بزرگ ترین فاجعه جبری

تاریخ ضرورت اختراع اعداد جدید در پیشرفت قاعده مند تمدن و تحول ریاضیات را نشان می دهد. قصه ی ، واحد موهومی و ، عدد مختلط، از تکوین منطقی نظریه ی جبری نشئت می گیرد.
از دیدگاه امروزی کاملاً مناسب تر است که از استفاده از کلمه ی «موهومی» اظهار تأسف شود و این امر «بزرگ ترین فاجعه جبری» نامیده شود؛ اما به قدری جا افتاده که ریاضیدانان از عهده ی الغای آن برنمی آیند. با این حال استفاده از این کلمه انعکاس دهنده ی ماهیت این مفهوم فریبنده برای ریاضیدانان برجسته ای است که قرن ها پیش می زیستند.
اندیشه ی جذر عددی منفی در اوایل با نفی مطلق روبه رو می شد. بدیهی به نظر می آمد که عددی منفی، مربع نیست و بنابراین نتیجه گرفته شد که چنان ریشه ی دومی بی معنی است. این نگرش برای مدت های طولانی حاکمیت داشت.
شاید قدیمی ترین رویارویی با ریشه دوم عدد منفی در عبارت است که در استرئومتریکا (2) ی هرون اسکندرانی (3)(ح 50 ق م) دیده می شود؛ رویارویی دیگری که از آن اطلاع داریم، در تلاش دیوفانتوس در حل معادله ی (به صورتی که امروزه می نویسیم) است، که در جواب آن کمیت (مجدداً با استفاده از نمادگذاری نوین) دیده می شود.
نخستین بیان آشکار از دشواری کار با ریشه ی دوم عددی منفی در هند به توسط مهاویره (4)(ح 850 م) داده شد که نوشت: «بنا به ذات اشیا، یک عدد منفی مربع نیست و جذر ندارد». نیکولاس شوکه (5)(1484) و لوکا پاچولی (1494) در اروپا در بین کسانی بود که به نفی موهومی ها ادامه دادند.
مقداری پیشرفت در معرفی اعداد مختلط به جیرولاموکاردانو (1545)، که به جرومه (6) کاردان نیز شهرت دارد در راه حل او برای معادلات درجه سوم نسبت داده می شود؛ هرچند که وی آن ها را «جعلی» تلقی می کرد. افتخار نخستین بار استفاده از ریشه ی دوم عددی منفی در حل مسئله ای که امروزه مشهور است نیز به او داده می شود. این مسئله عبارت است از این که «10 را به دو جزء به گونه ای قسمت کنید که حاصل ضرب ... 40 باشد»، که کاردانو ابتدا می گوید: «آشکارا غیرممکن است»؛ اما سپس، با روحیه ای کاملاً ماجراجویانه، ادامه می دهد که «با این حال» ما به عمل می پردازیم (این موضوع بدون شک نتیجه ی تربیت او به عنوان پزشک است!) به این ترتیب وی و را یافت و نشان داد که آن ها در واقع مجموع 10 و حاصل ضرب 40 را دارند.
کاردانو موضوع را با گفتن این که این کمیت ها «حقیقتاً پیچیده اند» و این که ادامه ی کار با آن ها «همان قدر ظریف است که بی فایده» خاتمه می دهد.
کاردانو از نماد استفاده نکرد. وی ؛ یعنی «ریشه ی منفی»(7) به معنی ریشه ی دوم عدد منفی، را برای آن در نظر گرفت. رافائل بوبملی (ح 1550 م) از«d.m» برای کنونی استفاده کرد. آلبر ژیرار (1629) نمادگذاری هایی از قبیل را در کار خود ملحوظ کرد. رنه دکارت (1637) اصطلاح های «حقیقی» و «موهومی» را وارد کرد. لئونارد اویلر (1748) از
برای استفاده کرد. کاسپار وسل (8) (1797) را به کار برد. کارل فریدریش گاوس (1832) اصطلاح «عدد مختلط» را معرفی کرد. ویلیام رووان همیلتن (1832) عدد مختلط را به شکل زوج اعداد بیان کرد.
بومبلی کار کاردانو را ادامه داد. از معادله ی از و بحث به میان آورد. حالت خاص این معادله، ، رهیافتی عالی برای
را به صورت زیر فراهم می کند:
اگر
، آن گاه و . حال اگر ، آن گاه ، وقتی i را به جای x قرار دهیم و . از این، به عنوان یک تمرین خوب نتیجه می شود که و به همین ترتیب الی آخر.
جان والیس در کتاب جبر (1673، با چاپ مجدد در 1693 در مجموعه ی آثار ریاضی) «1600- پرچ (9) مربع» را به یک زبان وابسته و سپس فرض کرد که این عدد به شکل مربعی است به ضلع [160 پرچ مربع=1 جریب انگلیسی]:
در مورد این ضلع چه می توانیم بگوییم؟ نه می توانیم بگوییم که 40 است، نه می توانیم بگوییم که 40- است (زیرا هر یک از آن ها وقتی در خود ضرب شوند، 1600 را به وجود می آورند و نه 1600- را). بلکه این ضلع است (ریشه ی فرضی مربعی منفی:) یا (چیزی که معادل آن است) ، ، یا والیس، وسل (1798)، ژان رابرت‌ارگان (1806)، گاوس(1813) و دیگران کمک عمده ای به درک اعداد مختلط از طریق نمایش های نموداری کردند و در 1831 گاوس اعداد مختلط را به عنوان جفت های مرتبی از اعداد حقیقی تعریف کرد که برای آن ها (a,b)(c,d)(a c-bd,ad+bc)= و نظایر آن. نمایش وسل به صورت زیر است:
فرض کنید که 1+ واحد مثبت مستقیم الخط و واحد معین دیگری عمود بر واحد مثبت را نشان دهد که مبدأ آن ها یکی است؛ در این صورت زاویه ی هادی 1+ برابر با 0 خواهد بود، از آن 1- برابر با ، از آنِ برابر با یا . بنابراین قاعده که زاویه ی هادی حاصل ضرب برابر با مجموع زاویه های عامل ها خواهد بود، داریم:1+=(1+)(1+)؛ =-1(1-)(1+) از این جا نتیجه می شود ک برابر است، و دیورژانس حاصل ضرب به گونه ای تعیین می شود که هیچ یک از قواعد عمل نقض نشوند.درباره ی نمایشی شبیه به آن، گفته شده است که
البته این ها چیزی را ثابت نمی کنند. چیزی برای اثبات نیست؛ ما به نمادها و عمل های جبر هر معنا را که اراده کنیم، می دهیم که منجر به سازگاری شود، گرچه چیزی از تعبیر ... ثابت نمی شود، شاید این موضوع از آن مستفاد شود که هیچ نیازی نیست که شخص خود را در وضعیت اسرارآمیزی بر سر هیچ درباره نامگذاری عمدتاً بی مسمای «موهومی ها» سردرگم کند.
تعبیری هندسی که مستقلاً به وسل و آرگان نسبت داده می شود، مبتنی بر این اصل هندسی است که ارتفاع وارد بر وتر مثلثی قائم الزاویه، واسطه ی هندسی بین دو قطعه ای است که به وسیله ی ارتفاع بر وتر ایجاد می شود. در شکل [11]-1،

مثلثی قائم الزاویه است وd OR= در این صورت برهان های هندسی جالبی از نمایش به صورت نقطه ای در صفحه با مختصات متعامد aو b حاصل می شوند. مثالی از آن، این برهان است که نقطه ی وسط وتر مثلثی قائم الزاویه، از سه رأس مثلت هم فاصله است. در شکل [11]-2، O رأس قائمه ی مثلث قائم الزاویه ی AOB، و c نقطه ی وسط وتر AB است. با استفاده از مختصات در شکل
و AB=بنابراین OC=سرانجام، دومین رابطه با ارزش تر درباره ی اعداد موهومی، آن است که توسط آبراهام دموآور (1730) مطرح شد:
مثالی از کاربرد رابطه دموآور در تکوین اتحادهای مثلثاتی، مورد زیر است:
اما بنابر قضیه ی دو جمله ای،
با برابر گذاشتن عضوهای سمت راست (1) و (2)
از برابر گذاشتن قسمت های حقیقی نتیجه می شود که
از برابر گذاشتن قسمت های موهومی نتیجه می شود،

پی نوشت ها :

1. Eugene w.Hellmich
2. stereometrica
3. Heron of Alexandria
4. Mahavira
5. Nicolas chuquet
6. Jerome
7. radix minus
8. caspar wessel
9. perch واحد اندازه گیری طول، برابربا پنج و نیم یارد.-م.

منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385