نویسنده: موریس کلاین
مترجم: محمد دانش
مترجم: محمد دانش
باتلاق آشفتگی
تا وقتی که جبر و هندسه در مسیرهای جداگانه ای پیش می رفتند، پیشرفتشان کُند و کابردشان محدود بود.اما وقتی دست در دست هم و همراه هم شدند از یکدیگر نیرویی حیات بخش گرفتند و از آن پس با گام هایی سریع به سمت کمال پیش رفتند.
ژوزف لوئی لاگرانژ
ریاضیات کاربردی به معنای جدید کلمه آفریده ریاضی دان مهندس یا صاحب ذهنی مهندسی نیست. یکی از دو متفکر بزرگی که این مبحث را پایه گذاری کرد، فیلسوفی ژرف اندیش بود و دیگری پرسه زن سرزمین رویاها. آن فیلسوف زندگی خود را وقف تفکر عمیق و نقادانه در باب ماهیت حقیقت، وجود خداوند و ساختار فیزیکی عالم کرد و این دیگری زندگی خود را در مقام قاضی و کارمندی معمولی سرکرد که شب ها قضایای ریاضی میلیون دلاری خلق می کرد و سخاوتمندانه می بخشید و، با این کار، جهان ذهنی اش را غرق نشاط می کرد. کار این هر دو مرد در بسیاری از زمینه ها جاودانه شد.
آن فیلسوف ژرف اندیش رنه دکارت بود که در خانواده ای نسبتاً ثروتمند در لا ئة (1) فرانسه متولد شد. در هشت سالگی او را برای تحصیل به کالج یسوعی لافلش (2) فرستادند و در آن جا به ریاضیات علاقه مند شد. در هفده سالگی، پس از پایان تحصیل مباحث معمول مدرسه، تصمیم گرفت به کمک تجربه های دست اول راجع به خود و دنیا بیشتر بیاموزد. او این مطالعات را با زندگی عیاشانه در پاریس آغاز کرد و، پس از مدتی برای استراحت در گوشه ساکتی از شهر، از همگان کناره گرفت. پس از آن به خدمت نظامی در جنگ ها، سفر، زندگی در پاریس، و باز جنگ و باز هم زندگی در پاریس و سرانجام به روآوردن به آرامش اقدام کرد.
شاید از آن جا که دکارت گمان می برد در هلند به آرامش تمام دست می یابد، در خانه ای در آمستردام گوشه تنهایی برگزید. در این جا او در تنهایی زندگی می کرد و همدمی جز بانویش و یک طفل نداشت. بیشتر وقت او در بیست سال بعدی صرف نوشتن شد. دکارت عالی ترین آثارش را در آمستردام آفرید و تقریباً بلافاصله پس از انتشار نخستین کتاب خود به شهرت رسید. با ادامه کار، مخاطبانش و نیز او تحت تأثیر عظمت آثارش قرار گرفتند. تفکرات عمیق او که به نثری ادیبانه نوشته شده و در شمار آثار کلاسیک ادبی به شمار می آید، از سویی روشنی و دقت و رسایی زبان فرانسه را آشکار کرد و، از سوی دیگر، هم دکارت و هم فلسفه را محبوب همگان کرد.
پس از بیست سال گوشه نشینی به تعلیم کریستینا، ملکه سوئد، ترغیب شد و به استکهلم عزیمت کرد. ملکه ترجیح می داد که درس را ساعت پنج صبح در کتابخانه ای به سردی یخ شروع کند و دکارت از روی ادب پذیرفت که در همان ساعت به او تعلیم دهد؛ هر چند این گونه تقاضاها از رنه ظریف و شکننده زیادی بود. دکارت نه تنها از این کار اکراه داشت، بلکه، به علت ضعف بنیه، اندکی بعد سرما خورد و در 1650 مُرد.
وقتی دکارت در لافلش به مدرسه می رفت، این سؤال ذهنش را مشغول کرده بود که انسان چگونه می تواند این همه چیز بداند. بخشی از این شگفتی به خاطر آن بود که او ذهنی نقاد داشت و بخشی دیگر بدان سبب بود که دکارت در روزگاری می زیست که جهان بینی حاکم بر اروپا، پس از حکومتی هزار ساله، به شدت مورد ستیز قرار گرفته بود و دکارت نمی توانست با باورهایی که چنان به شدت و جزم آلود از طرف معلمان و رهبران فرقه هایی غیر از فرقه ای که خود او بدان بسته بود اعلام می شود، قانع گردد. دکارت وقتی فهمید که در یکی از معتبرترین مدارس اروپا تحصیل می کند و خود نیز دانشجویی ضعیف نیست، خود را در گمان هایش محق تر دانست. در پایان دوره تحصیل خود به این نتیجه رسید که در هیچ کجا هیچ پیکره مطمئنی برای معرفت وجود ندارد. این همه درس و بحث او را به این جا رساند که جهل راستین انسان را دریابد.
تردید نیست که این درس و بحث ها ارزش ها و مزایایی برای دکارت به بار آوردند.
وی قبول داشت که «فصاحت و بلاغت قدرت و زیبایی بی مانندی دارد، و نیز آن که شاعری شکوه و لذت های جذاب خود را»؛ هر چند به اعتبار دکارت این ها بیش از آنکه محصول سخت کوشی آموزش و تعلیم باشند، موهبت های طبیعت هستند. دکارت الهیات را محترم می داشت، زیرا این معرفت راه های بهشت را می نمود و او خود نیز در اشتیاق بهشت بود. اما، «از آن جا که این راه بر عامی ترین فرد به همان اندازه باز است که بر فرهیخته ترین، و نیز آن که حقایق که راه به بهشت می برند ورای درک انسانی است»، نکوشید که آرامی الهیات را در معرض ناتوانی خرد خود قرار دهد. به نظر دکارت، فلسفه «وسیله ای است برای پرده برگرفتن از تمام مسائل، و از این رو همیشه رو به امور بسیط تر و بسیط تر می آورد». هر چند نتایج نهایت تنها اموری هستند تردیدناپذیر و بی چون و چرا، در طول اعصار ممتازترین مغزها به آن پرداخته اند. «قضاوت، پزشکی و دیگر علوم به صاحبان خود افتخار و ثروت می بخشند...» با این حال، به نظر دکارت، از آن جا که این دانسته ها اصول خود را از فلسفه وام می گیرند، هیچ ساختمان محکمی بر شالوده هایی چنین سست نمی توان بنا کرد. او، به لطف خداوند، ناچار نبود به تجارت علم برای گذران زندگی اش بپردازد. «منطق، قیاس های آن، و نیز بسیاری دیگر از احکام آن بیشتر در صحبت از مسائلی که از پیش می دانستیم، یا ... حتی در صحبت از چیزهایی که بر ما مجهول اند (وقتی بخواهیم بی هیچ داوری ای از کنارشان بگذریم) مفیدند تا در تحقیق در مورد امور ناشناخته...» بسیاری از «احکام و اندرزهای بسیار مفید در ارتباط با فضیلت و تقوا در رساله هایی که در باب اخلاقیات نوشته شده به چشم می خورند»، اما این رسالات اخلاقیون باستان به برج و باروهای باشکوهی می ماند که شالوده ای محکم تر از گِل و شن ندارد. در تمام این زمینه ها، غیاب حقیقت راستین یا تحقیق پذیر کاملاً مشهود است.
در سال های سربازی، مسافرت و زندگی در پاریس غرق در این سوال شد که آدمی چگونه می تواند حقایق را به دست آورد. به تدریج طرحی برای به دست آوردن آن ها درانداخت. پیش از هر چیز، تمام باورها، پیش داوری ها و به اصطلاح معرفتی را که تا آن زمان به دست آورده بود، از ذهن خود بیرون انداخت. علاوه بر این، او تمامی معرفت محصول اقتدار دین و کلیسا را به دور افکند و ذهن خود را از تمام تصورات القایی تهی کرد.
اما، رد کردن نادرستی به خودی خود درستی به بار نمی آورد. به این ترتیب، مسئله پیش روی او این بود که روشی برای استقرار حقایق جدید پیدا کند. پاسخ این مسئله، به گفته دکارت، هنگامی به سراغ او آمد که وی در یکی از مأموریت های نظامی اش در رؤیایی به سر می برد.
آن «زنجیرهای طولانی استدلال های سهل و ساده ای که اهل هندسه عادت دارند از طریق آن ها به دشوارترین نتایج برهان های خود برسند»، دکارت را به این نتیجه رساند که «همه چیز نسبت به معرفتی که انسان قادر به رسیدن به آن است رابطه متقابلی درست مثل استدلال های هندسی دارند ...» از این رو، او نتیجه گرفت که تنها با استفاده از روش های اهل هندسه می توان یک سیستم فلسفی صحیح را استنتاج کرد، زیرا تنها اینان قادرند واضح و بی عیب استدلال کنند و به واقعیت های بی جدل و تردید ناپذیر دست یابند. دکارت که به این نتیجه رسیده، ریاضیات «در قیاس با هر ابزاری که به انسان برای کسب معرفت به ارث رسیده، قوی ترین ابزار است» در پی آن برآمد که از بررسی این مبحث اصولی عام بیرون بکشد که آن اصول روشی برای به دست آوردن شناخت دقیق در همه زمینه ها را فراهم کند یا، در واقع، همان چیزی را به دست آورد که خود آن را «ریاضیات جهان شمول» (3) نامید؛ یعنی آن که او به تعمیم و بسط روش های مورد استفاده ریاضی دانان پرداخت، برای آن که این روش ها را در تمام تحقیقات قابل کاربرد کند. جوهر این روش می بایست سازمانی استنتاجی از اصول بدیهی برای هر گونه تفکر باشد و نتیجه ها می بایست قضیه هایی باشند که از این اصول بدیهی به دست می آیند.
دکارت، تحت تأثیر روش هایی که هندسه دانان به کار می گرفتند، شروع به تنظیم دقیق قواعدی کرد که می توانست در کاوش حقیقت راهنمای او باشد. وی به این نتیجه رسید که نخست آن که نباید چیزی را صادق و حقیقی بداند که در نظر وی آن چنان واضح و متمایز نباشد که تمام تردیدها را کنار بزند. از این رو، دکارت داده های حسی را رد کرد و بر این منوال تمام کیفیت های اجسام چون طعم و رنگ را که اصولاً محصول واکنش های دریافت کننده هستند و نه سرشت ذاتی خود آن اجسام. دومین اصل در روش دکارت تقسیم هر مسئله بزرگ به مسئله ای کوچک تر بود. بر اساس سومین اصل، از مسائل ساده به سمت مسائل پیچیده تر پیش می رفت و، بر طبق چهارمین اصل، می بایست مراحل استدلال استنتاجی خود را، سراسر، چنان شماره گذاری و مرور کند که هیچ نکته ای به سهو حذف نشود. این چهار اصل هسته مرکزی روش دکارت هستند.
اما لازم بود که وی حقایق ساده، واضح و مشخصی بیابد که در فلسفه او همان نقشی را ایفا کنند که اصول بدیهی در ریاضیات، به معنی خاص کلمه، ایفا می کنند. نتایج کاوش او مشهور است. او از منبعی اعتمادپذیر که از گزند تردیدها به دور بود- آگاهی اش از خود یا نفس- سنگ های بنای فلسفه خود را بیرون کشید: الف) می اندیشم، پس هستم، ب) هر پدیده را علتی است، ج) معلول نمی تواند بزرگ تر از علت باشد، د) تصورات یا ایده ها (4) ی ما از کمال، فضا (مکان)، زمان و حرکت فطریِ ذهن ما هستند.
از آن جا که انسان بسیار شک می کند و کم می داند موجود کاملی نیست. با این همه، بنا به اصل (د)، ذهن او ایده کمال، به ویژه ایده موجودی همه دان، همه توان، جاودان و کامل را در خود دارد. چگونه این ایده ها پدید می آیند؟ بنابر اصل (ج) ایده هستی یا موجودی کامل نمی تواند از ذهن ناقص انسان نتیجه یا آفریده شده باشد. از این رو، این ایده تنها می تواند از وجود یک هستی کامل، یعنی خدا، نتیجه شود. پس، خدا وجود دارد.
خدای کامل ما را نمی فریبد و از این رو شهود ما می تواند مطمئن باشد که پاره ای از حقایق را فراچنگ می آورد. از این روست که مثلاً اصولی بدیهی ریاضیات که واضح ترین شهود ما هستند، باید صادق باشند. اما قضیه های ریاضی سادگی و بدیهیت اصول را ندارند. چگونه می توانیم مطمئن باشیم که آن ها حقیقی یا صادق اند؟ آدمی به گونه ای استدلال می کند که گویی باور دارد استدلالش خطاناپذیر است. اما چه چیزی تضمین می کند که این روش های استدلال لزوماً به حقیقت یا صدق منجر می شوند؟ دکارت بار دیگر با توسل به این نکته که خداوند انسان را فریب نمی دهد، استدلال کرد که نتایج حاصل از اصول باید حقیقت داشته باشند و از این رو حکم های درستی در ارتباط با دنیای واقعی هستند. دکارت کوشید بر چنین شالوده ای فلسفه خود را فلسفه ای در مورد انسان و جهان بنامد.
ماجرای او برای یافتن روش و کاربرد این روش در مورد مسائل فلسفه، در اثر مشهورش به نام گفتار در روش (5) آمده است. برتری عقل و خرد انسان، تغییر ناپذیری قوانین طبیعی، آموزه امتداد و حرکت به عنوان جوهر اجسام فیزیکی، تمیز بین جسم و ذهن و تمیز بین کیفیت هایی که ذاتی اجسام هستند و کیفیت هایی که تنها جلوه و ظاهرند، اما در واقع نتیجه واکنش ذهن در برابر داده های حسی اند، در این نوشته با موشکافی و ظرافت مورد بحث قرار گرفته اند و در شکل دادن به نحوه تفکر معاصر نقشی قاطع داشته است.
در این جا قصد آن نداریم که به تفصیل از مسیرهای فلسفی دکارت سخن بگوییم؛ هرچند این تفصیل به جای خود ارزش بررسی بسیاری دارد. آنچه به بحث ما مربوط می شود این است که حقایق ریاضی و روش های ریاضی همچون چراغی به متفکری بزرگ کمک کرد که راه خود را در میان توفان های اندیشه قرن هفدهم پیدا کند. فلسفه او را در واقع می توان فلسفه ای ریاضی شده دانست. این فلسفه خیلی کمتر از فلسفه پیشینیان رنسانسی و قرون وسطایی دکارت، عناصر عرفانی و متافیزیکی و کلامی دارد و خیلی بیشتر از آن ها عقلانی و خرد محور. او خود معنا و منطق نهفته در هر گام فلسفه اش را به دقت بررسی کرد و به انسان ها آموخت که برای رسیدن به حقیقت به عقل خود رجوع کنند و از دنباله روی و قیمومیت دست شویند. به یُمن دکارت، الهیات و فلسفه از هم جدا شدند.
روشی را که دکارت از ریاضیات استخراج کرد و تعمیم داد، خود بار دیگر در مورد ریاضیات به کار برد و موفق شد به کمک آن راه جدیدی برای نمایش و تحلیل منحنی ها بیابد. این آفریده او، که امروزه به هندسه مختصاتی شهرت یافته، اساس تمام ریاضیات کاربردی معاصر است. هندسه مختصاتی تا دوردست هایی که انسان می تواند ببیند ارزش خود را حفظ خواهد کرد، حال آن که فلسفه دکارت، همچون بیشتر نظام های فلسفی، به زمانی خاص تعلق دارد. پیش از آن که به بررسی کارها و دستاوردهای دکارت در زمینه ریاضیات بپردازیم، لازم است به تلاش های هم وطن او، پیر دو فرما (6)، که در اکتشاف هندسه مختصاتی نقشی به همان اندازه مهم داشت و خود مستقلاً به آن دست یافته بود، اشاره ای کنیم.
برخلاف زندگی ماجراجویانه، رمانتیک و هدف دار دکارت، زندگی فرما بسیار آرام، معمولی و بی افت و خیز بود. او در 1601 در خانواده یک تاجر چرم فرانسوی به دنیا آمد و پس از خواندن حقوق در تولوز بیشتر عمرش را در مقام کارمند دولت سر کرد. زندگی خانوادگی فرما نیز کاملاً عادی بود؛ در سی سالگی ازدواج و خود را کاملاً وقف همسر و پنج فرزندش کرد. او در آرامش زندگی می کرد و شب ها فارغ از مسائل و مشکلات مربوط به خدا، انسان و ماهیت طبیعت یا تفریح مطلوب خود، ریاضیات، رفع خستگی می کرد. بر خلاف دکارت که معتقد بود ریاضیات در حل مسائل فلسفی و علمی و نیز حکم رانی بر طبیعت به کار می آید، در نظر فرما ریاضیات صرفاً پیام آور زیبایی و هماهنگی و لذت تفکر بود. فرما، با وجود وقت اندکی که می توانست صرف ریاضیات کند و برخورد تفننی و تفریحی خود با آن، پس از شصت و چهار سال زندگی، خود را به مقام یکی از بزرگ ترین ریاضی دانان همه اعصار رساند.
او نقش ممتازی در پیدایش حساب دیفرانسیل و انتگرال داشت؛ هر چند سهم او تا حدی تحت الشعاع نیوتن و لایبنیتز واقع شد. همچنین با پاسکال افتخار آفرینش نظریه احتمالات و با دکارت افتخار آفرینش هندسه مختصاتی را یدک می کشد. فرما یک تنه رشته بنیادی در ریاضیات تأسیس کرد؛ نظریه اعداد را. فرمای «آماتور» در تمامی این قلمروها به نتایجی درخشان رسید و نقش ماندنی از خود به یادگار گذاشت. او با وجود آن که سروکاری با یافتن روشی جهان شمول و کلی در فلسفه نداشت، در جست و جوی روش عام برای کارکردن با منحنی ها بود و پیوستگی اندیشه های او با اندیشه های دکارت هم در همین جاست.
برای این که دریابیم چرا ریاضی دانان بزرگ آن زمان این چنین دل مشغول مطالعه منحنی ها بودند، باید اندکی از بحث خود منحرف شویم. در اوایل قرن هفدهم، ریاضیات هنوز اساساً هندسه بود به علاوه «زایده هایی» جبری و نیز این که قلب ریاضیات همچنان اثر اقلیدس بود. هندسه اقلیدسی به شکل های حاصل از خطوط راست و دایره ها محدود بود؛ در حالی که تا قرن هفدهم پیشرفت عام و تکنولوژی به جایی رسیده بود که لازم بود با پیکربندی های جدید بسیاری کار کرد. بیضی، سهمی و هذلولی اهمیت پیدا کردند، زیرا این شکل ها مسیر حرکت سیاره ها و دنباله دارها را می نمودند. همچنین، مسیر حرکت اجسام پرتابی، همچون گلوله توپ، به صورت سهمی بود؛ حرکت ماده، برای کمک به مکان یابی کشتی ها در دریا، به صورتی گسترده مورد مطالعه قرار گرفته بود. مسیر منحنی پرتوهای نور ضمن گذر از هوا سپهر مورد توجه اخترشناسان و هنرمندان بود و، در عین حال، انحنای عدسی ها به جهت استفاده از آن ها در عینک، تلسکوپ و میکروسکوپ و نیز برای درک عملکرد چشم انسان مورد مطالعه قرار گرفته بود. در واقع، دکارت و فرما هر دو علاقه بسیار به نور شناخت داشتند. دکارت مقاله ای در مورد عبور نور از عدسی ها منتشر کرد و فرما در شکل دادن به چند قانون اساسی در این زمینه، نقش عمده ای داشت. متأسفانه اقلیدس هیچ گونه اطلاعی در مورد منحنی های مربوط به این گونه و بسیاری انواع دیگر مسائل عملی ارائه نکرده بود و آثار یونانی به جا مانده در مورد مقاطع مخروطی کافی نبودند.
کارهای یونانی ها نه تنها شناخت مطلوب در مورد منحنی های مهم را در اختیار ما نگذاشتند، بلکه از این هم قاصر بودند که ما را به روش های عملی ریاضی در به دست آوردن این شناخت مجهز کنند. هر برهان در هندسه اقلیدسی رهیافتی جدید و غالباً نبوغ آمیز طلب می کرد. ریاضی دانان یونانی هم وقت کافی در اختیار داشتند و هم دل نگران کاربردهای بلافصل دستاوردهای خود نبودند و، با توجه به همین دو نکته، حتماً از نبود این روش کلی غافل نبودند. اما نیازهای علمی و عملی چند جانبه قرن هفدهم به ریاضی دانان برای حلِ هر سریع تر این مسائل مشکل فشار وارد می آورد.
در این مرحله، دکارت و فرما وارد صحنه شدند. آن ها دیگر قطعاً از روش های دست و پاگیر و محدودی که در هندسه اقلیدسی استفاده شد، مأیوس شده بودند. دکارت صراحتاً هندسه باستانیان را از آن رو که بیش از حد مجرد است و آن چنان بسیار به شکل وابسته است مورد انتقاد قرار داد: «که درک آن تنها با کار کشیدن بیش از حد تخیل میسر است.» او از جبر هم انتقاد کرد، زیرا چنان به شدت درگیر قاعده ها و فرمول هاست که «نتایج آن به جای آن که علمی مفید و بارآور برای ذهن باشد، فنی شده است پر از آشفتگی و ابهام.» البته، از طرفی هم دکارت و فرما این تشخیص را دادند که هندسه اطلاعات و حقیقت دنیای واقعی را ارائه می نماید. آن ها همچنین این نکته را دریافتند که از جبر می توان برای استدلال در مورد کیفیت های مجرد و ناشناخته استفاده کرد: و نیز این نکته که می توان از جبر برای مکانیزه کردن روند استدلال و به حداقل رساندن تلاش لازم سود برد. جبر بالقوه علم جهان شمول روش است. به این ترتیب، دکارت و فرما به این نتیجه رسیدند که باید بهترین های هندسه و جبر را برگزید و نقص های هر یک از این دو را به کمک دیگری برطرف کرد.
این را که این مردان چه چیز هایی در این راه به دست آوردند، با پیگیری استدلال های دکارت به بهترین شکل می توانیم بفهمیم؛ هر چند شرح ما در جزئیات ممکن است با شرح دکارت فرق داشته باشد. دیدیم که دکارت در بررسی کلی روش خود به این نتیجه رشید که تمام مسائل را با شروع کردن از ساده به پیچیده حل کند. توجه داشته باشید که ساده ترین شکل در هندسه خط راست است. پس او به جست و جوی روالی برای مطالعه منحنی ها از طریق خط های راست پرداخت و راه انجام این کار را دریافت.
دکارت چنین استدلال کرد که فرض کنید منحنی ای نظیر منحنی ای که در شکل 1 می بینیم، داشته باشیم. می توان این طور تصور کرد که این منحنی از نقطه p که بر خط قائم PQ واقع شده، ایجاد شده است. به موازات حرکت این خط به سمت راست، نقطه P منطبق با شکل منحنی، به بالا یا پایین حرکت می کند. پس، هر منحنی را می توان با مطالعه حرکت نقطه ای چون P که بر خطی راست بالا و پایین می رود بررسی کرد. تا این جا که مشکلی نبود. اما چگونه می توان منحنی ای را با رفتار P مشخص کرد.
برای رسیدن به این مقصود، دکارت از جبر استفاده کرد؛ زیرا می دانست زبان جبر وسیله ساده ای برای کمک به حافظه است و فاکت های بسیاری را در فضایی فشرده در بر می گیرد. با حرکت خط قائم به سمت راست (شکل 1) می توان از نقطه ای ثابت مثل O برای مشخص کردن موقعیت آن استفاده کرد. این فاصله را به X نشان می دهند. جایگاه P بر خط متحرک را می توان با فاصله آن تا خط افقی OQ مشخص کرد که با y نموده می شود. پس به ازای هر موقعیت P، ارزشی برای x و برای y وجود دارد. دو منحنی متفاوت، اگر به ازای مقادیر x مساوی باشند، به ازای مقادیر y فرق خواهند داشت. پس آنچه یک منحنی را مشخص می کند، رابطه ای است بین x و y که در مورد نقاط منحنی، همچون نقطه P، برقرارند و در مورد دو منحنی متفاوت، این رابطه متفاوت است.
ببینیم این ایده در مورد منحنی ساده ای، نظیر خط راستی که از نقطه O می گذرد و با خط افقی زاویه 45 درجه می سازد، چگونه به کار می رود (شکل 2). اگر خط متحرک OP مسافتی از x را به سمت راست طی کند، نقطه P باید در مسافتی معادل با x از y بالا برود تا به موقعیت خط راست متحرک برسد؛ زیرا مطابق با هندسه اقلیدسی OQP مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین است و از این رو OQ باید مساوی با QP باشد. پس
Y=x (1)
رابطه ای است که نقاط خط راست مورد نظر را مشخص می کند. بنابر این، نقطه P که مسافت OQ برای آن معادل 3 و مسافت PQ نیز برای آن معادل 3 است، نقطه ای است بر این خط؛ زیرا اگر مقدار x این نقطه 3 و مقدار y آن را هم 3 بگیریم، معادله x=y درست خواهد بود.
برای در نظر گرفتن
بر این خط راست و نیز تمایز
می پذیریم که برای نشان دادن مسافتی که PQ به سمت چپ O و همچنین مسافتی که QP به پایین خط افقی OQ حرکت کرده است، از اعداد منفی استفاده می کنیم. به این ترتیب، مقدار x و مقدار y هر دو، برای
منفی و مساوی هم هستند و از این رو باز هم y=x درست است. از طرف دیگر، در مورد خط R که بر خط
واقع نیست، مقدار y یا فاصله QR مساوی با مقدار x نیست؛ در نتیجه، رابطه y=x در مورد نقاط خارج از این خط اعتبار ندارد.
می توانیم ایده های بالا را به صورت زیر در قالبی نظام مند بریزیم. برای بحث از معادله یک منحنی، خط افقی در نظر می گیریم و آن را محور X می نامیم (شکل 3). نقطه ای از این خط را با O مشخص می کنیم و آن را مبدأ نام می گذاریم و نیز خطی عمودی که قاطع محور X از محل مبدأ، O، باشد در نظر می گیریم و آن را محور Y نام می دهیم. حال، اگر P نقطه ای- هر نقطه ای- از یک منحنی باشد، دو عدد برای تشخیص جایگاه آن در اختیار داریم. نخستین این دو فاصله O تا پای Q، یعنی عمودی است که از P به محور X می رسد و آن را مقدار x نقطه P یا طول P می نامند. عدد دوم فاصله PQ است و آن را مقدار y نقطه P یا عرض نقطه P می نامند. این دو عدد مختصات نقطه P نامیده می شود و، به طور کلی، به صورت (y,x) نوشته می شود. توافق می کنیم که اگر P در سمت راست محور Y باشد مقدار x آن مثبت است و اگر در سمت چپ این محور واقع باشد مقدار x آن منفی است؛ به همین نحو، اگر P در بالای محور X باشد مقدار y آن مثبت و اگر پایین این محور باشد مقدار y آن منفی است. پس منحنی با معادله ای جبری که بین مقادیر x و y نقاط واقع بر آن منحنی و تنها چنین نقاطی برقرار است، معین می شود.
تنها برای روشن شدن ایده دکارت، این ایده را، این بار در مورد دایره شکل 4 به کار می بریم. فرض کنید شعاع این دایره 5 باشد. نقطه ای از این منحنی (دایره) را در نظر بگیرید که مختصات آن x و y باشد؛ حال، با توجه به قضیه فیثاغورس از هندسی اقلیدسی که می گوید در هر مثلث قائم الزاویه مربع وتر مساوی است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر، داریم:
این رابطه در مورد هر نقطه بر دایره، همچون P، معتبر است؛ یعنی، x و y در مورد هر نقطه از این دایره به گونه ای است که 
مثلاً نقطه ای به مختصات (3، 4) روی دایره واقع است، زیر
؛ اما نقطه ای با مختصات (2،3) روی دایره واقع نیست، چون
مساوی با 25 نیست. می گوییم که معادله (2) با مختصات نقطه ای جور است که اگر طول آن نقطه را به جای x و عرض آن را به جای y بگذاریم، سمت چپ این معادله برابر با سمت راست آن شود. مختصات نقطه ای که بر پیرامون دایره واقع باشد با این معادله جور است و اگر نقطه ای بر پیرامون دایره واقع نباشد، با آن جور نیست.
بدین ترتیب تا این جا تشریح کردیم که چگونه یک منحنی می تواند با معادله ای که آن منحنی را به طریقی بی همتا مشخص می کند، نموده شود. در عین حال، ایده دکارت به ما امکان می دهد که روند فوق را در جهت عکس نیز طی کنیم. فرض کنید با یک معادله شروع کنیم، نظیر این:
منحنی این معادله چگونه است؟ بهتر است باز هم به رفتار نقطه P بر خط متحرک PQ توجه کنیم. اگر PQ به سمت راست O حرکت کند، مسافت OQ، که معرف مقدار x برای P است، مثبت است؛ به این ترتیب، معادله (3) می گوید که مقدار y در مورد نقطه P، یعنی مسافت PQ، هرچه باشد، به هر حال معادله با 
[یعنی مجذور مقدار x است]. وقتی x مثبت است،
نیز چنین خواهد بود؛ به نحوی که اگر x زیاد شود،
با سرعت بیشتری افزایش خواهد یافت. بنابر این، حال حداقل حدوداً می دانیم که در مورد مقادیر مثبت x ، منحنی چگونه به نظر می رسد (شکل 5). حال اگر PQ به سمت چپ O حرکت کند، مقدار x نقطه P منفی خواهد بود. اما
همواره مثبت است، زیرا مربع (مجذور) هر عدد منفی مثبت خواهد بود. پس P بر بالای محور X واقع خواهد بود. از این گذشته، ارزش 
برای مقدار منفی معینی از x مساوی همان ارزشی است که به ازای مقدار مثبتی از x دارد. مثلاً، چه 3+= x باشد و چه 3-= x ، مقدار
به هر دو حال 9 خواهد بود. از این رو، نقطه P به سمت چپ و راست محور Y به یک نحو حرکت می کند. شکل 5 صورت کامل این منحنی را نشان می دهد. با توجه به این شکل می فهمیم که منحنی رو به بالا، به سمت راست و به سمت چپ، تا بی نهایت ادامه پیدا می کند. این تحلیل از منحنی
نشان می دهد که این منحنی نسبت به محور Y متقارن است، می توان ثابت کرد که این منحنی یک سهمی است.
اگر بخواهیم تصویری دقیق تر از این منحنی به دست آوریم، می توانیم مقادیری برای x انتخاب کنیم؛ می توانیم آن ها را به جای x در معادله 
قرار دهیم و مقدارهای y مربوط به آن را محاسبه کنیم. به این ترتیب، اگر 1= x باشد، 1= y و اگر 2= x باشد، 4= y و اگر
و همین طور تا آخر. چون هر جفت از این مختصات، مثلاً (1،1) یا (2 ،4) معرف یک نقطه از منحنی است، می توانیم این نقاط را مشخص کرده و، با اتصال آن ها به یکدیگر، شکل منحنی را به دست آوریم. هر چه مختصات بیشتری را محاسبه کنیم، نقاط بیشتری به دست می آوریم و، در نتیجه، می توانیم منحنی را دقیق تر رسم کنیم.اینک نکته اصلی ایده فرما و دکارت مقابل روی ماست. برای هر منحنی معادله ای وجود دارد که به صورتی منحصر به فرد فقط، تنها و تنها، نقاط آن منحنی، و نه هیچ منحنی دیگری را مشخص می کند. بر عکس، هر معادله ای را که متضمن x و y باشد می توان با تعبیر x و y به مختصات نقاط، به صورت یک منحنی تصویر کرد. بیان رسمی این نکته چنین است: «معادله هر منحنی معادله ای است جبری که به ازای مختصات هر نقطه ای از منحنی پاسخ دارد، اما نه به ازای مختصات هر نقطه ای». پس وجه مشخصه اندیشه جدید همبودی معادله و منحنی است. دکارت و فرما با ترکیب بهترین های جبر و بهترین های هندسه روش جدید و بی اندازه پراهمیتی را برای مطالعه شکل های هندسی یافتند. این جوهر ایده دکارت است که ضمن پیوستی بر گفتار در روش آمده است؛ و در واقع شکل برهانی را دارد در مورد آنچه روش فلسفی عام او، وقتی به ریاضیات اطلاق شود، به دست می آورد؛ و در واقع هم ضمن دو سه ماه، دکارت موفق شد به کمک روش جدید خود بسیاری مسائل را حل کند.
همبودی معادله و منحنی، ورای تحلیل ویژگی های فردی منحنی ها، انبوهی از کاربردهای ریاضیات را در علم ممکن کرد. در این مورد، کاربردی از سهمی را بررسی می کنیم که معادله منحنی در مورد آن اهمیت بسیاری دارد و یک سهمی همیشه نسبت به خطی که محور آن نامیده می شود، متقارن است. در شکل 5، محور Y همین محور تقارن است. در شکل 6 محور تقارن خط افقی است. بر این محور، نقطه معین F موسوم به کانون وجود دارد، طوری که اگر P نقطه ای- هر نقطه- از سهمی باشد خط PF و خطی که به موازات محور تقارن از P می گذرد، یعنی خطی چون PD در شکل 6، با مماس PQ در محل نقطه P زاویه های مساوی ایجاد می کند. یعنی زاویه 1 و زاویه 2 برابرند.
حال فرض کنید که سهمی مقطع عرضی یک سطح بازتابی است و منبع نور کوچکی در F قرار دارد. پرتوهای نور که از F صادر شده و به سهمی برخورد می کند، در امتدادهای موازی با این محور سهمی بازتاب پیدا می کنند. پس پرتو نوری که منشأ آن F باشد مسیر FPD را می پیماید. تأثیر این پدیده آن است که تمامی نور در جهت این محور متمرکز می شود و پرتو نوری قوی ایجاد می کند. در کاربردهای عملی این اصل از سطحی استفاده می کنیم که با چرخش سهمی حول محور آن به دست می آید. چراغ جلوی اتومبیل مثالی آشنا از این ویژگی سهمی است (شکل 10 را هم ببینید).
همین ویژگی سهمی در جهت معکوس نیز مورد استفاده قرار می گیرد. اگر سهمی طوری قرار داده شود که محور آن به ستاره دوری نشانه رود، پرتو نور که عملاً به موازات محور سهمی به آن می رسد با سهمی برخورد کرده و در نقطه F بازتاب خواهد یافت. به این ترتیب، مقدار زیادی تمرکز نور در F ایجاد می شود که دانشمندان را به مشاهده واضح تر ستارگان دوردست قادر می سازد. به همین دلیل در برخی انواع تلسکوپ ها از سهمی استفاده می شود. اگر با چنین وسیله ای به جای ستاره به سوی خورشید نشانه رویم، پرتوهای نوری که در F هم گرا می شوند گرمایی آن چنان زیاد ایجاد می کنند که جسم سوختنی مستقر در محل F را به آتش خواهد کشید. همین اثر استفاده از کلمه focus (به معنی کانون) را، که در زبان لاتین به معنی «تنور» یا «سوختگاه» است، توجیه می کند.
تمامی مقاطع مخروطی ویژگی هایی دارند مشابه با ویژگی های سهمی. از این رو، از این منحنی ها در عدسی ها، میکروسکوپ ها، تلسکوپ ها، دستگاه های اشعه x، تالارهای سخنرانی، آنتن های رادیویی، نورافکن ها و صدها هزار ابزار اساسی دیگر استفاده می شود. پس از آن که کپلر مقاطع مخروطی را به قلمرو اختر شناخت وارد کرد، مطالعه این مقاطع در تمام محاسبات اخترشناسی از جمله در ارتباط با خسوف و کسوف و مسیر ستاره های دنباله دار امری اساسی گردید. از مقاطع مخروطی در طراحی کابل ها و پُل ها استفاده شد. در تمامی این کاربردها، معادلات این منحنی ها محاسبه ها را ممکن یا حداقل تسریع کرد. در مواردی که هندسه اقلیدسی به کار می رود به سازه هایی پیچیده و موشکافانه نیاز داریم، در حالی که اندازه گیری طول ها تنها به صورتی تقریبی می تواند صورت گیرد، اما معادلات جبری دکارت وسیله ای بسیار ساده تر است و جواب ها ر ا تا هر تعداد رقم اعشار ارائه می کند. هندسه مختصاتی کارش تا بدان حد بالا نگرفت که انتظار دکارت مبنی بر حل تمام مسائل هندسه را برآورده کند، اما مسائلی بسیار بیشتر از آنچه او در قرن هفدهم می توانست مجسم کند حل کرد.
ایده هایی واقعاً حیاتی و مهم اند که بستر پیدایش ایده ها و رابطه هایی غیر قابل پیش بینی باشند. تصور دکارت از همبودی معادله و منحنی، به خودی خود، درهای دنیای جدیدی را به منحنی ها گشود. برای هر معادله جبری که متضمن x و y باشد، منحنی ای وجود دارد که این معادله مبین آن است. از آن جا که تعداد و تنوع معادله هایی که می توان نوشت نامحدود است، انواع این منحنی ها نیز نامحدود است؛ و این تعداد بی شمار را که از طریق معادله هایشان کشف شده اند، در کاربردهای گوناگون و جدید بسیار مفید یافته اند.
این همبودی معادله و منحنی کاری مهم تر از گشودن درهای دنیایی از منحنی ها نیز انجام داد، آن امکان پژوهش در فضاهای جدید بود؛ به ویژه فضای سه بعدی. از این ها چالش برانگیرتر بسط این ایده به فضای چندین و چند بعدی است. باید نگاهی به این شاخه های جدید هندسه مختصاتی داشته باشیم، زیرا، این بسط ها، پایه بغرنج ترین و پیچیده ترین تطورهای علمی معاصر، از جمله نظریه نسبیت، هستند.
نخست، بسط هندسه مختصاتی در فضای سه بُعدی را مورد توجه قرار می دهیم.
پیش از این دیدیم که جایگاه یک نقطه در صفحه را می توان با یک زوج مرتب، یا مختصه، نشان داد. اندکی تأمل نشان می دهد که جایگاه نقطه ای در فضا را یک مجموعه سه تایی از اعداد نشان خواهد داد. فرض کنید A صفحه ای باشد، مانند صفحه کاغذ و آن را به صورت افقی در نظر بگیرید. همچنین فرض کنید در این صفحه جهت مقدارهای x مثبت OX باشد (شکل 7) و جهت مقدارهای y مثبت را OY مشخص کند.
حال هر نقطه در فضا که بالا یا پایین صفحه A باشد با آن فاصله ای دارد که می توانیم با z نشان دهیم و z برای نقاط بالای A مثبت و برای نقاط پایین آن منفی است. مثلاً، اگر P چهار واحد بالای A باشد، مقدار z آن 4 خواهد بود. جایگاه P نخست با توجه به این نکته مشخص می شود که نقطه P مستقیماً بالای نقطه R که در صفحه افقی A واقع است، قرار دارد. مختصات R، چون در صفحه A واقع است، x و y است که فرض کنید (2،3) باشد. پس اعداد 3، 2 و 4 جایگاه نقطه P را کاملاً مشخص می کنند و هیچ نقطه دیگری با این مشخصات وجود ندارد. پس 3، 2 و 4 را مختصات نقطه P می نامیم و آن را به این صورت (4،2،3) می نویسیم. مختصات نقطه ای که در صفحه A واقع شده است، همچون نقطه R در سیستم مختصات سه بعدی که ایجاد کرده ایم، این است : (0،2،3). در شکل 7، نقطه با مختصات (2،3، 4-) نیز نشان داده شده است. محل تقاطع سه محور OZ, OY, OX، با همدیگر، که همان نقطه O است، مبدأِ سیستم سه بعدی است و مختصات آن (0،0،0) است.
به کمک سیستم مختصات سه بعدی، ایجاد رابطه بین معادلات جبری و شکل های هندسی در فضا میسر می شود. برای تجسم چنین رابطه ای کره را در نظر می گیریم. کره مجموعه تمام نقاطی است در فضا که در فاصله معینی از یک نقطه ثابت موسوم به مرکز کره قرار دارند. فرض کنید که تمام نقاط کره با 5 واحد از مرکز فاصله داشته باشند، و نیز فرض کنید که این کره طوری قرار گرفته است که مرکز آن در مبدأ یک سیستم مختصات سه بعدی واقع است (شکل 8).
شکل 8. کره ای که در خدمت مبدأ سیستم مختصات سه بعدی قرار گرفته است.
باز هم فرض کنید که مختصات نقطه ای از کره همچون (Z,Y,X) P باشد. پس x و y در ضلع یک مثلث قائم الزاویه (واقع بر صفحه افقی) هستند که OR وتر آن است. بنابر قضیه فیثاغورس که
OR و z، ضلع های مثلث قائم الزاویه ای هستند که وتر آن OP است و برابر 5 واحد.پس:
اما
با توجه به معادله پیشین مقداری دارد. اگر این مقدار را در رابطه ذکر شده قرار دهیم، معادله زیرا را خواهیم داشت. 
این معادله یک کره است، بدین مفهوم که سمت چپ آن مساوی با سمت راست آن خواهد بود اگر، و تنها اگر، مختصات نقطه ای متعلق به یک کره به جای y, x، z قرار داده شود. مثلاً (3،0 و 4) در این معادله صدق می کند، زیرا،
پس این نقطه بر روی یک کره قرار دارد. به شباهت معادله کره با معادله دایره، یعنی
توجه کنید؛ بعداً درباره این مسئله صحبت می کنیم.بحث از کره نکته مهم جدیدی را نشان می دهد: هر معادله ای که متضمن y,x و z باشد، مبیّن یک «سطح» است و هر سطح با معادله ویژه و خاصی نموده می شود. در این جا بدون آن که وارد جزئیات شویم از چند معادله و سطح معرف آن ها یاد می کنیم تا خواننده بتواند بحث ما را درباره هندسه چهار بعدی پی گیرد.
معادله ای به این شکل
3x+4y+5z=6
که اعداد آن دلبخواهی هستند- معرف مجموعه نقاط روی یک صفحه است (شکل 9). شباهت این معادله با یک خط راست که در سیستم مختصات دو بعدی به صورت 3x+4y=6 مثال زده شد، آشکار است.
معادله ای به شکل
معرف یک سهمی گون است (شکل 10). سهمی گونی که این معادله نشان می دهد چیزی شبیه به ظرف همزن یا چراغ جلو اتومبیل است. این معادله بسیار شبیه به معادله است که نماینده یک سهمی است.
کره، صفحه و سهمی گون معادل های دایره، خط و سهمی در فضای سه بعدی هستند و این رابطه با مقایسه معادله آن ها مشخص می شود. اگر فرصت کافی برای بررسی معادله دیگر سطح ها داشتیم، می دیدیم که این تعمیم طبیعی معادله های منحنی هستند و ویژگی های هندسه ای مشابه با منحنی های معادل خود دارند.زبان حامل ایده هاست و زبانی قوی ایده های جدیدی را نیز می تواند ارائه کند. حداقل در ریاضیات که زبان غالباً با هوش تر از کسانی در می آمد که آن را ساخته اند، مطلب از این قرار است. در عمل معلوم شده است که زبان جبری هندسه مختصاتی قدرتی غیر قابل انتظار دارد، زیرا نیازی به اندیشه هندسی ندارد. معادله
را (که می دانیم معرف یک دایره است) در نظر بگیرید. پیکر گرد، مسیری که نهایتی ندارد و زیبایی شکل است، در کجای این معادله است؟ همه چیز در این فرمول پنهان است. در این حال، جبر به جای هندسه نشسته است، یعنی ذهن به جای «چشم»، و می توانیم تمام ویژگی های دایره هندسی را در ویژگی های این معادله جبری پیدا کنیم. این واقعیت برای ریاضی دانان نشانه آن بود که از طریق نمایش جبری پیکرهای هندسی می توانند در مفهومی تحقیق کنند که مدت ها پیش از روزگار دکارت و فرما مطرح شده بود (اما نمی توانستند به آن نزدیک شوند)؛ یعنی در هندسه چهار بعدی.هندسه چهار بعدی چیست؟ روال تصویری در این مفهوم معنایی ندارد. ولی می توانیم به چهار خط متقابلاً عمود بر هم فکر کنیم؛ یعنی به چهار خط که هر یک از آن ها بر سه خط دیگر عمودند. هر نقطه در فضای چهار بعدی را هم می توان بدین صورت در نظر گرفت که با چهار عدد یا مختصه نموده می شوند که این اعداد معرف مسافتی هستند که باید در امتداد این چهار محور بپیماییم تا به آن نقطه برسیم. بنابراین؛ مختصات نقطه ای دلبخواه را می توان به صورت (w,z,y,x) نوشت. حالا شاید بتوانیم به اشکال هندسی خاص فضای چهار بعدی بیندیشیم. مناسب ترین طریق برای آشنایی با این شکل ها و مطالعه آن ها، استفاده از زبان هندسه مختصاتی است. مثلاً معادله ای این چنین بنویسیم:
X+y+z-w=5
این معادله با مجموعه مقادیر z,y,x و w جواب های بسیاری دارد. مثلاً مقادیر 1= x، 6= y، 2= z و 4= w پاسخ این معادله به شمار می آیند؛ همان طور که 1= x، 5= y، 2= z و 4= w نیز پاسخ این معادله هستند. هر مجموعه از این مقادیر که پاسخ معادله باشد و شکل هندسی که این معادله معرف آن است، مجموعه ای است از نقاطی که مختصات هر یک از آن ها در این معادله صدق می کند. از آن جا که این معادلات بسط معادلات خط مستقیم و صفحه به چهار حرف است، می توانیم شکل آن را یک ابََرصفحه (7) بنامیم. به نحوی مشابه می توانیم شکلی را که به معادله
تعلق دارد، اَبَرکُره بنامیم، زیرا این معادله تعمیم معادلات دایره و کره به چهار حرف است. معادلات چهار حرفی نماینده جبری شکل ها در فضای چهار بعدی هستند.شکل های هندسی چهار بعدی به همان معنایی وجود دارند که شکل های هندسه دو بعدی و سه بعدی. ابر صفحه به همان اندازه واقعی است که دایره و کره واقعی هستند. همین نکته در مورد تمام اشکال هندسی در ابعاد بیشتر صادق است. مشکلی که بیشتر افراد در قبول هندسه چهار بعدی و معادلات مربوط به آن دارند، از این نکته ناشی می شود که آن ها سازه های ذهنی و تجسم عینی را قاطی می کنند. همه انواع هندسه، از جمله هندسه دو بعدی و سه بعدی اقلیدسی، همان طور که افلاطون تأکید کرده است، با ایده هایی سروکار دارند که تنها در ذهن وجود دارند. خوشبختانه می توانیم ایده های دو و سه بعدی را با طرح بر کاغذ تجسم یا ترسیم کنیم و این طرح ها در یادآوری افکارمان و سازمان دادن به آن ها ما را کمک می کند. اما تصویرها موضوع هندسه نیستند و ما اجازه نداریم بر اساس آن ها استدلال کنیم. در عین حال، این درست است که بسیاری از ریاضی دانان بر این شکل ها تکیه می کنند و با حذف این «چوب زیر بغل» قادر به ادامه راه نیستند، به هر حال برای گردشی در قلمرو هندسه چهار بعدی چوب زیر بغلی در کار نیست. هیچ کس حتی هوشمندترین ریاضی دان هم نمی تواند ساختاری چهار بعدی را به قالب چشم ما آشنا سازد. برای این کار او تنها باید به توانایی ذهن خود تکیه داشته باشد. البته خود این مساحت ها را می توان به وسیله معادله هایشان بررسی کرد.
امر مسلم این است که تجسم مقاطع شکل ها در فضای چهار بعدی امکان دارد. مفهوم این نکته را می توان با ارجاع به موقعیت سه بعدی روشن کرد. فرض کنید می خواهیم یک بیضی گون (مثل تخم مرغ) را به تفصیل بررسی کنیم. برای غلبه بر مشکل تجسم کل شکل، که در این مورد مشکل خیلی بزرگ نیست، یک امکان ریاضی مطلوب در نظر گرفتن مقاطعی صفحه ای از این بیضی گون و مطالعه آن مقاطع است. از طریق این گونه مقاطع- که در مثال با بیضی هایی از قبیل A و B در شکل 11 می بینیم- می توانیم معرفت مربوط به کل بیضی گون را به دست آوریم. به این ترتیب می بینیم مسئله ی مطالعه ی شکلی که به فضای سه بعدی تعلق دارد، به مسئله مطالعه شکل ها در فضای دو بعدی تحویل می شود.
به همین نحو می توانیم در مقاطع دو و سه بعدی از شکل های چهار بعدی تحقیق کنیم و، با استفاده از این مقاطع، معرفت لازم در مورد آن ها را استنتاج کنیم. در این جا خواننده ممکن است اعتراض کند که چون می توانیم کل شکل بیضی گون را مجسم کنیم، می دانیم که مقاطع صفحه ای آن چه هستند؛ ولی چگونه می توانیم این تجسم را در مورد شکل های چهار بعدی داشته باشیم؟ پاسخ این است: به کمک معادله های جبری. نخست معادله مقطع را پیدا می کنیم و بعد به کمک آگاهی خود از هندسه مختصاتی دو بعدی و سه بعدی که با آن آشناییم، شکل معادله را به دست می آوریم.
به طریق دیگری نیز می توانیم شکل های یک فضای چهار بعدی را مجسم کنیم. در مطالعه مقطعی بیضوی از بیضی گون، مطالعه خود را به صفحه ای که بیضی مقطع در آن قرار دارد محدود می کنیم؛ یعنی تنها دنیایی دو بعدی را در نظر می گیریم. حال به یک منحنی از دنیای چهار بعدی توجه کنید. اگر این منحنی در صفحه ای قرار گرفته باشد، می توانیم آن را، با وجود آن که بخشی از یک دنیای چهار بعدی است، کاملاً مجسم کنیم.
اگر می توانیم شکل های چهار بعدی را بر حسب مقاطع دو بعدی و سه بعدی بررسی کنیم، چرا باید در وهله اول دنیای چهار بعدی را بپذیریم. پاسخ این است که روابط ویژه این مقطع های گوناگون تنها در چنین دنیایی وجود دارد؛ درست همان طور که روابط ویژه بین مقاطع A و B در بیضی گون (شکل 11) تنها می تواند در فضایی سه بعدی وجود داشته باشد.
تصویر هندسه ای چهار بعدی در مطالعه پدیده های فیزیکی بسیار مفید است. نظری در فیزیک وجود دارد که بر اساس آن دنیای فیزیکی را می توان و باید به صورت چهار بعدی در نظر گرفت. هر رویداد در مکانی معین و زمانی معین واقع می شود. برای توصیف این رویداد به صورتی متمایز از رویدادهای دیگر، باید جایگاه و زمان وقوع آن را در نظر بگیریم. جایگاه فضایی این رویداد را می توان با سه عدد که مختصات آن در یک سیستم مختصات سه بعدی هستند، مشخص کرد و زمان وقوع آن را هم با عدد چهارمی. پس، چهار عدد، z,y,x و t به شکلی خطاناپذیر این رویداد را توصیف می کنند. این چهار عدد مختصات یک نقطه در دنیایی با فضای چهار بعدی هستند. پس، طبیعی است که دنیای رویدادها را دنیایی چهار بعدی در نظر بگیریم و رویدادهای فیزیکی را در پرتو هندسه چهار بعدی مورد مطالعه قرار دهیم.
برای مثال، بهتر است به حرکت یک سیاره توجه کنیم. برای تعیین مکان درست یک سیاره لازم است که نه تنها جایگاه (موقعیت مکانی) آن، بلکه زمانی که سیاره مورد نظر این جایگاه را اشغال می کند نیز تعیین شود. پس در واقع برای تشخیص مکان یک سیاره به چهار عدد نیاز داریم و این چهار عدد را می توان همچون نقطه ای در یک هندسه چهار بعدی در نظر گرفت. مکان های پی در پی را که این سیاره اشغال می کند نیز می توان به صورت نقاط آن هندسه چهار بعدی مشخص کرد و کل حرکت سیاره در فضا- مکان با یک اَبَرمنحنی مشخص می شود. البته نمی توانیم چنین منحنی ای را مجسم یا رسم کنیم، اما می توانیم آن را به یک معادله یا، به صورت دقیق تر، با مجموعه ای از معادلات، با چهار حرف الفبا، نشان داد. اگر این معادلات به درستی انتخاب شوند، توصیف کاملی از حرکت سیاره را ارائه می کنند؛ درست همان طور که معادله توصیف کاملی از دایره است. درست همان طور که می توانیم با بررسی معادله دایره فاکت های مربوط به دایره را استنتاج کنیم، می توانیم فاکت های مربوط به حرکت سیاره را نیز از بررسی معادله های آن استنتاج کنیم.
فرصت را غنیمت می شماریم و اشاره ای هم به حجم عظیمی از مهملات بی سروته ای می کنیم که درباره جهان چهار بعدی نوشته اند. خیلی ها ادعا کرده اند که در دنیایی با چهار بعد مکانی، مردم می توانستند تخم مرغ را بدون جدا کردن پوست آن بخورند یا آن که از اتاقی خارج شوند بدون آن که دیوار، در، سقف یا کف آن اتاق بگذرند. استدلال این ها ناشی از قیاس با موقعیت های مشابه در ابعاد کمتر است. برای گذشتن از نقطه A که در درون مربعی واقع است و رسیدن به نقطه B در خارج آن (شکل 12)، در عین آن که این نقطه B در همان صفحه وجودی مربع واقع باشد، قطع مرز C الزامی است. اما اگر مجاز باشیم بعد سوم را به کار بگیریم و از این صفحه خارج شویم، می توانیم مرز C را قطع نکنیم. به همین نحو، برای گذشتن از نقطه A در درون یک مکعب و رسیدن به نقطه B در خارج آن (شکل 13)، تا وقتی که به سه بعد محدودیم، باید سطح مکعب را قطع کنیم. اما، و همین جاست که قیاس آن ها اثر خود را می گذارد، اگر بتوانیم بعد چهارمی را هم به کار بگیریم، لزومی به برخورد با سطح مکعب نیست.
چنین نظریه پردازی هایی بی ضرر می بود اگر این فکر را القا نمی کرد که ریاضی دانان واقعاً به وجود واقعی جهان چهار بعدی باور دارند و تلاش می کنند که دستگاه بینایی ما را آموزش دهند تا این جهان را به حس درک کند. به هر حال، نه چنین باوری در میان است و نه چنان تلاشی.
ایده های مربوط به بُعد و هندسه های سطح بالاتر رشته های هیجان انگیزی در ریاضیات هستند. اما این مباحث ما را از زمان دکارت و فرما بسیار دور می کند. در این مقاله، کار آن ها و درسی که از این کار می توان گرفت مورد نظر ماست. این درس چیست؟ نخست این که ریاضیات الهام بخش و راهنمای اندیشه فلسفی دکارت بود. دوم این که توجهی فلسفی به روش ریاضی و لذت فکری از فعالیت ریاضی به پیدایش هندسه بستگی دارد. مسیر رشد از دکارت به نیوتن و اینشتین (8) همان قدر مستقیم است که هر آرمان سازی ریاضی بتواند تجسم کند.
با کار دکارت بر اهمیت ریاضیات بسیار افزوده شد، زیرا او نخستین متفکر متنفذی بود که ماهیت و ارزش روش ریاضی را در تلاش انسان برای رسیدن به حقیقت نشان داد. طرحی که دکارت پیشنهاد کرد در واقع درافتادن با مسائل و مشکلات جهانی بود که در باتلاق آشفتگی فرو رفته بود؛ باتلاقی که یادآور پایان یک عصر است.
پی نوشت ها :
1- La Haye
2- La Fleche
3- universal mathematics
4- ideas
5- Discourse on Method
6- P. de Fermat، ریاضی دان فرانسوی و مؤسس نظریه مدرن اعداد (حساب عالی) و نظریه احتمالات (1601- 1665)
7- hyperplane
8- A. Einstein، عالم بزرگ فیزیک نظری (1879- 1955)
