ریاضیات از دیدگاه افلاطون

مفهوم دنیای مُثُل

افلاطون، فیلسوف قدیمی یونان، 427 سال قبل از میلاد در یک خانواده ی سرشناس آتنی دیده به جهان گشود. در ایام جوانی شور سیاست در سر داشت؛ اما به زودی به واسطه ی برخورد با حکومتی که استادش سقراط را به قتل رساند سر خورده شد. افلاطون آکادمی خود را در 384 قبل از میلاد بنیاد گذارد. تحت رهبری و هدایت او این مؤسسه ی آتنی به مرکزی برای پژوهش در ریاضیات، علوم و سیاست مبدل شد. سهم افلاطون در این پژوهش ها ارائه ی گفتگوها و محاوراتی بود که به تمام قلمرو دانش بشری مربوط می شد. وی حدود سال 347 قبل از میلاد دار فانی را وداع گفت.
سقراط معتقد به عقل فطری بود که فرد با سود جستن از آن و به کمک عقل با راهیابی به درون خویشتن می توانست به واقعیت مکنون در محسوسات پی ببرد. اما افلاطون معتقد بود که واقعیت باید چیزی در یک جهان ایده آلی باشد، نه لزوماً در خود اشیاء؛ و به همین خاطر به زعم وی فلسفه از تلاش برای ارتقاء از علم پدیده ها یا نمودها، به جوهره یا واقعیت ها تشکیل شده است.
افلاطون، جهان را به دو قسمت متمایز تقسیم می کرد. اول جهان محسوسات که چون با حواس ناقص ما شناسایی می شود، جزیی و تقریبی است؛ جهانی که در آن همه چیز می آیند و می روند، اما هیچ وقت واقعاً وجود ندارند. دوم جهانی قابل فهم و معقول که عالم مثال نامیده می شود. برای افلاطون مثال یا صورت، واقعیت غایی غیرقابل تغییر، مستقل از ذهن و کاملاً مجردی تلقی می شد که فقط قابل درک با عقل است نه با قوای حسی. به علاوه هر چیزی در دنیای قابل مشاهده، فقط نسخه ای ناقص و انعکاس یا تقریبی از یک حقیقت اصلی ( مثال) است. نمونه های زیادی از مُثُل می توان یافت، مثلاً اسب ها موجودیت خود را از « اسب» می گیرند و ما آن ها را به عنوان اسب ها تلقی می کنیم، زیرا آن ها در صورت « اسب» موجود هستند.
افلاطون، متاثر از سقراط، معتقد بود قبل از آن که متولد شویم ارواح ما در عالم مثال زندگی می کنند و سپس این ارواح همراه با مفاهیم مُثُل متولد می شوند و ما آن چه را که روحمان در دنیای مُثُل آموخته است، به یاد می آوریم؛ و این تعلیمات و اصول نوعی یادآوری است. به همین دلیل افلاطون به عنوان یکی از اولین عقلیون شناخته شد. وی آموزه های فیثاغورس را در ایتالیا مطالعه نمود و عمیقاً تحت تاثیر آن ها قرار گرفت و به ریاضیات فیثاغورسی تمایل پیدا کرد. به ویژه به نظریه ی اعداد علاقه مند شد چنان که مثال ( صورت) را بر حسب هارمونی عددی در رساله تیمائوس تعبیر کرد. وی آموزش داد که هر چیزی در جهان فیزیکی از مثلث ها به جای اعداد ( بر خلاف آن چه فیثاغورسیان عقیده داشتند) ساخته شده است.
افلاطون کشف مهمی در ریاضیات نداشته است، گرچه اعتقاد او در این باره که « ریاضیات بهترین تمرین برای ذهن است» مهم می باشد. همچنین سهم افلاطون در گسترش فلسفه ی ریاضیات – هر چند بیشتر مربوط به واقع گرایی هستی شناختی است – بیان این مطلب است که اشیاء ریاضی مستقل از ذهن بشر موجودیت دارند.
افلاطون معتقد بود که 2 سیب، تخمینی از مثال «2» است و همچنین یک صفحه ی گرد تصوری از مثال « گرد بودن» است. ارتباط بین ریاضیات محض و کاربردی، همچون ارتباط بین 4=2+2 و « 2 سیب و 2 سیب می شود 4 سیب» مانند ارتباط بین مُثُل و نمودها است. بعلاوه تمامی قضایای ریاضی مانند 4=2+2 لزوماً درست می باشند زیرا به موجودات ثابت و روابط تغییرناپذیر بین آن ها را بیان می کنند و از انسان و زبانی که این قضایا با آن بیان می شوند مستقل می باشند.
ارسطو، شاگرد افلاطون، تمایزی را که افلاطون بین دنیای ظواهر و دنیای مثل قائل شده بود، رد نمود. آموزه ی او این بود که مثال اسب در حقیقت عبارت خلاصه ای از چیزی است که اسب را می سازد و این مثال، حقیقت معنایی خود را از « اسب ها» می گیرد. وی همچنین ادعا کرد که یک شی ریاضی مانند یک مربع هندسی، جنبه ی با معنا از یک شی مادی از قبیل یک تکه آجر مربع شکل است که می تواند فقط با نادیده گرفتن جنبه های بی ربطی همچون مواد سازنده ی آجر درک گردد.

هندسه، کلید فهم جهان برای افلاطون

ممکن است سؤال شود که جهان از چه ساخته شده است؟ افلاطون در رساله ی تیمائوس چگونگی خلق عالم را شرح داد. وی « خاک، باد، آتش و آب» را عناصر سازنده ی عالم ذکر کرد و همچنین ذراتی که هر یک از این عناصر چهارگانه از آن ها درست شده اند را به دست داد. به زعم او ذرات، اجسام هندسی منتظم زیر می باشند: هرم، مکعب، هشت وجهی و بیست وجهی ( موسوم به اولین اجساد چهارگانه ی افلاطونی). وجوه این اجسام به ترتیب فقط از دو نوع مثلثی قائم الزاویه ی مختلف ساخته شده اند ( بر خلاف اتم های دموکریت که از انواع و اندازه های مختلف بودند). مثلث نوع اول، مثلث قائم الزاویه ی متساوی الساقین است که از بریدن یک مربع در راستای قطر آن به دست آید. مثلث نوع دوم، مثلث قائم الزاویه ی مختلف الاضلاع است که از نصف کردن مثلث های متساوی الاضلاع حاصل می شود. افلاطون از این دو مثلث برای ساختن وجوه اجسام چهارگانه ی خود استفاده کرد. در حقیقت او اعتقاد داشت هر سطحی قابل تجزیه به مثلث های متساوی الاضلاع است ( یک عبارت نادرستِ جالب) که اهمیت هندسه را برای افلاطون نشان می دهد.

از دیدگاه افلاطون:

عنصر آتش، هرم منتظم است ( زیرا در بین عناصر، آتش نافذترین آن هاست و در میان اجسام منتظم، هرم تیزترین گوشه ها را دارد) و از 8 مثلث قائم الزاویه ی مختلف الاضلاع ساخته شده است.
عنصر هوا، هشت وجهی است و از 16 مثلث قائم الزاویه ی مختلف الاضلاع ساخته شده است.
عنصر خاک، شش وجهی است ( زیرا خاک صلب ترین عناصر است و واژگون کردن مکعبی که بر قاعده قرار گرفته است مشکل تر از سایر اجسام منتظم است) و از 12 مثلث قائم الزاویه ی متساوی الساقین ساخته شده است.
عنصر آب، بیست وجهی است و از 40 مثلث قائم الزاویه ی مختلف الاضلاع ساخته شده است.
جسم افلاطونی پنجم، 12 وجهی است که از دیدگاه افلاطون مدلی برای کل جهان هستی است، افلاطون در واقع جزئیات چگونگی ساخته شدن 12 وجهی را توضیح نمی دهد.
منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن