استقرای ریاضی

از آزمایش ریاضی
و غیره
به فرمول

رهنمون می شویم و سپس این حدس به صورت استنتاجی با استفاده از اصل استقرای ریاضی ثابت می شود.
وان درواردن خاطرنشان می کند که «در اصل»، استقرای ریاضی بر فیثاغورسیان دانسته بوده اما فرانچسکو مورولیکو (1) نخستین کسی است که نسبتاً به صراحت (در کتاب حساب خود، 1575) از آن استفاده کرده است. باز پاسکال (ح 1635) نفر بعدی بود که از این ایده به کرّات در کار خود درباره ی به اصطلاح مثلث پاسکال، که او آن را «مثلث حسابی» نامید استفاده کرده است.
برهان های استقرایی مورولیکو به سبکی نسبتاً درهم و برهم ارائه شدند که به آسانی قابل فهم نیستند. سبک پاسکال بیشتر در راستای سبک امروزی است و ما ترجمه ای از برهان استقرایی او را با نمادهای امروزی برای اثبات تساوی زیر می دهیم:

که در آن
 
و «r» هر «خانه»ای از 0ام تا (n-1)ام در شکل 1 است./> شکل 1
پیامد XII: در هر مثلث حسابی، دو خانه مجاور در امتداد یک خط [این خاصیت را دارند که] نسبت خانه ی پایینی به بالایی مانند تعداد خانه ها در زیر (و شامل) خانه ی پایینی به تعداد خانه ها در بالا (و شامل) خانه ی بالایی است.
فرض فرض کنید که E و C هر دو خانه ی مجاور در امتداد یک خط باشند، می گویم که

گرچه این حکم، بی نهایت حالت دارد، من دلیل کوتاهی بر مبنای دو لم زیر می دهم:
نخستینِ آن که آشکار است، این که این تناسب در سطر دوم ‍[مثلث] درست است، زیرا به آسانی دیده می شود که نسبت ɸ به σ مانند 1 به 1 است [فرض کنید/> n=1؛ در این صورت
دومی این که اگر این حکم در هر سطر درست باشد، لزوماً در سطر بعدی نیز درست خواهد بود. ‍[فرض کنید n=k. در این صورت /> مستلزم آن است که

و بنابراین قضیه برای ‌n=k+1 درست است هرگاه برای n=k درست باشد.] که از آن آشکار است که حکم لزوماً در همه ی سطرها درست است: زیرا در سطر دوم بنابر لم نخست درست است؛ بنابراین بنابر [لم] دوم در سطر سوم درست است، بنابراین در سطر چهارم، و الی آخر.
در نتیجه تنها لازم است که لم دوم را به این طریق ثابت کنیم:/> اگر تناسب در هر سطر درست باشد، آن گونه که در سطر چهارم Dλ؛ مثلاً اگر نسبت D به B مانند 1 به 3، و نسبت β به θ مانند 2 به 2، و نسبت θبه λ مانند 3 به 1 باشد و به همین قیاس، می گویم که همین تناسب در سطرHµ بعدی درست خواهد بود و این که، مثلاً نسبت E به C مانند 2 به 3 است.
برای این که نسبت D به B بنابر فرض مانند 1 به 3 است.
بنابراین نسبت D+B به B مانند نسبت 1+3 به 3 است.
E به B مانند نسبت 4 به 3 است.
به همین ترتیب نسبت B به θ بنابرفرض مانند 2 به 2 است.
بنابراین نسبت B+θ به B مانند نسبت 2+2 به 2 است.
C به B مانند نسبت 4 به 2 است.
اما نسبت E به B مانند 4 به 3 [و نسبت B و c مانند به 2 به 4است] (به طوری که دیده ایم). در این صورت [با ضرب کردن این دو تناسب آخری] نسبت E به c مانند 2 به 3 است. این همان است که باید نشان می دادیم.
می توان همین را برای همه خانه ها [ی سطرها] نشان داد، زیرا این برهان تنها مبتنی بر تناسب به دست آمده برای [سطر] قبل است و [این خاصیت] که هر خانه برابر با خانه ی قبل[خانه ی سمت چپ] به علاوه ی خانه ی بالای آن است، که همه جا ‍[در مثلث] درست است.
«خاصیت» مورد اشاره عبارت است از، مثلاً یا به طور کلی که قاعده ی پاسکال برای تشکیل (تعریف) مثلث حسابی است.

پی نوشت ها :

1. Francesco Maurolico

منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385