محاسبه ی توابع مثلثاتی

نویسنده: هارولد دیویس
ترجمه: مهران اخباریفر

شاید هنر ساختن جدول با کارهای بطلمیوس، که قبلاً چند بار از اثر بزرگش، مجسطی، یاد کردیم، آغاز شده باشد. در این کتاب برای اولین بار جدولی برای وترها (معادل جدول سینوس ها) دیده می شود. اما به گفته ی تئون، هیپارخوس (1) که دوران شکوفایی اش حدود 140 سال پیش از میلاد مسیح بوده، جدول مشابهی را در اختیار داشته است. گرچه عموماً هیپارخوس را بانی مثلثات می دانند، افتخار ارائه ی این موضوع به شکلی اساساً کامل برای بطلمیوس محفوظ است.
جدول بطلمیوس طول وترهایی را که کمان های متغیر از

تا

با افزایش نیم درجه در دایره ای به شعاع 60 واحد می بینند به دست می دهد. روش محاسباتی او بسیار نبوغ آمیز و از کاربرد آنچه امروزه قضیه ی بطلمیوس می نامیم حاصل شده است. حاصل ضرب قطرهای چهار ضلعی محاط در دایره برابر است با مجموع حاصل ضرب های ضلع های رو به رو.
بطلمیوس با استدلالی ظریف، نابرابری ارزشمندی را کشف کرد. اگر AB و BC وترهایی باشند که به ترتیب توسط کمان AB و کمان BC دیده می شوند و اگر AB<BC، آن گاه نابرابری زیر برقرار است:
کمان AB/کمان BC/AB<BC
امروزه هر دانش آموزی که مثلثات بداند به آسانی می تواند تحقیق کند که مثلاً

هدف بطلمیوس محاسبه ی وتر با دقت زیاد بود. همان طور که قبلاً گفتیم، ابزار محاسباتی عمده ای مکه او در اختیار داشت استخراج ریشه های دوم بود. اما با این ابزار او می توانست وترهای کمان هایی مثل

، ، ، ، ، و هر تفاضل یا مجموع آن ها مرا با هر دقت مطلوب محاسبه کند. همچنین او توانست وترهای متناظر با یک دوم، یک چهارم، یک هشتم، ... این کمان ها را بیابد. به این ترتیب، بطلمیوس از مقادیر وترهای

و ، وتر را به دست آورد و سپس، با تقسیم، وترهای

و را یافت. اکنون برای او فقط این مسئله باقی مانده بود که با استفاده از این مقادیر، وتر

را محاسبه کند. او با استفاده از نابرابری بالا به این هدف دست یافت، چون می توانست بنویسد

یعنی

چون این مقادیر حدی برای دایره ای به شعاع واحد فقط در رقم هفتم اعشار تفاوت دارند، جدول وترها تا شش رقم اعشار مورد اطمینان بود. اما بطلمیوس شعاع دایره را به 60 بخش و هر بخش را به 60 واحد دیگر تقسیم کرده بود و هر یک از این واحدها را نیز به 60 بخش دیگر؛ به این ترتیب، او تقریب هایش را با واحدهای شصتگانی چنین بیان می کند:

چون 120/ وتر

، می بینیم که تقریب بطلمیوس معادل است با

که در آخرین رقم اعشار 3 واحد خطا دارد. همچنین، ملاحظه ای این نکته جالب است که وتر

تقریباً برابر است با

، و از این جا مقدار بطلمیوس برای

، یعنی

به دست می آید.
این که علاقه به مقادیر توابع مثلثاتی بین ریاضیدانان اولیه عمومیت داشته است از این واقعیت مشهود است که در هند جداولی سینوسی وجود دارد که قدمتشان به قرن ششم میلادی می رسد و ظاهراً تحت تأثیر جدول وترهای بطلمیوس ساخته شده اند.
جداول مشابهی نیز در سال 772 میلادی در میان مسلمانان به وجود آمد. این، زمانی بود که یک ستاره شناس هندی به دارالخلافه ی خلیفه منصور در بغداد رفت و جداول نجومی با خود داشت که احتمالاً برگرفته از نوشته های برهماگوپتا (2)، ریاضیدان هندی، بود. این کتاب شامل جدول مهم سینوس ها، یا نصف وترها بود.
ظاهراً اولین گام برای ساختن جدول بین مسلمانان در قرن بعد توسط ستاره شناسی به نام بتّانی، که با آثار بطلمیوس آشنا بود، برداشته شد. او اولین کسی بود که جدولی برای کتانژانت ها فراهم کرد. چند سال بعد، ابوالوفا جوزجانی توابع جدید سکانت و کسکانت را معرفی کرد و روشی را ابداع کرد که به وسیله ی آن، سینوس نیم درجه را با دقت نُه رقم اعشار محاسبه کرد. فرمول او چنین بود:

که از نابرابری ای شبیه به نابرابری بطلمیوس استخراج شده بود.
بزرگ ترین فعالیت در محاسبه ی جداول توابع مثلثاتی در دوره ی قبل از ابداع لگاریتم صورت گرفت و محرک آن تجدید حیات مثلثات بود. این کار در قرن پانزدهم توسط گئورگ پورباخ (3) و شاگرد مشهورش یوهان مولر (4) شروع شد. مولر بیشتر به رگیومونتانوس (5) مشهور است که از نام محل تولدش، مونس رگیوس (6) (کونیگسبرگ) (7) گرفته شده است.
پورباخ شعاع دایره را به 000,600 بخش تقسیم کرد و محاسبه ی سینوس ها را برای هر دقیقه از کمان انجام داد رگیومونتانوس این جدول را با شعاع000,0001, بخشی تکمیل کرد. جدول سینوس های دیگری که اهمیت کمتری دارد توسط نیکلاوس کپرنیکوس (8) (کپرنیک) در کتاب مشهورش، گردش افلاک آسمانی، منتشر شد. این کتاب اولین بار در سال 1543 در نورنبرگ منتشر شد. در جدول کپرنیک، شعاع به 000,001 بخش تقسیم شده است و مقادیر، با تفاضل، برای هر دقیقه از کمان داده شده است.
اولین جدول تانژانت ها در کتاب کانون فوکوندوس (9) که در سال 1553 توسط اراسموس راینهولد (10) منتشر شد ظاهر شد و اولین جدول سکانت ها در کتاب جداول مفید (11) ظاهر شد که تقریباً در همان زمان توسط فرانچسکو مورولیکو (12)، اسقف مسینا در سیسیل، منتشر شد.
احتمالاً بزرگ ترین کار در زمینه ی ساختن جداول، دست کم قبل از دوران جدید، کار رتیکوس (13) (نامی که عموماً گئورگ یوآخیم (14) را به آن می شناسند)، والنتین اُتو (15) و بارتلومئوس پیتیسکوس (16) بود. رتیکوس، شاگرد کپرنیک، ایده ی محاسبه ی جداول توابع مثلثاتی برای هر ده ثانیه از کمان را با شعاعی برابر

و برای هر ثانیه در اولین و آخرین درجه ی ربع دایره پرورش داد. او جدول سینوس ها را تکمیل کرد و ساختن جداول تانژانت ها و سکانت ها را آغاز کرد، اما در سال 1576 پیش از پایان یافتن این جدول ها درگذشت. گفته شده است که او به مدت دوازده سال چندین محاسب را در استخدام خود نگاه داشته بود. این کار عظیم سرانجام توسط شاگرد او، اُتو تکمیل شد و در سال 1613 توسط پیتیسکوس اهل هایدلبرگ منتشر شد. پیتیسکوس چند سطر اول محاسبه با شعاع

را نیز اضافه کرد.
این جداول اساساً به شیوه ی بطلمیوس، با نصف کردن متوالی کمان هایی که سینوس آن ها معلوم است محاسبه شده بودند.
اما تقریباً در همین زمان، وِیت روشی جدید ارائه کرد. او نشان داد که چگونه می توان ریشه های معادله های از درجه ی بالاتر از دو را محاسبه کرد و در نتیجه، چگونه می توان تقریب عددی تثلیث، تربیع، ... زاویه را به دست آورد. در مجموعه ی آثار او که در سال 1646 در لیدن منتشر شد، فرمول هایی برای محاسبه ی وتر چند برابر کمان ها و همچنین فرمول هایی برای یافتن وتر کسر کمان ها وجود دارد. با نمادهای جدید، این دو روش اولاً معادلند با اتحادهای

و ثانیاً معادلند با جواب معادلات متناظر با این اتحادها، که در آن ها

، و غیره معلومند و

باید محاسبه شود.
بسط

باسریِ

بعداً، تقریباً در زمان نیوتون و لایب نیتز، به وجود آمد.

پی نوشت ها :

1. Hipparchus
2. Brahmagupta
3. Georg Peurbach
4. Johann Muller
5. Regiomontanus
6. Mons Regius
7. Konigsberg
8. Nicolaus Copernicus
9. Canon foecundus
10. Erasmus Reinhold
11. Tabula beneficia
12. Francesco Maurolico
13. Rheticus
14. Georg Joachim
15. Valentin Otho
16. Bartholomaus Pitiscus