فرمول کاردان

حل معادله های چند جمله ای درجه سوم و بالاتر

نخستین موارد ثبت شده ی علاقه ی انسان به معادله های درجه سوم، به تمدن بابلی باستان (حدود 1800-1600ق م) باز می گردد. در بین مواد ریاضی که جان به در برده اند، جدول هایی از ریشه های دوم و سوم نیز جدول هایی از مقادیر قرار دارند. از چنین جدول هایی می شد برای حل انواع خاصی از معادله های درجه سوم استفاده کرد.
به عنوان مثال، برای حل معادله ی بابلی ها شاید نخست معادله را در 4 ضرب می کردند و تغییر متغیر y =2x را می دادند که از آن حاصل می شود. با فرض y =3z، این معادله به صورت در می آمد. از روی جدول، یک جواب به صورت z=4حاصل می شود و بنابراین 6 یک ریشه ی معادله ی اصلی است.
در دوره ی یونانی، علاقه به محاسبه ی حجم اجسام صلب منجر به مسائلی می شود که در شکل امروزی آن، متضمن معادله های درجه سوم است. مسئله ی مشهور تضعیف مکعب عبارت است از حل معادله ی . این مسئله، که حل آن صرفاً با خط کش نامدرج و پرگار غیرممکن است، به روالی هوشمندانه توسط آرخوتاس (2) تارنتومی (حدود 400 ق م) با استفاده از قطع دادن یک مخروط، یک استوانه و یک چنبره ی تبهگن (حاصل از دوران یک دایره حول مماس آن) حل شد.
شاعر و ریاضیدان پرآوازه ی ایرانی، عمر خیام (ح 100) مطالعه ی معادله های درجه سوم را اساساً به روش یونانیان پیش تر برد. وی جواب ها را از طریق استفاده از مقاطع مخروطی به دست ‌آورد. به منوال وضعیت نوعی جبر در زمان او، وی سیزده حالت خاص در معادله های درجه سوم را مشخص کرد که ریشه های مثبت دارند. به عنوان مثال، معادله هایی از نوع (که در آن b و c اعداد مثبتند) را با یافتن مقطع های سهمی حل کرد که در آن دایره بر محور سهمی در رأس آن مماس است. ریشه ی مثبت معادله ی عمر خیام با فاصله ی محور سهمی از نقطه ی تقاطع دو منحنی نمایش داده شده است.
پیشرفت عمده ی بعدی، حل جبری معادله های درجه سوم بود. این کشف، محصولی از نوزایی ایتالیایی، در هاله ای از رمز و راز پوشانده شده است و ماجرای آن هنوز هم کاملاً از پرده ی ابهام در نیامده است. این روش به صورت چاپ شده در 1545 در آرس ماگنای جیروولامو کاردانوی میلانی پدیدار شد که یک پزشک، متخصص احکام نجوم، ریاضیدان، نویسنده ای پرتألیف، مظنون به بی دینی و کلاً یکی از پرجلوه ترین چهره های زمان خود بود.
این روش به عنوان «فرمول کاردان» رواج یافته است («کاردان» شکل انگلیسی نام اوست). با این حال، بنابر گفته ی خود کاردانو، افتخار این کشف از آنِ شیپیونه دل فرو، یک استاد ریاضیات در دانشگاه بولونیاست که در 1515 راهِ حل کردنِ معادله های درجه سوم از نوع را کشف کرد. آن طور که در بین ریاضیدانان آن زمان مرسوم بود، وی راز کشف خود را پوشیده داشت تا از آن ها در چالش ها و مسابقات ریاضی به نفع شخص خود استفاده کند. وقتی وی در 1526 درگذشت، تنها کسانی که با کار او آشنا بودند، یکی از دامادها و یکی از دانشجویانش، آنتونیو ماریافیور (3) و نیزی بود.
در 1535 فیور، ریاضی دان برجسته، نیکولو تارتاگلیا (4) ی برشایی (5)(که در آن زمان در ونیز درس می داد) را در مسابقه ای به مبارزه طلبید، زیرا فیور ادعای تارتاگلیا را که راه حلی برای معادله ی درجه سوم از نوع پیدا کرده است، باور نمی کرد. چند روز پیش از مسابقه، تارتاگلیا از عهده ی کشف طرز حل معادله ی درجه ی سوم از نوع نیز برآمد؛ کشفی که در شب فوریه ی 12/13، 1535 چون برقی به ذهن او خطور کرد. لازم به گفتن نیست که چون تارتاگلیا می توانست دو نوع از معادله های درجه سوم را حل کند در حالی که فیور تنها می توانست یک نوع را حل کند، در مسابقه برنده شد.
کاردانو با شنیدن پیروزی تارتاگلیا مشتاق بود که روش وی را فرا گیرد. با این حال، تارتاگلیا از این کار طفره می رفت و چهار سال طول کشید تا ملاقاتی بین آن دو ترتیب داده شد. تارتاگلیا در این ملاقات با سوگند دادن کاردانو به رازداری، به خصوص منع او از چاپ روش هایش، آن ها را با او در میان گذاشت. این سوگند بر دوش کاردانو سنگینی می کرده است. در دیداری طی چند سال بعد از بولونیا، وی داماد فرو را ملاقات کرد و از راه حل متقدم تر فرو آگاه شد و شاید، احساس این که این اطلاع وی را از سوگندش به تارتاگلیا رها کرده است، روایت خود از این روش را در فن کبیر به چاپ رساند. این عمل انگیزه ی حمله ی زهرناکی از سوی تارتاگلیا شد که ادعا کرد به او خیانت شده است.
گرچه پنهان در لفاف هندسی، خود این روش جبری و سبک تلخیصی بود. کاردانو به عنوان یک مثال، معادله ی را می دهد و در جست و جوی دو کمیت p و q است که تفاضل آن ها جمله ی ثابت 20 است و حاصل ضرب آن ها ریشه ی سوم 3/1 ضریب x ؛ یعنی 8 است. یک جواب، بی درنگ از تفاضل ریشه های سوم p و q به دست می آید. برای این مثال، جواب عبارت است از
پس از این که تبدیلی برای حذف جمله ی x2 انجام شد، این شیوه به آسانی قابل اعمال تر بر معادله ی درجه ی سوم کلی است.
این کشف پرسش هایی از قبیل موارد زیر را بدون پاسخ گذاشت: در مورد ریشه های منفی و موهومی چه باید کرد؟ (سؤالی مرتبط) آیا سه جواب همواره موجودند؟ هنگامی که روش کاردانو (در حالت به اصطلاح تحویل ناپذیر) عبارت های به ظاهر موهومی نظیر
برای ریشه ی حقیقی 6- از معادله ی درجه سوم تولید می کنند، چه باید کرد؟ این پرسش ها تا سال 1732، هنگامی که لئونهارت اویلر راه حلی پیدا کرد، به طور کامل رفع و رجوع نشدند.
معادله ی درجه چهارم کلی در معرض روش هایی با ماهیت مشابه قرار گرفت و راه حل آن نیز در فن کبیر ظاهر شد. لودویکو فراری شاگرد کاردانو، مسئولیت این کار را به عهده داشت. فراری در حالی که هنوز در سنین نوجوانی بود (1540) مسئله ای مبارزطلب را حل کرد که معلمش از عهده ی حل آن برنیامده بود.
راه حل وی را می توان چنین توصیف کرد: ابتدا معادله ی درجه چهارم کلی را به معادله ای تحویل کنید که در آن جمله یx^3 موجود نباشد. سپس جمله ها را از نو مرتب و کمیت مناسبی (با ضرایب نامشخص) به هر دو طرف اضافه کنید به طوری که عضو طرف چپ، مربع کاملی شود. سپس ضرایب نامشخص طوری تعیین می شوند که، با درنظر گرفتن این شرط که مبین صفر باشد، عضو سمت راست نیز مربع کامل گردد. این شرط به یک معادله ی درجه سوم منجر می شود که اکنون می توان حلش کرد. به این ترتیب می توان به آسانی از عهده ی حل معادله ی درجه ی چهارم برآمد.
تلاش های بعدی برای حل معادله های درجه پنجم و دیگر محکوم به شکست بودند، اما این امر به طور نهایی تا سده ی نوزدهم دریافت نشد. کارل فردریش گاوس در 1799 ثابت کرده بود که هر معادله ی جبری از درجه ی n روی میدان اعداد حقیقی، ریشه ای (و بنابراین n ریشه) در میدان اعداد مختلط دارد. مشکل در بیان این ریشه ها برحسب ضرایب به کمک رادیکال ها بود. چنین پنداشته می شود که یائولو روفینی، آموزگاری ایتالیایی در ریاضیات و پزشکی در مودنا (6) برهانی اصولاً رضایتبخش از ممتنع بودن این موضوع برای معادله های از درجه بالاتر از چهار (در سال 1813) ارائه کرده است. شناخته تر از آن، کار ریاضیدان جوان پراستعداد نروژی، نیلس هنریک آبل است. او پس از این تصور اولیه که معادله ی درجه پنجم کلی را حل کرده است، اشتباه خود را دریافت و در 1824 به هزینه ی خود در کریستیانیا (7)(اُسلوی امروزی) برهان خود از امتناع این موضوع را به چاپ رساند. نتیجه ی وی دو سال بعد، در نخستین مجلد مجله ی کرله (برلین) نیز چاپ شد و به این ترتیب شروع به کار یکی از نشریات ادواری ریاضی مهم جهان در سطحی عالی کمک رساند. کار آبل به نوبه ی خود محرک فرانسوی جوان، اواریست گالوا (1811-1832) شد که پیش از مرگ زودرسش در یک دوئل، نشان داد که به هر معادله می توان یک گروه مشخصه ها وابسته کرد و این که خواص این گروه را می توان برای تعیین این که آیا می توان معادله را به کمک رادیکال ها حل کرد یا خیر به کار برد.

پی نوشت ها :

1. Rodney Hood
2. Archytas
3. Antonio maria fior
4. Niccolo Tartaglia
5. Brescia
6. Modena
7. christiaia

منبع: باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست.