نویسنده: موریس کلاین
مترجم: محمد دانش
مترجم: محمد دانش
قدرت محرک ابتکار ریاضی نه نیروی استدلال، که نیروی تخیل است.
ا. د. مورگان
بزرگ ترین آفرینش ریاضی قرن هفدهم، قرنی که در آن علم انگیزه ای قوی برای خلاقیت ریاضی را ایجاد کرده بود، از نقاشی الهام گرفت. نقاشان در روند اشاعه سیستم پرسپکتیو متمرکز، ایده های هندسی جدیدی را مطرح کردند و مسائلی پیش کشیدند که مسیر تحقیقات را کاملاً عوض می کرد. بدین سان، هنرمندان دِین خود را به ریاضیات ادا کردند.
نخستین ایده ای که از دل تحقیقات در زمینه پرسپکتیو بیرون آمد، این بود که بین دنیایی که انسان لمس می کند و دنیایی که می بیند تمایزی وجود دارد. به همین ترتیب، دو گونه هندسه می تواند وجود داشته باشد: هندسه لامسه و هندسه باصره. هندسه اقلیدسی هندسه ای لامسه ای است؛ به این معنا که احکام آن با حس لامسه توافق دارد، اما همیشه چنین تطبیقی بین این احکام و حس بینایی وجود ندارد. مثلاً خطوطی که اقلیدس از آن ها بحث می کند هرگز به چشم نمی رسند. گواه چنین خط هایی را می توان با دست، و نه با چشم، ارائه کرد. ما هرگز خط های موازی را نمی بینیم. با دیدنِ خطوط راه آهن این حس به ما القا می شود که گویی در دوردست به هم می رسند.
دلایل بسیار دیگری وجود دارد که سرشت هندسه اقلیدسی را هندسه ای لامسه ای می نمایاند. مثلاً این هندسه از شکل های هم نشست (متساوی)، یعنی شکل هایی که می توان آن ها را روی هم قرار داد، بحث می کند. روی هم قرار دادن عملی است که دست انجام می دهد. همچنین قضیه های هندسه اقلیدسی غالباً با اندازه گیری سروکار دارند و اندازه گیری هم از جمله کارهایی است که با دست انجام می شود. سرانجام این که دنیای اقلیدس دنیای محدودی است؛ دنیایی که به راستی در «دست» رس واقع شده است. از همین روست که این هندسه خط راست را به معنای نامحدود آن در نظر نمی گیرد، بلکه از نظر وی خط راست پاره خطی است که می توان آن را به اندازه لازم از هر طرف امتداد داد. هندسه اقلیدسی هیچ کوششی به خرج نداده تا بفهمد که در فاصله ای دور از یک شکل هندسی چه اتفاقاتی رخ می دهد.
از آن جا که هندسه اقلیدسی را به ظن قوی می‌توان توصیف کننده مسائلی در نظر گرفت که از دل حس لامسه بیرون می‌آید، تحقیق در هندسه ای که مربوط به حس بینایی است مقوله ای جداگانه می‌شود. کار در زمینه پرسپکتیو، دومین رهنمود مهم در راستای این هدف را به دست داد. ایده بنیادی در سیستم پرسپکتیو متمرکز «تصویر» و «برش» است. تصویر مجموعه ای است از خطوط نور از چشم به نقاط یک جسم یا صحنه، و برش الگویی است که از تقاطع این خطوط با ورقه شیشه ای مستقر بین چشم و جسم مورد مشاهده ایجاد می‌شود. از آن جا که برش حاصل بر ورقه ی شیشه ای، بر حسب جایگاه و زاویه ای که این ورقه دارد، از لحاظ شکل و اندازه فرق خواهد کرد، هر یک از این برش‌ها (شکل 1) همان تأثیری را بر چشم خواهد گذاشت که خود جسم می‌گذارد.
این نکته از چند مسئله ریاضی مهم حکایت می‌کند. فرض کنید دو برش متفاوت از یک تصویر را در نظر بگیریم. از آن جا که این دو تأثیر مشابهی بر چشم دارند، باید ویژگی های هندسی مشترک بسیاری داشته باشند. حال، ویژگی های مشترک این برش‌ها دقیقاً چیست؟ از این گذشته، ویژگی های مشترک جسم و برش حاصل از آن چیست؟ و سرانجام، این نکته را نیز باید در نظر داشت که اگر دو ناظر مختلف به یک صحنه نگاه کنند، دو تصویر متفاوت خواهند دید (شکل 2). اگر از هر یک از این تصویرها یک برش ایجاد شود، دو برش حاصل، با توجه به این واقعیت که حاصل از یک صحنه هستند، ویژگی‌های هندسی مشترکی دارند. این ویژگی‌ها چه هستند؟
کار در زمینه پرسپکتیو ریاضی دانان را به تحقیق در مسیر دیگری نیز رهنمون کرد. دیدیم که هنرمند می تواند اجسام را آن گونه که هستند نقاشی کند، چون باید خطوط موازی را به گونه ای بر بوم ترسیم کند که گویی هم گرا هستند. او همچنین برای آن که در چشم خیالی از واقعیت ایجاد نماید، باید از کوچک شدگی و تمهیدات دیگری از این جنس استفاده کند. برای دستیابی به این مقصود، هنرمند به قضایایی نیاز دارد که مکان واقعی خطوط را به او بنمایاند و نیز به او بگوید که هر خط مفروض چه خطوط دیگری را باید قطع کند.
نخستین ریاضی دان بزرگی که به کاوش در امکانات ناشی از کارهایی پرداخت که در زمینه ی پرسپکتیو شده بود، ژرار دزارگ (1)، معمار و مهندس خودآموخته، بود. انگیزه او در این مطالعات کمک به همکارانش در مهندسی، نقاشی و معماری بود. به گفته خود او: «صادقانه اعتراف می کنم که هرگز میل به مطالعه یا تحقیق در فیزیک یا هندسه نداشته ام، مگر آن که این پژوهش ها ابزاری باشند برای رسیدن به قسمی معرفت از علل بی واسطه و عملی ... زندگی خوب و راحت، همراه با سلامت، و اندکی هنرپردازی ... مشاهده می شود که بخش عمده ای از هنرها بر اساس هندسه است، از جمله سنگ بری در معماری، استفاده از ساعت آفتابی و به ویژه پرسپکتیو.» دزارگ قضیه های مفید بسیاری را منظم و مرتب و یافته های خود را از طریق سخنرانی ها و اعلامیه ها منتشر کرد. بعدها رساله ای در زمینه پرسپکتیو نوشت که توجه چندانی برنینگیخت.
دزارگ از این کارهای مقدماتی به آفرینش بکر و والایی در ریاضی رسید. اثر اصلی و عمده وی، که شالوده هندسه تصویری را بنا گذاشت، در 1639 منتشر شد، اما نظیر خدماتی که به هنرمندان کرد، آن قدرها مورد توجه قرار نگرفت. تمام نسخه های چاپ شده این کتاب گم شد. هرچند معدودی از معاصرانش از کار وی قدردانی کردند، بیشتر آن ها به کار او توجهی نکردند و حتی آن را به تمسخر گرفتند. دزارگ پس از آن که چند سال دیگر از عمرش را صرف مسائل معماری و مهندسی کرد، به ملکی که داشت رفت و در آن جا خود را بازنشسته کرد. فیلیپ دو لا ایر (2) و بلز پاسکال (3)، دو تن از معاصران دزارگ، به بررسی و تعمیم ایده های مبتکرانه او، پیش از آن که برای زمانی طولانی به فراموشی سپرده شود، پرداختند. خوشبختانه لا ایر نسخه ای به دست خط خود از کتاب دزارگ تهیه کرد و این دست نوشته که دو قرن بعد تصادفاً کشف شد، دستاوردهای دزارگ را نشان می دهد.
تکان دهنده ترین، ولی نه مهم ترین نکته، در هندسه ای که دزارگ آفریده بود، نبودِ خطوط موازی در آن بود. درست همان طور که برای نمایش خطوط موازی بر بوم نقاشی لازم است که این خطوط در یک نقطه تلاقی کنند، خطوط موازی در فضا (به مفهوم اقلیدسی آن) نیز به تعبیر دزارگ لازم است در نقطه ای تلاقی کنند که اگر چه این نقطه می تواند در دوردستی نامحدود واقع شده باشد، به هر حال فرض می شود که وجود دارد. در فضای واقعی، این نقطه همتای نقطه ای است که اگر خطوط موازی بر بومی تصویر شوند، در آن نقطه یکدیگر را قطع می کنند. معرفی این «نقطه واقعی در بی نهایت» هیچ تناقضی با هندسه اقلیدسی ندارد، بلکه اصولاً تعمیم آن است؛ تعمیمی که با آنچه چشم می بیند توافق دارد.
قضیه بنیادی هندسه تصویری، که امروزه در تمامی حوزه های ریاضیات از قضایای بنیادی به شمار می آید، محصول کارهای دزارگ است و به نام او هم ثبت شده است. این قضیه چگونگی واکنش ریاضی دانان را به مسائلی که پرسپکتیو ایجاد کرده بود، نشان می دهد.
فرض کنیم که چشم از نقطه O به مثلث ABC می نگرد (شکل 3). می دانیم نقاطی که ازO به نقاط مختلف اضلاع مثلث می روند یک تصویر را تشکیل می دهند. برشی از این تصویر مثلث
را می سازد که در آن متناظر با
می گویند دو مثلث
نسبت به نقطه O پرسپکتیو هستند. دزارگ قضیه خود را چنین بیان می کند:زوج ضلع های متناظر، یعنی
از دو مثلث که نسبت به یک نقطه پرسپکتیوند، به ترتیب در سه نقطه که روی یک خط راست واقع شده اند تلاقی می کنند.این قضیه در ارتباط با شکلی که در اختیار داریم، می گوید که اگر ما اضلاع AC و را امتداد بدهیم، آن ها در نقطه P با هم تلاقی خواهند کرد؛ همان طور که امتداد اضلاع
در نقطه Q، امتداد اضلاع
روی یک خط راست واقع می شوند. این قضیه، چه مثلث ها در یک صفحه باشند چه در صفحه های متفاوتی، صحت دارد.ویژگی نوعی دیگر قضایای هندسه تصویری ویژگی ای است که متفکر نابغه فرانسوی، پاسکال، که بعداً بیشتر در مورد او صحبت خواهیم کرد، در سن شانزده سالگی اثبات کرد. پاسکال این قضیه را ضمن مقاله ای در باب مخروطات مطرح کرد. مقاله آن چنان درخشان بود که دکارت باور نمی کرد نوجوانی به این سن و سال آن را نوشته باشد. قضیه پاسکال، همچون قضیه دزارگ، از یک ویژگی در شکلی هندسی سخن می گوید که در مورد تمام برش های هر تصویری از آن شکل مشترک است. به زبانی ریاضی تر، این قضیه از ویژگی ای سخن می گوید که تحت هر تصویر و بُرشی همواره برقرار و ثابت است.
پاسکال می گوید: شش ضلعی ای رسم کنید که رأس های آن روی پیرامون یک دایره باشد و این رأس ها را با حروف E,D,C,B,A و F مشخص کنید (شکل 4). حال یک زوج از اضلاع متقابل (4)، مثلاً AB و DE، را امتداد دهید تا در نقطه ای مانند P با یکدیگر تلاقی کنند. زوج ضلع متقابل دیگری را هم ادامه دهید تا آن جا که در نقطه Q با هم تلاقی کنند. سرانجام زوج سوم را تا آن که در نقطه R تلاقی کنند. آن گاه، بنا به حکم پاسکال، P و Q و R همواره بر یک خط مستقیم واقع می شوند. به عبارت دیگر:
اگر شش ضلعی ای در یک دایره محاط شود، زوج ضلع روبه روی هم در آن شش ضلعی، به ترتیب، در سه نقطه با یکدیگر تلاقی می کنند که آن سه نقطه روی یک خط راست قرار گرفته اند.
مفاهیم هندسه تصویری حتی مفاهیم ریاضیات معمول را هم روشن می کند. یونانیان می دانستند که دایره و بیضی سهمی و هذلولی متقاطع یک مخروط هستند. اگر فرض کنیم چشم ما در نقطه O، رأس مخروط، مستقر باشد و اگر فرض کنیم خطوطی همچون OA، واقع بر سطح مخروط، خطوطی اند از [ O یعنی چشم] به نقاط روی دایره ABC، آن گاه این خط ها تصویری می سازند و دایره، بیضی، سهمی و هذلولی به صورت برش هایی ظاهر می شوند که از صفحه های گوناگونی که این تصویر را قطع کرده اند ایجاد شده اند. خواننده می تواند این مطلب را با توجه به تغییرات سایه حلقه ای سیمی بر صفحه کاغذ مورد تحقیق قرار دهد. ضمن چرخش صفحه، شکل مقطع [سایه] تغییر و مقاطع مخروطی مختلفی ایجاد می کند. از آن جا که هر چهار منحنی را می توان مقاطع مختلف یک مخروط در نظر گرفت و از آن جا که قضیه پاسکال از واقعیتی در مورد دایره سخن می گوید که درستی آن در ارتباط با تصویر و مقطع همیشه برقرار است، نتیجه می شود که قضیه پاسکال در مورد تمام مقاطع مخروطی صحت دارد.
تنها یک قضیه دیگر از تصویر هندسه تصویری را مورد توجه قرار می دهیم، قضیه پاسکال نکته ای راجع به شش ضلعیِ محاط در دایره به ما می گوید. بریانشو (5)، در اوایل قرن نوزدهم، قضیه مشهوری را در هندسه تصویری اثبات کرد که ویژگی ای از شش ضلعی محیط بر دایره را نشان می دهد. بنابر قضیه بریانشو (شکل 5):
اگر شش ضلعی محیط بر یک دایره باشد، خطوط متصل کننده رئوس متقابل آن در یک نقطه با هم تلاقی می کنند.
همان گونه که احتمالاً می شود پیش بینی کرد، قضیه بریانشو نه تنها در مورد دایره بلکه در مورد هر مقطع مخروطی کاربرد دارد.
قضایای دزارگ، پاسکال و بریانشو از آن دست قضایایی هستند که در هندسه تصویری ثابت می شوند. می توانیم این سرشت عمومی را در مورد تمامی قضایای هندسه تصویری ابراز کنیم که اساس تمامی این قضایا مفاهیم تصویر و برش است و از ویژگی هایی از شکل های هندسی سخن می گوید که یا در مقاطع یک تصویر مشترک است یا در تصویرهای متفاوت یک شیء.
هرچند حمایت شهریاران، ثروتمندان و روحانیون از هنرمندان فعالیت های فوق العاده ای را در نقاشی برانگیخت و، بنابراین، به شکل گیری هندسه تصویری منجر شد، لوازم پیشرفت در نقشه کشی را نیازهای روزافزون طبقه متوسط آن زمان فراهم آورد. جست و جوی راه های بازرگانی در قرن شانزدهم نیازمند کاوش های جغرافیایی گسترده و تهیه نقشه برای این کاوش ها و نیز حفظ منابع کاری واجب و حیاتی بود.
از آنچه گفتیم نباید چنین استنباط شود که تمدن های پیشین نقشه نداشتند. درواقع، یونانیان، رومیان و عرب ها نقشه هایی ترسیم کردند که قرن ها مورد قبول بود. اما اکتشافات جغرافیایی در قرن های پانزدهم و شانزدهم، بی دقتی ها و نارسی ها در نقشه های موجود آن زمان را آشکار کرد و لزوم تهیه نقشه هایی بهتر و دقیق تر را پدید آورد که مطابق با آخرین دانسته ها باشد.
از این ها مهم تر، با تجدید حیات این ایده که زمین کروی است، نقشه هایی لازم بود که بر این اساس تهیه شده باشند. این نکته مسائل خاص خود را ایجاد کرد؛ از این قبیل که چگونه بر صفحه دو بعدی مسیر ترسیم شود که معادل با کوتاه ترین فاصله بر کره باشد. چاپ نقشه در نیمه دوم قرن پانزدهم آغاز شد و به زودی مراکز بزرگ تجاری آن زمان، آنتورپ و آمتسردام، مراکز هنر ترسیم نقشه شدند.
هر چند منافع عملی نقشه برداران بسیار از منافع زیباشناختی نقاشان فاصله دارد، فعالیت این هر دو گروه از لحاظ ریاضی رابطه ای بسیار اندک با یکدیگر دارد. از لحاظ ریاضی، مشکل ترسیم نقشه این است که شکل ها به نحوی از یک کره بر ورقه ای دو بعدی تصویر شوند، که این ورقه دو بعدی برش آن تصویر است. اصولی که در این جا به کار می آید همان اصول پرسپکتیو و هندسه تصویری است. ترسیم کنندگان نقشه در قرن شانزدهم این ایده ها و ایده های وابسته به آن ها را برای ایجاد روش های جدید به کار گرفتند و مشهورترین روشی که پیشنهاد شد و مقبول افتاد، از آن نقشه بردار معروف، گراردوس مرکاتور (6)، است که هنوز هم به نام او نقشه مرکاتور نامیده می شود. در قرن هفدهم خیلی ها، از جمله لا ایر، برخی از ایده های دزارگ را در مسائل مربوط به نقشه کشی به کار بردند.
مشکل عمده ترسیم نقشه از این واقعیت ناشی می شود که نمی توان یک کره را، بدون تحریف شدید در شکل آن، بازگشود. خواننده اگر بکوشد پوست پرتقالی را که گرد و کامل درآورده شده است بدون کشیدگی تا ترک برداری آن پهن کند، این مشکل را تأیید خواهد کرد. هر فاصله یا جهت یا مساحت برای ایجاد یک نقشه دو بعدی باید تحریف شود و هیچ کدام از آن ها بازنمای کامل روابطی نیست که بر روی کره دارد. وقتی از نقشه استفاده می کنیم تا اطلاعاتی، مثلاً اطلاعاتی در مورد مسافت ها، به دست آوریم، هم باید رابطه بین فاصله اندازه گیری شده بر نقشه را بدانیم و هم فاصله معادل با آن را بر روی کره. از این رو، در تهیه نقشه باید از روش هایی استفاده شود که سطحی کروی و سطحی مستوی را به صورتی سیستماتیک با یکدیگر پیوند دهد؛ به نحوی که شناخت مربوط به کره را بتوان از طریق مشاهداتی که از سطح نقشه می شود استنتاج کرد.
ما از پاره ای روش های ساده تر تهیه نقشه یاد خواهیم کرد. باید بفهمیم که تبیین هایی که در این خصوص می کنیم، تنها اصول هندسی مربوط به این روش ها را در برمی گیرد. نشان دادن این که چگونه اندازه گیری هایی که روی یک نقشه به خصوص انجام شده می تواند به اطلاعات معادل با آن بر کره تبدیل شود، نیازمند مفاهیم ریاضی سطح بالایی است.
یک روش ساده تهیه نقشه، نقشه نومیک (7) است. فرض کنید چشمی در مرکز زمین قرار دارد و به نیمکره غربی می نگرد. به این ترتیب، مسیر هر خطی که از چشم صادر می شود از مرکز زمین است تا نقطه ای که در محلی در نیمکره جنوبی به یک صفحه مماس بر سطح زمین می رسد (شکل 6). اگر این نقشه در استوا باشد، نقشه ای که به دست می آید شبیه نقشه ای می شود که در شکل 7 نشان داده شده است.
باید توجه داشت که در این جاست که نصف النهارهای طول جغرافیایی به صورت خط مستقیم به نظر می رسند. در واقع، به این ترتیب هر دایره عظیمه زمین، یعنی هر دایره ای که مرکز آن مرکز زمین است، نظیر استوا یا دایره های نصف النهار، به صورت یک خط راست تصویر می شوند. این ویژگی اهمیت بسیاری دارد. کوتاه ترین فاصله در امتداد سطح زمین، که فاصله بین دو نقطه روی این سطح باشد، برابر با اندازه کمان دایره عظیمه ای است که این دو نقطه را به هم متصل می کند. این کمان می تواند به صورت قطعه خط مستقیمی که از اتصال تصویر دو نقطه حاصل می شود، تصویر شود و، از آن جا که کشتی ها و هواپیماها مسیرهای دایره عظیمه را طی می کنند، این مسیرها به راحتی به صورت جاده هایی مستقیم در نقشه ترسیم می شوند. علاوه بر این، تمام نقاط روی نقشه نسبت به مرکز و نسبت به یکدیگر جهت های صحیح دارند. جنبه بد این روش برای ترسیم نقشه آن است که مناطقی که در طول حاشیه های نیمکره مورد نظر قرار دارند، فاصله، زاویه و مساحتشان با تحریف های زیادی ترسیم می شوند. به این دلایل است که نقشه 7 نمی تواند تمام نیمکره را نشان بدهد.
در روش نقشه برداری دیگری که به تصویر برداری استرئوگرافیک قطبی (8) مشهور است، تصویر و مقطع به روش متفاوتی مورد استفاده قرار می گیرند. فرض کنید چشمی در محل استوا، در میانه نیمکره شرقی، قرار گرفته و به نقاط نیمکره غربی می نگرد (شکل 8). حال، صفحه ای را در نظر بگیرید که از میان زمین، از بین دو نیمکره می گذرد. مقطعی از مسیرهای دید که از چنین صفحه ای حاصل شود، تصویری استرئوگرافیک در نیمکره غربی خواهد بود (شکل 9).
فایده روش تهیه تصویر استئرگرافیک در آن است که زاویه ها تغییر نمی کنند؛ یعنی اگر دو منحنی بر روی کره با زاویه C درجه با هم تلاقی کنند، تصویر این دو منحنی بر نقشه با زاویه با هم تلاقی خواهند کرد که معادل با زاویه C است. مثلاً دایره های معرف عرض جغرافیایی (مدارها) نصف النهارها را بر روی کره با زاویه هایی قائم قطع می کند. تصویرهای این منحنی ها بر نقشه همدیگر را با زاویه های قائم قطع می کند. متأسفانه، تصویر استرئوگرافیک مساحت را حفظ نمی کند. از مساحت منطقه ای که نزدیک مرکز نقشه واقع است تا حدود یک چهارم مساحت واقعی که بر کره دارد، کاسته می شود. اما در نزدیک حاشیه صفحه مساحت مناطق کمابیش درست است.
مشهورترین روش نقشه کشی، تصویربرداری مرکارتور است. اصلی را که در این روش به کار می رود، نمی توان بر حسب اصل تصویر و مقطع شرح داد؛ اما به وسیله تصویری مربوط به آن- آن هم به ترتیب- می توان این کار را انجام داد. این اصل دوم را تصویر پرسپکتیو استوانه ای (9) می نامند. در این روش، استوانه ای را در نظر می گیرند که زمین را احاطه کرده است و در دایره ای عظیمه مماس بر آن است. در شکل 10 این دایره عظیمه همان استوای زمین است. خطوطی که تصویر را تشکیل می دهند از مرکز زمین، یعنی نقطه O در شکل 10، صادر می شوند و تا استوانه ادامه پیدا می کنند. به این ترتیب، نقطه ای همچون P بر روی زمین بر نقطه ای چون بر روی استوانه تصویر می شود. پس از این، استوانه را در طول خطی قائم می گشایند و آن را مسطح در نظر می گیرند. بر این نقشه دو بعدی، مدارها چون خطوط افقی و نصف النهارها چون خطوطی قائم به نظر می آیند و هیچ نقطه ای بر آن نماینده قطب شمال و جنوب نیست.
تفاوت اساسی بین تصویر کردن پرسپکتیو استوانه ای و تصویربرداری مرکاتور در فاصله فضایی خطوط عرض جغرافیایی، خاصه در نهایت های شمالی و جنوبی کره زمین، است. شکل 11 یک نقشه مرکاتوری را نشان می دهد. اهمیت روش تهیه نقشه مرکاتور در دو چیز است؛ نخست آن که در تصویر (نقشه) مرکاتور همچنون تصویر استرئوگرافیک زاویه ها همان که هستند حفظ می شوند.
دوم از لحاظ کشتی رانی است چرا که کشتی رانی بر مسیری که جهت نمایی قطب نمایی آن ثابت است، سهل تر است؛ و این به معنی مسیری است که نصف النهارهای پی در پی بر یک کره را با زاویه ای به یک اندازه قطع می کند. چنین مسیری را خط لوزوی یا انحنای اریب می نامند. این مسیر بر نقشه ای که بر اساس ترسیم مرکاتوری تهیه شده باشد، خط مستقیم به نظر می آید. به همین دلیل پی گیری مسیر کشتی و ادامه آن بر چنین نقشه ای آسان است.
باید توجه داشت که مسیر یک دایره عظیمه، جز وقتی که آن دایره عظیمه استوا یا یک نصف النهار طول جغرافیایی است، نشان دهنده قطب نمایی ثابت نیست. از این رو، مسیر دایره عظیمه بر نقشه مرکاتور منحنی است. در دریانوردی، برای آن که به این منحنی تقریب کنند، از خطوطی لوزوی استفاده می کنند و، به این ترتیب، این امکان را می یابند که کشتی، در طول هر لوزی، بر مسیر قطب نمایی ثابت حرکت کند و، در عین حال، از مزیت کوتاه ترین فاصله که مسیر دایره عظیمه آن را می نمایاند، سود برند.
روش مرکاتور در تصویر کردن نقشه آن چنان رایج است که بیشتر مردم تحریفی را که در دل این روش نهفته است از یاد می برند یا اصلاً متوجه نمی شوند. در هر نقشه مرکاتور، گرینلند تقریباً به بزرگی آمریکای جنوبی به نظر می رسد؛ حال آن که درواقع یک نهم آن وسعت دارد. کانادا دو برابر ایالات متحده می نماید؛ حال آن که برابر بزرگ تر است. با وجود چنین تحریف هایی، این نقشه، به دلایلی که گفتیم، چنان در دریانوردی مفید است که بیش از هر گونه نقشه دیگری رواج دارد.
این شرح مختصر از اصول هندسی ای که زیر بنای چندین روش برای تهیه نقشه است، نه تمامی انواع روش های موجود را در بر می گیرد و نه اشاره ای دارد به ریاضیاتی که باید در تعبیر اندزه گیری های نقشه، بر حسب آنچه واقعاً در کره دیده می شود، استفاده شود.
اما، این نکته باید روشن شده باشد که ریاضیات برای تهیه نقشه نقش محوری دارد و از تصویر و مقطع در این مورد همان قدر استفاده می شود که در بررسی پرسپکتیو. همچنین، می بینیم درست همان طور که استفاده از تصویر و مقطع در پرسپکتیو به پرسش هایی در ریاضی راه برد، در نقشه برداری نیز چنین شد. در مورد نقشه ها، دانستن ویژگی هایی که بین منطقه ای روی کره و منطقه معادل آن در نقشه مشترک است، به دلایل عملی بسیار مهم است. مثلاً، این واقعیت که، در شیوه خاصی از تصویر کردن نقشه، اندازه زاویه ها همان که هست حفظ می شود، بسیار مفید است. به این ترتیب، نقشه برداری نیز همچون پرسپکتیو سرچشمه بسیاری از مسائل نوین ریاضی بوده است.
ایده هایی که در این مقاله مورد بحث قرار گرفت، در اساس مربوط به تصور مفهومی تصویر و مقطع (برش) هستند. نقاشان ضمن تلاش خود برای ایجاد سیستمی رضایت بخش در مورد پرسپکتیو به این تصویر دست یافتند. ریاضی دانان از این تصور موضوع پژوهشی کاملاً نوین را بیرون کشیدند، یعنی هندسه تصویری. نقشه برداران از همین تصور برای طرح انواع نقشه ها استفاده کردند. به این ترتیب، می بینیم که این هر سه قلمرو- نقاشی، ریاضیات و نقشه برداری- از طریق یک مفهوم بنیادی ریاضی رابطه ای بسیار نزدیک به هم یافتند.
خود هندسه تصویری را می توان در برخی مسائلی عملی به کار گرفت، اما بنای این هندسه در وهله اول، و پیش از هر چیز، به خاطر جذابیت ذاتی خود موضوع بود؛ به خاطر زیبایی آن، تعالی شکوهمند آن، افق های تازه ای که این هندسه برای شهود در اکتشاف قضیه ها می آفرید، و استدلال استنتاجی محکمی که برای برهان ها می طلبید. هندسه تصویری در قرن نوزدهم، پس از آن که برای مدتی، موقتاً به نفع ریاضیات کاربردی به فراموشی سپرده شد، فعالانه مورد تحقیق قرار گرفت و زاینده بسیاری از انواع نوین هندسه از کار درآمد. «علم زاییده هنر»، که دزارگ آن را آفرید، امروزه زیباترین شاخه ریاضیات است؛ شاید به این دلیل که نقاشی بر اندیشه های دزارگ سایه افکنده بود.
پی نوشت ها :
1- G. Desargues، ریاضی دان و مهندس فرانسوی (1593- 1662)
2- Philippe de la Hire، ریاضی دان فرانسوی (1640- 1718)
3- B. Pascal، عالم فرانسوی و فیلسوف دینی (1623- 1662)
4- opposite
5- C. J. Brianchon، ریاضی دان فرانسوی (1785- 1864)
6- G. Mercator، جغرافیادان، ریاضی دان و نقشه کش فلاندری (1512- 1594)
7- Gnomic
8- Polar stereographic
9- perspective cylindrical projection
