قضیه اصلی جبر

کارل فریدریش گاوس، در بیست سالگی (1797)، نخستین برهان قابل قبول از قضیه ای را ارائه کرد که آن را اصلی نامید و موضوع رساله ی دکترایش در دانشگاه هملشْتات (1) بود؛ عنوان رساله ی او چنین بود: برهانی جدید که هر تابع صحیح گویا (2) از یک متغیر را می توان به عامل هایی حقیقی از درجه ی یک یا دو تجزیه کرد. (بیان های معادل عبارتند از «هر معادله ی جبری از درجه ی n دارای n ریشه است»، و «هر معادله ی جبری درجه ی n دارای ریشه ای به شکل a+bi است که در آن a و b حقیقی اند»). در واقع گاوس چهار برهان برای قضیه ارائه داد، که آخرین آن مربوط به زمانی بود که هفتاد سال داشت؛ در سه برهان نخستین، وی فرض می کند که ضرایب معادله ی چند جمله ای حقیقی اند، اما در چهارمی ضرایب اعداد مختلط دلخواه اند.
عبارت «برهان جدید» در عنوان رساله ی گاوس نشان می دهد که ایده های مطرح شده در بیان قضیه را قبلاً ریاضیدانان دیگر مورد بررسی قرار داده بودند. هندیان (حداکثر 1100 سال پیش) تشخیص دادند که معادله های درجه دوم (با ریشه های حقیقی) دو ریشه دارند. جیرولامو کاردانو در 1545، گرچه به طرزی تا حدی مبهم زیرا اعداد منفی و موهومی در این زمان به روشنی تعریف نشده بودند، تشخیص داد که معادله های درجه سوم باید سه ریشه داشته باشد، و سه ریشه برای برخی معادله های درجه سوم را پیدا کرد. جیرولامو کاردانو و دیگر جبردانان ایتالیایی این دوره، ایده های مشابهی نسبت به معادله های درجه چهارم در سر می پروراندند.
فرانسوا ویت (ح 1600) امکان تجزیه به عامل های عضو سمت چپ معادله ی چند جمله ای f(x)=0 (با ضرایب حقیقی) را به معادله های خطی در نظر گرفت، اما سرنوشت او به دلیل اجتناب آشکار او از اعداد منفی و موهومی، موفقیتی جزئی بود.
به نظر می رسد که پیتر راث (3) نخستین نویسنده ای است که قاطعانه گفته است که معادله ی چند جمله ای از درجه ی n دارای n ریشه است. این امر مربوط به سال 1808 است. آلبر ژیرار در 1629 بیان کرد که هر معادله ی جبری به اندازه ی درجه ی بالاترین توانش ریشه دارد.
ملاحظات رنه دکارت درباره ی این مطلب اهمیتی خاص دارند، به این دلیل که به «قاعده ی علامت ها»ی مشهور او مرتبطند. از هندسه ی او (1637) نقل می کنیم:
هر معادله می تواند به تعداد بعدهای [یعنی، درجه ی] کمیت مجهول در معادله، ریشه ی متمایز (مقادیر کمیت نامعلوم) داشته باشند....
با این حال، اغلب اتفاق می افتد که برخی از ریشه ها نادرست یا کمتر از هیچند....
همچنین می توانیم تعداد ریشه های درست [=مثبت]و نادرست [=منفی] را که هر معادله می تواند دارا باشد، به صورت زیر تعیین کنیم: یک معادله می تواند به تعداد تغییر علامت هایی که دارد، ریشه ی درست داشته باشد... و به تعداد دفعاتی که دو علامت + یا دو منفی پشت سر هم دیده می شوند، ریشه ی نادرست داشته باشد.
نخستین تلاش برای ارائه ی برهان، ظاهراً از طرف ژان لورون دالامبر (4) در 1746 به عمل آمده است و به این دلیل قضیه ی مزبور، مخصوصاً در فرانسه، گاهی قضیه ی دالامبر نامیده می شود. لئونهارت اویلر (1749) و ژوزف لوئی لاگرانژ نیز سعی کرده اند قضیه را ثابت کنند.
تا زمان نوشته شدن رساله ی دکترای گاوس، که در سال 1799 منتشر شد، برهانی صحیح ارائه نشد. این رساله فرض هایی «از لحاظ هندسی بدیهی» را در برداشت که با استانداردهای دقت دوره های بعد، مستلزم برهان بودند و اوستروسکی (5) در 1920 این برهان را ارائه داد.

پی نوشت ها :

1. Helmstadt
2. منظور از تابع صحیح گویا، تابعی است که تنها شامل جملات گویا و صحیح بر حسب یک (یاچند) متغیر است-م.
3. peter Roth
4. Jean Le Rond d'Alembert
5. A.Ostrowski

منبع مقاله :
باومگارت، جان[و دیگران]؛ (1385)، تاریخ جبر، محمد قاسم وحیدی اصل، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ نخست: بهار 1385