کواترنیون ها

نویسنده: سم پرلیس
مترجم: محمّد قاسم وحیدی اصل

بردارها اشیائی اند که می توان آن ها را از جمله جمع و تفریق، و ضرب کرد؛ آن ها را می توان در اعداد حقیقی هم ضرب نمود. در هر حالت، نتیجه یک بردار دیگر است.
برای ویلیام رووان همیلتن (که در 1805 در دوبلین به دنیا آمد و به استادی نجوم در کالج تری نیتی (1) دوبلین در 1827 منصوب شد) مایه ی آزار بود که بردارها فاقد خارج قسمت اند؛ به این معنی که برای هر دو بردار u و v با

، وی می خواست بردار یکتایی مانند q پیدا کند به طوری که بردار qv برابر u باشد. تحقیقات وی نشان داد که دستگاه بردارها برای این منظور بیش از حد کوچک است و این موضوع رهنمون او به دستگاه بزرگ تری شد که وی اعضای آن را «کواترنیون ها» نامید. کار او منازعه ی عمده ای را در سر تا سر دنیای غرب درباره ی این پرسش برانگیخت که آیا باید کواترنیون ها را به عنوان ابزاری روزمره در فیزیک و ریاضیات به جای بردارها گذاشت یا نه، و این موضوع سبب تشکیل انجمنی بین المللی برای مطالعه آن شد. به اختصار، به طریقه ای که همیلتن را به کواترنیون ها رهنمون شد نگاهی می اندازیم.
یک دستگاه مختصات متعامد را با محورهای y,x و z و بردارهای واحد j,iو k که به ترتیب روی این بردارها استخراج شده اند در نظر بگیرید. همه ی بردارهای به کار رفته از مبدأ خارج می شوند و بنابراین برداری که به نقطه ی (x,y,z) ختم می شود، بردار xi+yi+zi است. فرض کنید که u و v دو بردار باشند، u=ai+bj+ck و

فرایندی را برای تبدیل v به u در نظر می گیریم و ضمناً می شماریم که چند عدد حقیقی لازم است تا فرایند را به طور کامل در حالت کلی مشخص نماید.
ابتدا، بردارهای u و v صفحه ای مانند π را معین می کنند. بردار متحرکی مانند v را در نظر بگیرید که در آغاز بالای v واقع است. در صفحه ی برادر v را دوران می دهیم تا بر نیم خط شامل بردار u قرار گیرد، زاویه ی دوران با δ نشان داده می شود.
این عدد δ ، دوران ما را معین نمی کند؛ زیرا برای ما کافی نیست که v را از طریق هر زاویه ی برابر با δ بلکه تنها از طریق زاویه ای مانند δ که در صفحه ی مناسب قرار دارد دوران دهیم. بنابراین آن اعدادی را در نظر می گیریم که به مشخص کردن صفحه ی از مبدا به کار می آیند. اگر صفحه ی متحرک

در ابتدا منطبق بر صفحه xy تصور شود، می توانیم

را حول محور z ها دوران دهیم تا هنگامی که v را در بر گیرد؛ سپس

را حول v دوران می دهیم تا بردار u را شامل شود. در این وضعیت نهایی، صفحه ی

برصفحه ی π منطبق می شود؛ و اگر
γ و βدو زاویه ی بکار گرفته شده باشند، سه تایی(β, γ,δ) دوران مورد نظر را معین می کند که نیم خط بردار v را به نیم خط بردار u می برد.> طول v ممکن است کاملاً متفاوت از طول u باشد، بنابراین حالا طول اولی را در ثابتی مانند α ضرب می کنیم تا آن را به طول u تبدیل کنیم. جمعاً چهار ثابت αγو ,β , δ برای تبدیل v به u به کار می خورند. همیلتن برای بیان این «چهاری»، اصطلاح «کواترنیون ها» را برای هر آن شیء جبری که می توانست برای به سرانجام رساندن تبدیل مطلوب بیابد وضع کرد. نتیجه آن شد که هدف او به طور قابل تحسینی با نماد
1)

برآورده می شود که در آن

اعداد حقیقی دلخواه اند. این نمادها باید تحت جمع و تفریق با قوانین معمولی با هم ترکیب می شدند. به عنوان مثال، اگر w’ با>
2)

داد شود، آن گاه w+w' و w'+w هر دو برابرند با

.
حاصل ضرب ww' با استفاده از قوانین معمولی جبر همراه با قراردادهای زیر تعریف می شوند:
ij=k؛ ji=-k، jk=i؛ kj=-i؛ ki=j، ik=-j و

i^2=j^2=k^2=-1. مثلاً برای

به دست می آوریم

ممحاسبه ی مشابهی نشان می دهد که

چون در محاسبات بالا،

، قانون تعویض پذیری ضرب برای کواترنیون ها برقرار نیست. نمونه ی دیگری با معادله های ij=kو ji=-k داده می شود. با این حال برای جفت های خاص w و w'؛ حاصل ضرب ممکن است تعویض پذیر باشد. به عنوان مثال، اگر w دلخواه باشد و

و وضعیت از این نوع است؛

.
دستگاه کواترنیون ها که به این ترتیب ساخته شد، بردارهای معمولی ai+bj+ck را در برمی گیرد و وقتی قانون های جمع و ضرب کواترنیون ها در مورد این بردارها اعمال شوند، نتایج معمولی حاصل می شوند به جز این که حاصل ضرب ها حالا متشکل از یک ثابت حقیقی به علاوه ی حاصل ضرب معمولی برداری است. اما حال نشان می دهیم که یک ویژگی اضافی نیز در کار است: هر بردار ناصفر- نیز هر کواترنیون ناصفر- در دستگاه کواترنیون ها وارون دارد.ن w در (1) برابر 0 است اگر و تنها اگر همه ی ضرایب آن 0 باشند. فرض کنید

w≠0 . در این صورت عدد
4)

عدد حقیقی مثبتی است. اگر w را به صورت

بنویسیم، در این صورت v، «جزء برداری» w؛

«مزدوج»w نامیده می شود. توجه کنید که مزدوج

عبارت است از w. نُرم w برابر

̅ تعریف می شود. محاسبه ای کوتاه نشان می دهد که نُرم

w ̅ هر دو برابر p در (4) است:

. نتیجه می شود که

، که در نتیجه

وارون w است. برای کواترنیون w در (3)، وارون عبارت است از

به عنوان ابزاری استاندارد برای استفاده روزمره در فیزیک، کواترنیون ها به طور کامل کنار گذاشته شده اند. با این حال، آن ها با دلیل وجودی (2) متفاوتی کاملاً زنده اند. امروزه ریاضیدانان به مطالعه ی دستگاه های اعداد در کل، به آموختن خواص آن ها و آموختن این که چگونه دستگاه های جدیدی بسازند، علاقه مندند. یک نوع مشخص آن، جبر تقسیمی روی میدان نامیده می شود. می دانیم که تنها سه جبر روی میدان اعداد حقیقی موجود است: 1) دستگاه اعداد حقیقی، 2) دستگاه اعداد مختلط و 3) دستگاه کواترنیون ها. بنابراین دستگاه کواترنیون ها را می توان تنها جبر تقسیمی، شرکت پذیر و غیرتعویض پذیر میدان اعداد حقیقی شناخت.
غیرتعویض پذیر بودن ضرب کواترنیون به خاصیتی عجیب منجر می شود. معادله ای از درجه n را دیگر نمی توان گفت که حداکثر n ریشه ی متمایز دارد، حداقل نمی توان گفت چنین است هرگاه جواب های کواترنیون ها نیز پذیرفته شوند. به عنوان مثال، معادله ی درجه ی دومs="pic" src="/userfiles/Article/1392/05/04/003026531.jpg" /> سه جواب کواترنیونی بدیهی دارد: