نویسنده: جان باومگارت
مترجم: محمد قاسم وحیدی اصل
مترجم: محمد قاسم وحیدی اصل
در سال 1770، اویلر روش جدید (متفاوت با روش فراری) را برای حل معادلات درجه چهارم ابداع کرد، اما آرزوی خوشبینانه وی که روشی مشابه معادلات چند جمله ای کلی را حل خواهد کرد، بدفرجام از کار درآمد. در همان سال لاگرانژ مسئله ی حل معادله ی چند جمله ای کلی را با مقایسه ی راه حل های معلوم برای معادله های درجه دوم، سوم و چهارم در نظر گرفت و متوجه شد که در هر یک از این سه حالت، یک تبدیل معادله را به معادله ای از درجه پایین تر تحویل می کند؛ اما، ناخرسندانه، وقتی لاگرانژ کوشید که این «تحویل» را در مورد معادله ای از درجه ی پنج امتحان کند، درجه ی معادله ی حاصل به جای کاسته شدن افزایش یافت. گرچه لاگرانژ به هدف عمده ی خود نایل نشد، نحوه ی تاختنش به مسئله، جایگشت های ریشه های معادله را به کار گرفت؛ و کلید نظریه ی گروه های جایگشت ها را، از جمله خاصیتی که پیش تر ذکر شد و امروزه هم قضیه ی لاگرانژ نامیده می شود، کشف کرد.
هم آبل و هم گالوا اساس کار خود را روش لاگرانژ قرار دادند.
شگفت آور نیست که آبل هم به مسئله ی کلی تلاش برای حل معادله ی چند جمله ای درجه ی n از راه تلاش برای حل معادله ی درجه ی پنجم کلی پرداخت. در واقع، وی چنین پنداشت که در این راه توفیق یافته است، و «راه حل»، خود را برای ریاضیدانی برجسته در دانمارک فرستاد. زمانی که منتظر پاسخ بود، خوشبختانه متوجه اشتباه خود شد و این رویداد ناگوار موجب آن شد که در مورد ممکن بودن راه حل جبری دچار تردید شود. به نوشته ی خود او یکی از جالب ترین مسائل جبر، همانا حل جبری معادلات است. بنابراین در می یابیم که تقریباً همه ی ریاضیدانان تراز اول به این موضوع پرداخته اند. ما بدون دشواری به عبارت کلی ریشه های معادلات چهار درجه ی نخست می رسیم. روشی یکنواخت برای حل این معادلات کشف شده و چنین پنداشته می شود که برای معادله ای با هر درجه قابل اعمال باشد؛ اما علی رغم همه ی تلاش های لاگرانژ و دیگر ریاضیدانان برجسته، هدف اعلام شده به دست نیامده است. این مطلب منجر به این تصور شد که حل جبری معادلات کلی غیرممکن است؛ اما این چیزی است که نمی توان در مورد آن اظهارنظر کرد، زیرا روش به کار رفته تنها در حالی که معادله ها حل پذیر باشند منجر به نتایج قطعی می شود. در واقع، آن ها حل معادلات را بدون دانستن این که حل ممکن باشد، مطرح کردند. بدین گونه، شخص ممکن است در حقیقت به جوابی دست یابد، گرچه این امر به هیچ عنوان حتمی نیست، اما اگر با بداقبالی حل غیرممکن باشد، شخص ممکن است تا ابد به دنبال آن باشد بدون این که آن را به دست آورد. بنابراین برای این که در این عرصه بدون شبهه به چیزی برسیم، لازم است از راهی دیگر برویم. می توانیم شکلی به مسئله بدهیم که همواره حل آن ممکن باشد... به جای جستن رابطه ای که نمی دانیم موجود است یا خیر، باید بپرسیم که آیا چنین رابطه ای اصلاً می تواند ممکن باشد یا خیر ... وقتی مسئله ای به این صورت مطرح می شود، خودِ بیان، نطفه ی راه حل را در خود دارد و راهی را که باید در پیش گرفت مشخص می کند؛ و من اعتقاد دارم که موارد معدودی وجود خواهد داشت که در رسیدن به احکامی کم و بیش با اهمیت در بمانیم، حتی زمانی پیچیدگی محاسبات جواب کامل مسئله را با مانع مواجه می کند.
گرچه آبل نشان داد که به ازای n بزرگ تر از چهار معادله ی چند جمله ای کلی را نمی توان به طور جبری حل کرد، مدعی نشد که به اهدافی که برای خود تعیین کرده بود به طور کامل دست یافته است:
1. یافتن همه ی معادلات با هر درجه ی مفروض که به طور جبری قابل حلند.
2. تعیین این که معادله ای مفروض به طور جبری قابل حل است یا خیر.
جای خوشوقتی بود که برهان آبل، که وی در آن تا حدودی گروه های جایگشت را به کار برد، زود در نخستین مجلد مجله ی اوگوست لئوپولد کرله (1)منتشر شد. این برهان ذهن گالوا را به خود مشغول کرد و توانست به سؤال هایی که آبل مطرح کرده بود جواب های کاملی بدهد. در سال 1831، گالوا نشان داد که معادله ی چند جمله ای فقط و فقط وقتی حل پذیر است که گروه آن، روی میدان ضرب ها، حل پذیر باشند. مفاهیم مرتبط با این نتیجه معمولاً به عنوان نظریه ی گالوا توصیف می شوند. وی در کار خود از ایده ی گروه های یکریخت استفاده کرد، و نخستین کسی بود که اهمیت زیرگروه های ناوردا (یا نرمال) و گروه های خارج قسمت ها را نشان داد. اصطلاح «گروه» به گالوا منسوب است و اصطلاح «گروه های خارج قسمت ها» منسوب به اوتو هولدر (2) است.
گرچه دستاودهای گالوا نقاط تحول ریاضی با بیشترین اهمیت و بداعت بودند، اما تأثیر کامل خود را بی درنگ بر معاصرانش نگذاشتند. زیرا اینان در فهم، درک اهمیت، و انتشار کار گالوا، که به قول کمیته ای از فرهنگستان علوم فرانسوی، مسلماً «تقریباً غیرقابل فهم»(3) بودند، کندی به خرج دادند.
پس از آن که گالوا در 1832 در سن بیست و یک سالگی در دوئلی کشته شد، نظریه ی گروه ها به طور قابل ملاحظه ای توسط کوشی پیش رفت. طی سال های 1840-1860 وی مقالات متعددی در این موضوع در گزارشها (4) منتشر کرد، که جمعاً در حدود 280 صفحه می شد.
در 1854، کیلی مقاله ای با عنوان «درباره ی نظریه ی گروه ها آن گونه که به معادله ی نمادین= 1 θ^n وابسته اند»، منتشر کرد که به دلیل آن که احتمالاً نخستین تعریف گروه مجرد متناهی را می دهد، قابل ذکر است.
این مقاله همچنین نتیجه ی موسوم به قضیه ی کیلی را می دهد که «هر گروه متناهی با یک گروه جایگشت های منظم یکریخت است».
در سال 1870، کامیل ژوردان (5) رساله ی جایگشت ها (6)ی خود را منتشر کرد که عرضه داشت استادانه ای از گروه های جایگشت هاست و نتایج لاگرانژ، روفینی، آبل، گالوا، کوشی، سره (7) و نیز کارهای خود او در این موضوع در برمی گیرزد.
در همان سال، لئوپولد کرونکر (8) مجموعه ای از اصول موضوع را که گروه را تعریف می کنند ارائه کرد. این تعریف آن قدر با تعریف نوین آن تفاوت دارد که تا حدی شگفت آور است.
فرض کنید
عنصرهای مجموعه ای متناهی باشند، به گونه ای که دو تا از این ها در هر بار (به کمک شیوه ای معین) سومی را معین می کنند. در این صورت، با فرض این که f حاصل این شیوه را نشان دهد، گوییم
برای هر دو عنصر
موجود است (و این دو عنصر ممکن است برابر باشند). این را با
بیان می کنیم. به علاوه
ورود و تأثیر کواترنیون ها
در 1837، شش سال پس از آن که گاوس بحث خود درباره ی اعداد مختلط را مطرح کرد، همیلتن به کشف مستقل خود از همان ایده ها رسید که آن ها را در مورد دوران ها و بردارها در صفحه، آن گونه که دیگران انجام داده بودند، به کار برد. در مقاله ی دومی درباره ی این موضوع (1843) کار را از جفت های مرتب به n-تایی ها با تأکید بر چهارتایی ها (یا کواترنیون ها) تعمیم داد، که جبر بردارها در صفحه را به بردارها در فضا توسیع داد. بدین ترتیب، مفهوم یک عدد مختلط a + bi، به شکل a + bi + cj + dk (d, c, b, a اعداد حقیقی هستند) توسیع داده شد که در آن
همیتلن این فرصت را نیز یافت که درباره ی قانون شرکت پذیری در درس هایی درباره ی کواترنیون ها (11)ی خود اظهارنظر کند. وی در پیشگفتار کتاب می گوید: «از نظر من این خاصیت شرکت پذیری یا اصل I اهمیت زیادی دارد.» البته این قانون شرکت پذیری مدت ها پیش از نام گذاری آن به کار رفته بود و به طور صریح در 1830 هنگامی که لژاندر توجه به آن را در نظریه ی اعداد (12) خود توصیه کرده بود، ذکر شده بود. لژاندر نوشت: «شخص معمولاً فرض می کند که در ضرب عددی مفروض مانند c در عددی دیگر مانند N، که حاصل ضرب دو عامل A و B است، همان نتیجه را به دست دهد؛ خواه c را به یکباره در N ضرب کند، یا c را در A و سپس در B ضرب نماید.» به طور نمادی لژاندر نوشت:
انصاف حکم می کند که به طور گذرا اشاره کنیم که هرمان گراسمان (14) همزمان و به طور مستقل، نظریه n تایی هایی حتی عمومی تر از همیلتن خلق کرد، اما نوشته های گراسمان با عبارات بسیار ثقیل و فلسفی به وسیله ی ریاضی دانان به موقع خوانده نشد تا آن تأثیر روشن را که کواترنیون های همیلتن داشت، داشته باشد.
قضا را کواترنیون ها، آن گونه که همیلتن باور داشت، عملی از کار درنیامدند و به زودی در محاق اختراعات بعدی که به کار بستن آن ها آسان تر بود قرار گرفتند؛ اما این ها همان کاری را برای جبر کردند که مفاهیم هندسه ی نااقلیدسی در هندسه انجام دادند. به محض این که تشخیص داده شد AB = BA اصل ابطال ناپیری نیست، ریاضیدانان تجربه با دستگاه های جدیدی را آغاز کردند که در آن ها اصول موضوع دیگر نیز تغییر می یافتند.
جبر بولی و جبر ماتریسی
جبرهایی خلق شدند که در آن ها، به عنوان مثال، ممکن بود که
. کاربرد جالبی از این ایده در جبر منطق جورج بول (15) دیده می شود که در آن وی x را به نشانه ی رده ی «مردان» و y را به نشانه ی رده ی «غیرمردان» می گیرد. بنابراین به قول بول: 
رده ای را نشان می دهد که عضوهای آن در عین حال «مردان» و «غیرمردان» هستند، و معادله ی
بدین ترتیب این اصل را بیان می کند که رده ای که عضوهای آن در عین حال مردان و غیرمردان هستند، وجود ندارد... اما این با «اصل تناقض»، یکی است که ارسطو آن را اصل بنیادی همه ی فلسفه ها توصیف کرده است».اصل هایی که بول در قوانین تفکر (16) خود (1854) بنیان گذاشت، در راستای «مشخصه ی جهانی» لایپ نیتس است؛ و بسط آن ها به توسط گوتلُب فرگه (17)(1884) و دیگران در پرینکیپیا متمتیکای (18) برتراند راسل (19) و وایتهد (20) و در کلیت منطق ریاضی امروزی صورت نهایی یافت.
به دلیل محبوبیت کامپیوترها در اغلب دوره های درسی ریاضی نوین لازم نیست که اهمیت کاربرد جبر بولی را در طراحی کامپیوتر ذکر کنیم.
امروز از کامپیوترها به صورتی گسترده در برنامه ریزی خطی استفاده می شود که فنی است که مستقیماً با ایده ی ماتریس مرتبط است و به طور ضمنی در ضرب «باز» یا «نامعین» اعداد ابرمختلط گراسمان - نیز بعداً در آنالیزبرداری جوسایا ویلارد گیبس (21)-آمده است. با این حال کیلی، که نظریه ی صریح ماتریس ها را ابداع کرد، اظهار کرده است که این مفهوم را «یا مستقیماً از مفهوم یک دترمینان، یا به عنوان صورت بیان ساده ای» از معادله های زیر به دست آورده است:
کیلی همچنین نشان داد (1858) که هر کواترنیون را می توان به صورتی که در بالا نشان داده شده به شکل ماتریسی نشان داد که در آن d, c, b, a اعداد مختلط مناسبی هستند. مثلاً اگر واحدهای کواترنیونی k,j,i ,1 را با
را می توان به صورت زیر نوشت.
در سال1925، اوگوست هایزنبرگ (23) این کشف را کرد که ماتریس ها کاملاً مناسب ریاضیات غیرتعویض پذیرند که پدیده هایی را در مکانیک کوانتومی توصیف می کنند.
کیلی در همکاری با جیمز جوزف سیلوستر (24)(ح 1846 م) کاربر نظریه ی ناورداهای جبری را نیز آغاز کرد که مدت ها مطرح بود و نظیر ماتریس ها، مقداری از انگیزه ی اولیه ی آن از دترمینان ها نشئت گرفت.
دیده ایم که چگونه جست و جوی نظریه ای عمومی برای ساختار (با شروع از حل معادله های چند جمله ای و روابط بین ریشه ها و ضرایب آن ها) به «تکمیل» دستگاه اعداد مختلط منجر شد؛ و چگونه ترسیم اعداد مختلط به اعداد ابرمختلط، به نوبه ی خود، ساختارهای جدید را خلق کرد.
ریاضیات به حدی بسط یافته بود که یکی از مورد اقبال ترین پیشامدها خطابه ی فلیکس کلاین (25)(در 1824) به نام برنامه ی ارلانگر (26) بود که در آن وی نشان داد که مفهوم گروه را می توان در رده بندی بسیاری از شاخه های ریاضیات به کمک گرفت. او این مفهوم را با موفقیت درخشانی در نشان دادن این که بسیاری از انواع مختلف هندسه از طریق ساختارهای گروهی خود با هم پیوند دارند به کار برد. مفهوم گروه در ترکیب عرصه های پهناور جبر و هندسه، به ویژه در کارهای گاسپار مونژ (27)، ژان ویکتور پونسله (28)، آرتور کیلی، آلفرت کلپش (29)، هرمان گراسمان و برنهارت ریمان (30) سودمند از کار درآمد.
از زمان کلاین به بعد متکثر شدن ریاضیات بیشتر هم شده و هاورد ایوز (31) برآورد کرده است که بیش از دویست ساختار جبری مورد بررسی قرار گرفته اند. علاوه بر گروه ها، چند ساختار آشناتر عبارتند از حلقه ها، حوزه های صحیح و میدان ها.
مجموعه ی اعداد حقیقی، تحت عمل های جمع و ضرب معمولی، شناخته ترین مثال یک میدان است. در جبر معمولی، که در آن حروف نماینده ی اعداد حقیقی اند، اصول موضوع میدان برآورده می شوند. یکی از جالب ترین خاصیت های میدان که معمولاً در جبر معمولی (که در واقع نه یک اصل موضوع بلکه قضیه است) در نظر گرفته می شود، «موجود نبودن مقسوم علیه های صفر است». این موضوع در حل معادلات درجه دوم به روش تجزیه به عوامل به کار گرفته می شود و تضمین می کند که اگر حاصل ضربی مانند (x - 2) (x - 3) صفر باشد، حداقل یکی از عامل ها باید صفر باشد.
مفهوم میدان هم به وسیله ی آبل و هم گالوا در سطحی شهودی و نیمه صوری در کارهای آن ها درباره ی معادلات چند جمله ای به کار رفت. در سال 1871، ریشارد ددکیند (32) فرمول بندی منسجمی را ارائه داد، و نخستین شرح نظریه ی میدان ها از دیدگاهی کلی به طور مستقل به توسط هاینریش وبر (33) و الیاکیم مور (34) در 1893 ارائه شد.
دانشجوی امروزی جبر از نظر روانی در موقعیتی بسیار شبیه پدیدآورندگان است که در این مرور موضوع به آن ها برخورده ایم. داستان هایی درباره ی کار آنان- نظیر اکتشاف اعداد موهومی به وسیله ی کاردانو یا اختراع ماتریس ها به دست کیلی از راه توجه به الگوهای ضرایب در معادله ها - به خوبی می تواند در خدمت برانگیختن کنجکاوی و روحیه ی ماجراجویی اذهان امروزی باشد.
پی نوشت ها :
1. August Lepold Crele
2. Otto Ho ̈lder
3. à peu près inintelligible
4. Comptes Rendus
5. Camille Jordan
6. Traité des substitutions
7. Serret
8. Leopold Kronecker
9. Royal Canal
10. Brougham Bridge
11. Lectures on Quaternions
12. Théorie des Nombres
13. F.G. Servois
14. Hermann Grassmann
15. George Boole
16. Laws of Thought
17. Gottlob Frege
18. principia Mathematica
19. Bertrand Russel
20. A.N.Whitehead
21. Josiah Willard Gibbs
22. peter Guthrie Tait
23. August Heisenberg
24. James Joseph Sylvester
25. Felix Klein
26. Erlanger programm
27. Gaspard Monge
28. Jean Victor poncelet
29. Alfred Clebsch
30. Bernhard Riemann
31. Howard Eves
32. Richard Dedekind
33. Heinrich Weber
34. Eliakim H.Moore
