نویسنده: موریس کلاین
مترجم: محمد دانش
مترجم: محمد دانش
آن گاه که نیوتن افتادن سیبی را دید، دریافت
در آن بهت برآمده از افکارش-
چنین گویند( من فقط آنچه از فرزانگان شنیده ام بازگو می کنم)-
راه اثبات این که زمین می چرخد
با چرخشی بس طبیعی به نام « گرانش»؛
و او یگانه موجود فانی بود که از روزگار آدم تا کنون
توانست با یک سقوط، یا یک سیب، دست به گریبان شود
لرد بایرون
استنتاج قوانین جهان شمول بی تردید چشم به راه عصری بود که یکسر به این مسئله بیندیشد و نیز مردانی چون دکارت، گالیله، و نیوتن بپروراند که بتوانند هدف ها و روش های فعالیت علمی مدرن را به کرسی بنشانند. اما برای استنتاج این قوانین ابزار دیگری هم لازم بود؛ ابزاری که در واقع بی کمک آن کسب چنین نتایجی ممکن نبود- حساب دیفرانسیل و انتگرال. از تمام جریان های فکری ای که ذهن نوابغ قرن هفدهم را به خود مشغول کرد، این یکی غنی ترین آن ها از کار درآمد. دیفرانسیل- انتگرال [حساب جامعه و فاصله]، گذشته از اهمیت و ارزشی که در کسب قوانین جهان شمول داشت، سرمایه لازم را برای پایه ریزی بسیاری از برنامه های علمی جدید نیز فراهم کرد.
بر خلاف این باور رایج که نابغه رابطه خود را از بیخ با عصر خویش می گسلد، سه تن از بزرگ ترین اندیشمندان قرن هفدهم یکسر غرق مسائل دیفرانسیل و انتگرال شدند. این سه تن عبارت بودند از پیر فرما، آیزک نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایبنیتز، که هر یک مستقل از دیگری کار می کرد: فرما در فرانسه، نیوتن در انگلستان و لایبنیتز در آلمان.
سومین ستاره این مجمع الکواکب نبوغ که در این جا وارد داستان ما می شود، به سال 1646 در لایپزیگ متولد شد. او در پانزده سالگی به قصد مطالعه حقوق و، در واقع، با هوس سردرآوردن از هر چیز، به دانشگاه لایپزیگ وارد شد. اندکی پس از ترک دانشگاه مقاله ای درباره مسائل حقوقی نوشت که توجه برگزیننده ماینتس (1) [یوهان فیلیپ شونبورن(2)] را جلب کرد تا آن جا که او تصمیم گرفت لایبنیتز را نماینده مجلس کند. متأسفانه وقت مطالعه وی در این دوره بسیار کم بود، زیرا فقر وادارش می کرد به عنوان پیشکاری ممتاز در خدمت شاهزادگان آلمان باشد. در 1676، عضو شورای شاهزاده نشین هانوور (3) شد و هر چند این مقام نیز ایجاب می کرد که برای مأموریت های دیپلماتیک سفرهای بسیاری کند، فرصت هایی نیز برای استراحت داشت. به این ترتیب، لایبنیتز در این وقت اندک مقالات و رسالات و نامه هایی نوشت که بالغ بر بیست و پنج جلد شد و نقشی حیاتی در حقوق، سیاست، مذهب، تاریخ، فلسفه، ریشه شناسی زبان ها، منطق، اقتصاد و، صد البته علم و ریاضیات ایفا کرد. این مرد، که علایق فکری اش بی نهاست گسترده بود، مردی که « به تنهایی یک آکادمی کامل» است لقب گرفته بود.
پیش از این، ریاضی دانان توانای بسیاری در جهت توسعه حساب دیفرانسیل – انتگرال کوشیده بودند. از این رو، کار فرما و نیوتن و لایبنیتز استمرار تلاش های بی حد و حصر پیشینیانشان محسوب می شود. چنین به نظر می رسد که دستاوردهای یک نابغه هر چقدر هم که عظیم باشد، جوهر و روح آن ها به عصر خود او محدود است. نقش نابغه بارور کردن ایده هایی است که عصر خاصی تخم آن ها را در زمین کاشته است. کار نابغه سطح شناخت علمی جامعه را بالا می برد و تا قرن ها پس از آن بهره خود را به جامعه و جهان می بخشد.
صرف نظر از تمام منازعات بی پایان در مورد نسبت دقیق نابغه با عصر خویش، تردید نیست که مفاهیم اصلی دیفرانسیل- انتگرال در فضای قرن هفدهم به شدت دیده می شود؛ چنان که بین هواداران نیوتن و هواداران لایبنیتز نزاعی درگرفت- عده ای می گفتند نسیمی اندیشه های نیوتن را از انگلستان به لایبنیتز رسانده و عده ای هم می گفتند نرسانده. در این نزاع، احساسات آن چنان تند و تیز شد و رهبران فکری آن چنان تعصب آمیز و جانب دارانه رفتار کردند که تبادل اندیشه میان ریاضی دانان انگلستان و اروپای مرکزی تا یک قرن پس از مرگ نیوتن و لایبنیتز قطع شد. حتی زبانی هم که هر طرف در شرح و نقد نظریات طرف دیگر به کار می برد همیشه متین و منطقی یا حتی مؤدبانه نبود. در این آشوب، لایبنیتز با آن کلام سخاوتمندانه اش استثنا محسوب می شود. او می گفت که اگر کسی پیشرفت ریاضیات را از آغاز جهان تا روزگار نیوتن در نظر بگیرد، سهم و نقش این انگلیسی سهم سنگین تری بوده است.
در روزگار فرما و نیوتن و لایبنیتز، ریاضی دانان اروپا کمر به حل مسائلی بسته بودند که مشکل بسیار خاص داشتند- نرخ تغییر لحظه ای (آنی) متغیرها. پیش از آن که نقش تعیین کننده این سه نفر را در حل این گونه مسائل بررسی کنیم، باید تصور روشنی از مشکلی که آنان پیش رو داشتند داشته باشیم.
ضمن بحث از متغیرها، یعنی کمیت هایی که پیوسته تغییر می کنند، لازم است بین « تغییر»(4) و «نرخ (میزان) تغییر»(5) تمایز قائل شویم. ضمن حرکت یک گلوله در هوا، مسافت و زمانی که طی می شود پیوسته افزایش می یابد؛ اما در لحظه ای که این گلوله به شخصی برخورد می کند آنچه مهم است سرعت آن یا، به عبارت دیگر، نرخ (میزان) تغییر مسافت آن نسبت به زمان است و نه مسافت و زمانی که طی کرده است. اگر سرعت در لحظه برخورد یک کیلومتر در ساعت باشد، گلوله مورد بحث بدون وارد کردن هیچ صدمه ای پیش پای شخص به زمین خواهد افتاد، حال آن که اگر سرعت آن هزار کیلومتر در ساعت باشد، آن شخص باید خود را به زمین بیندازد تا صدمه ای نبیند. پس، بدیهی است که میزان تغییر کمیت های متغیر حداقل به اندازه تغییر آن ها مهم است.
دو نوع تغییر متغیرها را باید از هم متمایز کنیم؛ « متوسط« (6) و « لحظه ای»(7) (آنی). اگر کسی با ماشین ظرف سه ساعت از نیویورک به فیلادلفیا که حدود 150 کیلومتر از هم فاصله دارند برود، سرعت متوسط وی، یعنی نرخ متوسط تغییر فاصله نسبت به زمان، برابر 50 کیلومتر در ساعت است. اما کاملاً آشکار است که این کمیت لزوماً سرعت را در هیچ لحظه خاصی از سفر، مثلاً درست در ساعت 3 بعدازظهر، نشان نمی دهد. حال، فرض کنید که این لحظه، یعنی دقیقاً در ساعت 3 بعدازظهر، راننده به سرعت سنج اتومبیلش نگاه کند و عقربه سرعت 54 کیلومتر در ساعت را نشان دهد. این کمیت همان سرعت لحظه ای است؛ یعنی، نرخ تغییر مسافت نسبت به زمانی که درست 3 بعدازظهر نماینده آن است. اما لزوماً به هیچ وجه معرف سرعت در هیچ لحظه بعد یا قبل از 3 بعداز ظهر نیست. شاید با خود بگویید که در یک لحظه، چیزی به اسم سرعت وجود ندارد؛ زیرا در یک لحظه (یا در یک آن) زمانی نمی گذرد و، از این رو، حرکتی نمی تواند وجود داشته باشد. همین الان، به راحتی با توسل به تجربه فیزیکی مان می توانیم از این ادعای خود دفاع کنیم که گفتیم کسی که با اتومبیلش مشغول مسافرت است در هر لحظه (یا آن) با سرعت معینی حرکت می کند. مسلماً هر خواننده شکاکی امکان تصادف با درخت را در هر یک از این آنات لحاظ می کند.
لزوم لحاظ سرعت لحظه ای زمانی مطرح می شود که جسمی با سرعت های متغیر حرکت کند؛ در غیر این صورت، همان مفهوم سرعت متوسط کافی است. سرعت های متغیر دقیقاً همان چیزی بود که دانشمندان قرم هفدهم با آن روبه و شده بودند. به عنوان مثال، قانون دوم کپلر می گوید که هر سیاره، برخلاف تصور دانشمندان یونان و پیش از رنسانس، نه با سرعت ثابت، بلکه با سرعتی پیوسته متغیّر حرکت می کند. علاوه بر این، به عقیده گالیله اجسامی که از سطح زمین به هوا پرتاب می شوند یا به سطح زمین سقوط می کنند، با سرعتی پیوسته متغیر حرکت می کنند. حرکت پاندول و حرکت های پرتابی نیز که در آن زمان وسیعاً در مورد آن ها تحقیق می شد، سرعت های متغیر داشتند. دانشمندان در بحث از چنین حرکت هایی تصور روشنی از سرعت های لحظه ای نداشتند و، به علاوه، روشی برای محاسبه آن ها نیز در اختیار نداشتند.
این نکته را باید در نظر داشت که نمی توانیم بدان گونه که سرعت متوسط را به دست می آوریم، سرعت لحظه ای را هم به دست آوریم؛ زیرا در یک لحظه، مسافت صفر طی می شود و صفر واحد زمان می گذرد و تقسیم صفر بر صفر بی معناست. اندکی تأمل در این نکته خواننده را قانع خواهد کرد که تعریف و محاسبه سرعت لحظه ای به روش های معمول تن نمی دهد. فرما، نیوتن و لایبنیتز نبوغ خود را در همین مورد نشان دادند.
نخست بهتر است به توصیفی ساده از رهیافت ریاضی ای بپردازیم که آنان در پیش گرفتند. پیش تر به این نتیجه رسیدیم که اگر اتومبیلی در ساعت 2 بعداز ظهر نیویورک را ترک کند و در ساعت 5 بعداز ظهر به فیلادلفیا برسد، سرعت متوسط آن با توجه به تقسیم مسافت طی شده (که 150 کیلومتر است) به زمان صرف شده ( که سه ساعت است) 50 کیلومتر در ساعت خواهد بود. حال اگر سرعت اتومبیل را درست در ساعت 3 بعدازظهر بخواهیم بدانیم، باید چه کنیم؟ گرچه واضح است که سرعت متوسط اتومبیل 50 کیلومتر در ساعت است، ولی سرعت همین اتومبیل در ساعت 3 بعداز ظهر ممکن است 60 کیلومتر در ساعت یا هر مقدار دیگری باشد. می توانیم بکوشیم پاسخ این پرسش را با توجه به سرعت متوسط در دوره بسیار کوتاهی از زمان، در اطراف ساعت 3 بعدازظهر، پیدا کنیم. بنابراین، اگر سرعت اتومبیل در دقیقاً یک دقیقه پس از ساعت 3، 9/0 کیلومتر باشد، سرعت متوسط آن برای این دقیقه خاص 9/0 کیلومتر تقسیم بر یک دقیقه یا 54 کیلومتر در ساعت خواهد بود. آیا این مقدار را می توان سرعت متوسط اتومبیل درست در ساعت 3 در نظر گرفت؟
یک دقیقه بازه زمانی بسیار کوتاهی است. اما همچنان این امکان وجود دارد که میانگین سرعت در مدت این یک دقیقه با سرعت اتومبیل در دقیقاً ساعت 3 تفاوت قابل توجهی داشته باشد، زیرا برای آن که سرعت اتومبیل افزایش یا کاهش پیدا کند، یک دقیقه زمان کافی ای است. پس بهتر است طول بازه زمانی نزدیک به ساعت 3/1 که سرعت متوسط در آن طول زمانی محاسبه می شود، کاهش دهیم. بنابراین، می توانیم سرعت متوسط را برای 1 ثانیه، یا 10/1 ثانیه یا 100/1 ثانیه، یا ... ثانیه محاسبه کنیم. هرچه بازه زمانی کمتر باشد، سرعت متوسط به سرعت اتومبیل در ساعت 3 نزدیک تر است.
فرض کنید که سرعت متوسط اتومبیل در بازه های زمانی کوچک تر و کوچک تری که به ساعت 3 نزدیک می شویم، برابر با
و به همین منوال باشد. چون سرعت های متوسط برای بازه های کوچک و کوچک تر تا ساعت 3 باید برآوردهای هرچه نزدیک تر به سرعت در ساعت 3 باشند، سرعت لحظه ای را « عددی تعریف می کنیم که سرعت متوسط با نزدیک شدن بازه زمانی صفر به آن نزدیک می شود». و اما در مورد سرعت های متوسط مثال بالا
این اعداد، چنان که می بینیم، به احتمال بسیار، به 52 نزدیک می شوند و، بنابر این، می توانیم سرعت لحظه ای در ساعت 3 را برابر 52 در نظر بگیریم. توجه داشته باشید که سرعت لحظه ای خارج قسمت مسافت بر زمان نیست. بلکه عددی است که سرعت متوسط به آن نزدیک می شود.حال می توانیم به توصیفی دقیق تر از روش به دست آوردن سرعت لحظه ای بپردازیم. فرمولی که در نظر بگیرید که ارتباط واقعی بین مسافت سقوط یک جسم و زمان سقوط آن را نشان می دهد. حال می خواهیم سرعت لحظه ای سقوط توپی را دقیقاً در پایان سومین ثانیه سقوط آن بیابیم. بنابر اکتشافات گالیله، رابطه بین مسافت سقوط بر حسب متر و زمان طی شده بر حسب ثانیه چنین است:
بنابر این، برای به دست آوردن مسافت طی شده در پایان ثانیه سوم، یعنی d3، به جای t در این رابطه عدد 3 را می گذاریم، یعنی: 
حال، به جای محاسبه سرعت های متوسط در بازه های زمانی مختلف در اطراف پایان ثانیه سوم، یعنی به جای همان کاری که در مورد سرعت اتومبیل مان در اطراف ساعت 3 انجام دادیم، می توانیم به روال زیر به صورتی مؤثرتر محاسبه را انجام دهیم.فرض کنید h معرف هر بازه زمانی باشد؛ پس h+3 نماینده بازه زمانی به اندازه 3 ثانیه بیش از h است. برای اینکه ببینیم مسافت سقوط توپی در مدت h+3 ثایه چقدر است، این مقدار زمان را در فرمول (1) می گذاریم. می دانیم که این مسافت جدید 1/44 نخواهد بود، بلکه مقداری دیگر برای d خواهد بود. این مقدار دیگر را
می نامیم که k فاصله اضافی پیموده شده در h ثانیه اضافی است. به این ترتیب،
با ضرب کردن (h+3) در خود خواهیم داشت: 
حال هر جمله ریاضی از پرانتز را در 16 ضرب می کنیم، نتیجه خواهد شد:
می دانیم فاصله سقوط در 3 ثانیه برابر است با: 
برای به دست آوردن k، که تغییر مسافت در h ثانیه است، معادله (3) را از معادله (2) کم می کنیم؛ حاصل خواهد شد:
حال درست همان طور که سرعت متوسط اتومبیل با تقسیم 150 کیلومتر بر 3 ساعت به دست می آمد، k را، که مسافت پیموده شده است، بر h، که مدت زمان طی شده برای k است، تقسیم می کنیم و سرعت متوسط در h ثانیه را به دست می آوریم؛ پس، هر دو طرف رابطه (4) را بر h تقسیم کنیم، خواهیم داشت:(5) k/h=29/4+4/9h
فرمول (5) نشان می دهد که میانگین سرعت، یعنی k/h در بازه h ثانیه پس از ثانیه سوم، تابعی است از h، یعنی تابع h 9/4+4/29 . هر چه h کمتر بشود،k/h سرعت متوسط را در بازه زمانی کوچک تری از پایان ثانیه سوم نشان می دهد. پیش از این توافق کردیم که عددی را که این سرعت های متوسط در پایان ثانیه سوم به آن می رسند، سرعت لحظه ای در نظر بگیریم. پس ما در واقع می خواهیم مقدار کمیتی را پیدا کنیم که k/h به سمت آن میل می کند، وقتی که h را به سمت 0 میل می کند. وقتی h به 0 نزدیک شود [ یا میل کند]، h16 هم به 0 نزدیک می شود؛ و همان طور که سمت راست فرمول (5) نشان می دهد، مقدار k/h در این حالت به 4/29 نزدیک می شود. پس سرعت لحظه ای در پایان ثانیه سوم 4/29 متر در ثانیه است. این سرعت سقوط هر جسم سقوط کننده در خلأ است، البته پس از گذشتن 3 ثانیه.
خواننده باید متوجه شده باشد که برای تعیین عدد 4/29 به عنوان سرعت لحظه ای، باید ببینیم که به موازات نزدیکی h به 0، در سمت راست فرمول (5) چه اتفاقاتی رخ می دهد. استدلال ما آن است که هر چه h کوچک تر شود، h9/4+4/29 به 4/29 نزدیک تر می شود. روند کلی آن نیست که به جای h، عدد 0 بگذاریم؛ علی رغم این واقعیت که با جانشینی، البته اگر تابع ما ساده باشد، به نتیجه یکسانی می رسیم.
ببینیم چرا این روند یکی نیست. وقتی h برابر 0 است، k نیز برابر 0 خواهد بود؛ زیرا k فاصله ای است که توپ در مدت h می پیماید. چون، وقتی h برابر 0 است، مقدار k/h برابر
خواهد بود و این عبارت بی معنایی است. بنابراین، درست نیست که برای به دست آوردن سرعت در پایانِ، مثلاً، ثانیه سوم، در عبارت k/h، به جای h عدد 0 قرار دهیم. با این حال، یافتن عددی که سرعت متوسط به آن « میل کند» ( وقتی بازه های زمانی که بر اساس آن سرعت های متوسط را محاسبه می کنیم به سمت صفر میل کنند) منطقاً معتبر است، و اصلاً همین ایده بود که مفهوم سرعت لحظه ای را دچار مشکل کرد. البته، در مورد محاسبه سرعت های متوسط مشکلی وجود ندارد، زیرا تمامی این گونه سرعت ها در رابطه با بازه های زمانی غیر صفر هستند.حال مفهومی از سرعت لحظه ای در اختیار داریم. سرعت لحظه ای عددی است که سرعت متوسط، به موازات آن که بازه های زمانی به صفر نزدیک می شوند، به آن نزدیک خواهد شد. نکته ای که به همین اندازه مهم است این است که با تدقیق در صورت بندی فرمولی که نسبت زمان و مسافت را مشخص می کند روشی « برای محاسبه سرعت لحظه ای» پیدا کرده ایم. تردید نیست که اگر سرعت را به جای آن که در پایان 3 ثانیه حساب کنیم، در پایان t ثانیه حساب می کردیم، نتیجه این می شد که سرعت v مساوی t8/9 است. پس می توانیم فرمولی برای سرعت در «هر» لحظه t پیدا کنیم.
روندی که هم اکنون از آن بحث کردیم سرشتی کاملاً ریاضی دارد. ریاضی دان برای آن که بتواند به مفهوم سرعت لحظه ای بپردازید، فضا (مکان) و زمان را چنان آرمانی می کند که بتواند از وجود چیزی در لحظه ای از زمان و در نقطه ای از مکان سخن بگوید. به این ترتیب، او سرعت در هر لحظه مطلوب را به چنگ می آورد. شاید مفاهیم لحظه (یا آن)، نقطه، و سرعت در یک لحظه معین شهود و تخیل آدم های عادی را در مخمصه بیندازد،و از همین روست که چنین افرادی ترجیح می دهند از سرعت در بازه بسیار کوچکی از زمان صحبت کنند. اما، ریاضیات به یُمن قدرتی که در آرمانی کردن دارد، نه تنها یک مفهوم بلکه فرمولی دقیق برای سرعت در هر لحظه به دست می دهد که در مقایسه با مفهوم سرعت متوسط در بازه زمانی بسیار کوتاه آسان تر به کار می رود. تخیل به زحمت می افتد، اما تعقل از این مخمصه بیرون می آید. این پارادوکس ریاضی است- پیش از این هم در جاهایی دیگر با آن برخورد کردیم- که با وارد کردن مفاهیم و روابطی که ظاهراً مشکل ساز هستند، مسئله ای واقعاً بغرنج را سهل و ساده می کند.
روش تعیین و محاسبه سرعت لحظه ای بسیار بیش از آن که تاکنون به نظر می رسید کاربرد دارد. هیچ چیز در « ریاضیاتِ» این روش ایجاب نمی کند که d نماینده فاصله باشد و t نماینده زمان. این متغیرها می توانند هر « معنای فیزیکی ای داشته باشند»؛ یعنی می توانیم با همان روش ریاضی ای که نرخ تغییر مسافت نسبت به زمان را در یک لحظه حساب کردیم، نرخ تغییر یک متغیر را نسبت به تغییر دیگر حساب کنیم. به عنوان مثال، اگر d نماینده سرعت باشد و t نماینده زمان، می توان نرخ تغییر سرعت نسبت به زمان را در یک لحظه حساب کرد، که این نرخ لحظه ای تغییر سرعت را « شتاب لحظه ای» می نامند. مثال دیگری بزنیم. فشار اتمسفر با تغییر ارتفاع نسبت به سطح زمین تغییر می کند؛ در این تابع، می توانیم نرخ تغییر فشار بر حسب ارتفاع را، در هر ارتفاع دلخواه، محاسبه کنیم. یا آن که اگر متغیر d معرف تراز قیمت کالاها و t معرف زمان باشد، می توانیم نرخ تغییر قیمت را نسبت به زمان، « در هر لحظه»، حساب کنیم. بدین سان، این روش به ما امکان می دهد تا هزاران گونه نرخ تغییر مهم و مفید یک متغیر را نسبت به متغیر دیگر، « بر حسب ارزشی از این متغیر دوم»، تعریف و محاسبه کنیم. ضمناً، تمامی این نرخ ها را نرخ های لحظه ای می نامیم (هر چند شاید هیچ یک از این دو متغیر نماینده زمان نباشند)، چون اولین مسائل حساب دیفرانسیل – انتگرال در مورد سرعت و شتاب زمان را هم در بر می گرفت و با نرخ تغییر این متغیرها در یک لحظه از زمان سروکار داشت. امروزه می توانیم حساب دیفرانسیل- انتگرال را شاخه ای از ریاضیات بدانیم که از مفهوم نرخ لحظه ای تغییر یک متغیر نسبت به متغیر دیگر و کاربردهای گوناگون این مفهوم بحث می کند.
نرخ تغییر یک متغیر نسبت به متغیر دیگر را معمولاً با نمادهای ویژه ای نشان می دهند. بدین سان، اگر دو متغیر x و y داشته باشیم، نمادی که عموماً به کار می رود Dxy است که چنین خوانده می شود:
هم نمادی رایج ولی تا حدی گمراه کننده است). هر یک از این دو نماد نمونه ای عالی از ایجاز زبان ریاضی است. این نماد در فضایی که حتی مجال یک کلمه دیگر هم نیست، نتیجه تمام عملیات یافتن نرخ لحظه ای تغییر متغیّری چون y را نسبت به متغیر دیگری چون x توصیف می کند. می دانیم که چه دنیای بزرگی در آن نماد فشرده شده است. واضح است که استفاده از چنین نمادی، گامی است فراتر از استفاده از حرف x به جای مجهول. تفاوت ریاضیات پیشرفته با ریاضیات مقدماتی تا حدی در این گونه استفاده بسیار مؤثر از نمادها برای بیان مفهوم های پیچیده است.در مورد کاربرد مفهوم نرخ تغییر لحظه ای تا این جای بحث کار خود را با فرمولی شروع کردیم که دو متغیر را به هم ارتباط می داد و، سپس، از این طریق نرخ تغییر را یافتیم. حال فرض کنید نرخ تغییر یک متغیر را نسبت به متغیر دیگر در اختیار داریم؛ آیا می توانیم مسیر عکس این روند را طی کنیم و رابطه بین آن دو متغیر را بیابیم؟ البته، ارزش واژگون کردن روند یافتن نرخ تغییر بسته به این است که برای شروع کار برخی از نرخ های تغییر مهم را بدانیم. خوشبختانه این اطلاعات را می توان در بسیاری از پدیده های طبیعی و مصنوعی به سهولت پیدا کرد. با این اطلاعات است که می توانیم فرمول ها و نیز راه حل بسیاری از مسائل را پیدا کنیم. حال، بهتر است مثالی بزنیم تا موضوع روشن شود.
فرض کنید می خواهیم فرمولی پیدا کنیم که رابطه بین دو متغیر، مثلاً مسافت سقوط یک توپ و مدت زمان این سقوط، را پیدا کنیم. یکی از نتایج منطقی قوانین نیوتن این است که شتاب جسم در حال سقوط ثابت است. یعنی میزان تغییر سرعت نسبت به زمان، در هر لحظه از زمان، فرق نمی کند. آزمایش های ساده، همچون آزمایش هایی که گالیله انجام داد، نشان می دهند که مقدار این «ثابت» 8/9 متر بر مجذور ثانیه است. به زبان نمادها، اگر a نماینده شتاب باشد، داریم:
(6) a=9/8
همه اجسامی که در فضای بالای سطح زمین هستند، از هواپیمایی که بر فراز کوه های راکی پرواز می کنند تا گلوله ای که از اسلحه ای شلیک می شود یا توپی که به هوا پرتاب می شود، دارای چنین شتابی هستند.
حال، با توجه به این که a نرخ لحظه ای تغییر سرعت نسبت به زمان است، می توانیم آن را نتیجه فرمولی تلقی کنیم که بیانگر رابطه بین سرعت (v) و زمان (t) است. اگر بتوانیم چنین فرمولی پیدا کنیم، چگونگی تغییرات سرعت را بر حسب زمان در اختیار خواهیم داشت. خواننده می داند که فرمول ارتباط بین سرعت و زمان چنین است:
(7) v= 9/8 t
یا حداقل آن که می تواند درستی این رابطه را با یافتن نرخ تغییر v نسبت به t تحقیق کند و ببیند که فرمول (6) در نتیجه این تحقیق به دست می آید. اما، فرمول (7) پاسخ مسئله ما نیست، زیرا این فرمول سرعت جسم در حال سقوط را در هر لحظه از سقوط جسم، با توجه به مدت زمانی که از سقوط گذشته است، نشان می دهد؛ حال آن که ما در پی یافتن رابطه بین فاصله (مسافت) و زمان هستیم. ولی می دانیم که سرعت عبارت است از نرخ تغییر مسافت نسبت به زمان. بنابر این، برای یافتن مسافت سقوط جسم در t ثانیه، باید فرمول جدیدی پیدا کنیم که اگر فرمول (7) را در آن به کار بندیم، میزان لحظه ای تغییرات را نشان دهد. باز هم با معکوس کردن روند یافتن نرخ تغییر، فرمولی به دست آوردیم که رابطه بین d، یعنی مسافت سقوط جسم، را نسبت به t، یعنی تعداد ثانیه های پیمودن این مسافت، بیان می کند. در نتیجه، خواهیم داشت:
خواننده درستی این فرمول را می تواند از این طریق تحقیق کند که نشان دهد نرخ تغییر d نسبت به t همان فرمول (7) است. به این ترتیب، وقتی روند یافتن نرخ های لحظه ای تغییر را دوبار معکوس کنیم، می توانیم فرمولی بیابیم که رابطه بین مسافت و زمان یک جسم سقوط کننده را بیان می کند.مثال دیگری می زنیم تا اهمیت روند یافتن فرمول از دل نرخ تغییر را نشان دهد. قانون دوم نیوتن در مورد حرکت که از محکم ترین پایه های پژوهش های فیزیکی است، گزاره ای است در مورد نرخ تغییر. این قانون می گوید که نیروی مؤثر بر یک جسم مساوی است با جرم جسم ضربدر شتاب حرکت آن جسم. وقتی نیرو معلوم باشد، این قانون گزاره ای می شود در مورد شتاب یا نرخ تغییر سرعت نسبت به زمان. سپس با پیمودن روندهایی شبیه به آنچه ما از فرمول (6) تا فرمول (7) پیمودیم، می توانیم فرمولی را پیدا کنیم که رابطه بین مسافت و زمان را، زمانی که نیرو وارد می شود، نشان می دهد. غالباً فرمولی که با معکوس کردن نرخ تغییر پیدا می شود، نمی تواند به طریق دیگری به دست آید.
عبارت هایی را که شامل نرخ های لحظه ای تغییر هستند معمولاً به شکل معادله هایی چون (6) و (7) می نویسیم که « معادلات دیفرانسیل»(8) نامیده می شوند. معادله دیفرانسیلی فاکتی را در مورد نرخ لحظه ای تغییر یک متغیر نسبت به متغیر دیگر بیان می کند. فرایند یافتن فرمولی که نسبت این متغیرها را بازگو کند، حل معادله دیفرانسیل نامیده می شود. نیوتن با حل معادله دیفرانسیلی مشهوری توانست به سهولت قوانین کپلر را استنتاج کند. از آن جا که معادلات دیفرانسیل کارآترین وسیله صورت بندی و توسعه کل رشته های علم از آب درآمدند، غالباً می گویند که طبیعت و خداوند با چنین معادلاتی « سخن می گویند».
اگر قرار بود از فواید عملی حساب دیفرانسیل- انتگرال سخن بگوییم، باید به این نکته اشاره می کردیم که چگونه معکوس کردن روند یافتن نرخ لحظه ای تغییر در این موارد به کار می رود: با یافتن طول منحنی ها، مساحت سطوح محصور با منحنی ها، حجم های محصور به رویه ها (سطح ها) و بسیاری دیگر از کمیّاتی که جز با استفاده از این روند یافتنی نیستند. شاید بد نباشد حداقل ببینیم حساب دیفرانسیل- انتگرال چگونه چنین کاربردهایی می یابد.
سطحی را که در شکل 50 آمده است در نظر بگیرید. می شود تصور کرد که این سطح را پاره خطی قائم چون AB، که از نقطه P ( به طول صفر) شروع می شود و به سمت راست حرکت می کند، جارو می کند. منطقه هاشور خورده بخشی از این سطح است که AB جارو کرده است. حال، با حرکت AB به سمت راست، مساحت جارو شده به نرخی که مساوی با طول AB است افزایش می یابد و، از آن جا که طول AB از یک موقعیت به موقعیت دیگر تغییر می کند، مساحت جارو شده از نقطه ای به نقطه دیگر فرق می کند و، بدین سان، مفهوم نرخ لحظه ای تغییر وارد بحث می شود. برای این که کاملاً بفهمیم چگونه می توان مساحت این شکل و دیگر مساحت ها را به دست آورد باید عمیقاً وارد جزئیات مسائل فنی حساب دیفرانسیل- انتگرال شویم. کشف رابطه بین مفهوم نرخ تغییر، از سویی، و تعیین طول و سطح و حجم، از سوی دیگر، بزرگ ترین اکتشاف نیوتن و لایبنیتز در حساب دیفرانسیل- انتگرال است.
در عین این که تولید بهینه قوطی های کنسرو در تمدن غرب انگیزه ای کافی برای مطالعه یکی از ایده های ریاضی است، حساب دیفرانسیل- انتگرال، همچون دیگر شاخه های ریاضیات، توجه بیشتری می طلبد، زیرا نقش های جدی تری در آفرینش تمدن و فرهنگ عصر ما ایفا کرده است. البته، استفاده از تکنیک های حساب دیفرانسیل- انتگرال در به دست آوردن قوانین علمی را پیش از این شرح دادیم. علاوه بر این، توفیق نیوتن در کسب قوانین جهان شمول حرکت انگیزه کاوش دانشمندان برای یافتن قوانین دیگر رشته های فیزیک شد. در نتیجه، قوانینی بنیادی در زمینه هایی چون الکتریسته، نور، گرما و صوت یافته شد که هر کدام مجموعه بزرگی از پدیده های طبیعی را در بر می گیرد. با این حال، ما هنوز به مهم ترین پیشرفتی که محصول آفرینش حساب دیفرانسیل- انتگرال بود، اشاره ای نکرده ایم.
عطش دانشمندان نیز نظیر عطش بسیاری از مردم به آسانی فروکش نمی کند؛ وقتی موفقیتی به دست می آورند، بلافاصله به هوس موفقیتی بزرگ تر گرفتار می آیند. دانشمندان قرن هجدهم با جسارت فوق العاده ای که اسلحه قوی حساب دیفرانسیل- انتگرال به آن ها داده بود، با شوری که موفقیت های آغازین در سرشان افکنده بود، و نیز به سودای پیشرفت علم که تجربه های قبلی در دلشان برانگیخته بود، تا آن حد جلو رفتند که از خود پرسیدند آیا تمامی قوانین جهان شمول شاخه های مختلف علوم فیزیک را می توانند از تنها « یک» قانون، که احتمالاً زیر بنای کل نظام کیهان است، استنتاج کنند. از همان آغاز، آن ها امیدوار بودند بتوانند شاخه های گوناگون علم را زیر لوای یک قانون ریاضی عام بیاورند و با هم وحدت دهند؛ قانونی که بتوان از آن قوانین جداگانه هر یک از این شاخه ها را به دست آورد. پشتوانه آن ها شهامت بود و خواستن و توانستن. ریاضی دانان و دانشمندان اصلی کاملاً جدید کشف کردند که نه تنها راهنمای مسیر تطورهای گسترده علمی شد، بلکه آموزه ای بنیادی در مورد طرح کلی عالم تلقی گردید. درک رابطه بین حساب دیفرانسیل- انتگرال و طرح عمومی کیهان کمی موشکافی لازم دارد.
فرض کنید توپی را مستقیم به بالا می اندازیم و می خواهیم حداکثر ارتفاعی را که از سطح زمین بالا می رود پیدا کنیم. حساب دیفرانسیل- انتگرال به سهولت پاسخ مسئله ما را می دهد. فرض کنید ارتفاع توپ از سطح زمین با فرمول زیر معین می شود:
که در آن t تعداد ثانیه ها از لحظه پرتاب توپ است. این که ابتدا توپ به «بالا» می رود، به معنی آن است که h با افزایش t افزایش می یابد. ولی از تندی حرکت توپ کاسته می شود؛ چون گرانش مخالف این سرعت رو به بالا عمل می کند. توپ آن قدر بالا خواهد رفت که سرعت آن به صفر برسد. زمانی به این سرعت می رسد که توپ در نقطه اوج (بالاترین ارتفاع) حرکت رو به بالای خود باشد. بنابراین استدلال، اگر لحظه صفر شدن سرعت را بیابیم، می توانیم حداقل لحظه ای را پیدا کنیم که توپ در آن لحظه به حداکثر ارتفاع خود رسیده است. با توسل به روند یافتن نرخ تغییر لحظه ای h نسبت به t، بنابر فرمول (9) ، به فرمول زیر می رسیم که سرعت توپ را تعیین می کند: 
می پذیریم که سرعت v، درست در لحظه ای که توپ در بالاترین نقطه است، صفر است؛ از این رو، در فرمول (10) به جای v، 0 (صفر) می گذاریم و مدت زمانی را که طول می کشد تا توپ به بالاترین نقطه برسد، یعنی t، را به دست می آوریم:
T مساوی 4 است؛ بنابراین، توپ ما 4 ثانیه پس از ترک زمین در بلندترین نقطه قرار می گیرد. در این لحظه، فاصله توپ تا سطح زمین چقدر است؟ فرمول (9) ارتفاع توپ تا سطح زمین را در هر لحظه از زمان نشان می دهد. در این فرمول، به جای t، 4 می گذاریم و می بینیم که
پس، حداکثر ارتفاعی که توپ به آن می رسد برابر 4/78 متر بالاتر از سطح زمین است. نکته مهم این مثال آن است که حساب دیفرانسیل- انتگرال ما را قادر می سازد ارزش ماکسیمم یک متغیر، مثل h در این مثال، را از طریق مفهوم نرخ لحظه ای تغییر پیدا کنیم. با همین روش می توان مینیمم یک متغیر را نیز یافت.در قرن هجدهم، دانشمندان به این نکته پی بردند که طبیعت در بسیاری از پدیده ها به گونه ای رفتار می کند که کمیتی یا در حالت مینیمم خود است یا در حالت ماکسیمم. مثلاً پرتو نوری که از نقطه A به آینه و سپس به نقطه B می رسد (نک: شکل 16)، می تواند مسیرهای بسیاری داشته باشد. اما، همان گونه که یونانیان کشف کردند، این پرتو کوتاه ترین مسیر را می پیماید. چون نور در محیطی یکنواخت با سرعت ثابت حرکت می کند.
کوتاه ترین مسیر نیز مسیری خواهد بود که پیمودن آن در کمترین زمان صورت می گیرد. بنابراین، در این پدیده، طبیعت به گونه ای عمل می کند که فاصله و زمان، هر دو، حداقل یا مینیمم باشند.
وقتی پرتو نوری از محیطی مادی به محیط دیگری وارد می شود، مثلاً از هوا به آب، نه تنها سرعتش از کمیّتی چون به کمیتی چون تغییر می کند (شکل 51)، بلکه جهت حرکت این پرتو نیز عوض می شود. در این جا نیز این پرتو می تواند مسیرهای زیادی برای رسیدن از نقطه A در محیط اول به نقطه B در محیط دوم داشته باشد. ولی هم ویلبرورد اِسنل (9)، استاد ریاضیات دانشگاه لیدن، و هم دکارت نشان دادند مسیری که پرتو نور می پیماید، مسیری است که در آن تقسیم بر می شود که مساوی است با تقسیم بر بعدها فرما ثابت کرد که این مسیر، مسیری است که پیمودن آن برای پرتو نور کمترین زمان را می گیرد.
نور همچنین به هنگام عبور از محیطی که ویژگی های متغیری دارد- مثل اتمسفر زمین- مسیری را می پیماید که پیمودن آن در حداقل زمان ممکن میسر است. این عملکرد نور را تقریباً هر روزه می توان شاهد بود. اتمسفر نزدیکی سطح زمین چگال تر از اتمسفر در ارتفاع های بالاتر از سطح زمین است. اما سرعت پرتو نور در اتمسفر غلیظ (چگال) کمتر از اتمسفر رقیق است. بدین ترتیب، نوری که از خورشید به ما می رسد در اتمسفر رقیق بیشتر دوام دارد و این، به احتمال زیاد، به دلیل سرعت بیشتری است که در چنین محیطی برایش امکان پذیر است. مسیر منحنی حاصل از پرتوهای نور امکان می دهد که خورشید را تا مدتی پس از غروب آن ببینیم؛ یعنی، در واقع، پس از زمانی که خورشید زیر افق هندسی است.
بر اساس این مشاهده فرما اصل حداقل زمان (10) خود را اعلام کرد که، بنابر آن، پرتو نوری که از نقطه ای به نقطه دیگر می رود همیشه مسیری را می پیماید که پیمایش آن به کمترین زمان نیاز داشته باشد. از آن جا که مسیر واقعی نور مسیری است که پیمودن آن حداقل زمان ممکن را می طلبد و نیز از آن جا که حساب دیفرانسیل- انتگرال را می توان برای تعیین مقدار یک متغیر که متغیّر دیگری را به حالت مینیمم یا ماکسیمم می رساند به کار برد، اصل فرما در واقع به ما می گوید که چگونه از حساب دیفرانسیل- انتگرال برای تعیین مسیر پرتوهای نور [در شرایط مختلف] استفاده کنیم. اما اصل فرما تنها در مورد رفتار پرتو نور کاربرد دارد. پس، سایر پدیده ها چه می شوند؟
پس از این، در پی شناخت وضعیت های دیگری برآمدند که در آن ها طبیعت از اصل مینیمم پیروی می کند و به زودی هم آنچه را می جستند، یافتند. وقتی بالونی را که یکپارچه لاستیکی ساخته شده باشد باد کنند، شکل کروی به خود می گیرد؛ همچنین حباب صابون. بنابر قضیه ای در ریاضیات، در میان سطوح مختلفی که حجم معینی دارند، کره حداقل مساحت را دارد. (یونانی عهد باستان همه داروندار خود را می داد تا بتواند این واقعیت را در مورد کره که آن قدر گرامی اش می داشت ثابت کند.) نتیجه آن که بالون و حباب شکلی به خود می گیرند که حداقل سطح را برای حجم هوایی که به آن ها وارد می شود داشته باشد. ولی چرا آن ها باید از این قضیه ریاضی تبعیت کنند؟ لاستیک و کف صابون، با گرفتن شکل کروی به خود، در حداقل مساحت پخش می شوند و، بدین سان، حداقل کشیدگی را تحمل می کنند. ظاهراً طبیعت نیز چون انسان سعی می کند با حداقل تلاش به مقصود برسد.
آیا این نمونه ها را می توان ضمن یک اصل کلی بیان کرد؟ در میانه قرن هجدهم، پیر لوئی مورو دو موپرتویی (11)، فیزیک دان مشهور فرانسوی، اصل حداقل کنش (12) را اعلام کرد. این اصل، که موپرتویی ضمن کارهایش در نظریه نور آن را کشف کرد، حکم می کند که طبیعت به گونه ای رفتار می کند که کمیت ریاضی پیچیده ای که به زبانی فنی کنش نامیده می شود، و عبارت است از حاصل ضرب و سرعت و فضای پیموده شده، حداقل ممکن باشد. با استفاده از حساب دیفرانسیل- انتگرال فرمول های کنش، می توان قانون نخست حرکت نیوتن و نیز دیگر قوانین مکانیک و نور را استنتاج کرد. پس می توان گفت که اجسامی که مطابق با قوانین نیوتن حرکت می کنند، مثلاً سیارات، از اصل مینیمم تبعیت می کنند؛ از این گذشته، موپرتوی موفق شد که قوانین مکانیک و نور را بر اساس اصل مینیمم بیان کند.
موپرتویی بر آن شد که از اصل خود در دلایل کلامی و یزدان شناختی سود جوید. وی معتقد بود که قوانین و رفتار ماده باید کمال شایسته آفرینش خدا را آشکار کنند. اصل حداقل کنش این معیار را برآورده می کند، زیرا نشان می دهد که طبیعت به روالی اقتصادی عمل می کند. بنابر این، این اصل نه تنها قانون جهان شمول طبیعت است، بلکه نخستین برهان علمی بر وجود خدا نیز هست؛ زیرا « اصلی است آن چنان خردمندانه که تنها شایسته وجود متعال است».
لئونهارت اویلر(13)، ریاضی دان بزرگ سویسی قرن هجدهم، نیز همچون موپرتویی معتقد بود که وجود یک اصل حداقل، همچون اصل حداقل کنش، تصادفی نیست و، از این رو، از تمام دعاوی موپرتویی در مورد آن دفاع کرد. این اصل گواه بر طرح آگاهانه خداوند است. ظاهراً، خداوند که سابقاً در نظر دانشمندان یونان باستان و رنسانس تنها هندسه دان بود اینک فرهیخته است. او نه تنها هندسه دان، که ریاضی دانی ماهر شد؛ ریاضی دانی ماهر در تمام رشته های ریاضی.
ولی واقعیت آن است که فرما و موپرتویی و اویلر در این فرض خود به خطا بودند که می گفتند طبیعت همیشه به گونه ای عمل می کند که « تابعی حداقل» شود. مثلاً موقعیت هایی وجود دارد که پرتو نور مسیری را می پیماید که به بیشترین زمان نیاز دارد. به این ترتیب، صورت بندی صحیح اصلی که این مردان در پی آن بودند به این صورت در می آید: طبیعت به گونه ای عمل می کند که مقدار یک تابع ماکسیمم یا مینیمم باشد. موپرتویی نباید می گفت طبیعت اقتصادی عمل می کند، بلکه باید می گفت طبیعت غالباً گرایش به نهایت ها دارد.
با این حال، گرچه موپرتویی و همکارانش در یکی دو مورد جزئی اشتباه کردند، پیروان قرن نوزدهمی و بیستمی آن ها به ما اطمینان دادند که مسیر آن ها مسیر درستی بود. امروزه اصل ماکسیمم و مینیمم، فارغ از تمام بستگی های کلامی اش، بر فیزیک حاکم است. سر ویلیام همیلتن (14) که از جمله فیزیک دانان ممتاز قرن نوزدهم بود، توانست نشان بدهد که می توان تقریباً تمام قوانین گرانشی، اپتیکی، دینامیکی و الکتریکی را با حداکثر یا حداقل سازی تابعی که ایجاد می کنند یا، به زبان فنی امروز، با انتگرال زمانی پتانسیل جنبشی به دست آورد. ارزش تابع همیلتن تا حدی به دلیل آن است که تعداد زیادی از قوانین فیزیکی را در بر می گیرد و تا حدی هم به دلیل آن است که نشان می دهد این قوانین را می توان با استفاده از یک روند حداکثر یا حداقل سازی استنتاج کرد. علاوه بر این، فیزیک- ریاضی دان برجسته قرن ما، آلبرت اینشتین در چارچوب بزرگ ترین آفرینش خود، یعنی نظریه نسبیت، اثبات کرد که مسیر طبیعی اجسام در فضا- زمان مسیری است که تابعی را حداکثر می کند. اهمیت این حکم در این است که مسیر رصد شده سیاره ها را توضیح می دهد. امروزه هم در پی رسیدن به این هدف که بتوان تمام پدیده ها را ضمن یک اصل بیان کرد، یعنی این اصل که رفتار عینی طبیعت کمیت های ریاضی بسیار عامی را حداکثر یا حداقل می کند، شدیداً تلاش می شود. خودِ اینشتین تا پایان عمرش در پی آن بود که تمامی دانش الکتریکی را در یک جمله ریاضی، که از آن تمامی قوانین طبیعت را بتوان با یک روند حداکثر با حداقل سازی استنتاج کرد، خلاصه کند.
پس، می بینیم که تأکید دانشمندان بر وجود اصل حداقل- حداکثر کم نشده است. تنها تغییری که رخ داد این است که روزگاری وجود این اصل را به اقتدار خداوند نسبت می دادند و امروزه آن را به این دلیل می طلبند و می پذیرند که از لحاظ زیبا شناختی جذاب است و از لحاظ علمی مفید. با وجود این، در قرن بیستم هستند دانشمندان مشهوری چون سر آرثر ستنلی ادینگتن (15) و سر جیمز جینز (16) که همچنان خداوند را علت نخستین و غایت القوای جهان به شمار می آورند.
هر چند ریاضی دانان و دانشمندان بزرگ هیچ فرصتی را برای کاربست حساب دیفرانسیل- انتگرال در توضیح ساختار عالم از کف ندادند، نسل های بعدی راه آن ها را، در به دست دادن پایه منطقی محکمی برای توضیح معماری کیهان، سد کردند. درست همان طور که شکاف میان مفهوم کالسکه بی اسب و اتومبیل امروزی را ده ها اختراع بزرگ و صدها اختراع کوچک پر کرد، شکاف میان حساب دیفرانسیل- انتگرال نیوتن و لایبنیتز و آنچه امروزه روایت جامع و مانع این مبحث تلقی می شود حاصل کار صدها ریاضی دان بزرگ و کوچ پر کرده است. حدود یک صد و پنجاه سال طول کشید تا بالأخره زبانی منطقی برای حساب دیفرانسیل- انتگرال پدید آمد.
مشکل اصلی در همان مرحله ای عرض اندام می کند که سرعت لحظه ای به دست می آید. به یاد داریم که از فرمول
عبارت زیر را برای سرعت متوسط در بازه زمانی h ثانیه به دست آوردیم.k/h=29/4+4/9h
به این ترتیب، سرعت لحظه ای برابر عددی در نظر گرفته می شود که این عبارت به موازات نزدیک شدن h به صفر به آن نزدیک می شود یا، به تعبیر امروزی حساب دیفرانسیل- انتگرال، حد این عبارت وقتی h به سمت صفر میل می کند. بدیهی است عددی که این عبارت به آن نزدیک می شود 4/29 است. البته، شاید این نکته در این مثال ساده بدیهی به نظر می رسد، اما مفهوم حد مفهومی است بسیار دقیق و ظریف. بهتر است برخی از مشکلات آن را بررسی کنیم.
مقدار اعداد رشته 0، 4/1، 8/3، 16/7، 32/15، ... مدام بیشتر می شود و به سمت 1 میل می کند، اما بدیهی است که به 1 نزدیک هم نمی شود؛ زیرا هیچ یک از جملات این رشته حتی به 2/1 هم نمی رسد. اگر مقدارهای k/h، وقتی h به سمت صفر میل کند، چنین رشته ای را ایجاد کند، عددی که k/h به آن نزدیک می شود یا، به عبارتی، حدِ k/h، چه خواهد بود؟ ظاهراً برای توضیح مکانیسم این عمل به چیزهای دیگری احتیاج داریم. می توان گفت که این رشته مقادیر به مقدار حد خیلی نزدیک می شود. اما کلمه « نزدیک» مبهم است. مریخ، وقتی به 80 میلیون کیلومتری زمین می رسد، به زمین نزدیک شده است؛ یک توپ هم، وقتی به چند سانتی متری کسی می رسد، به او نزدیک شده است.
مشکلی که بنیان گذاران حساب دیفرانسیل- انتگرال با آن دست به گریبان بودند دقیقاً همین نکته بود که تعریفی قانع کننده از سرعت لحظه ای یا عددی که کمیت k/h به آن نزدیک می شود، ارائه کنند. تلاش های برخی از نخستین پژوهندگان قرن هفدهم در توضیح و توجیه مفاهیم مورد نظرشان در حساب دیفرانسیل- انتگرال با معیارهای جدید امروزی مضحک به نظر می رسد. هر چند توسل به برهان های دقیق و محکم همیشه سنت ریشه داری در ریاضیات بوده و هست، بعضی از ریاضی دانان حاضر بودند به این سنت پشت کنند؛ آن هم صرفاً به این دلیل که فکر می کردند ایده بسیار سترگ و تکان دهنده ای پیدا کرده اند که باید بال و پرش دهند- ولی از پسِ این کار بر نمی آمدند.
بوناونتورا کاوالیری (17)، شاگرد گالیله و استاد دانشگاه بولونیا، ادعا کرد که دقت و انسجام به فلسفه مربوط است نه به هندسه. پاسکال مدعی شد که درستی برخی از مراحل ریاضی را قلب تضمین می کند. تمیز سره از ناسره به ضمیری روشن نیاز دارد نه به منطق؛ درست همانطور که کسب فیض الهی ورای مرزهای عقل است.
هر چند نیوتن و لایبنیتز گام های مهمی در جزئیات فنی حساب دیفرانسیل- انتگرال برداشتند، نقش چندانی در استقرار محکم این شاخه ریاضی نداشتند. پیدا نمی شود کسی که به دقت تمام جزئیات نوشته های آنان را درباره دیفرانسیل- انتگرال بخواند و متحیر نشود از آن همه خیزهای گوناگونی که آن ها به سمت مفهوم دقیق حد برداشتند بی آن که به فهم واقعی آن برسند. آنان بارها نحوه برخورد خود را با مسئله تغییر دادند و اظهارات قبلی خود را نقض کردند. تنها توفیقی که آن همه کار و جدل بر سر مفهوم دقیق حد نصیب آن ها کرد. این بود که هم خودشان دچار آشفتی و اغتشاش ذهن شدند و هم معاصرانشان، و هم حتی اخلافشان. نیوتن در جایی از اصول برداشت صحیح از تصور نرخ لحظه ای تغییر را بیان می کند، ولی ظاهراً خودش تشخیص نداده که این برداشت صحیح است؛ چرا که در نوشته های بعدی خود تبیین های ضعیف تری از منطق روشن خود ارائه کرده است. لایبنیتز کوشید تا کار خود را در مورد نرخ ها با استدلال هایی فلسفی در باب ماهیت مقادیر h و k در نسبت k/h (وقتی h به سمت صفر میل می کند) توجیه کند. با این حال، وی معتقد بود که ، فارغ از تأملات متافیزیکی، حساب دیفرانسیل- انتگرال تقریباً درست، ولی به هر حال مفید است؛ زیرا خطاهایش کوچک تر از آن اند که عملاً مشکلی ایجاد کنند. لایبنیتز در توضیخ ریاضیات دیفرانسیل- انتگرال، فقط قاعده ها را به دست می دهد نه برهان را. او مقادیر hو k را که مقدار k/h را، وقتی h به سمت صفر میل می کند، تعیین می کنند، چنین توصیف می کند: h تفاوت دو مقدار از زمان t است که « بی نهایت» به هم نزدیک هستند؛ و به همین نحو، k تفاوت دو مقدار از فاصله d است که « بی نهایت» به هم نزدیک هستند. لایبنیتز، در برخی از نوشته هایش، از مقادیر حدی k و h با این عناوین هم یاد می کند: کمیّاتی که بی نهایت کوچک هستند، یا کمیات رو به محو، یا کمیّاتی که در قیاس با کمیت های معمول موجود بسیار جزئی اند. نیوتن برای توصیف حد k/h از عبارت « نسبت اول و آخر» استفاده کرده است. اما تمام این عبارات و تعبیر فقط بر مشکل اصلی سرپوش می گذارند.
به دلیل فقدان دقت و قدرت کافی در نخستین روایات دیفرانسیل- انتگرال، مناقشات و منازعات در مورد درستی یا اعتبار کلی موضوع مدت ها بازار مناقشه را گرم نگه داشت. ریاضی دانی به نام مایکل رول، که معاصر نیوتن بود، بر این باور بود که حساب دیفرانسیل- انتگرال ملغمه ای از اشتباه های نبوغ آمیز است. اندکی پس از مرگ نیوتن، کالین ماکلورن (18)، که ریاضی دان توانایی هم بود، تصمیم گرفت پایه های حساب دیفرانسیل- انتگرال را استحکام بخشد. کتاب او که به سال 1742 منتشر شد بی تردید کتاب عمیقی است، اما این کتاب هم دشوار و غیر قابل فهم است. بسیاری دیگر از آثاری که در قرن هجدهم در این زمینه نوشته شد، در جهت تدقیق و تحکیم منطقه نهفته در آن بود. ولتر وضعیت حساب دیفرانسیل- انتگرال را این طور وصف می کند: « فن شمارش و سنجش دقیق چیزی که وجودش را نمی توان تصور کرد»؛ این سخن را می توان وصف دقیق کارهای ریاضی دانان قرن هجدهمی دانست. دو تن از بزرگ ترین ریاضی دانان همه اعصار، ژوزف لوئی لاگرانژ و لئونهارت اویلر، که اوج کار هر دو یک صد سال پیش از نیوتن و لایبنیتز بود، همچنان اعتقاد داشتند که پایه های مفهومی حساب دیفرانسیل- انتگرال محکم نیست، ولی در هر حال نتایج درستی به بار می آورند و دلیلش هم تنها این است که خطاها و اشتباه ها یکدیگر را خنثی می کنند. در اواخر قرن هجدهم، دالامبر (19) به دانشجویان خود توصیه می کرد که از مطالعه این مبحث دست نشویند، چون سرانجام به آن « ایمان» پیدا خواهند کرد. در عصر نیوتن این وضعیت مبارک دیده می شد که علم و ریاضیات ارتباط بسیار تنگاتنگی با هم داشتند و استدلال فیزیکی می توانست راهنمای ریاضی دانان باشد و آن ها را از مسیر درست خویش خارج نکند. از آن جا نتایجی که ریاضی دانان به دست می آورند کاربردهای مفید و معتبری پیدا می کرد، اطمینان آن ها به روش هایی که به کار گرفته بودند بیشتر می شد و، به این ترتیب، بر سر شوق می آمدند و به راه خود ادامه دهند. در واقع، روش های حساب دیفرانسیل- انتگرال چنان مفید و مؤثر بود و چنان مزایای عالی ای داشت که گهگاه ریاضی دانان خواسته و دانسته چشم خود را بر مشکل استحکام برهان می بستند.
امروزه می دانیم که شهود و استدلال فیزیکی بیش از منطق راهنمای نیوتن و لایبنیتز بود ناتمامیت در اندیشه آفرینندگان ایده های بزرگ چیزی است که باید، کمابیش، انتظار آن را داشت. آنان که پیشتاز قلمرو فکری اند گام های بزرگ خود را در راه هایی بر می دارند که برق خیره کننده نبوغ و درخشش فقط بخشی از آن راه ها را روشن کرده است. اگر آن ها وقت خود را بر سر مشاهدات کوچک و وقت گیر تلف می کردند، می شدند مثل همان جماعت حقوق بگیر دانشگاهی که با آن ادا و اصولشان نمی توانند قدم از قدم بردارند. به هر حال، تاریخ حساب دیفرانسیل- انتگرال به روشنی نشان می دهد که پیشرفت در ریاضیات چگونه صورت می گیرد. عوام الناس ریاضی دان را کسی می دانند که با مهارت هر چه تمام تر استدلال می کند و نتیجه می گیرد؛ در کل تاریخ ریاضیات، آفرینندگان حساب دیفرانسیل- انتگرال بهترین مثال نقض برای چنین تصور پیش پا افتاده ای محسوب می شدند. البته، بسیاری از برهان های ریاضی به مرور تصحیح شدند، زیرا در آن ها نادانسته و ناخواسته خطاهایی وارد شده بود. این یک راز حرفه ای است که نباید خواننده زیاد به حریم آن وارد شود که حتی اقلیدس هم اشتباهاتی مرتکب شده بود که تا نیمه قرن نوزدهم از نظرها پنهان مانده بود. اما در مورد حساب دیفرانسیل- انتگرال، حجم عظیمی از دستاوردهای ناب ریاضی را می یابیم که در عمیق ترین مسائل علم به کار می آمدند و معتبرترین قوانین قرن هجدهم را پدید آوردند؛ ولی، با این حال، ریاضی دانان و دانشمندان و دیگر متفکران همواره از پایه های نه چندان استوار این شاخه ریاضی آگاه بودند و حتی در مورد اعتبار کل آن تردید داشتند. این نکته نیز مایه تسلای خاطر است که بدانیم تا دو قرن بهترین ریاضی دانان کوشیدند پایه های حساب دیفرانسیل- انتگرال را مستحکم کنند، ولی به سختی شکست خوردند.
خوشبختانه این مضحکه خطاها با خوبی و خوشی به پایان رسید. ریاضی دان ممتاز فرانسوی، اوگوستن لوئی کوشی (20)، موفق شد مفهوم حد را به درستی صورت بندی کند و قضایایی در مورد حد به دست داد که از پس توضیح تکنیک های نهفته در آن بر می آمد. کوشی در 1821 اثر تعیین کننده و سرنوشت ساز خود را، به نام دوره آنالیز (21) منتشر کرد . اما خطاست اگر استنباط کنیم ریاضی دانان مهملاتی را که صد و پنجاه سال پیش از کار کوشی صادر شده بود یکسره کنار گذاشتند و دربست ایده های کوشی را پذیرفتند. در نیمه قرن بیستم، در امریکا کتاب درسی ای که بیش از هر کتاب دیگری به آن ارجاع داده می شود، که همچنان هم رایج ترین کتاب است، در 1700 نوشته شد.
برخلاف باور رایج، حساب دیفرانسیل- انتگرال رفیع ترین نقطه ریاضیات به اصطلاح « عالی» نیست؛ در واقع، نقطه شروع ریاضیات عالی است. حساب عالی، اندکی پس از تولد، سنگ بنای آنالیز شد؛ شاخه ای از ریاضیات که بسیار وسیع تر از جبر و هندسه است و در حد چشمگیری به علم خدمت کرد و راهنما و هادی علم شد. مباحثی چون معادلات دیفرانسیل جزئی، دنباله های نامتناهی، حساب تغیّرات، هندسه دیفرانسیل، حساب توابع با متغیر مختلط و نظریه پتانسیل [توانی] تنها پاره ای از قلمروهای آنالیز هستند. دانشمندان مجهز به چنین ابزارهایی به جست و جوی خود برای یافتن قوانین ریاضی طبیعت ادامه دادند و پرچم خود را بر بخش های وسیعی از آن کوبیدند.
در عین حال، نباید از یاد ببریم که این شاخه های ریاضیات بر اساس افکار و آثار ریاضی دانان قرن های شانزدهم و هفدهم فرهنگ نوین آفریدند که معمول و مرسوم شد و با رها کردن ساقه های خشکیده دانش سده های میانه که پیش تر طریقه معاش، علم، فلسفه، مذهب، ادبیات، هنر و زیباشناسی را فراهم می آورد، ارمغان جدیدی به طبیعت اهدا کرد؛ یعنی تفسیر ریاضی آن.
پی نوشت ها :
1- Mainz، شهر، آلمان غربی
2- Schönborn
3- Hanover ، ایالت سابق پروس، شمال غربی آلمان
4- change
5- rate of change
6- average
7- instantaneous
8- differential equations
9- W. Snell ، ریاضی دان هلندی (1591- 1626)
10- Principle of Least Time
11- Pierre L. M. de Maupertuis ، ریاضی دان و منجم فرانسوی (1698- 1759)
12- Principle of Least Action
13- Leonhärd Euler ، ریاضی دان سویسی (1707- 1783)
14- Sir W. Hamilton ، ریاضی دان ایرلندی (1805- 1865)
15- Sir A. S. Eddington ، منجم و فیزیک دان انگلیسی (1882- 1944)
16- Sir J. Jeans ، منجم، ریاضی دان و فیزیک دان انگلیسی (1877- 1946)
17- B. Cavalieri ، ریاضی دان ایتالیایی (1598- 1647)
18- C. Maclaurin ، شهرت فارسی کولین مکلورین، ریاضی دان، فیزیک دان، و فیلسوف اسکاتلندی (1698- 1746)
19- D'Alembert ، ژان لو رون دالامبر ، ریاضی دان و فیلسوف فرانسوی (1717- 1783)
20- Augustin- Louis Cauchy ، یکی از بزرگ ترین ریاضی دانان فرانسوی (1789- 1857)
21- Cours d'Analyse
