شاهکار اقلیدس درحدود سه قرن قبل از میلاد، وضع هندسه به شیوه ای خاص بود. او توانست ارتباط منطقی بین گزاره های هندسی را که تا آن زمان مجموعه ای از اطلاعات متفرق بود و توسط مصریان و بابلیان بدون هیچ دلیلی برای درستی آنها مورد استفاده قرار می گرفت، به دست دهد و بنیائی سازگار برای آن ارائه کند.
چون دور و تسلسل در منطق متعارف باطل است پس چنین نیست که همه ی گزاره ها قابل اثبات و همه ی مفاهیم قابل تعریفند. لذا باید بعضی گزاره ها را بدون اثبات و بعضی مفاهیم را بدون تعریف پذیرفت. در واقع او مفاهیم هندسی را به کمک تعدادی مفهوم اولیه مانند جزء، طول، عرض، هموار و... که آنها را بدون تعریف به کار می برد، تعریف نمود و سپس نشان داد که چگونه حدود پانصد گزاره ی هندسی (که درستی بعضی از آن ها به هیچ وجه واضح نبود) می تواند از پنج اصل معین که بدون اثبات پذیرفته می شوند، نتیجه شود.
روش اقلیدس توسط ارشمیدس و نیوتن به کار گرفته شد و بعدها، به خصوص از اواسط قرن نوزدهم، در بقیه ی شاخه های ریاضیات و علوم (تجربی و انسانی) برای تدقیق، تجزیه، تحلیل و تفهیم اطلاعات و نیز تجرید شهود ما، به تدریج مورد توجه و استفاده قرار گرفت. این روش، شیوه اصل موضوعی ( روش قیاسی) خوانده می شود و آن چه از اعمال آن به دست می آید دستگاه اصل موضوعی (یا قیاسی) نامیده می شود.
مکتبی که هدفش تأسیس (شاخه های) ریاضیات به روش اصل موضوعی است صورت گرایی خوانده می شود. این مکتب توسط دیوید هیلبرت در اوایل قرن بیستم تأسیس شد.
صورت گرایان می گویند هیچ شیء ریاضی در خارج از ذهن ما وجود ندارد. مفاهیمی چون نقطه، عدد 2، بیضی، فضاهای متری و... آفریده ذهن آدمی است وتنها روی کاغذ وجود دارد. ریاضیات چیزی جز تعدادی اصل، تعریف و قضیه نیست، یک بازی با قوانین واضح ولی دلخواه و با نمادهای فاقد معنی است. به عقیده کواین صورت گرایی یک رهیافت نام گرایانه به ریاضیات است.
ریاضیات یک علم به روش اصل موضوعی بر مبنای سه انتخاب است:
الف) انتخاب یک دستگاه منطقی، که مبین قوانین منطق و شیوه های استنتاج مطالب جدید ( به نام قضایای دستگاه) است و به علاوه نقش زبان را ایفا می کند. این انتخاب به تجارب، انتظارات، شرایط اقتصادی، اجتماعی و روان شناختی، ملاک های زیبایی شناختی و حتی ویژگی های ژنتیکی سازنده ی دستگاه وابسته است و گاه تجربه و مشاهده، معین کننده نوع منطق حاکم است، مانند منطق کوانتومی برای مکانیک کوانتومی، منطقی که در آن مثلاً قوانین توزیع پذیری عاطف روی فاصل و برعکس، برقرار نیست.
ب) انتخاب تعدادی گزاره، با عنوان اصل موضوع که بدون هیچ دلیلی ولی گاهی با پاره ای توجیه ها پذیرفته شده اند. انتخاب این اصول کاملاً دلخواه است و صحبت از صحت و سقم آن ها بر مبنای دنیای خارج از ذهن بی معنی است. به علاوه تلقی آن ها به عنوان «حقایق بدیهی» یا «حقایق ضروری» گمراه کننده محسوب می شود. اصول موضوع شالوده ی تمام قضایای (حقایق) دستگاه را تشکیل می دهند، به این معنی که فقط احکامی صادق شمرده می شوند که بتوانند از اصول موضوع نتیجه شوند. همچنین یک مطلب ممکن است در یک دستگاه حقیقت باشد ولی در دستگاهی دیگر چنین نباشد و لذا صحبت از حق و باطل فقط در درون یک دستگاه با معنی است نه در دو دستگاه متفاوت.
ج) انتخاب تعدادی کلمه یا عبارت به عنوان مفهوم اولیه ( اصطلاح تعریف نشده)، که تعریف نمی شوند ولی دیگر اصطلاحات به کار برده شده در دستگاه قیاسی به کمک آن ها تعریف می شوند. البته ممکن است بتوان بعد از تأسیس یک دستگاه اصل موضوعی از یک مجموعه ی دیگر از مفاهیم اولیه و یا یک مجموعه ی دیگر از اصول موضوع نیز استفاده کرد به طوری که هر مفهوم یا هر قضیه ی یکی از دستگاه ها، مفهوم یا قضیه ی دستگاه دیگر باشد که دراین حالت، دو دستگاه را متوافق می گویند.
در ریاضیات برای این که پندارها و پیش فرض هایمان را در استدلال ها وارد نکنیم از زبان نمادی و منطق صوری برای معرفی اصطلاحات اولیه و بیان اصول و بالاخره استنتاج قضایا کمک می گیریم. در این حالت محصول را در دستگاه قیاسی صوری می نامند.
لزومی ندارد که مفهوم اولیه، مابه ازایی در عالم خارج از ذهن داشته باشد یا اصول و قضایای آن توصیف حوزه ای از جهان عینی ( در برابر ذهنی) باشد. بر این اساس دیودونه ریاضیات را فقط ترکیبی از نمادهای بی معنی می دانست. اما اگر به اصطلاحات تعریف نشده یا نمادهای دستگاه قیاسی صوری معنای خاص بدهیم. به طوری که اصول موضوع به احکام درست تبدیل شوند، می گوییم دارای یک تعبیر یا الگو هستیم. دراین صورت همه ی قضایای دستگاه بعد از ترجمه به زبان تعبیر، به احکام درستی تبدیل می شوند.
توجه نمایید که معنی دادن به مفاهیم اولیه و سپس ترجمه اصول و احکام دستگاه و به دست آوردن تعبیر، امری خارج از ریاضیات است که ممکن است با جهان فیزیکی خارج از ذهن (البته در صورت وجود) تطبیق بکند یا نکند، به قول راسل در ریاضیات نه می دانیم از چه صحبت می کنیم و نه حتی می دانیم که آن چه می گوییم راست است.
برای یک دستگاه ممکن است تعبیرهای متفاوت داشته باشیم. دستگاهی صوری که فقط یک تعبیر (تا حد یکسانی) داشته باشد جازم خوانده می شود. بنا به قضیه ای از اسکولم هیچ دستگاه صوری سازگار جازمی که بتوان اعداد طبیعی را در آن تعریف کرد، وجود ندارد.
استنتاج قضایا به عنوان احکام جدید به کمک قوانین منطق صورت می پذیرد و به تجربه ی عینی نیاز ندارد. البته شهود، محاسبه، آزمایش و خطا، و الهام به حدس یا کشف قضایا کمک می کند.
هر کس در انتخاب اصول موضوع و تعریف نشده های خود آزادی کامل دارد تا آن جا که تناقض ایجاد نشود. با این حال ما فقط مجاز به استفاده از آن خاصیت هایی از اصطلاحات اولیه در استدلال های خود هستیم که اصول موضوع به ما می دهند.
چنین نیست که علومی مانند فیزیک، شیمی و...، مثل قوانین نیوتن در مکانیک، از تجارب حسی استنتاج شده باشند، گر چه عموماً در آن جا دستگاه های اصل موضوعی فقط به قوام بخشیدن تجارب حسی و ارائه یک مدل می پردازند، نه یک دستگاه قیاسی صوری. البته ویژگی های موضوع مورد مطالعه، نیازها، تجربه، مشاهده، آزمایش، انتظارات و ملاحظات زیبایی شناسی به طور بنیادی ما را در انتخاب اصول و مفاهیم اولیه یاری می رسانند ولی به هر حال گزینش آن ها و ساخت دستگاه های قیاسی در نهایت به کمک فعالیت آزاد مغز انسان صورت می پذیرد. با این حال مطالعه تاریخ علم نشان می دهد که اصول موضوع در ریاضیات کلاسیک دلخواه وضع نشده اند بلکه به گونه ای ارائه شده اند که نظمی ساختاری به یک موضوع معین ببخشد.
اینک به معرفی یک دستگاه اصل موضوعی به نام هندسه وقوع در صفحه می پردازیم:
در مورد واقع شدن یک نقطه بر یک خط ( در یک صفحه) تعدادی اطلاعات پراکنده داریم:
1- بر هر خط لااقل دو نقطه متمایز وجود دارد.
2- بر هر دو نقطه یک و فقط یک خط می گذرد.
3- سه خط متمایز وجود دارد که متفاوت نیستند (یعنی نقطه ای وجود ندارد که بر آن سه خط واقع باشد).
4- به ازای هر نقطه لااقل یک خط هست که از آن نقطه نمی گذرد.
5- به ازای هر خط لااقل یک نقطه وجود دارد که بر آن نیست.
6- سه نقطه متمایز وجود دارد به طوری که هیچ خطی بر هر سه آن ها واقع نمی شود.
7- به ازای هر نقطه لااقل دو خط متمایز وجود دارد که از آن نقطه می گذرد.
* - بر هر نقطه واقع در خارج یک خط، یک و فقط یک خط موازی آن می گذرد.
اگر بخواهیم این اطلاعات را به روش اصل موضوعی نظم بخشیم، باید اصول موضوع و حدود اولیه را معین کنیم. این کار نیز به شم (هندسی)، ذکاوت و نیز قدری شانس دارد.
ما بر حسب تجربه ای که در هندسه داریم، گزارههای 1و 2و 6 را به عنوان اصل موضوع انتخاب می کنیم و همچنین نقطه، خط و وقوع ( واقع شدن یک نقطه بر یک خط) را به عنوان اصطلاحات اولیه اختیار می کنیم. برای ارائه دستگاه قیاسی صوری از مجموعه Σ متشکل از حروف p و
و مفترعات آن ها، برای نمایش مجموعه نقاط، از مجموعه
متشکل از حروف d و l و متفرعات آنها، برای نشان دادن مجموعه خطوط، و از نماد
برای نمایش نسبت وقوع استفاده می کنیم. پس از
به عبارت « P بر l واقع است» تعبیر می شود. در این صورت با استفاده از نمادهای منطقی اصول موضوع انتخابی ما عبارت خواهند بود از:
قضیه.
برهان.
نقطه P را در نظر می گیریم. از اصل موضوع (
) نتیجه می شود که لااقل دو نقطه متمایز دیگر
وR وجود دارند که هیچ خطی بر هر سه ی آن ها نمی گذرد. بنا به اصل موضوع (
) بر p و
خطی یکتا مانند lو بر p و R خطی یکتا مانند
می گذرد. اگر
، آن گاه l خطی خواهد بود که از سه نقطه ی p و
و R می گذرد که ممکن نیست. پس
، فهوالمطلوب.
اینک اگر تلاش نماییم گزاره * یا نقیض آن را اثبات کنیم موفق نخواهیم شد. خوشبختانه این عدم موفقیت ناشی از ناتوانی ما نیست.
در واقع نه گزاره * و نه نقیضش را نمی توان از اصول موضوع
نتیجه گرفت. برای اثبات این مطلب تعبیرهای ذیل را در نظر بگیرید:
تعبیر الف)
را مجموعه ی
را مجموعه ی
{{{{A,C},{B,C},{A,B
و نسبت ∝ را تعلق نظریه مجموعه ای تعبیر می کنیم.
در این صورت اصول موضوع مورد نظر ما، بعد از ترجمه به زبان تعبیر به احکام درستی در مبحث مجموعه ها تبدیل می شوند. به وضوح گزاره * بعد از ترجمه یک حکم غلط را به دست می دهد، زیرا در این تعبیر اساساً دو خط « موازی» وجود ندارد:
را مجموعه ی {{A,B,C,D و
را مجموعه یA,B} ,{ A,C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}}}}
و نسبت ∝ را همان تعلق نظریه مجموعه ای تعبیر می کنیم.
در این صورت دوباره یک تعبیر به دست می آوریم، با این تفاوت که گزاره ی * بعد از ترجمه به زبان تعبیر به یک حکم درست تبدیل می شود. مثلاً اگر « نقطه» A و « خط» {B,C} را در نظر بگیریم فقط یک « خط» یعنی {A,D} وجود دارد که از A « می گذرد» و با {B,C} « موازی» است.
تعبیر پ)
را مجموعه ی {A,B,C,D,E} و
را مجموعه ی تمام زیر مجموعه های دو عضوی {A,B,C,D,E} و نسبت ∝ را دوباره همان تعلق نظریه نجموعه ای تعبیر می کنیم. در این صورت مجدداً یک تعبیر به دست می آوریم، با این فرق که در این تعبیر گزاره ی * بعد از ترجمه به زبان تعبیر به یک حکم غلط تبدیل می شود، مثلاً اگر « نقطه ی » A و « خط» {B,C} را در نظر بگیریم دو « خط» متمایز {A,D} و {A,E} وجود دارد که از A « می گذرند» و با خط {B,C} « موازی» هستند.اگر گزاره ی * قضیه ی دستگاه می بود در هر تعبیری به یک حکم درست تبدیل می شد ( زیرا نتیجه ی منطقی احکام درست، حکمی درست است) پس با توجه به تعبیر (الف) (یا (پ)) و تعبیر (ب) نه این گزاره ونه نقیض آن هیچ کدام قضیه دستگاه نیستند.
در معرفت شناسی دستگاه های قیاسی گفته می شود که اگر بخواهیم گزاره ی * یا نقیض آن را به عنوان حقیقت در اختیار داشته باشیم، می توانیم هر کدام را ( بدون هیچ رجحان یکی بر دیگری) به عنوان اصل موضوع به دستگاه اضافه کنیم.
بر مبنای منطق کلاسیک ملاک های « خوب» بودن یک دستگاه قیاسی عبارتند از:
سازگاری ، بدین معنی که استنتاج دو گزاره متناقض از آن ممکن نباشد.
در ریاضیات، سازگاری ( نسبی) یک دستگاه قیاسی با ارائه تعبیر در یک دستگاه از پیش سازگار فرض یا اثبات شده صورت می گیرد. به عنوان مثال تعبیرهایی برای هندسه ی هذلولوی در هندسه ی اقلیدسی و نیز هندسه ی اقلیدسی در هندسه ی هذلولوی وجود دارد. پس اگر یکی از هندسه ها سازگار باشد دیگری نیز سازگار است، معمولاً سازگاری نظریه ی مجموعه ها فرض می شود و سازگاری شاخه های دیگر ریاضیات کلاسیک از روی آن اثبات می شود. چون در یک دستگاه ناسازگار هر چیزی قابل اثبات می باشد، پس اگر لااقل یک فرمول دستگاهی در آن دستگاه قابل اثبات نباشد، دستگاه سازگار است. مطلب اخیر به قاعده سازگاری پست، منطقدان آمریکایی، معروف است.
یک راه به دست آوردن هنگامی ناسازگار این است که نقیض یکی از قضایای دستگاه را به عنوان اصل موضوع به آن اضافه کنیم. مثلاً با افزودن «0=1» به اصول حساب پئانو یک دستگاه ناسازگار به دست می آید.
استقلال، بدین معنی که دستگاه قیاسی، اصل موضوع زائد نداشته باشد. به عبارت دیگر، هیچ یک از اصول آن را نتوان از اصول دیگر نتیجه گرفت.
برای اثبات استقلال دستگاه باید به ازای هر اصل موضوع، تعبیری ارائه داد که در آن اصل موضوع مورد نظر برقرار نباشد ولی بقیه اصول، احکام درستی باشند.
تمامیت، بدین معنی که دستگاه قیاسی ناقص نباشد. به عبارت دیگر، هر مطلب که به زبان دستگاه بیان می شود قابل اثبات یا ابطال باشد.
اگر گزاره ای نسبت به یک دستگاه مستقل باشد، یعنی قابل اثبات یا قابل ابطال نباشد، می توانیم آن را به عنوان یک اصل موضوع جدید به دستگاه اضافه نماییم و به یک دستگاه وسیع تر دست یابیم. برای مثال فرضیه ی پیوستار (CH) و این مطلب که « هر فضای توپولوژی نرمال بی کاست و به طور شما را فشرده، فشرده است» که به اصل O-W موسوم است، در دستگاه ZF´C مستقل هستند. البته هر قدر به تمامیت دستگاه نزدیک شویم سازگاری آن بیشتر مورد تهدید قرار می گیرد.
کورت گودل در 1931با روشی موسوم به عدد گذاری گودل اثبات کرد که هیچ دستگاه اصل موضوعی سازگار تمام که شامل ساختار اعداد طبیعی باشد وجود ندارد. گودل همچنین نشان داد اثبات سازگاری یک دستگاه اصل موضوعی که شامل ساختار اعداد طبیعی باشد در درون خود دستگاه ممکن نیست و بنابراین به قول یان استوارت، کسی نمی تواند خود را با کشیدن بندهای کفشش از زمین بلند کند. در این راستا هرمان ویل گفته است: « خدا وجود دارد زیرا ریاضیات سازگار است و شیطان وجود دارد زیرا نمی توانیم این سازگاری را اثبات کنیم.»
یکی از پرسش هایی که در مورد یک رده ی معین از سؤالات در ریاضیات پرسیده می شود، مسأله تصمیم ( یا قطعیت) برای آن رده است. به این معنی که آیا یک مجموعه ی متناهی از دستورالعمل های صریح موسوم به روش کار آمد یا « الگوریتم» وجود دارد که با به کار بستن آن ها، جواب آن سؤالات در تعداد متناهی مرحله و به طور ماشینی فراهم شود. این رده ها عموماً از نوع سؤالات با پاسخ آری یا نه، یا از نوع سؤالاتی که متضمن محاسبه ی یک شیء ریاضی است می باشند. مانند:
الف ) به ازای عدد طبیعی داده شده ی n، آیا n اول است؟
ب) در حساب صوری گزاره ها، آیا یک فرمول مفروض، راستگو است یا نه؟
ج) چگونه ریشه های مختلط یک معادله ی درجه ی دوم با ضرایب مختلط را محاسبه کنیم؟
الگوریتم تجزیه یک عدد به عوامل اول، شیوه ی جدول ارزش و دستور حل معادله ی درجه ی دو به ترتیب پاسخگوی رده های (الف)، (ب) و (ج) می باشند.
اینک این سؤال مطرح است که آیا شیوه ی تصمیم گیری مشخصی در یک دستگاه صوری وجود دارد که با به کار بستن آن شیوه، پاسخ این سؤال که آیا گزاره ی قابل بیان به زبان دستگاه ( یعنی یک فرمول) اثبات پذیر است یا نه، به طور خود به خود به دست آید؟ (•)
همان طور که در بالا اشاره شد، برای حساب صوری گزاره ها، جواب (•) مثبت است. اما آلن تورینگ در 1936، به کمک نوعی ماشین محاسبه منطقی یا به قول ویتگنشتاین « انسان محاسب» موسوم به ماشین تورینگ، « محاسبه پذیری با ماشین تورینگ» را به عنوان معادل صوری وجود « الگوریتم» یا روش کار آمد ارائه کرد و نشان داد که مسائل تصمیم به وجود برنامه های ماشین تورینگ تحویل می یابند. او سپس اثبات کرد که پاسخ سؤال (•) برای حساب محمولات منفی است، هر چند، مدتی قبل از او و مستقل از وی آلنسوچرچ به کمک مفهوم λ- تعریف پذیری ، همین نتیجه را به دست آورده بود.
تعداد اصول موضوع وتعریف نشده ها « کم» باشد.
البته این یک خواست روانی انسان است که تمایل دارد آنچه را باید بدون دلیل بپذیرد « کم» باشد ولی گاهی ملاحظات آموزشی جهت تسهیل در فهم دستگاه موجب می شود که این ملاک نقض شود. همچنین سادگی و دقت بیان اصول و مفاهیم اولیه از اهمیت ویژه ای برخوردار است.
کار برد پذیری، تأیید تجربی و مفید بودن؛ یعنی دستگاه قیاسی باید:
الف) دارای نتایج عمیقی در دل خود باشد، مانند رده بندی گروه های متناهی ساده در نظریه ی گروه ها؛
ب) توجیه کننده، تبیین کننده و نظم دهنده تجارب حسی و پدیده های طبیعت باشد، قدرت پیش بینی داشته باشد و مشاهدات و آزمایش های آن ها را تأیید کند؛
ج) مجموعه ای از اطلاعات متفرق راجع به یک موضوع را تدوین نماید و یا نظریه ای را برای ارتباط شاخه های مختلف علوم یا دیدگاه های متفاوت راجع به یک موضوع به دست دهد.
البت مدلی که یک دانشمند از بخشی از طبیعت ( به عنوان دنیای خارجی مستقل از ذهن و ضمناً قابل شناخت) به روش قیاسی ارائه می دهد:
اولاً - لزومی ندارد که یکتا و تنها مدل ممکن باشد.
ثانیاً - لزومی ندارد با تجارب حسی تطبیق کامل داشته باشد. با وجود این، خوشبختانه و بر مبنای تفکر علمی، چیزی است که می توان بر مبنای آن عمل کرد، زیرا می دانیم چه کار می کنیم.
ثالثاً - رو به تکامل است و بر مبنای تعلیم و تربیت علمی هر گاه تصویری کامل تر از موضوع مورد بررسی به دست آمد باید مدل قبلی را بدون تعصب کنار گذاشت و مدل جدید را جانشین آن کرد.
رابعاً- همچون نگرش بور وهایزنبرگ به نقش معرفت شناختی فیزیک، هدف می تواند یافتن یک ارتباط بین تجارب شخصی ( یا گاهی جمعی) ما باشد، نه لزوماً درک سرشت جهان و طبیعت اشیا.
تجربه ی سقوط یک سنگ به طرف زمین را در نظر آورید ارسطو می گفت که سنگ به این دلیل سقوط می کند که هر چیز میل بازگشت به اصل خویش را دارد. بعدها نیوتن گفت که علت سقوط سنگ، نیروی جاذبه است و بالاخره اینشتین گفت که نیازی به فرض نیروی جاذبه نیست چرا که انحنای فضا - زمان توجیه کننده سقوط سنگ است. همچنین مدل دموکریت، مدل اپیکور، مدل اتمی تامسون، مدل اتمی رادرفورد و مدل اتمی بوهر را در معرفی کوچکترین ذرات ماده به یاد آورید.
فرض چند وجهی بودن واقعیت نیز مطرح است و این که زاویه ی دید معین کننده چگونگی تجلی واقعیت است. یک شیء و دو انسان A و B را در نظر بگیرید که در جایگاه های خاص و ثابتی قرار دارند. A از روبرو به شیء نگاه می کند و آن را مستطیل قرمز می بیند و B از بالا به شیء نگاه می کند آن را دایره آبی می بیند. سؤال این است که نظر کدام درست است؟ اگر از قبل ندانیم که شیء مورد نظر چیست ( که غالباً چنین است!) تصمیم گیری سخت و شاید غیر ممکن باشد. ولی بر حسب یک عادت و تربیت بد که به ما می گوید از دو دیدگاه متضاد حتماً یکی اشتباه است، بر مبنای پیش داوری و تعصبات گوناگون، عموماً یکی را نسبت به دیگری برتری می بخشیم و از قبول دیگری اجتناب می کنیم. حال فرض کنیم که از قبل بدانیم که شیء مورد نظر یک استوانه با سطح جانبی قرمز رنگ و سطح بالایی آبی رنگ است در این صورت هر دودیدگاه ارائه شده، که هر کدام ناظر به جنبه ای از شیء هستند، باید به رسمیت شناخته شوند، گرچه متأسفانه هر دو « بی فایده اند» !
ایراداتی به این مکتب وارد است: صورتگرایی درباره این که نتایج ریاضی از کجا می آیند توضیح نمی دهد. ریاضی دانان همیشه نتیجه را پیش از نوشتن یک اثباتِ نمادین می دانند.
در واقع ساختارهای اصل موضوعی مطلقاً نتیجه جدیدی به دست نمی دهند و به خاطر ساختار منطقی شان بی فایده اند. اصول و قوانین دستگاه قراردادی نیستند، بلکه نسبتاً به وسیله عملکرد جامعه که تحت فشارهای درونی و روابط متقابل میان گروه های اجتماعی به وجود می آید. به لحاظ تاریخی تعیین می شوند و اساساً به گونه ای که صورت گرایان مدعی هستند تحقق نمی یابند.
منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن
