پیمانه و همنهشت

فرض کنید که m عدد مثبت ثابتی باشد. به ازای اعداد صحیح دلخواه x و y می نویسیم
(به پیمانه ی m ) x =y، بخوانید « x به پیمانه ی m با Y همنهشت است»، اگر عدد صحیح x -y بر عدد صحیح m تقسیم پذیر باشد. این مفهوم و نمادگذاری به وسیله ی کارل فریدریش گاوس در سال 1801، هنگامی که وی بیست و چهار سال داشت، مطرح شد. عدد صحیح m، پیمانه نامیده می شود.
خاصیت توصیف شده در بالا به این معنی است که عددی صحیح مانند q موجود است به طوری که x -y=qm، یا (معادل آن) x =y + qm به ازای عدد صحیح مثل x ، فرایند تقسیم طولانی، وجود اعداد صحیحی مانند q و r را تضمین می کند به طوری که x =qm+r، r<m .≤ . چون x به این ترتیب با r، به پیمانه ی m همنهشت است، نتیجه می شود که (به پیمانه ی m) هر عدد صحیح x با یکی و فقط یکی از اعداد 0،…. 1، m-1 همنهشت است. این عدد صحیح «کمترین مانده» ی x به پیمانه ی m نامیده می شود.
از تعریف می توانیم به آسانی ثابت کنیم که
1. اگر (به پیمانه ی m) x≡y (به پیمانه ی m)، y≡z، آن گاه (به پیمانه ی m) x≡z.
2. اگر( به پیمانه ی m) x≡y ، آن گاه (به پیمانه ی m) y≡x .
3. اگر (به پیمانه ی m) y x≡ ، (به x پیمانه ی m) a≡b، آن گاه
الف) (به پیمانه ی m) +a≡y+b x
ب) (به پیمانه ی m) x-a≡y-b.
ج) (به پیمانه ی m) xa≡yb
د) (به پیمانه ی k) (m عدد صحیح مثبت است)
ه) (به پیمانه یm k) kx≡ky ( عدد صحیح است).
نتیجه می شود که اگر
ه در آن x و همه ی ضرایب اعداد صحیحند، واگر x ≡y و به ازای هر ، به پیمانه ی m، آن گاه
گرچه همنهشتی ابزاری حیاتی در نظریه ی اعداد صحیح است، گاوس سودمندی آن را در نشان دادن این که برخی معادله های چند جمله ای هیچ ریشه ی گویا ندارند نیز نشان داد. معادله ی
را در نظر بگیرید که در آن همه ی ai ها اعداد صحیحند. می دانیم همه ی ریشه های گویای f(x) اعدادی صحیحند که جمله ی ثابت را عاد می کنند، مقسوم علیه های صحیح
را «ریشه های بالقوه» f(x)=0 بنامید.
اگر r واقعاً ریاگر r واقعاً ریشه ی صحیح f(x)=0 باشد، آن گاه f(r)=0 که در نتیجه به ازای هر انتخاب پیمانه ی m،(به پیمانه ی f(x)≡0 (m با در نظر گرفتن یک ریشه ی بالقوه مثل r، اگر به نحوی عددی صحیح مانند m پیدا کنیم به طوری که (به پیمانه ی m) f(r)≡0، آن گاه مطمئن می شویم که r ریشه ی f(x)=0 نیست. ارزش این روش برای حذف ریشه های بالقوه در این حقیقت نهفته است که محاسبه ی (f (rبرای تعیین این که آیا f(r)=0 اغلب به مراتب مشکل تر از «محاسبه یf(r) ، به پیمانه ی m» است. جمله ی اخیر به تعیین کمترین مانده ی f(r)به پیمانه ی m اشاره دارد، اگر این مانده صفر نباشد آن گاه
  f(r) ≠ 0 و f(r) ≢ 0        (به پیمانه m )  
مناسب است که از پیمانه ی یکسانی در امتحان کردن همه ی ریشه های بالقوه استفاده شود، اما این امر اساسی نیست. در انتخاب m، از m ای که عاملی از" src="/userfiles/Article/1392/05/04/003026310.jpg" /> a_0 یا r باشد هیچ اطلاعی به دست نمی آوریم، زیرا در این صورت همواره به دست می آوریم (به پیمانه ی f(r)≡0(m
مثالی در زیر نشمثالی در زیر نشان داده شده است:
ریشه های بالقوه عبارتند از ±2،±3و،±6 و ±1پیمانه ی m=5 را امتحان می کنیم زیرا این کوچک ترین عدد صحیح مثبتی است که 6 را عاد نمی کند. توجه کنید که در هر همنهشتی به پیمانه ی 5، به جایی جمله ی 6 می توان 1 را قرار داد. در نتیجه
 f(1)≡1+1-1+1+1≡3     (به پیملنه  5)
f(-1)≡1-1-1-1+1≡-1≡4    (به پیملنه  5)
  (به پیملنه  5)
چون > (به پیمانه ی 5)
نتیجه می شود که> (به پ(به پیمانه ی 5)
(به پیمانه ی 5) f(2)≡4+2≡1> (به پیمانه ی 5) f(-2)≡2^14-8-4-2+1
(به پیمانه ی 5)

(به پیمانه ی 5)
در این صورتنه ی 5)

(به پیمانه ی 5)
(به پیمانه ی 5) f(3)≡4+2≡1 نه ی 5)

(به پیمانه ی 5)
چون
(به پیمانه ی 5)

نتیجه می شود کهss="pic" src="/userfiles/Article/1392/05/04/003026320.jpg" /> (به پیمانه ی 5 (به پیمانه ی 5)
(به پیمانه ی 5) f(6)≡f(1)≡3نحو
(به پیمانه ی 5)

(به پیمانه ی 5) f(-6)≡f(-1)≡4
لت، کمترین مانده صفر نمی شود. بدین ترتیب هیچ کدام از ریشه های بالقوه، ریشه ی واقعی نیستند و در نتیجه، f(x)=0 هیچ ریشه ی گویا ندارد.

پی نوشت ها :

1. sam perlis

منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385.