![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](https://rasekhoon.net/_files/thumb_images700/article/0042085.jpg)
شهودگرایان مجموعه ی اعداد طبیعی را به عنوان مأخذ بنیادهای ریاضیات تصور می کنند و معتقدند که سرچشمه ی این اعداد شهود است. بنیانگذار این مکتب بروئر است. به عقیده او منشأ مفهوم دنباله اعداد طبیعی، در قابلیت ما در فرق گذاشتن بین دو احساس است ( هنگامی که یکی از آن ها به گذشته بپیوندد و یاد آن در حافظه باقی بماند و در عوض احساس دیگر جایگزین اولی شود)، و همچنین در قابلیت تکرار نامحدود این فرآیند. از نظر شهودگرایان ما اعداد طبیعی را به همان طریق احساس می کنیم که کانت فضا را احساس می کرد.
از دید ایشان یک شی ریاضی وجود دارد هرگاه ریشه در شهود ما داشته باشد، یا به طور دقیق تر، هرگاه بتوانیم آن را با یک روش معین و در تعداد متناهی مرحله از اعداد طبیعی بسازیم. بنابراین آن قسمت هایی از ریاضیات کلاسیک که به روش ساختنی به دست نیایند، یعنی در یک فرآیند متناهی خود را به اعداد طبیعی متصل ننمایند، فاقد معنا محسوب می شوند. برای نمونه به دو مثال زیر توجه کنید:
1) فرض کنید p فرضیه ریمان باشد، یعنی اینکه صفرهای تابع زتای ریمان روی خط
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/00420851.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/00420852.jpg)
2) یک برهان ساختنی برای قضیه ی « اعداد اصم a و b وجود دارند که
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/00420853.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/00420854.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/00420855.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/00420856.jpg)
اینان بر خلاف منطق گرایان نمی خواهند تمام ریاضیات کلاسیک را توجیه نمایند، بلکه می خواهند تعریف معتبری از ریاضیات ارائه دهند و بعد ببینند در عمل چه چیزی از آن حاصل می گردد.
در بیانیه ساخت گرایان، ارائه شده توسط ارت بیشاپ، آمده است:
« ریاضیات بخشی از فعالیت های ذهنی ماست که برتر از زیست شناسی و محیط شناسی است. قوانین زیست شناسی به صورتی که با آن آشنا هستیم ممکن است برای تشکیل زندگی در جهانی دیگر به کار روند، گرچه لزومی ندارد چنین باشد.
همچنین با این که قوانین فیزیک عام تر هستند، تصور این که در جهانی دیگر قوانین فیزیکی متفاوتی حاکم باشد، آسان است. ریاضیات آفرینشی ذهنی است که کمتر از فیزیک و زیست شناسی اختیاری است، بدین معنا که موجوداتی که ما آن ها را ساکن در جهان دیگری با قوانین فیزیکی و زیست شناسی متفاوتی تصور می کنیم، ریاضیاتی در دست خواهند داشت که اساساً همان ریاضیات ماست.»
بروئر در 1908 این مطلب را که « قوانین منطق ارسطویی بدان گونه که به ما رسیده اند اعتبار مطلق دارند». مورد تردید قرار داد. به ویژه قانون طرد شق وسط ( ثالث) ( که می گوید برای هر گزاره p، یا p یا
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/00420857.jpg)
بعدها از شهودگرایی مکاتب گوناگونی مانند ساخت گرایی بیشاپ و ساخت گرایی بازگشتی مارکوف پدید آمد.
در ریاضیات کلاسیک وجود به معنای « عدم به تناقض می انجامد» است. در حالی که در ریاضی شهودگرایان، اگر فرض نادرست بودن گزاره p به تناقض منجر شود فقط می توان گفت که
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/00420858.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/00420859.jpg)
آن چه برای درستی یا نادرستی اش برهانی ساختنی ارائه نشود قابل پذیرش نیست. اصل انتخاب، قضیه مقدار میانی و ... که احکامی مهمی در ریاضیات کلاسیک هستند در ریاضیات شهودگرا قابل پذیرش نیستند. به هر حال توجه به این نکته مهم است که از دیدگاه ساخت گرایان، چنین نیست که تمام ریاضیات کلاسیک، که البته گاهی « ریاضیات توصیفی» خوانده می شود، و روش هایش بی فایده و بی اعتبار است. برای توضیح بیشتر حالت خاصی از قضیه ی مقدار میانی برای توابع پیوسته ( در ریاضیات کلاسیک) را در نظر بگیرید:
قضیه. اگر تابع f روی بازه
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208510.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208511.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208512.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208513.jpg)
از نظر ریاضی دان ساخت گرا، قضایای غیر ساختنی ریاضیات کلاسیک را ممکن است بتوانیم اصلاح کنیم تا به یک برهان ساختنی دست یابیم. مثلاً (آ) با قوی کردن مفروضات و یا (ب) با ضعیف کردن نتیجه.
به عنوان نمونه شکل های ساختنی قضیه مقدار میانی برای متوابع پیوسته بر اساس دو روش فوق عبارتند از:
(آ) فرض کنید
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208514.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208515.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208516.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208517.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208518.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208519.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208520.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/0042085201.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208521.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208522.jpg)
البته در وضعیت های متناهی تفاوتی بین روش های استدلال در ریاضیات کلاسیک و ریاضیات شهودگرا نیست و به ویژه در این حالت آن ها قائل به قانون طرد شق ثالث هستند. مثلاً اگر p گزاره ی « بین
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208523.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/0042085231.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208524.jpg)
بیشاپ در جواب این سوال که از کجا می فهمید که یک برهان، ساختنی است یا نه، می گوید: « اگر شما بتوانید یک برنامه ی کامپیوتری برای آن بنویسید، آن اثبات، ساختنی خواهد بود؛ گرچه ضرورتی ندارد آن برنامه را اجرا کنید و برای نتایجش انتظار بکشید.»
یکی از ظرافت های مکار بروئر ارائه ی مثال هایی موسوم به مثال های نقض بروئری است که در آن ها تصمیم پذیری یک حکم به تصمیم پذیری حکمی دیگر که تاکنون نه اثبات و نه ابطال شده است موکول می شود. همچنین پذیرش آن ها منجر به پذیرش اصل طرد شق ثالث می شود که یک حکم غیر ساختنی است. این مثال ها ضمن نمایش تفکر شهودگرایانه نشان می دهند که بعضی قضایای ریاضیات کلاسیک غیر ساختنی هستند. در ذیل تعدادی از این مثال ها را ارائه می دهیم:
1) اصل کمال در ریاضیات کلاسیک به این معنا است که هر زیر مجموعه ی ناتهی و از بالا کراندار از اعداد حقیقی، دارای کوچکترین کران بالا ( یا سوپریمم) است. این اصل، سرشتی غیر ساختنی دارد. فرض کنید Sn به این معنا باشد که
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208525.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208526.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208527.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208528.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208529.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208530.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208531.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208532.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/0042085321.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208533.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208534.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208535.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208536.jpg)
2) ارقام بعد از ممیز در بسط اعشاری
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208537.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208538.jpg)
و نیز . ما نمی دانیم
یا
3) می دانیم عدد تام، عددی است که با مجموع مقسوم علیه های سره اش برابر است، مثلاً تام است. مسأله « عدد تام» این است: « آیا عدد فرد تامی وجود دارد یا خیر؟»
دنباله را به صورت زیر تعریف می کنیم:
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208542.jpg)
قرار دهید
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208543.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208544.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208545.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208546.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208547.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208548.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208549.jpg)
همچنین تابع f که در ریاضیات کلاسیک روی تمام بازه
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208550.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208551.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208552.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208553.jpg)
4) فرض کنید a یک عدد حقیقی در
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208554.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208555.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208556.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208557.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208558.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208559.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208560.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208561.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208562.jpg)
لازم به ذکر است که افلاطون گرایان و صورت گرایان از نظر اعتقاد به وجود اشیاء ریاضی در نقطه مقابل یکدیگرند ولی در مبانی استدلال متوافق هستند و شهودگرایان در نقطه مقابل هر دو هستند.
اولین کسی که منطق شهودگرایانه را صوری ساخت آرند هایتینگ بود که در سال 1930 این کار را انجام داد. در این منطق رابط های
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208563.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208564.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208565.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208566.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208567.jpg)
همچنین چنانچه S یک محمول یک متغیره با دامنه متغیر A باشد:
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208568.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208569.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208570.jpg)
در جدول زیر بعضی از قضایای منطق شهودگرایانه و نیز فرمول هایی که قضیه نیستند، آمده است:
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208571.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208572.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208573.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208574.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208575.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208576.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208577.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208578.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/0042085781.jpg)
![مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات مکتب شهودگرایی ( ساخت گرایی) در ریاضیّات](/userfiles/Article/1393/02/4/004208579.jpg)
خواص منطق شهودگرایانه بعدها توسط کولموگورف، گنتسن و گودل کشف شد و کریپکی نوعی معناشاسیِ برای منطق شهودگرایانه ابداع کرد.
انتقاداتی به این مکتب وارد است: شهود اعداد طبیعی واقعاً جهانی نیست. تحقیقات پیاژه نشان داده است که کودکان بر اساس تجربیات و روش خاصی از تفکر، اعداد طبیعی را در ذهن خود می سازند. به زعم پیاژه بر خلاف نظر کرونکر که گفت: « خداوند اعداد طبیعی را آفرید بقیه کار انسان است»، اعداد طبیعی را خداوند به ما نداده است ( حداقل نه قبل از هفت سالگی برای اکثر بچه ها در فرهنگ غرب)، بلکه از طریق تناسب و هماهنگی مفاهیم جزئیت و ترتیب در ذهن فرد ساخته می شوند. مسأله ی بعدی این است که بعضی اثبات ها در ریاضیات کلاسیک ظریف، هوشمندانه و کوتاه هستند ولی ساختنی نیستند، پس شهودگرایان آن ها را قبول ندارند و به جایش، آن هم در صورت امکان، یک برهان ساختنی که عموماً طولانی تر است ارائه می کنند. همچنین بعضی احکام ریاضیات شهودگرایان در ریاضیات کلاسیک معتبر نیستند، مثلاً این که « هر تابع حقیقی مقدار که روی تمام خط حقیقی تعریف شود، پیوسته است».
منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرنفلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن