انتگرال‌های چندگانه و ژاکوبی‌ها

موضوعی که بخش مهمی از بیشترین کتاب‌های درسی حسابان را از آنِ خود می‌سازد توسیع تعریف انتگرال معین تابع‌های با یک متغیر حقیقی به تابع‌های با دو یا چند متغیر است. تابع را در نظر بگیرید که نمودارش روی صفحه‌ی محورهای قائم مختص‌های x و‌y ناحیه‌ی بسته‌ی R با کرانی نه زیاد پیچیده باشد. این تابع به صورت به فرمول در می‌آید، و انتگرال دوگانه‌ی نظیر ناحیه‌ی R عبارتست از
اکنون تبدیل محورها را انجام می‌دهیم به گونه‌ای که نسبت به دستگاه جدیدِ دو محور قائم uو v با این تبدیل، ناحیه‌ی R از صفحه‌ی xy به ناحیه‌ی Q از صفحه‌ی uv تبدیل می‌شود و متناسب با شاخص‌های دو تابعِ f وg نماد
را «ژاکوبیِ» تبدیلی که انجام گرفت می‌نامند و برابر است با دترمینان تابعیِ این قضیه در کتابی سه جلدی که سیلوستر فرانسوا لاکروا (4) در زمینه‌ی حسابان فراهم آورده نموده شده است. این کتاب برای کارهای علمی که در نخستین سال‌های سده‌ی نوزدهم انجام گرفته است مرجعی معتبر به شمار می‌آید. لاکروا این قضیه را در مبحث تبدیل مختص‌ها آورده است بدون آن‌که آن را با نمادهای جدید و وابسته به دترمینان نشان دهد و بدون آن‌که ژاکوبی نام ببرد (ژاکوبی در 1804 و تنها ده سال زودتر از لاکروا به دنیا آمده بود). هرگاه جمله‌های دترمینان را به صورت بنویسیم، می‌توانیم مانند لاکروا بنویسیم این رابطه‌ی مربوط به مشتق‌های جزئی را نخستین بار اویلر در 1728 به کار برده بود. لاکروا در 1769 در بررسی‌ کارهای اویلر به این فرمول پی برد. لاکروا همچنین در بررسی کارهای ژوزف لوئی لاگرانژ، و در نوشته‌ای به تاریخ 1773 از او، با قضیه‌ی نظیر قضیه‌ی بالا و مربوط به تابع سه متغیری آشنا شد و در کتاب خود از آن یاد کرد.
در آن زمان که کتاب لاکروا چاپ شد بزرگانی از ریاضیدانان آن روزگار، بیشترین کوشش خود را روی دترمینان متمرکز کرده بودند. در 1812، اگوستن لوئی کوشی بیشترین قضیه‌های بنیانی نظریه‌ی دترمینان‌ها را ثابت کرده بود، اما در پی دستیابی به نمادها و اصطلاح‌های شایسته‌ای که پسندش باشد، انتشار آن ها را عقب انداخت. در 1841، ژاکوبی در رساله‌های استادی خود، که بسیار مطلب‌‌های جدید از جمله دترمینان‌های تابعی‌(5) را در برداشت، نظریه‌ی دترمینان‌ها را نیز آراسته و پیراسته ساخت.
دترمینان دیفرانسیل‌ها را، که امروزه «ژاکوبی» می‌نامند خود ژاکوبی در رساله‌اش به صورت نشان داده بود که همه‌پذیر نشد. در 1854، دان کین (6) همان دترمینان را به صورت نمایش داد، نمادگذاری‌های جدید برای دترمینان هم از آرتورکیلی (7) است که آن‌ها را در مقاله‌ای که در 1855 منتشر کرد به نمایش گذاشت. نام ژاکوبین (= ژاکوبی) را نخستین بار جیمز جوزف سیلوستر (8) در فرهنگ اصطلاح‌های ریاضی چاپ 1853 به کار برد.
فلیکس کلاین (9) در گزارش گیرایی درباره‌ی عصر خودش بر این نکته تأکید داشته است که تأثیر بزرگ کتاب‌های درسی نوشته‌ی جرج سالمون (10) را در گسترش ریاضیات آن عصر نمی‌توان نادیده گرفت. این کتاب‌ها به زبان انگلیسی نوشته شده و به زبان‌های دیگر ترجمه شده بودند. این کتاب‌ها به ویژه تأثیری ژرف در فراگیر شدن اصطلاح‌ها و نمادهای تازه‌ی ریاضیات داشته‌اند. در چاپ نخست جبر عالی و جدید از این سری‌ کتاب‌ها، در ارتباط با دترمینان‌ها، نامی از ژاکوبی به میان نیامده بود. اما در چاپ دوم آن (در 1866)، این واژه به کار رفته اما به سیلوستر نسبت داده شده بود. در یک قسمت از مقدمه‌ی چاپ دوم کتاب، چنین آمده است:
درباره‌ی به کار بردن واژه‌های جدید کوشش داشته‌ام تا راهی میانی را برگزینم. در این بخش از جبر، هم‌آمیختگی‌های اندیشه‌ها مرا واداشته تا گاه به گاه درباره‌ی چیزی اظهارنظر کنم که به کار بردن آن در جبر قدیم بی‌اهمیت بوده است. در این صورت لازم می‌شود واژه‌هایی نو به کار روند تا از بازی با لفظ‌ ها و از زیاده‌گویی‌های تحمل ناپذیر جلوگیری شده باشد. اما این باور که به کار بردن اططلاحی جدید و ناآشنا برای مبتدیان، علم را برای آنان زننده می‌سازد، معمولاً برای من خوشایند نبوده است تا درباره‌ی واژه‌ای جدید عبارت‌پردازی بی‌مورد کنم و انگیزه‌ای را برای به کار بردن آن واژه‌ فراهم آورده باشم.
سالمون آن‌گاه تصمیم‌ می‌گیرد واژه‌ی «ژاکوبی» و شیوه‌ی نمادگرایی را مطابق با آنچه امروزه برای ما آشناست به کار ببرد.

پی نوشت ها :

multiple Integrals – 1.
2- ژاکوبی در فارسی به جای "Jacobian" به معنی «منسوب به ژاکوبی» نیز به کار رفته است.
.Philip Bedient -3
.sylvestre Francois Lacroix -4
.functional determinant - 5
.W.F.Donkin - 6
.Arthur Cayler -7
.James Jodeph Sylvester -8
.Felix Klein -9
.George Salmon -10

منبع: بنجامین بویر، کارل، (1384)، تاریخ حسابان، عبدالحسین مصحفی، تهران، شرکت انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست..