینیمم از یکدیگر واقف بوده است. اما از آن رو که توجهش را محدود به آن کرده که راه حلی ظریف و بدون شرح و بسط را به کار ببرد، از پی بردن به آن نکته غافل مانده است که مقدارهای مانای (10) یک تابع ممکن است نه ماکسیمم باشند و نه مینمم. به عنوان مثال اگر با روش فرما سه مقدار مانای برای تابع به دست می آید.
نه ماکسیمم و نه مینیمم تابع f(A) است. بالاخره، فرما این نکته را هم متوجه نبوده که شرطی که بیان کرده، چه برای ماکسیمم بودن و چه برای مینیمم بودن تابع در بازه ای بسته، لازم نیست. به عنوان مثال به مسئله ی زیر توجه کنید: سیمی مستقیم و به درازای L را در یک نقطه ی آن می بُرند و به دو تکه تقسیم می کنند. یک تکه را به شکل مربع و تکه ی دیگر را به شکل دایره در می آورند. نقطه ی برش سیم در چه جای آن باشد تا مجموع مساحت های دو شکل ماکسیمم باشد؟ این مسئله جواب ندارد [یعنی تابع مجموع مساحت های دو شکل ماکسیمم (نسبی) ندارد] اما اگر حالت ویژه ای را بپذیریم که نقطه ی برش در یک سر سیم باشد و همه ی سیم را به شکل دایره در آوریم تابع مجموع مساحت ها ماکسیمم است در حالی که مشتق آن برابر با صفر نیست. این ماکسیمم را ماکسیمم نقطه ی انتهایی (12) [و یا ماکسیمم مطلق (13)] می نامند.
[گر در ازای آن تکه از سیم را که به شکل دایره در می آید متغیر بگیریم و با A نشان دهیم، که A از صفر تا L می تواند تغییر کند، تابعِ مجموع مساحت ها می شود: که تابعی درجه ی دوم (از دو سو محدود) و ضریب جمله ی درجه ی دوم آن مثبت است و از این رو یک مینیمم دارد بدون آن که ماکسیمم (نسبی) داشته باشد. مشتق تابع برابر با: که در حالت برابر می شود با که صفر نیست اما مقدار تابع در آن ماکسیمم (مطلق) است. در حالت
مشتق صفر می شود و تابع ماکسیمم نیست بلکه مینیمم است.]
نمودار عبارت
نمونه ی دیگری از نارسایی روش فرما در به دست آوردن ماکسیمم یا مینیمم را نمایان می سازد. در حالت این تابع مینیمم است اما مشتق آن در
نه تنها صفر نیست بلکه مقداری نامعین است.
سرزنش کردن فرما به دلیل نارسا بودن روش نموده شده از او دور از انصاف است. او نابغه ای بوده است که پنجاه و هفت سال پیش از آن که حسابان نموده شود به روش هایی درباره ی آن پی برده و روی آن ها کار کرده بود. او با بهره گیری از همان روشی که به دست داده به حل بسیاری از مسئله های جالب و کاربردی نایل آمده که مسئله ی معلوم کردن مماس بر منحنی در یک نقطه از آن نمونه ای از آن هاست. افزون بر این ها، او به دنبال بررسی ها و پژوهش هایش در زمینه ی فیزیک قانونی مهم از آن را بیان کرد که با نام «اصل کم ترین زمان فرما» (14) شناخته می شود و به این معنی است که پرتو نور در گذشتن از یک نقطه به نقطه ی دیگری از فضا، مسیری را می پیماید که پیمودن آن در کم ترین مدت انجام می گیرد.

پی نوشت ها :

1- Paul T. Mielke.
2- Beaumont – de – Lomagne.
3- Dominique.
4- Claire de Long.
5- .Toulouse
6- Castres.
7- Louise de Long.
8- Eric Temple Bell.
9- Arthur Rosenthal.
10- stationary value.
11- relative maximum.
12- end-point maximum.
13- absolute maximum .
14- Fermat's principle of least time .

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..