قوانین جبر بولی

جبر بولی، به بیان ساده‌تر، جبر مقادیر حقیقی 1 و 0 است. بله، یک جبر تمام و کمال، فقط در این دو عدد نهفته است، نه بیشتر، 1 و 0. متن زیر را در بررسی دقیق‌تر مفاهیم و قوانین جبر بول مطالعه فرمایید.
قوانین جبر بولی، بر اساس منطق بولی، توسط جرج بول در سال 1840 پیشنهاد شده است. موضوع شگفت انگیزی است، به این معنا که این جبر فقط از دو مقدار، 0 و 1 یا “درست” و “نا درست” تشکیل شده است. با این حال، پایه‌های بسیاری از عملیات پیچیده در ریاضی، کامپیوتر و الکترونیک دیجیتال را تشکیل می‌دهد. هنگامی که ما از مگا و گیگا بایت در حافظه‌ی کامپیوتر صحبت می‌کنیم، درواقع به مفاهیم جبر بولی اشاره می‌کنیم. جبر بولی اساس گیت‌های منطقی در الکترونیک است. در واقع، عملیات جبر بولی را می‌توان با استفاده از گیت‌های منطقی نمایش داد. در حال حاضر، این عملیات چه چیزهایی هستند؟ خوب آنها شامل عملیاتی مانند: رابطه (AND)، ترکیب فصلی (OR)، و مکمل (NOT)، مشابه عملیات ریاضی مانند ضرب، جمع و نفی هستند. جدای از این عملیات اساسی، عملیات خاص مشتق شده‌ای نیز وجود دارد که از طریق ترکیبی از عملیات اساسی به وجود می‌آیند. قوانین جبر بولی شامل قوانین بولی و ویژگی‌هایی است که شبیه به آن در جبر نیز وجود دارد. بنا بر این جبر بولی فقط در دو مقدار 0 و 1 خلاصه شده است، هر عبارت بولی را می‌توان با استفاده از یک جدول درستی (جدول حقیقت) که در آن هر متغیر بر اساس 0 و 1 تخصیص داده شده است، بیان کرد. این هم یکی دیگر از نکات جالب در مورد ریاضی بولی است.
برخی شباهت‌ها وجود دارند که در این مقاله، بیشتر به آنها اشاره خواهم کرد. اگر استفاده از این شباهت‌ها فرا گرفته شود، درک جبر بولی راحت‌تر خواهد بود. یک قیاس و شباهت منطقی میان عملگرهای بولی شامل “AND”، ”OR” و “NOT” با عملگرهای ریاضی شامل ضرب، جمع و نفی وجود دارد. شباهت دیگر با کلیدهای الکتریکی تنظیم شده به صورت سری و موازی است. مداری که در آن کلیدها به صورت سری هستند مشابه عملگر AND است درحالی که در یک مدار موازی مشابه عملگر OR است. مقدار کلید زمانی که ON یا بسته است باید 1، و زمانی که OFF یا باز است 0 در نظر گرفته می‌شود. هنگامی که کلید در موقعیت ON قرار دارد یعنی بسته است، به این معنی که مدار کامل است، درحالی که در حالت OFF، آن باز است، به این معنی که مدار باز است. هم چنین باید دانست که مقدار 1، “درست” را نشان می‌دهد و 0 “نادرست” را.

عملیات پایه در جبر بول

این قوانین عبارتند از: کاربرد عملیات اساسی بولی در استفاده از 0 و 1 در ترکیبات مختلف. لطفاً توجه داشته باشید، عملگر AND با یک نقطه (.)، عملگر OR با علامت (+) و عملگر NOT یا نفی توسط یک نوار بالای پارامتر یا یک کامای وارونه تنها (`)بالای آن، نشان داده می‌شود. عملگری که تا حالا به آن اشاره نکرده‌ایم XOR است که OR انحصاری یا OR منحصر به فرد نیز خوانده می‌شود. به عبارت ساده‌تر موضوع، یا “این” یا “آن”، اما نه هر دو، را بیان می‌کند. این به این موضوع دلالت دارد که، اگر هر دو عملوند “این” و “آن” ارزش یک سان داشته باشند، جواب صفر خواهد بود. XOR توسط یک علامت مثبت که داخل یک دایره قرار گرفته، نشان داده می‌شود. حالا، اجازه بدهید تا سه عملوند دیگر در جبر بولی را به شما معرفی کنیم. آنها NOR، NAND و XNOR هستند. نه، آنها مشکل نیستند. همان طوری که ما نفی ساده را با یک اپراتور NOT نشان می‌دهیم، ما هم چنین NOT AND، NOT OR و NOT XORرا داریم، بله، نفی AND، مقدار NAND است. نفی OR، مقدار NOR است و نفی XOR، XNOR می‌باشد. بیایید ببینیم که خروجی در استفاده از اپراتورهای مختلف بین 0 و 1 چه هستند. اگر جواب‌ها را با دقت نگاه کنید، متوجه خواهید شد که بسط دادن آنها زیاد هم کار دشواری نیست، چرا که آنها بر منطق ساده‌ای استوار هستند.

AND
• 1 AND 1 = 1
• 1 AND 0 = 0 AND 1 = 0
• 0 AND 0 = 0
OR
• 1 OR 1 = 1
• 1 OR 0 = 0 OR 1 = 1
• 0 OR 0 = 0
NOT
• NOT 0 = 1
• NOT 1 = 0
NAND
• 1 NAND 1 = 0
• 1 NAND 0 = 0 NAND 1 = 1
• 0 NAND 0 = 1
NOR
• 1 NOR 1 = 0
• 1 NOR 0 = 0 NOR 1 = 0
• 0 NOR 0 = 1
XOR
• 1 XOR 1 = 0
• 1 XOR 0 = 0 XOR 1 = 1
• 0 XOR 0 = 0
XNOR
• 1 XNOR 1 = 1
• 1 XNOR 0 = 0 XNOR 1 = 0
• 0 XNOR 0 = 1

اصول جبر بولی:
X + 0 = X
درک این فرمول آسان است چون قانون شبیه این در جبر واقعی هم روی اعداد اعمال می‌شود. جمع هر عددی با صفر خود آن عدد اصلی می‌شود. این اصل می‌تواند مفهوم عملگر OR را قابل درک‌تر کند. همان طور که شما می‌دانید، 0 + 0 = 0 درحالی که 1 + 0 = 1 پس می‌توان گفت X + 0 = X
X + 1 = 1
اگر شما مجدداً به اصول عملگر OR نگاه کنید، خواهید فهمید، 0 + 1 = 1 و 1 + 1 = 1 می‌باشد، که به این معنی است که هر چیزی با 1 جمع شود جواب 1 را در خروجی می‌دهد. این اصل هم چنین این گونه می‌تواند بیان شود که، اگر ارزش هر کدام از عملوندها در عملیات OR، 1 باشد، پاسخ 1 است. (یعنی اگر یکی از عملوندها 1 باشد، جواب نهایی در عملیات OR، 1 خواهد بود.)
X + X = X
اگر در عملیات اساسی OR که در بالا اشاره شد نگاه کنید، متوجه خواهید شد که 0 + 0 = 0 و 1 + 1 = 1 هم چنین به این معنی است که
X + X = X. ساده است، نه؟ از این نظر منطقی‌تر است. زمانی که گفته می‌شود، “این” یا “آن” منظور شما انتخاب یکی از آنها است، حالا شما دو مقدار دارید و می‌خواهید یکی را انتخاب کنید، X و X، هر کدام را شما انتخاب کنید،جوابتان است، و از این رو اصل X + X = X را قبول می‌کنیم.
X + X̍ = 1
حالا تصور کنید انتخاب یک مقدار از بین خود مقدار و مخالف آن باشد. از آن جا که بر اساس منطق بولی به آن اشاره شد، تنها گزینه‌هایی که می‌توانیم انتخاب کنیم، 0 و 1 هستند. حالا ببینید چه خروجی از OR، بین 0 و نقطه مقابلش یعنی 1 است، یا چه خروجی بین 1 و نقطه مقابلش یعنی 0، به این معنی که خروجی عملگر OR، بین یک مقدار و مخالف آن مقدار، 1 است.
0.X = 0
هر چیزی که با 0، AND شود، مقدار 0 را می‌دهد. حالا شباهت عملگر AND را با یک مدار شامل کلید در نظر بگیرید. حتی اگر یکی از آنها در حالت OFF باشد مدار کامل نیست، در نتیجه منجر به خروجی صفر خواهد بود. بنا بر این، اصل X AND 0 = 0 برقرار است.
1.X = X
مداری را با یک کلید بسته از یک طرف و از طرف دیگر، یک بار بسته و یک بار باز، تصور کنید. حالا این که آیا مدار کامل خواهد شد یا نه، تنها بستگی به موقعیت X در مدار دارد که ON است یا OFF.
این موضوع به این معنی است که X AND 1 برابر خواهد بود با X.
X.X = X
مقدار X را برابر 1 در نظر بگیرید، بنابراین X AND X به معنی
1 AND 1؛ خروجی 1 را خواهد داد، حالا ارزش X را برابر 0 در نظر بگیرید. X AND X= 0 AND 0 = 0، بنا بر این می‌توانید ببینید: X.X = X
X.X̍ = 0
AND کردن یک مقدار با مخالفش را در نظر بگیرید، اگر مقدار X برابر 1 باشد، و آن را با مخالفش یعنی 0، AND کنید. نتیجه نهایی 0 خواهد بود. حالا در نظر بگیرید مقدار X برابر 0 باشد و AND کردن بین صفر و مقدار مخالفش یعنی 1، مقدار 0 خواهد بود، 0 AND 1= 0 این موضوع اصل X.X̍ = 0 را ثابت می‌کند.

قوانین جبر بولی:

قانون انجمنی

این قانون در جبر بولی، برای هر دو عملگر AND و OR اعمال می‌شود. شباهت‌های جمع و ضرب را برای عملیات AND و OR در نظر بگیرید. در جبر اعداد حقیقی، حاصل به ترتیب قرار گیری عملوندها در ضرب بستگی ندارد (منظور، دو ضربدر سه با سه ضربدر دو حاصل برابری دارد). هم چنین جواب نهایی یک عملیات جمع که جایگاه پارامترهای آن با هم عوض می‌شود، یک سان خواهد بود.
همین امر در عملیات‌های AND و OR در جبر بولی نیز صادق است. حتی اگر شما یک مدار سری را مشابه AND و یک مدار موازی را مشابه OR در نظر بگیرید، نتیجه‌ی نهایی صرف نظر از ترتیب قرار گیری کلیدها در مدار، مقدار یک سانی خواهد بود. این مورد در عملیات AND و OR دیده می‌شود، از این رو قوانین زیر را داریم:
A.(B.C) = (A.B).C
A + (B + C) = (A + B) + C

قانون جا به جایی

این قانون هم، شامل هر دو عملگر AND و OR در منطق بولی می‌شود. همه‌ی ما می‌دانیم که حاصل دو عدد، صرفنظر از ترتیب قرار گیری آنها در عملیات‌های ضرب و جمع، مقدار ثابتی باقی می‌ماند. همین موضوع در جبر بولی نیز وجود دارد. در مورد عملیات‌های AND و OR نیز نتیجه‌ی نهایی بستگی به جای قرار گیری پارامترها ندارد. از این رو قوانین زیر را داریم:
A.B = B.A
A + B = B + A

قانون توزیعی

قانون توزیعی در جبر بولی همان قانونی است که در جبر اعداد حقیقی وجود دارد. A.(B + C) می‌تواند به صورت A.B + A.C نوشته شود. به طور مشابه A + (B.C) را می‌تواند به صورت (A + B).(A + C) نوشته شود.
توجه: در جبر بولی، عملگر AND بر عملگر OR تقدم دارد. این موضوع به این معنی است که اگر سه عملگر وجود داشته باشد که در آن یک علامت OR بین عملوند اول و دوم باشد و علامت AND بین دومی و سومی قرار گرفته باشد، یا هر شکل دیگری؛ در هر صورت، AND قبل از OR به کار گرفته خواهد شد. این موضوع شبیه به انجام عمل ضرب قبل از عمل جمع در ریاضیات معمولی است. از این رو قوانین زیر را داریم:
A.B + C = (A.B) + C
A + B.C = A + (B.C)

قوانین ساده شده‌ی عبارات بولی:

عبارات داده شده در زیر بر اساس خصوصیات جبر بولی حل شده‌اند، ما فقط می‌بینیم. اگر بخوانید خودتان همه‌‌ی ساده سازی‌ها را درک خواهید کرد.

A + AB = A
= A (1 + B)
= A(1)
= A
A + A' = A + B
= A + AB + A'
= A + B(A + A')
= A + B(1)
= A + B
(A + B)(A + C) = A + BC
= AA + AC + BA + BC
= A + AC + B(A + C)
= A + AB + BC
= A (1 + B) + BC
= A (1) + BC
= A + BC

هنگامی که پایه و اساس عملگرهای AND و OR و هم چنین ارتباط آنها با عملیات ضرب و جمع اعداد حقیقی را درک کردید، خواهید فهمید که درک مفاهیم جبر بولی زیاد هم سخت نیست. منطقی است، نه؟