آیا « واقعیت» خصلت ریاضی دارد؟

طرح مسأله: نمود و واقعیت

رنگ یک شیء مثلاً یک تکه پارچه، هنگام طلوع آفتاب با رنگ آن در هنگام ظهر متفاوت است. کدام یک « واقعی» است؟
اندازه ی خورشید برای مردمان زمان بطلیموس با اندازه ی آن برای ما فرق می کند ( و شاید این اندازه برای مردمان دو هزار سال دیگر متفاوت با ما باشد). کدام یک « واقعی» است؟
یک دست را در آب سرد و دست دیگر را در آب گرم قرار داده و سپس هر دو دست را در آب ولرم فرو می بریم. آب به دست در آب سرد، گرم و به دست در آب گرم، سرد می نماید. کدام یک « واقعی» است؟
لیلی به دیده ی مجنون زیباست. آیا به دیده ی ما نیز چنین است؟ آیا ما صفات اشیاء را به آن ها می بخشیم؟ اگر این صفات را از آن ها جدا کنیم چه بر جای می ماند؟
بعضی از مردم به بیماری بی رنگ بینی مبتلایند، یعنی هیچ رنگی را درک نمی کنند و دنیا را سیاه – سفید می بینند. اگر همه ی این بیماری را می داشتیم، آیا رنگی « وجود» می داشت؟
اگر ما انسان ها نمی توانستیم هیچ چوبی را که در ظرفی از آب فرو برده ایم از آن بیرون آوریم، آیا می توانستیم بفهمیم چوب در آب شکسته « به نظر می رسد» یا « واقعاً» شکسته است؟
شالوده ی سؤالات فوق این سؤال کهن و در عین حال کنجکاوانه و زنده ی فلسفه است که آیا اشیاء آنگونه اند ( واقعیت) که به نظر ما می آیند ( نمود). در این جا نمود چیزی است که به تجربه ( ادراک) حسی ما ( مستقیم یا غیرمستقیم) در می آید و « وجود» آن را « باور» داریم و واقعیت یا بود، چیزی است « قائم به ذات»، که خارج از فاعل شناسایی، متمایز از ادراک ( تأثرات و تصورات) ما، وسائل مشاهده و فراسوی چارچوب زمان و مکان وجود دارد و به علاوه از سرشت آن کسی با خبر نیست و در عین حال، نمود مشعر به آن است.
در این فصل به بحث پیرامون دو سؤال بنیادی « آیا نمود و واقعیت از یکدیگر منفک هستند؟» و « آیا واقعیت خصلت ریاضی دارد؟» می پردازیم.

آیا نمود و واقعیت از یکدیگر منفک هستند؟

سقراط معتقد بود که مردم، زندگیشان را در جهان نمود صرف می کنند و فقط عده ی کمی، یعنی فلاسفه، از این جهان گذر کرده و با به کار بردن تعقل به واقعیت می رسند. افلاطون اعتقاد داشت که جهان از دو چیز تشکیل شده است: جهان نمود که شامل انسان ها و همه محسوساتی است که دائم دستخوش تغییر و فناپذیرند و صورت ها یا مُثُل که تغییرناپذیر و جاودانی اند. وی اعتقاد داشت که این صورت ها با حواس ادراک نمی شوند بلکه فقط با تعقل می توان آن ها را دریافت و به علاوه جهان طبیعی انعکاسی از آن ها است.
عده ای، مانند جان لاک، تامس هابز، فرانسیس بیکن و گالیله، معتقد به تمایز نمود و واقعیت نیستند. آن ها به چیزی فراسوی عالم مشهود قائل نیستند یا آن را غیر قابل تعریف و یا غیر قابل اثبات ( یا ابطال) می دانند و از این رو به دنبال واقعیت رفتن را کاری عبث و بی فایده می دانند.
جان لاک در کتاب « پژوهش در فاهمه ی بشر» می گوید:
« بدیهی است که ذهن انسانی اشیاء را نه مستقیماً بلکه فقط به واسطه ی تصوراتی که از آن ها دارد می شناسد و در نتیجه شناسایی ما تا آن جا درست است که این تصورات با واقعیت اشیاء مطابق باشد، اما ملاک ما در این جا چیست؟ و چگونه ذهن، که چیزی جز تصورات خود را ادراک نمی کند، می تواند بشناسد که آن تصورات مطابق عین اشیاء است یا نه؟»
و هابز گفت که آن چه در بیرون از ماست نه گرم است و نه سرد، نه زشت است و نه زیبا، بلکه چیزی است تاریک، بیرنگ و ساکت. اگر در جهان چشمی نبود و نسج های حساسی وجود نداشت رنگ و روشنی نبود و اگر ما گوش نداشتیم، صوت وجود نداشت، این قوس و قزح زیبا تنها در دیده ی ماست نه در آسمان.
او می گوید ما چه نیازی به فرض واقعیت فرجامین داریم و چرا نگوییم واقعیت همان است که احساس و ادراک می کنیم. لذا واقعیت امری نسبی است که نه تنها به افراد، بلکه به زمان و مکان و زبان وابسته است. شاید بتوان گفت هر انسان در دنیای متغیری زندگی می کند که فقط خودش در مرکز آن قرار دارد و فقط برای خود وی شناخته شده است. هر کس جهان را از پشت عینکی که به چشم زده است نگاه می کند که اغلب ویژگی های این عینک از دنیای خصوصی ( زمینه ی نمودی یا تجربی) فرد ناشی می شود. به همین ترتیب وقتی فردی یک جعبه گچ را کبوتر می بیند و حتی بال، پر و هیأت او را توصیف می کند، یا در ساعتی از روز صدای اژدهای هفت سری را می شنود، واقعیت برای او همین است؛ ضمن این که واقعیت اجتماعی از ادراکاتی تشکیل شده است که از درجه ی عمومیت بیشتری در بین افراد برخوردار است.
اما عده ای معتقدند که نمود و واقعیت منفک هستند و سرشت اشیاء چیزی است که وجود دارد، بر خلاف ظواهر و البته بر اساس آموزه ای قرون وسطایی، قابل دیدن نیست و به علاوه واژه های نظری که پل هایی بین نمود و واقعیت و ابزارهایی برای پژوهش هستند مشعر به این واقعیت نهانی اند. ( البته فردی مانند ماخ واژه های نظری مانند اتم را ساختارهای مصنوعی یا علائم زبانی می دانست که برای تنظیم داده های تجربی به کار می روند و نمایشگر موجوداتی واقعی نیستند). واقعیت پنهان است و داده های تجربی و شعور دو انعکاس آن هستند. ما به کمک علم مدل هایی را بعنوان تقریبی از این جهان نادیدنی ارائه می دهیم، توصیفی خطاپذیر، اصلاح پذیر و در حال تکامل. این توصیف که به صورت نظریه ارائه می شود، گرچه کامل، قطعی، کلی، تردیدناپذیر و خلاصه انعکاس صرف واقعیت نیست، ولی چیزی است که می توانیم بر مبنای آن عمل کنیم، زیرا می دانیم چه کار می کنیم و اساساً آیا چیزی بهتر از آن در دست داریم؟ علم سعی در کم کردن فاصله ی نمود و واقعیت دارد و ملاک قاطع در انتخاب نظریه نیز تأیید تجربی یا در جهت مخالف، به گفته ی پوپر، ابطال پذیری آن ها است. (1)

واقعیت و ریاضیات

عده ای از اندیشمندان اعتقاد داشتند که واقعیت خصلتی ریاضی دارد و موضوع ریاضیات، یافتن، توصیف و درک واقعیت به صورت قطعیتی بی چون و چرا است:
فیثاغورسیان معتقد بودند که طبیعت از عدد ساخته شده است و اعداد موجب ایجاد کیفیات گوناگون در جهان می شوند و لذا می توان با آگاهی از روابط بین مفاهیم ریاضی دنیای اطراف خود را شناخت. مثلاً می گفتند چون کره کامل ترین اشکال است، پس باید زمین کروی باشد. این استراتژی فیثاغوری در فیزیک نوین نیز قابل مشاهده است: معادله ی E تحت مفروضات A به دست آمده است. این معادله جواب هایی دارد که A با آن ها در تضاد است، اما دقیقاً به علت این که جواب های E هستند، ما آن ها را در طبیعت جستجو می کنیم. مثالی از این وضعیت، اجتناب پال دیراک برای دور انداختن جواب های ظاهراً غیرفیزیکی « انرژی – منفی» به معادله ای موسوم به دیراک است که منجر به کشف « پاد ماده» شد.
افلاطون در کتاب جمهورش ریاضیات را کاربردپذیر قلمداد می کند، زیرا این دنیا را صرفاً تقریبی از واقعیت ریاضی متعالی تر می پنداشت. چنان که حتی حرکت سیارات را نسبت به حرکت ریاضی محض در رتبه ی پایین تری قرار می داد. وی معتقد بود خداوند همواره به کار هندسه مشغول است.
کپرنیک آفریدگار را یک ریاضی دان می دانست و اعتقاد داشت که طبیعت را باید با ریاضیات تبیین کنیم. کپلر سرشت واقعی اشیاء را ریاضی و به علاوه قابل استنتاج و تبیین از عالم مشهود می دانست. گالیله عقیده داشت که ریاضیات بهترین کلید گشودن رازهای طبیعت و معقول نمودن محسوسات و اساساً زبان علم است. دکارت معتقد بود که ریاضیات بنیان همه ی علوم است و اساساً تجربه به ما معرفت یقینی نمی دهد. ادینگتون اعیان ریاضی را اجزای سازنده ی عالم، خداوند را ریاضی دان و آفرینش را نوعی فعالیت ریاضی می دانست. ( اما چرا باید خداوند را یک ریاضی دان فرض کنیم، آیا خداوند با ریاضیات محدود شده است یا آن را آفریده است؟)
اینشتین معتقد به دنیای خارجی مستقل از ذهن بود و راز ابدی جهان را قابل درک بودن آن می دانست. وی طبیعت را مصداق ساده ترین اندیشه های ریاضی قابل تصور می دانست و می گفت:
« می توان به کمک ابزارهای صرفاً ریاضی مفاهیم و قوانین مرتبط کننده را که کلید شناخت طبیعت است، به دست آورد... آزمایش ممکن است الهام بخش مفاهیم ریاضی مناسب باشد، اما به طور قطع نمی توان این مفاهیم را از تجربه استنتاج کرد. البته آزمایش همچنان یگانه معیار مفید بودن ساختارهای ریاضی خواهد بود، اما خلاقیت در جنبۀ ریاضی مطلب است. بنابراین به یک اعتبار، من عقیده دارم، همان طور که قدما تصور می کردند، فکر محض می تواند به درک واقعیت نائل شود.»
در مقابل این ها عده ای چنین نقش بنیادینی برای ریاضیات قایل نبودند:
ارسطو ریاضیات را نظامی صوری ولی مأخوذ از تجربه، یعنی انعکاس دنیای بیرون از ذهن در آن، می دانست. به زعم وی اشیاء ریاضی به وسیله ی خرد از جهان فیزیکی تجرید می شوند. ( اما آیا این مجردات در ذهن افراد مختلف با یکدیگر متفاوت است یا یکی است؟ و مهم تر این که چرا؟) وی دیدگاه فیثاغورسیان را رد کرده بود. نیوتن به ریاضیات به عنوان زبانی برای توصیف طبیعت و نه کشف آن می نگریست. وی می گفت که دستگاه های ریاضی زیادی وجود دارند که خدا می تواند برای راه انداختن جهان از آن ها استفاده کرده باشد و فقط مشاهده ی طبیعت آن را معین می کند، نه یک انتخاب ذهنی مقدم بر تجربه. به زعم نیوتن خدا جهان را بر اساس یک انتخاب آزاد درست کرده است، نه یک ضرورت ریاضی.
تلاش های انجام شده در قرن 19 توسط لباچفسکی، گاوس و دیگران نشان داد که می توان هندسه هایی ( موسوم به نااقلیدسی) به همان « درستی» هندسه ی اقلیدسی ولی با ویژگی های بسیار متفاوت با آن ساخت. کانت می گفت: « مفهوم فضای اقلیدسی به هیچ وجه منشأ تجربی ندارد، بلکه لازمه ی اجتناب ناپذیر فکر ماست»، یعنی فضای سه بعدی اقلیدسی صورت ذاتی همه ی ادراکات ما از اشیاء است. اما هرمان هلمهولتز پرسید که آیا ممکن است کانت اشتباه کرده باشد و خودش جواب داد که بلی، دنیا را که در یک آینه ی کوژ منعکس شده است در نظر بگیرید.
بعدها با کارهای ریمان و کلیفورد معلوم شد که این سؤال که کدام هندسه ( اقلیدسی یا نااقلیدسی) دنیا را توصیف می کند دیگر موضوعی از مقوله ی شهود نیست، بلکه موضوعی تجربی است. اما این مطلب چه تأثیری بر رابطه ی ریاضیات و جهان داشت؟ در واقع این عقیده، ریاضیات را از دنیای فیزیکی جدا کرد. هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی اولین مثال تاریخی واضح از دو گونه ی هندسه ی متضاد یکدیگر هستند که هر یک می توانند جلوه گر بخشی از جهان باشند.

پی نوشت :

1- به عقیده ی پوپر تأکید تجربی به نظریه های علمی اعتبار می بخشد ولی آن ها را اثبات نمی کند و اساساً ملاکی برای صدق احکام علمی وجود ندارد و ما فقط می توانیم به حقیقت از طریق وضع نظریه های ابطال پذیرتر نزدیک شویم.

منبع مقاله :
فلسفه ریاضی: کلاسیک، مدرن، پست مدرن