محاسبه ی ثابت های خاص

محاسبه ی برخی از ثابت ها، قرن ها ذهن ریاضیدانان را مشغول کرده بود (در این جا مختصراً به روش های تعیین تقریبی این مقادیر می پردازیم نه به موضوع بسط و اهمیت ثابت ها). مطمئناً
و e دو تا از مهمترین ثابت ها هستند.
اولین کوشش علمی ثبت شده برای اندازه گیری توسط ارشمیدس صورت گرفته است. روش او محیط و محاط کردن چند ضلعی هایی دور و درون یک دایره و سپس تعیین محیط این چند ضلعی ها و استفاده از آن ها به عنوان کرانه های بالا و پایین محیط دایره بود. او با استفاده از چند ضلعی های نود و شش ضلعی، به نابرابری رسید. چون عدد اول برابر با ... 3/140845 و عدد دوم برابر با ... 3/14285 است، می بینیم که ارشیمدس حتی به دقت سه رقم اعشار نیز نرسیده است. اگر ارشمیدس میانگین حسابی یا میانگین هندسی این عددها را که هر دو برابر با 3/14185 هستند در نظر گرفته بود، به دقت سه رقم اعشار می رسید.
همان طور که دیدیم، بطلمیوس در «محاسبه ی توابع مثلثاتی» تقریب ... 3/1466=377/120 را به دست داده بود. یکی دیگر از تقریب های اولیه، کسر 333/106 بود که در واقع کسر سوم از بسط
به کسرهای مسلسل است. یک تقریب بسیار غیرعادی بر پایه ی این دو مقدار به آدریان آنتونیسزون (1) منسوب است. او صورت ها و مخرج های دو کسر بالا را با هم جمع کرد و به مقدار:

رسید که کمتر از سه واحد در رقم هفتم اعشار خطا دارد. این تقریب را که کسر پنجم در بسط به کسرهای مسلسل است، چینی ها در قرن پنجم میلادی می شناخته اند.
کسان زیادی، از جمله ریاضیدانانی مشهور چون فیبوناتچی و وِیت کوشیدند که مقدار را تقریب بزنند. موفق ترین آن ها لودولف وان سویلن (2) بود که در سال 1610 به تقریبی با سی و پنج رقم اعشار رسید. این کار چنان برجسته بود که عدد 35 را روی سنگ مزار او در محوطه ی کلیسای سنت پیتر در لیدن حک کردند. تا سالها را عدد لودولفی می نامیدند و هنوز هم در آلمان این نام رایج است.
با کشف سری های نامتناهی در اواخر قرن هفدهم و به خصوص با استخراج سری توسط جیمز گرگوری (3) در سال 1671، که به نظر می رسد لایب نیتز هم در سال 1673 مستقلاً آن را کشف کرده است، دوران جدیدی در محاسبه ی
آغاز شد. گرچه این سری به ازای 1=x چنان همگرایی کُندی دارد که تقریباً به هیچ کار نمی آید، به کمک آن فرمول های دیگری به دست آمد. مهم ترین آن ها از جان ماشین (4) است که در سال 1706 فرمول زیر را که امروزه به فرمول ماشین مشهور است استخراج کرد:

فرمول های (مشابه) دیگر این ها هستند:

 ویلیام شَنکس (5) در سال 1873، با استفاده از فرمول ماشین، تقریبی تا 707 رقم اعشار را منتشر کرد. این پدیده ی شگفت محاسبه نزدیک به سه ربع قرن رقابت ناپذیر باقی ماند؛ اما در سال 1945، دی.اف.فرگوسن (6)، در انگلستان، با استفاده از آخرین فرمول بالا دریافت که مقدار شنکس از رقم 528 اُم اعشار به بعد نادرست است.
اکنون محاسبه‌ ی با ماشین های الکترونیکی جدید به بازی بدل شده است و در سال 1949، جی. دبلیو. ریتویسنر (7) در آزمایشگاه های بالیستیک در آبردین، مریلند، با استفاده از کامپیوتر ENIAC عدد را تا 035,2 رقم اعشار محاسبه کرد. بعد از آن، در سال 1961، عدد تا 256,100 رقم محاسبه شده است.
می توان ملاحظه کرد که محرک چنین محاسبات گسترده ای در هیچ کاربرد عملی برای دقت بیشتر نهفته نیست. فرض کنید می خواستیم محیط فضا را بر حسب قطر الکترون محاسبه کنیم؛ تخمین ادوارد هابل (8) را برای شعاع فضا، پارسک (9) (1 پارسک برابر با 3/258 سال نوری است)، در نظر می گیریم؛ تخمین جی. جی. تامسون (10) را برای قطر الکترون، سانتی متر، در نظر می گیریم. با این مفروضات، مقدار را با 41 رقم نیاز داریم!
مقدار e نیز به طور گسترده ای محاسبه شده است؛ ولی تقریب e بسیار آسان تر از تقریب حاصل می شود، چون e با سری زیر که به سرعت همگرا می شود تعریف شده است:

کسر مسلسل زیر که اولین بار توسط اویلر ارائه شد، به طور گسترده ای مورد استفاده قرار گرفته است:

در سال 1926، دی. اچ. لِمِر (11) با استفاده از بسط این روش، مقدار e را تا 709 رقم اعشار محاسبه کرد. با روی کار آمدن کامپیوترهای بزرگ ادامه دادن این مقدار تا 10,000 رقم یا بیشتر بدون دشواری صورت گرفته است. استخراج ریشه های اعداد کوچک مانند 2، 3، 5، و غیره تا تعداد زیادی رقم اعشار نیز، اغلب کاملاً به دور از در نظر گرفتن استفاده های عملی، انجام شده است.
اما باید متوجه بود که این تقریب های با تعداد زیاد رقم های اعشار در مطالعات نظری خاصی مورد استفاده قرار گرفته است. مثلاً چون هیچ ساختار خاصی در تقریب اعشاری ، مشاهده نشده است، بررسی این که دنباله های خاصی در این تقریب روی می دهند یا نه مورد توجه قرار گرفته است. در این زمینه کمی در مورد مقدار آنچه می توان عدد براوئر نامیدش کنجکاوی می کنیم. ل. اِ. ی. براوئر (12)، برای رد قانون طرد شقِّ وسط (13) (یعنی یکی از دو گزاره ی «A همان B است» و «A همان B نیست»، مستقل از این که A و B چه باشند همواره درست است)، بسط اعشاری ...14159/3= را در نظر گرفت. او d را n اُمین رقم بعد از ممیز گرفت و عدد را تعریف کرد که در آن m موضع d است وقتی که d برابر 0 باشد و نُه رقم بعد از آن دنباله ی 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 باشند. سپس براوئر چنین استدلال کرد که نمی توانیم بگوییم که N حتماً یا مثبت یا منفی است، چون ممکن است چنین دنباله ای اصلاً وجود نداشته باشد. فقط به وسیله ی تقریب های بسیار گسترده است که می توان به این پرسش پاسخ داد.

پی نوشت ها :

1.Adriaen Anthoniszoon
2. Ludolph van Ceulen
3. James Gregory
4. John Machin
5. William Shanks
6. D. F. Ferguson
7. G. W. Reitwiesner
8. Edward Hubble
9. Parsecs
10. J. J. Thomson
11. D. H. Lehmer
12. L. E. J. Brouwer
13. excluded midlle

منبع مقاله :
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول