منشأ محاسبه و نیاز به آن

منشأ محاسبه، یا حساب در زبان انگلیسی، از ریشه ی واژه ی «calculate»که از واژه ی لاتینیِ «calculus» مشتق شده است و با واژه ی یونانی «chalix» ارتباط دارد روشن می‌ شود. این دو واژه ی لاتینی و یونانی به معنی سنگ کوچک یا ریگ هستند. هرودوت (1) (قرن پنجم پیش از میلاد) استفاده از ریگ‌ ها را چنین بیان کرده است: «یونانی ها با استفاده از ریگ و با حرکت دست از چپ به راست می نویسند و محاسبه می کنند؛ مصری ها عکس این عمل می کنند.»
تمدن های اولیه دو نیاز عمده به محاسبه داشتند. اول نیاز به شمارش در معاملات تجاری، مانند شمارش گلّه، مبادله ی پول و تقسیم زمین به نسبت بود و دیگری نیاز به تقویمی بود که انسان به کمک آن بتواند حساب فصل ها را نگه دارد. هزیود (2) (قرن هشتم قبل از میلاد) می گوید: «وقتی خوشه ی پروین طلوع می کند محصول را برداشت کنید و وقتی غروب می کند دوباره زمین را شخم بزنید.»
بنابراین، انسان چشم به آسمان دوخت. حرکت ماه را در آسمان به دقت اندازه گرفتند. اخترشناسان اولیه به زودی در میان ستارگان متوجه پنج «سرگردان» شدند. به نظر می رسید که این پنج جسم آواره، در عین سرگردانی، بین ستاره هایی که حرکتشان نسبت به یکدیگر ثابت به نظر می آمد حرکتی خاصّ خود دارند. یونانی ها واژه ی «planes» (به معنی سرگردان) را برای چنین اجسامی به کار بردند. واژه ی امروزین «planet» به معنی سیاره از این واژه ی یونانی مشتق شده است.
در مصر، که طغیان رود نیل. اهمیت ویژه ای داشت، اهالی ساحل رودخانه نیاز به تعیین زمان شروع سیلِ ناشی از طغیان رود داشتند. بنابراین، توجه مصریان به مقارنه ی شعرای یمانی (یعنی زمانی که ستاره ی شعرای یمانی همراه با خورشید طلوع می کند) معطوف شد، بعدها در ثبت گاه شمارِ تاریخ مصر اهمیت فراوانی یافت.
در این آثار باستانی منشأ چشم گیر محاسبه در فرهنگ خود را باز می یابیم. استفاده ی تجارت، مهندسی و علوم امروزین از ابزاهای محاسباتی نوین بسط کاربردهای ابتدایی هنر محاسبه است. اکنون می‌ کوشیم داستان چگونگی وقوع همه ی این شگفتی های نوین را در بستر تاریخی اش عرضه کنیم.
اولین چیزی که برای محاسبه لازم است دستگاهِ شمار (3) است، یعنی راهی برای نوشتنِ عددها. دستگاه شمار باید آن قدر انعطاف پذیر باشد که بتوان عملیات حسابی را در آن تعریف کرد و همچنین باید چنان جامع باشد که کاربرد تحلیل های پیشرفته تر را ممکن سازد. در این جا بد نیست برخی از مراحل بسط یک دستگاه شمار رضایت بخش را بررسی کنیم.
چون آشکارا نمی توان به هر عدد صحیح نماد مخصوصی اختصاص داد، اولین قدم انتخاب یک پایه، یا مبنا، برای دستگاه است. چون انسان با دَه انگشت خلق شده است طبیعی ترین انتخاب دَه است؛ و این مبنا را انسان های اولیه به طور گسترده ای به کار بردند - گرچه چنان که خواهیم دید، ده تنها مبنای شمار انسان های اولیه نبود (واژه ی انگلیسی(4) «digit») خود از واژه ی یونانی «digitus» به معنی انگشت مشتق شده است).
مراجع زیادی وجود دارد که استفاده ی گسترده از انگشتان دست را برای نمایش عددها و همچنین برای محاسبه نشان می دهد. بیده ی معزّز (5) (673-735م)، راهب بندیکتی انگلیسی، در اثری در مورد زمان محاسبه به نام «De temperum ratione» وضعیت انگشتان را برای نشان دادن عددهای تا 10000 شرح می دهد. او با قرار دادن دست در وضعیت های مختلف روی بدن توانست عددهای تا 1000000 را نمایش دهد. این نوع نمایش در بسیاری از کشورها به کار می رفت و یونانیان باستان نیز با آن آشنا بودند ( پیوست 2).
اغلب گفته شده است که ای کاش انسان به جای ده انگشت با دوازده انگشت خلق می شد. بی شک در این صورت دستگاه شمار دوازده گانی ابداع می شد که نسبت به دستگاه دهدهی انعطاف پذیرتر است، چون 12 چهار مقسوم علیه دارد، در حالی که 10 فقط دو مقسوم علیه دارد. اما با وجود این، باید به این واقعیت شگرف توجه کنیم که دستگاه دوگانی، بر مبنای پایه ی 2، امروزه کاربرد مهمی دارد؛ این دستگاه تنها دستگاهی است که ماشین های محاسبه ی بزرگ امروزین از آن استفاده می کنند.
اما انتخاب مبنایی مشخص برای دستگاه شمار همیشه وابسته به تناظری با بخش خاصی از بدن انسان نبوده است. در برخی موارد، به نظر می رسد که رابطه های عددی در موقعیت های فیزیکی دیگر عامل تعیین کننده بوده است. یک توضیح پذیرفتنی برای منشأ داستگاه شصتگانی در میان بابلی ها ارتباط آن با دستگاه واحدهای وزن و مقداری است که در آن واحد بزرگ تر، 60 برابر واحد کوچک تر بوده است.
در میان مایاها دستگاه شمار بیستگانی «اصلاح شده» ای رواج داشت که ظاهراً حاصل شکل تقویم مایاها بود، که سال مایایی را به 18 ماه بیست روزه تقسیم می کرد و 5 روز به این 18 ماه اضافه می شد. به این ترتیب، ارزش مکان های متوالی، 20، 20×18، ، و غیره بود.
باید متوجه بود که ملت ها لزوماً فقط از یک مبنا استفاده نمی کردند. مثلاً بابلی ها برای مسئله های مربوط به تاریخ و مقدار وزن ها و مساحت ها از دستگاه های ترکیبی استفاده می کردند ولی در متن های کاملاً ریاضی با اخترشناسی نمادگذاری ارزش مکانی شصتگانی کاملاً سازگاری را به کار می بردند (بسیاری از لوح های خط میخی بابلی مربوط به مسئله های اقتصادی است. در برخی از این لوح ها اصلاحاتی در نمادهای معمول برای اعداد صورت گرفته است، مثلاً نمادی برای 100 به کار رفته است که اساساً شبیه نماد 10، ولی بزرگ تر است).
یکی از دستاوردهای فراوان ارشمیدس (6) (287-212 ق.م.) ابداع دستگاهی برای نمایش عددهای بزرگ بود که در آن از توان های دَه استفاده شده است. ارشمیدس در اثر جالبش به نام حساب باشن (7)، از واحد «میریاد» (8) استفاده کرد که برابر 10000 (با نماد جبری، ) است. عددهای تا «میریاد میریاد» (یعنی را عددهای مرتبه ی اول نامید. سپس «میریاد میریاد» را به عنوان واحد مرتبه ی دوم گرفت و به همین شیوه پیش رفت و طراحی پیچیده را بسط داد که شامل مرتبه ها و دوره های متوالی و تقسیمات دیگر است.
جالب است بدانید که ارشمیدس این دستگاه را برای محاسبه ی تعداد دانه های شن در عالم به کار گرفته است. او تخمین زده است که این عدد کمتر از باشد که در حساب قدیم تر زمان ها «ویجینتیلیون» (9) نامیده می شد. آرتور استنلی ادینگتون (10)، اختر فیزیکدان برجسته، چند سال پیش با محاسبه ی مشابهی تخمین زد که تعداد اتم های هیدروژن در عالم از مرتبه ی است.
یونانیان در آثار اخترشناسی خود از یک دستگاه ترکیبی شصتگانی – دهدهی استفاده کردند. مثال عالی از این دستگاه را می توان در جدول های کتاب مجسطی (11) بطلمیوس (12) (حدود 150 بعد از میلاد) (که در آن، نمادهای الفبایی معمول هم برای همه ی عددهای صحیح (حتی عددهای بزرگ تر از 60) و هم برای کسرها که به صورت شصتگانی نوشته می شدند به کار رفته است. البته این ناهمخوانی هنوز هم در مقیاس درجه در نمادهای اخترشناسی وجود دارد؛ مثل وقتی که می نویسیم ˝23´15°132 این نمادگذاری امروزه با استفاده از دهم ثانیه پیچیده تر هم شده است. نماد
یادآور مکرر برخورد فرهنگ های مختلف در یک دستگاه نمادگذاری و همچنین عدم انسجام ذهن بشر است.
دستگاه عدد نویسی مشهور رومی اساساً دستگاهی با مبنای دَه بود، ولی از نمادهای اضافی برای مقادیر میانی5، 50، 500 و غیره هم استفاده می کرد. در این مورد هم دوباره تقسیم دستگاه های بیان وزن یا پول به بخش هایی غیر از دهم، موضوع را پیچیده کرده است. پول خرد رومی یک پوند (13) وزن داشت و به 12 اونسیا (14) یا «اونس» تقسیم می شد. هر بخش نصف می شد. بنابراین، واحدهای کسری یک دوازدهم، یک بیست و چهارم، یک چهل و هشتم و غیره به میان می آمدند. در انواع خاصی از چرتکه ی رومی، که به زودی آن را شرح می دهیم، این تغییرات در واحدهای کسری پیش بینی شده بود.
وقتی که به کُندی ابداع دستگاه های شمار گوناگون، تفاوت بین این دستگاه ها و ناهمخوانی های درون دستگاه بیندیشیم، تأخیر در بسط روال های محاسباتی کافی و مؤثر قابل درک می شود. نسبتاً روشن است که از اولین دوران ها، اگر قرار بود محاسباتی انجام شود، وجود وسایل مکانیکی کمکی و ابزارهای مخصوص ضروری بود.
بعداً چند ابزار محاسباتی اولیه را بررسی خواهیم کرد. همه ی این ها به این واقعیت اشاره دارد پیش از آن که بتوان فنون و الگوریتم های معقول محاسباتی ابداع کرد، یک دستگاه ارزش مکانی سازگار با تعداد معقولی نماد پایه، از جمله نمادی برای مفهوم بسیار مهم صفر، لازم است.

پی نوشت ها :

1. Herodotus
2. Hesiod
3. numeration system
4. رقم
5. The Venerable Bede
6. Archimedes
7. Sand-Reckoner
8. Myriad
9. vigintillion
10. Arthur S. Eddington
11. Almagest
12. Ptolemy
13. واحد وزن معادل 454 گرم
14. unciae

منبع مقاله :
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول